Ejemplos de Estados de esfuerzos

Recordemos las ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal isotrópica usando las constantes de Lammé:!

Siendo los módulos elásticos:!

En forma explícita:!

Aunque ste caso se presenta rara vez en la Tierra excepto tal vez en los pilares de soporte en las minas, pero se puede encontrar en el laboratorio.!

Veamos algunos casos particulares de estados de esfuerzos elásticos por medio de las ecuaciones! constitutivas:!!! Eqs. 1!1)  Esfuerzo Uniaxial!!!!!!!!!

Módulo de Young!

Módulo de Poisson!

Para rocas típicamente es de 0.15 a 0.30, !Para un sólido de Poisson (λ =µ) ν = 0.25!Para un líquido, podemos suponer µ = 0, por lo que ν = 0.5!

Para describir los fenómenos de la corteza es común emplear dos estados de referencia básicos. Estos se pueden visualizar como en rocas no sujetas a esfuerzos tectónicos, o rocas recien formadas.!

2 . Estado de esfuerzos litostático!

Pc es la presión confinante o litostática!

Sumando las ecuaciones constitutivas (Eqs.1) y dividiendo por 3 ( el esfuerzo promedio ):!

Κ es el Módulo de incompresibilidad y su recíproco κ es la compresibilidad!

El estado litostático se puede desarrollar si la roca no tiene resistencia al corte a largo plazo. Sin embargo, a pesar de que algunas rocas como las lutitas y la halita tienen muy poca resistencia al corte, los experimentos han mostrado que todos los tipos de rocas soportan al menos un pequeño esfuerzo diferencial por largos períodos. !!El calor puede causar que las rocas se relajen pero no llegan a alcanzar un estado litostático. En algunos casos los petrólogos se refieren a la “Presión” a la que se forma una roca metamórfica y que se aproxima al estado litostático aunque las rocas siempre guardan un poco de resistencia al corte. !!El geólogo estructural se refiere a la “Presión” cuando habla de un fluído en los poros de una roca u otro material sin resistencia al corte.!

3 . Deformación uniaxial!Basado en el postulado de que la deformación es nula a través de todos las planos verticales. Este se puede suponer que se aproxima al estado de los sedimentos de reciente formación, es decir, del suelo (Terzaghi, 1952).!

En este caso!

Podemos visualizar este estado como si las rocas adyacentes no permitieran una deformación horizontal.!

En este caso el esfuerzo vertical es!

Y los esfuerzos horizontales!

Se pueden calcular con la razón de Poisson usando las ecuaciones anteriores:!

Aplicamos un esfuerzo de tipo litostático a una muestra resultando una dilatación de -10-4. Las tres constantes elásticas del material son:!C11 = 50 GPa, C12 = 40 GPa and C44 = 32 GPa. !!Escribir una expresión para la Ley Generalizada de Hook en este caso y calcular el esfuerzo litostático aplicado. !!

Ejercicio!

Sabemos que la dilatación es la suma de las componentes principales de la deformación: !!

! !θ = e1 + e2 + e3 = -10-4!

!Usando la condición litostática esto implica que:!! e1 = e2 = e3 = -0.333 x10-4!siendo!

! ! e4 = e5 = e6 = 0!La Ley de Hooke en forma compacta la escribimos:!

! ! ! ! σi = Cij ej Por lo que:!!El esfuerzo litostático aplicado es por lo tanto: !

! ! !σp = σ1 = (50 + 40 + 40)(-0.333) 106 10-4 Pa!! ! ! ! = -130 x 0.333 x 102 = -4333 Pa = -4.333 kPa!

que es el mismo para σ2 y σ3!!

Solución!