Aquí tienes otro ejemplo de un sistema de 3 x 3, resuelto por medio del Método Gauss Jordan 

x₁+ x₂+ 2x₃= 9 2x₁+ 4x₂– 3x₃= 1 3x₁+ 6x₂– 5x₃= 0 

Estos son los Resultados, a los que hay que llegar 

x₁= 1 

x₂= 2 

x₃= 3 

➊ Para llegar al resultado debemos basarnos en la Matriz Identidad, debiendo, tener debajo y arriba de la Diagonal de la Matriz Identidad ceros, eso lo haremos mediante operaciones como suma resta multiplicación y división 

| 1 0 0 * | | 0 1 0 * | | 0 0 1 * | 

➋ Formamos Matriz con los Coeficientes 

| 1 1 ...2 9 | | 2 4 – 3 1 | | 3 6 – 5 0 | 

➌ Hacemos [0] , la 1ra Columna de las Filas 2 y 3, por medio de Columna 1 de la Fila 1 

F1 * [ -2] + F2 = F2 

- 2 – 2 – 4 - 18 ..2 ...4 – 3 ....1 ---------------------- ..0 ...2 – 7 – 17 → F2 

F1 * [ -3] + F3 = F3 

- 3 – 3– 6 – 27 ..3 ...6 – 5 ....0 ------------------------ 

..0 ...3 – 11 – 27 → F3 

➍ Rescribimos Matriz 

| 1 1 ...2…....9 | | 0 2 – 7 ..– 17 | | 0 3 – 11 – 27 | 

Basándonos en la matriz identidad, vamos a hacer [1], la Columna 2 de la Fila 2 

Dividimos F2/2 = F2 y rescribimos matriz 

F2 / 2 = F2 

| 1 1 ......2……...9 | | 0 1 – 7/2 ..– 17/2 | | 0 3 – 11 …..– 27 | 

➎ Ahora por medio de C2 de F2 hacemos [0] a C2 de F1 y F3 

F2 * [- 1] + F1 = F1 

0 – 1 7/2 17/2 1…1 ...2….9 -------------------- 1 ..0 11/2 35/2 → F1 

F2 * [- 3] + F3 = F3 

0 - 3 21/2..51/2 0…3 – 11 - 27 ----------------------- 0 …0 - 1/2 – 3/2 → F3 

➏ Rescribimos Matriz 

| 1 ..0 ..11/2.…35/2 | | 0 ..1 – 7/2 ..– 17/2 | | 0 ..0 ..- 1/2 ...– 3/2 | 

Basándonos en la matriz identidad, vamos a hacer [1], la Columna 3 de la Fila 3 

Multiplicamos F3 * [- 2 ] = F3 y rescribimos matriz 

| 1 ..0 ..11/2…35/2 .| | 0 ..1 – 7/2 .– 17/2 | | 0 ..0 …..1 ……..3 | 

➐ Ahora por medio de C3 de F3, vamos a hacer [0] a C3 de F1 y F2 

F3 * [- 11/2] + F1 = F1 

1 0 – 11/2 – 33/2 0 0…11/2 …35/2 -------------------------- 1 0 ……0…..1 → F1 

F3 * [7/2] + F2 = F2 

1 0 ...7/2 …21/2 0 0 – 7/2 – 17/2 ------------------------- 1 0 …0 ….....2 → F1 

➑ Rescribimos Matriz y nos queda 

| 1 0 0 1 | | 0 1 0 2 | | 0 0 1 3 | 

x₁= 1 

x₂= 2 

x₃ = 3 

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante

se conoce como: "forma escalonada". 

Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones

2x + y − z = 8, 

− 3x − y + 2z = − 11, 

− 2x + y + 2z = − 3 

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: 

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica. 

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es: 

2x + y − z = 8, 

1/2y + 1/2z = 1, 

2y +z = 5, Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y. 

2x − 2z = 6, 

1/2y + 1/2z = 1, 

− z = 1 Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z. 

2x = 4, 

1/2y = 3/2, 

− z = 1 Despejando, podemos ver las soluciones: x = 2, y = 3 y z = −1. 

Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: 

Primero: 2 1 -1 8 

-3 -1 2 -11 -2 1 2 -3 

Después, 2 0 0 4 0 1/2 0 3/2 0 0 -1 1 

Por último. 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 -1 

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta: 0 0 0 1 

Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.