1

MODELO DE EJERCICIO PARA EL PRIMER PARCIAL SOLUCIN

Ejercicio 1

El cuerpo 2 es un disco que rueda sin deslizar (Rodadura Pura) sobre una superficie curva fija que

tiene su centro de curvatura en O. El disco 2 tiene un Movimiento Plano General.

El cuerpo 3 es una barra que est conectada mediante el pasador B a la periferia del disco 2 y

mediante el pasador C a la periferia de la rueda dentada 4. El movimiento de esta barra es un

Movimiento Plano General.

El cuerpo 4 es una rueda dentada que se encuentra articulada a tierra mediante un pasador en su

centro, por lo tanto su movimiento es de Rotacin.

El cuerpo 5 es una cremallera la cual es accionada por la rueda dentada y se desplaza a lo largo de

una superficie recta inclinada y fija. Su movimiento es de Traslacin.

a) Grados de Libertad del Mecanismo

Par Inferior (RP) Par Inferior (Pasadores) Par Inferior (Contacto Superficial entre 5 y tierra)

GLM = 3(5 1) 2(6) 0

GLM = 0

Segn la ecuacin de Gruebler, este mecanismo no se mueve (GLM=0). Los mecanismos con ruedas dentadas no cumplen con el criterio de esta ecuacin y se conocen como Paradojas de Gruebler, es decir, sus eslabonamientos no se comportan como predice la ecuacin.

R21

R10

R10

60

A

5 C

4 2

3

33

B

O

2

b) Anlisis Vectorial de Velocidades y Aceleraciones

Anlisis de Velocidades (2 = + 3 k rad/s; porque su sentido es antihorario)

VB2 = 2 x rB/O12 = 3 k x (10 i + 17,32 j)

VB2 = 30 j 51,96 i

VB2 = VB3

VC3 = VB3 + VC3/B3

VC3 = VC4

VC4 = 4 x rC/O14 = 4 k x (10 i)

VC4 = 10 4 j

VC3/B3 = 3 x rC/B = 3 k x (25,71 i 17,32 j)

VC3/B3 = 25,713 j + 17,32 3 i

, y en

10 4 j = 30 j 51,96 i + 25,713 j +17,32 3 i

En i: 0 = 51,96 + 17,32 3 17,32 3 = 51,96

En j: 10 4 = 30 + 25,713 25,713 + 10 4 = 30

3 = 3 k rad/s

4 = 10,71 k rad/s

VP4 = 4 x rP/O14 = 10,71 k x (5,45 i 8,39 j)

VP4 = 58,37 j 89,86 i

VP4 = VP5

V5 = VP5

V5 = 58,37 j 89,86 i

3

Anlisis de Aceleraciones (2 = 2 k rad/s; porque el disco desacelera, es decir, la aceleracin

angular tiene sentido contrario a la velocidad angular 2)

AA2 = 2 x rA/O12 _ (VA)2 . rA/O (rA/O)2 AA2 = 2 k x (5 i + 8,66 j) _ (30)2 . (15,5 i + 26,85 j) (31)2

AA2 = 10 j + 17,32 i 14,52 i -25,15 j AA2 = 2,8 i 35,15 j

AB2 = AA2 + AtB2/A2 + AnB2/A2

AtB2/A2 = 2 x rB/A = 2 k x (5 i + 8,66 j)

AtB2/A2 = 10 j + 17,32 i

AnB2/A2 = (2)2 . rB/A = (3)2 . (5 i + 8,66 j)

AnB2/A2 = 45 i 77,94 j

, y en

AB2 = 2,8 i 35,15 j 10 j + 17,32 i 45 i 77,94 j

AB2 = 24,88 i 123,09 j

AB2 = AB3

AC3 = AB3 + AtC3/B3 + AnC3/B3

AC3= AC4

AC4 = 4 x rC/O14 (4)2 . rC/O14 = 4 k x ( 10 i) (10,71)2 . ( 10 i)

AC4 = 10 4 j + 1147,04 i

AtC3/B3 = 3 x rC/B = 3 k x (25,71 i 17,32 j)

AtC3/B3 = 25,713 j +17,32 3 i

AnC3/B3 = (3)2 . rC/B = (3)2 . (25,71 i 17,32 j)

AnC3/B3 = 231,39 i + 155,88 j

4

, , y en

10 4 j + 1147,04 i = 24,88 i 123,09 j25,713 j + 17,32 3 i 231,39 i + 155,88 j

En i: 1147,04 = 24,88 + 17,32 3 231,39 17,32 3 = 1403,31

En j: 10 4 = 123,09 + 25,713 + 155,88 25,713 + 10 4 = 32,79

3 = 81,02 k rad/s2

4 = 211,59 k rad/s2

AtP4 = 4 x rP/O14 = 211,59 k x (5,45 i 8,39 j)

AtP4 = 1153,17 j 1775,24 i

AtP4 = AtP5

A5 = AtP5

A5 = 1153,17 j 1775,24 i

GEOMETRA

R21

R10

R10

60

A

5 C

4 2

3

33

B

O

O12 O14

P

rB/O12 rC/B

rC/O14 rP/O14

33

60

5

rB/O12 = 20.cos 60 i + 20.sen 60 j = 10 i + 17,32 j

rC/B :

O12 B Q

BQ = 20.sen 60 = 17,32 cm

QO12 = 20.cos 60 = 10 cm

Q B C

QC2 = 312 17,322

QC= 25,71 cm

CO12 = QO12 + QC = 35,71 cm

sen = 17,32 / 31

= 33,97

rC/B= 25,71 i - 17,32 j

rC/O14 = 10 i

rP/O14 = 10.sen 33 i 10.cos 33 j = 5,45 i 8,39 j

rA/O12 = 10.cos 60 i + 10.sen 60 j = 5 i + 8,66 j

rA/O = 31.cos 60 i + 31.sen 60 j = 15,5 i + 26,85 j

rB/A = 10.cos 60 i + 10.sen 60 j = 5 i + 8,66 j

R21

60

A

C

20

B

O

O12

31

Q

60

R21

R10

60

A 2

O

O12

rA/O12

rB/A

B

R21

R10

60

A 2

O

O12

rA/O

B

6

c) Anlisis de Velocidades por CIR. Mtodo Eslabn-Eslabn

Ubicacin de O13, O24, O25 y O35

Los CIR por simple inspeccin son: O12, O14, O15, O23, O34 y O45. Estos CIR estn representados en

el crculo de control por lneas continuas.

CRCULO DE CONTROL

O13: (O12 O23) y (O14 O34)

O24: (O12 O14) y (O23 O34)

O25: (O12 O15) y (O24 O45)

O35: (O13 O15) y (O34 O45)

1

2

3 4

5

R21

R10

R10

60

A

5 C

4 2

3

33

B

O

O12 O14

P 33

60

O15

= O45

= O23

O34 =

7

Mtodo Eslabn-Eslabn

Para aplicar este mtodo es necesario ubicar los CIR absolutos de todos los cuerpos y los CIR

relativos de los cuerpos conectados, es decir, O12, O13, O14, O15, O23, O34 y O45.

VB2 = 2. rB/O12 = (3).(20)

VB2 = 60 cm/s

VB2 = VB3

VB3 = 3. rB/O13 3 = 60/20

3 = 3 rad/s

VC3 = 3. rC/O13 = (3). (35,71)

VC3 = 107,13 cm/s

VC3 = VC4

VC4 = . rC/O14 4 = 107,13/10

4 = 10,71 rad/s

VP4 = . rP/O14 = (10,71). (10)

VP4 = 107,1 cm/s

VP4 = VP5 = V5

V5 = 107,1 cm/s

R21

R10

R10

60

A

5

C

4 2

3

33

B

O

O12 = O13 O14

P

= O23

= O34 = O45

O15

O24 =

O25 = O35

2,3

VB2 = VB3

VC3 = VC4 4

VP4 = VP5

V5 Paralelas

8

d) Anlisis de Velocidades por CIR. Mtodo Directo

Para aplicar este mtodo es necesario ubicar los CIR absolutos del cuerpo del cual se tiene el dato

de velocidad y del cuerpo del cual se quiere determinar su velocidad, y el CIR relativo que conecta

a los cuerpos antes mencionados.

En este caso, se conoce la velocidad angular del disco 2 (2) y se quiere determinar la velocidad

de la cremallera 5 (V5). Por lo tanto, los CIR que se deben ubicar son O12, O15 y O25.

R21

R10

R10

60

A

5

C

4 2

3

33

B

O

O12 = O13 O14

P

= O23

= O45

O15

O24 =

O25 = O35

2 VO25

V5

33

33

= O34

C O12

P

O25

2

VO25 33

33

O14

10

10

33

9

= 33 + 90 = 123

O14 P C es un tringulo issceles (CO14 = O14P = 10 cm).

= (180 123)/2

= 28,5

O12 O25 C tambin es un tringulo issceles, ya que uno de sus ngulos es (ngulos

opuestos por el vrtice) y el ngulo obtuso es igual a (90+33= 123), por lo tanto:

O25O12 = CO12 = 35,71 cm

Analizando el CIR O25 como punto del cuerpo 2:

VO25 = 2. rO25/O12 = (3).(35,71)

VO25 = 107,13 cm/s

Analizando el CIR O25 como punto del cuerpo 5:

El cuerpo 5 est en Translacin, as que todos los puntos del cuerpo tendrn la misma

velocidad.

V5 = VO25

V5 = 107,13 cm/s

10

Ejercicio 2

Se aplicar el mtodo Eslabn-Eslabn ya que se requiere determinar la velocidad angular del cuerpo

3 y el cuerpo 4, as que ambos cuerpos deben analizarse. En este mtodo es necesario ubicar los

CIR Absolutos de los cuerpos y los CIR Relativos de los cuerpos conectados, es decir:

O12, O13, O14, O23, O24 y O34.

El cuerpo 2 (brazo ABC), gira alrededor del punto fijo A, lo cual quiere decir que su movimiento es

de Rotacin. El punto A es el CIR O12.

La rueda 4 est rodando por la parte interior de una rueda dentada fija, es decir, su movimiento es

un Movimiento Plano General y por ser ruedas dentadas existe Rodadura Pura en el contacto. El punto

de contacto entre 4 y la rueda fija es en consecuencia el CIR O14.

La rueda 3 tiene un Movimiento Plano General y por simple inspeccin no es posible determinar su

CIR Absoluto.

Los CIR por simple inspeccin son: O12, O14, O23, O24 y O34.

O12: Es el pasador A

O14: Es el punto de contacto entre 4 y la rueda fija.

O23: Es el pasador B

O24: Es el pasador C

O34: Es el punto de contacto P entre las ruedas 3 y 4.

Puede observarse que el nico CIR faltante es el O13.

2

3

4

O12

O14

P = O34

O23

O24

11

Cuando se traza el Crculo de Control se observa que todos los CIR se encuentran sobre la misma

lnea recta por lo cual no es posible intersectar lneas para ubicar el CIR O13.

En este caso analizaremos cules datos de velocidad se pueden conocer de la rueda 3 para aplicar

alguno de los casos de Ubicacin de CIR Absoluto de cuerpos en Movimiento Plano General.

VB2 = 2. rB/O12 = (5).(112,5)

VB2 = 562,5 mm/s

VB2 = VB3

VC2 = 2. rC/O12 = (5).(225)

VC2 = 1125 mm/s

VC2 = VC4

VC4 = . rC/O14 4 = 1125/75

4 = 15 rad/s

VP4 = 4. rP/O14 = (15).(150)

VP4 = 2250 mm/s

VP4 = VP3

De la rueda 3 se conocen ahora las velocidades de dos puntos sobre el cuerpo (B y P) que son

paralelas entre s y su direccin es perpendicular a la lnea que une a los puntos B y P.

2

4

O12

O14

VB2 = VB3

2

VC2 = VC4

4

VP4 = VP3

B= O23

O13

3

O24

P= O34

12

Ubicacin de O13

562,5 2250 x (x+37,5)

x = 12,5 mm

rP/O13 = 37,5 + 12,5 = 50 mm

VP3 = . rP/O13 3 = 2250/50

3 = 45 rad/s

VB3 = 562,5

VP3 = 2250

B

P

O13

37,5

x

3