Ejemplo 1.1 La compaa Reddy MikksReddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos bsicos del problema:Ton de materia prima

Pinturas para exterioresPinturas para interioresDisponibilidad diaria mxima (ton)

Materia prima M16424

Materia prima M2126

Unidad por ton (miles de $)54

Fuente: Tabla extrada de Investigacin de operaciones de Taha. Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que una tonelada ms que la pintura para exteriores. Tambin, que la demanda mxima de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla ptima (la mejor), de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. El modelo de programacin lineal, como en cualquier modelo de investigacin de operaciones, presenta tres componentes bsicos:1.- Las variables de decisin que se trata de determinar.2.- El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.3.- Las restricciones que se deben satisfacer. La definicin correcta de las variables de decisin es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez realizada, la tarea de construir la funcin objetivo y las restricciones, se hace de manera ms directa. Para este problema, se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. De esta forma, las variables del modelo se definen como sigue: X1 = Toneladas producidas diariamente de pintura para exteriores. X2 = Toneladas de pintura producidas diariamente para interiores. Para determinar la funcin objetivo, la empresa desea incrementar sus utilidades todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dlares), el objetivo de la empresa se expresa as:Maximizar Z = A continuacin se definirn las restricciones que limitarn el empleo de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente de la siguiente manera:

De acuerdo a los datos del problema, Utilizacin de la materia prima M1, por da = toneladasUtilizacin de la materia prima M2, por da = toneladasComo la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 est limitada a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue: (Materia prima M1) (Materia prima M2) La primera restriccin de la demanda indica que la diferencia entre la produccin diaria de pinturas para interiores y exteriores, no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en . La segunda restriccin de la demanda establece que la demanda diaria mxima de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como Una restriccin implcita (que se sobreentiende) es que las variables X1 y X2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad, expresan ese requisito.El modelo de Reddy Mikks completo es pues:Maximizar Sujeta a: Cualquier valor de x1 y X2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solucin factible. Por ejemplo, la solucin x1 = 3 toneladas diarias y X2=1 tonelada diaria es factible, porque no viola alguna de las restricciones incluyendo las de no negatividad. Para constatar este resultado, sustituimos X1=3, X2=1 en el lado izquierdo de cada restriccin.Por ejemplo, en la primera restriccin, que es menor que 24 en el lado derecho. El valor de la funcin objetivo correspondiente a la solucin () es .Desde el punto de vista de todo el modelo, lo que nos interesa es determinar la solucin ptima factible que produzca la utilidad total mxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones. Debe tenerse en cuenta que no es aceptable enumerar las soluciones factibles porque el modelo presenta un nmero infinito de ellas. Para ello se requiere de un procedimiento sistemtico que ubique eficientemente la solucin ptima.

El procedimiento de solucin grfica comprende estos dos pasos:1.-Determinacin del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo.2.- Determinacin de la solucin ptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.Paso 1. Determinacin del espacio de soluciones factibles:Primero, se tendrn en cuenta todas las restricciones de no negatividad y En la fig. sig. El eje horizontal X1 y el eje vertical X2 representan las variables pintura para exteriores y pintura para interiores, respectivamente. Como consecuencia, las restricciones de no negatividad limitan el rea del espacio de soluciones al primer cuadrante: arriba del eje X1 y a la derecha del eje X2. Teniendo en cuenta las otras cuatro restricciones, primero sustituimos cada desigualdad con una ecuacin, y a continuacin se grafica la recta resultante, ubicando dos puntos diferentes de ella. Por ejemplo, despus de sustituir con la recta , se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualando X1=0 para obtener y luego igualando para obtener De esta manera la recta que pasa por los dos puntos (0,6) y (4,0) es la que se identifica con (1) en la figura. A continuacin se considerar el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace la desigualdad es dividir al plano en dos semiespacios que en este caso son semiplanos, uno a cada lado de la lnea graficada. Slo una de esas dos mitades satisface

la desigualdad. Para determinar cul es el lado correcto, se elige un cualquier punto de referencia en el primer cuadrante. Si satisface la desigualdad, el lado en el que se encuentra, es el semiplano factible. En caso contrario, significa que es el otro lado. Desde el punto de vista de los clculos, es cmodo seleccionar al origen (0,0) del sistema de coordenadas como el punto de referencia, a menos que la recta pase por este punto, de ser as, se deber elegir otro punto.La utilizacin del punto de referencia (0,0) se ilustra con la restriccin Como y es menor que 24, el semiplano que representa la desigualdad incluye al origen (lo cual queda indicado con la flecha en la fig.1). Para demostrar el empleo de otros puntos de referencia, asignaremos el punto (6,0). Luego queda como el cual es mayor que el lado derecho de la primera restriccin y eso indica que el lado en el que se encuentra (6,0) no es factible para la desigualdad. Este resultando es consistente con el que se obtuvo usando (0,0) como punto de referencia.Con la aplicacin del procedimiento del punto de referencia a todas las restricciones del modelo, se obtiene el espacio factible indicado en la fig.1.Paso 2.- determinacin de la solucin ptimaEl espacio factible de la fig.1 est delineado por los segmentos de recta que unen a los vrtices A,B,C, D, E y F. Todo punto dentro o en la frontera del espacio ABCDEF es factible, porque quedan satisfechas todas las restricciones. Ya que el espacio factible ABCDEF se encuentra formado por una cantidad infinita de puntos, se vuelve obvio que se necesita un procedimiento sistemtico para identificar la solucin ptima. Para identificar sta solucin ptima, se requiere identificar la direccin en la que aumenta la funcin utilidad (conviene recordar que estamos maximizando a Z). Para lograrlo asignamos valores arbitrarios crecientes a Z. como ejemplo, si Z=10 y Z=15 equivaldra a graficar las dos rectas como consecuencia, la direccin de aumento en Z se mira en la fig.2. La solucin ptima se encuentra en C, que es el punto, en el espacio, de soluciones, ms all del cual cualquier aumento en Z saca a uno de las fronteras de ABCDEF. Los valores pues, de X1 y X2, correspondientes al punto ptimo C se calculan resolviendo las ecuaciones asociadas a las rectas (1) y (2) esto es, resolviendo La solucin es x1=3 y X2=1.5 y en este caso Esto es equivalente a una mezcla de productos de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 de toneladas de pintura par interiores donde la utilidad ptima diaria correspondiente es $21,000

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