ejercicioresueltodeequilibriodenashenpurasymixtas

7/21/2019 Ejercicioresueltodeequilibriodenashenpurasymixtas

http://slidepdf.com/reader/full/ejercicioresueltodeequilibriodenashenpurasymixtas 1/7

microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es

[email protected] @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es

EJERCICIO DE TEORÍA DE JUEGOS: CÁLCULO DEL EQUILIBRIO DENASH EN ESTRATEGIAS PURAS Y EN ESTRATEGIAS MIXTAS

Enunciado:

Calcule los Equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas,de los siguientes juegos:

(a)

Jugador nº 2

J u g a

d o r

n º 1

X Y

A 0,2 2,0

B 5,4 0,1(b)

Jugador nº 2

J u g a

d o r

n º 1

X Y

A 0, 0 1, 1 B 2, 2 0, 0

SOLUCIÓN (a) En estrategias puras es sencillo; subrayamos los mejores pagos que cada jugador

pueda obtener en función de la estrategia que el otro pueda seguir; las celdas enlas que ambos pagos estén subrayados constituirán un Equilibrio de Nash:

Jugador nº 2

J u g a

d o r

n º 1

X Y

A 0, 2 2, 0 B 5, 4 0, 1

En este caso, por tanto, el único equilibrio de Nash en estrategias puras es: ( B, X ).

En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador, ydesarrollar el ejercicio de la manera siguiente:

1

1

0 2 (1 ) 5 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 5 5 ;

2 7 5

PJ pq p q p q p q p pq q pq

PJ p pq q





p

q

1

1

2/7

Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos:

1 (2 7 ) [5 ] PJ p q q

Lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 1 independientementede cuál sea su elección pues no depende de p . El otro sumando es el que, portanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de loque haga el otro.

Fácilmente se puede apreciar que si 2 7,q el valor del paréntesis es cero, por loque el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influiráen el pago que va a recibir.

En otras palabras, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 2/7 y por la estrategiaY con probabilidad 5/7, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pagoutilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de

ambas.Por otro lado, siq tiene un valor inferior a 2/7, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valormás alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,

p debe valer 1.

Finalmente, siq tiene un valor superior a 2/7, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valormás bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,

p debe valer 0.

Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nosindica cuál es el p óptimo ( p*), en función del valor deq.





Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:

2

2

2 0 (1 ) 4 (1 ) 1 (1 ) (1 )

2 4 4 13 1

PJ pq p q p q p q

pq q pq p q pq PJ pq q p


2 (3 ) [1 ] PJ q p p

Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes vaa obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues nodepende deq . El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocercuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador.

Fácilmente se puede apreciar que, sea cual sea el valor de p, el valor del paréntesis es po-sitivo dado que p es una probabilidad y por tanto su valor está comprendidoentre cero y uno, por lo que el jugador nº 2, si pretende maximizar su pago, habráde dar aq el valor más alto posible, es decir, tratándose como en este caso de una probabilidad,q debe valer 1.

Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nosindica cuál es elq óptimo (q*), en función del valor de p.

Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada individuo,que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos ante lo que haga elotro, obtendremos, allí donde coincidan, los Equilibrios de Nash.

1

p

q

1





En este caso, el único Equilibrio de Nash en estrategias mixtas ( E.N.E.M.) es aquelen el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia A con probabilidad 1 y el jugador nº 2emplea la estrategia X con probabilidad 1; es el Equilibrio de Nash que ya habíamoscalculado en estrategias puras, y no hay ninguno más.

(b) Resolviendo del mismo modo que el ejercicio anterior, los Equilibrios de Nashen estrategias puras son ( B, X ) y ( A, Y ):

Jugador nº 2

J u g a

d o r

n º 1

X Y

A 0, 0 1, 1 B 2, 2 0, 0

Puede ocurrir, no obstante, que exista algún otro Equilibrio de Nash en estrategiasmixtas. Lo calculamos, hallando en primer lugar la función de pagos de losindividuos, sus correspondientes funciones de reacción, y finalmente la intersecciónentre ellas.

1

1

0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ;

3 2


PJ p pq q


1 (1 3 ) [2 ] PJ p q q

p

q

1

1

2/7





Como se puede apreciar, si 1 3,q el valor del paréntesis es cero, por lo que el jugadornº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá en el pago que va arecibir.Dicho de otro modo, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 1/3

y por la estrategiaY con probabilidad 2/3, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pagoutilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal deambas.Por otro lado, siq tiene un valor inferior a 1/3, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valormás alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,

p debe valer 1.Finalmente, siq tiene un valor superior a 1/3, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valormás bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,

p deberá valer 0.

Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nosindica cuál es el p óptimo ( p*), en función del valor deq.

Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:

2

2

0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ;

3 2


PJ p pq q


2 (2 3 ) [ ] PJ q p p

Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes vaa obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues nodepende deq . El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocercuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador.

p

q

1

1

1/3





Fácilmente se puede apreciar que si p es 2/3, el valor del paréntesis será cero, por loque el jugador nº 2 estará indiferente por el valor de q, dado que siempre obtendráel mismo pago sea cual sea éste. Si p es menor de 2/3 el valor del paréntesis será positivo, por lo que lo óptimo para el jugador nº 2 será otorgar aq el valor 1 (esdecir, utilizar la estrategia X ), mientras que si p es mayor de 2/3, dado que el valordel paréntesis será negativo, debería utilizar la estrategiaY (o lo que es lo mismo,dar aq el valor cero).

Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nosindica cuál es elq óptimo (q*), en función del valor de p.

Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada uno de losdos individuos, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellosante cualquier estrategia que pueda seguir el otro, obtendremos, allí dondecoincidan, los Equilibrios de Nash.

En este caso, aparecen tres Equilibrios de Nash en estrategias mixtas (E.N.E.M.),que son los dos que ya conocíamos en estrategias puras y uno adicional. Éste es

aquel en el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia A con probabilidad 2/3 y la

1

p

q

12/3

1

p

q

12/3

1/3





estrategia B, por tanto, con probabilidad 1/3, y el jugador nº 2 emplea la estrategia X con probabilidad 1/3 y la estrategiaY con probabilidad 2/3:

E.N.E.M. (2 3 1 3 , 1 3 2 3 ). A B X Y

El E.N. que figura en la parte superior izquierda del gráfico es en el que p vale ceroy el valor deq es 1; es decir, ( B, X ). El de la parte inferior derecha se produce paraunos valores de p y de q, respectivamente, de uno y cero, por lo que se trata delE.N. ( , ). A Y

Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeoscorrespondientes donde se explica la teoría en mi página:

http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/juegos.html




ejercicioresueltodeequilibriodenashenpurasymixtas

Documents