ejemplo del método de aproximación de vogel

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGELEl método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución

de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial

de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente

mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este

fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

ALGORITMO DE VOGEL

El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos

fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.

PASO 1Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los

dos costos menores en filas y columnas.

PASO 2Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta

realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber

empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).

PASO 3De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior

debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor

cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o

demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de

empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a

cero (0).

PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o

demanda, detenerse.

- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva,

determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos

mínimos, detenerse.

- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y

demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo,

detenerse.

- Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que

las ofertas y las demandas se hayan agotado.

EJEMPLO DEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

Por medio de este método resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en

módulos anteriores mediante programación lineal.

EL PROBLEMAUna empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación

para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá,

Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45

millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de

Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al

día respectivamente.

Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW

entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

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Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las

necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos

asociados al transporte.

SOLUCIÓN PASO A PASOEl primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el

tabulado de costos, tal como se muestra a continuación.


El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:


El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla

paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar

como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como

máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".


Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60

unidades) esta debe desaparecer.


Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso


Iniciamos una nueva iteración


Continuamos con las iteraciones,


Iniciamos otra iteración


Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin

tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y

hemos concluido el método.

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo

desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución,

arrojando mejores resultados que métodos como el de laesquina noroeste,

dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos.

El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores

dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de

unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda

menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.

ALGORITMO DEL COSTO MÍNIMOPASO 1:De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este

se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades

posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o

de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de

la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea

0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se

elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según

sea el caso.

PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo

renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método,

"detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso

iniciar nuevamente el "Paso 1".

EJEMPLO DEL MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

Por medio de este método resolveremos el problema de transporte propuesto y

resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.













SOLUCIÓN PASO A PASO


Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de

la "Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin

demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.


Nuevo proceso de asignación






Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará

una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método.


El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente)

queda así:

Los costos asociados a la distribución son:

MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTEEl método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de

solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de

una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin

que esto implique que se alcance el costo óptimo total.

Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de

su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número

de fuentes y destinos sea muy elevado.

Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o

esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se

basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dado que podemos

encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE LA ESQUINA NOROESTE

Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que

representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo

debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina

superior izquierda).


PASO 1:En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima

cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las

restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a

ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad

asignada a la celda.

PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea

0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se

elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según

sea el caso.

PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo

renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método,

"detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso

iniciar nuevamente el "Paso 1".

EJEMPLO DEL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Por medio de este método resolveremos el problema de transporte propuesto y

resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.













SOLUCIÓN PASO A PASO


Ahora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de

Cali y a la oferta de la "Planta 1", en un procedimiento muy lógico. Dado que la

demanda de Cali una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procede

a eliminar la columna. El proceso de asignación nuevamente se repite.


Continuamos con las iteraciones.


En este caso nos encontramos frente a la elección de la fila o columna a

eliminar (tachar), sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual

eliminemos la fila o columna que presente los costos más elevados. En este

caso la "Planta 2".

Nueva iteración.


Una vez finalizada esta asignación, se elimina la "Planta 3" que ya ha sido

satisfecha con la asignación de 60 unidades, por ende nos queda una sola fila

a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos

finalizado el método.


El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente)

queda así:


Los costos asociados a la distribución son:

Método del Cruce del arrollo

El método del cruce del arrollo también llamado algoritmo de Stepping –Stone, es un

método de programación lineal que consiste en calcular cuál sería la variación del costo

del envio de una unidad de cierto producto por cada una de las ruta posibles, es decir

asignar cierta cantidad de artículos desde varios origines (fabricas) a un conjunto de

destinos (clientes) de tal manera que se disminuyan los costos, hasta optimizar la función

objetivo.

Para mostrar el funcionamiento de este método Vamos a determinar la solución optima del

siguiente modelo con el método del cruce del arrollo

DESTINOS

Fuentes 1 2 3 4 Oferta

1 10 0 20 11 15

2 12 7 9 20 25

3 0 14 16 18 5

Demanda 5 15 15 10 45

Tenemos 4 destinos y 3 fuentes cada fuente es de donde va a salir el material, y los

destinos serian los clientes.

En la parte inferior de la tabla tenemos la demanda de cada cliente y en la parte derecha la

oferta de cada fuente

Queremos determinar cuánto material enviar de cada fuente a cada destino minimizando

los costos, en la parte superior derecha están el costo de envió cada celda, por ejemplo

por cada artículo que se envié de la fuente dos al cliente dos tendrá un costo de 7

unidades monetarias.

1. El primer paso es verificar que la oferta y la demanda son iguales, en cuanto a la

oferta15+25+5 serian 45 y la demanda seria 5+15+15+10 igual a 45, es decir que

son iguales

2. Hallar la solución inicial factible ya sea por el método de la esquina noroeste,

costo mínimo o aproximación de vogél, una vez hallada, se calcula la solución es

decir Z y verificamos si la solución es degenerada con la formula numero de

columnas mas numero de filas menos uno debe ser menor o igual al numero de

celda vacias ( #C + #F – 1 ≤ # celdas vacias)

DESTINOS

Fuentes 1 2 3 4 Oferta

1 10 0 20 11 15

2 12 7 9 20 25

3 0 14 16 18 5

Demanda 5 15 15 10 45

Z= 410

F+C-1 ≤numero de casillas llenas 4+3-1 ≤6 si se cumple

1. Luego pasamos esta solución a una nueva tabla para hacer la primera iteración

iniciamos colocando el número 10 en la parte derecha de la primera fila, también

puedes ser un cero por ejemplo y dará el mismo resultado, El numero 10 va a

representar toda la primera fila, así que procedemos a restar el costo de las

casillas llenas menos el numero 10.10 menos 10, cero, este número se coloca en

la parte arriba, luego 0 menos 10… Menos 10, no continuamos porque las

siguientes son vacías, así que continuamos con el -10 que representa la segunda

columna

2.

1. Debido a que se necesita hallar una solución optima mejor que la anterior hay que

asignarle una cantidad de material a una de las celdas vacías, así que

comenzamos a sumar los números que hayamos, en cada casilla vacia se suma el

numero de la fila mas el de la calumna.

Se marca con un punto las casillas en que la cantidad de material sea mayor al costo en

este caso son 17, 15 y 13, a la casilla que le vamos a asignar el material es a la que tenga

el menor costo de trasporte, en este caso es el 15 , pero si le asignamos un valor a esta

casilla la primera columna y la última fila quedan con material de sobra, por esto le

https://invdoperaciones.files.wordpress.com/2012/06/8.png

restamos esta misma cantidad a la fila y la columna, luego la primera fila queda con menos

material, por esto se le suma esta misma cantidad a la casilla del 10, entonces la segunda

columna queda con exceso de material, así q se le resta esta misma cantidad a la celda

siguiente que sería el 5 y finalmente para equilibrar la segunda fila se suma este valor a la

casilla del5 y de esta manera cerramos el ciclo, y la cantidad de material asignado que se

sumara y restara en las casillas será el menor valor de las casillas con signo negativo, en

este caso sería el 5

Luego repetimos una vez más el ciclo desde el paso 3, hallamos la solución Z y si la

solución es degenerada:

Hallamos el costo en esta solución optima y obtenemos

Z= 15(9)+10(20)= 335

De lo cual podemos observar que el costo mínimo es menor al hallado anteriormente.

Luego procedemos a verificar si la solución es degenerada #F + #C-1≤ casillas llenas

de lo cual tenemos: 4+3-1 ≤ 4

Debido a que no se cumple al inecuación podemos deducir que esta solución si es

degenerada por lo cual necesitaremos una cantidad muy pequeña llamada épsilon (E ) su

valor tiende a cero , serian dos para cumplir la desigualdad. Al finalizar obtenemos la

siguiente tabla y repetimos el ciclo. Sabremos que hemos terminado una vez el costo

mínimo (Z) deja de disminuir o deja de haber casillas marcadas con *

Z=7(10)+15(9)+10(11)=315

https://invdoperaciones.files.wordpress.com/2012/06/ciclo11.png

https://invdoperaciones.files.wordpress.com/2012/06/ciclo-2.png

es decir que el costo disminuyo

Verificamos si la solución es degenerada y obtenemos 4+3-1≤5 no se cumple la

inecuación, por lo cual necesitamos un épsilon, Al finalizar obtenemos la siguiente

solución.

Si embargo en este caso no hay ninguna casilla en la que se pueda marcar * por lo cual la

respuesta con un costo de Z=315 es:

Método Modificado de distribución (Modi)

Partiendo de la solución básica factible encontrada por el método de vogel, aplicamos el

método de modi, para averiguar cual es la variable no básica que debe entrar y cual

la variable básica que debe salir. para ello efectuamos los siguientes pasos:

1. Construimos una tabla de costos para las variables básicas y en ella calculamos los

ui y los vj que cumplan Cij – ui – vj = 0

2. Construimos una tabla de costos ó coeficientes en la función objetiva para las

variables no básicas cuyo valor es Cij – ui – vj



https://profmgodoy.wordpress.com/2013/02/28/metodo-de-transporte/modi/#main

Z = 2.650

Solución básica factible no degenerada lograda mediante el método de vogel, con m+n-

1=8 variables básicas. Tabla de costos para las variables básicas Calculamos los ui ^ vj de

tal forma que Cij – ui – vj = 0.

Se Asigna el primer valor de ui ó de

vj arbitrariamente, preferentemente 0 (Puede ser cualquier valor) en la fila ó columna, que

tenga a mayor cantidad de asignaciones (Variables Básicas), para nuestro caso,

fila 3 ó columna 5. Con base en éste primer valor, calculamos todos los ui y vj,

aplicando Cij – ui – vj = 0, para ui = Cij

V1 = C21 – u2 = 15 – 0 = 15

V3 = C23 – u2 = 13 – 0 = 13 V5 = C25 – u2 = 16 – 0 = 16

u1 = C15 – v5 = 16 – 16 = 0 U3 = C33 – v3 = 18 -13 = 5

u5 = C45 – v5 = 0 – 16 = -16 V2 = C32 – u3 = 15 – 5 = 10

V5 = C45 – u5 = 0 – (-16) = 16

Observe que el cálculo para cualquier ui ,es el costo menos el respectivo vj

y para cualquier vj, es el costo menos el respectivo ui

Tabla de costos para las variables no básicas Cij-ui -vj , así:

C11 – u1 – v1 = 20 – 0 – 15 = 5

C12 – u1 – v2 = 19 – 0 – 10 = 9

C13 – u1 – v3 = 14 – 0 – 13 = 1

https://profmgodoy.wordpress.com/2013/02/28/metodo-de-transporte/modi1/#main


C14 – u1 – v4 = 21 – 0 – 16 = 5

C 22 – u2 –v2 = 20 – 0 – 10 = 10

C24 – u2 –v4 = 19 – 0 – 16 = 3

C31 – u3 – v1 = 18 – 5 – 15 = -2

C34 – u3 – v4 = 20 – 5 – 16 = -1

C35 – u3 – v5 = M – 5 –16 = M-21

C41 – u4 – v1 = 0 – (-16) – 15 = 1 C42 – u4 – v2 = 0 – (-16) – 10 = 6

C43 – u4 – v3 = 0 – (-16) – 13 = 3

Observe que éstos cálculos se pueden hacer directamente sobre la tabla, aplicando para

las casillas de las variables no básicas Cij – ui – vj

Fíjese que en ésta última tabla, están todos los coeficientes de las variables no básicas

en la función objetiva, después de haber sumado múltiplos de las restricciones a la

función objetivo para eliminar las variables básicas. La nueva función objetivo es:

Z = 5X11 + 9X12 + X13 + 5X14 + 10X22 + 3X24 -2X31-X34 + (M-21)X35 + X41 + 6X42 +

3X43 + 2.650

La variable que al crecer hace que Z disminuya más es X31 , luego escogemos ésta

variable para entrar a la base.

Observe que en la tabla de costos para las variables no básicas se encuentran los valores

en que aumenta ó disminuye Z por cada unidad de crecimiento de las variables no

básicas.

Identificada la variable para entrar (X31), debemos determinar la variable para salir,

que debe ser aquella que primero se vuelva cero (0) a medida que la variable que entra

crezca. para ello, construimos un circuito cerrado de (+) y (-), empezando, sumando en la

casilla de la variable que entra X31. Observe que el circuito de (+) y (-) tiene como objetivo

preservar la suma de las filas y de las columnas, esto es, seguir satisfaciendo la oferta y la

demanda, conservando la factibilidad del problema.

Z=2.650 ; Variable que entra X31. Fíjese que

a medida que X31 crece, X21 y X33 decrecen en la misma cantidad. Aquí X21 y X33

llegan a cero al mismo tiempo. Escogemos arbitrariamente a X33 como variable que sale y

a X21 al restarle 30 quedará con un valor de ε ≅ 0


Z=(40)(15)+(0)(15)+(50)(13)+(10)(16)+(30)

(18)+ (40)(15)+(40)(0)+(10)(0) = 2.590

. Fíjese que m+n-1=8

. X21 es variable básica = 0

. La oferta es igual a la demanda.

. Z disminuye en 60 unidades; 2(30)=60 ⇒ 2.650 – 60 = 2.590

La pregunta aquí es: Ésta es la solución óptima?, la respuesta la conoceremos cuando

calculemos la nueva tabla de costos para las variables no básicas.

Tabla de costos para las variables básicas: Cij – ui – vj = 0

Tabla de costos para las variables no básicas: Cij – ui– vj

Fíjese que todos son > 0 ⇒ Estamos en la solución óptima

Solución óptima Variables básicas: X15* = 40

X21* = ε = 0

X23* = 50 X25* = 10



X31* = 30 X32* = 40

X54* = 40 X55* = 10

Z* = 40(16)+0(15)+50(13)+10(16)+30(18)+40(15)+ 40(0) +10(0) = 2.590

Interpretación de la solución

La forma óptima de hacer los envíos desde las fábricas (1,2,3) a los

distribuidores (1,2,3,4,5) para que los costos totales del transporte sean mínimos es:

Desde la fábrica 1 al distribuidor 5 enviar 40 unidades, a un costo de: $ 640





Total de unidades enviadas 170, a un costo total de $2.590

Observe que el distribuidor 4 se quedará sin sus 40 unidades y que el distribuidor 5 sin

sus 10 unidades, en total quedará una demanda insatisfecha de 50 unidades (Información

que conocimos desde el principio), lo relevante aquí, es que ahora sabemos a quien no

enviarle las 50 unidades que no tienen los distribuidores y que podemos tomar

decisiones administrativas referentes a la demanda no cubierta, tales como:

1. Conseguir las 50 unidades a través de la competencia agremiada, como consecuencia

de acuerdos previamente establecidos.

2. Acordar con el distribuidor 4 y 5 cubrir dicha demanda en el periodo de

producción siguiente.

3. Otras decisiones podrán ser tomadas en concordancia con la situación real

ejemplo del método de aproximación de vogel

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