7/18/2019 Ejemplo 1

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Ejemplo 1

Para el sorteo de la Lotería Nacional se introducen en un bombo 10 bolas

numeradas con los dígitos del 0 al 9. Para elegir el número premiado se

realizan 5 extracciones de bolas con reemplazamiento, es decir, devolviendo la bola al bombo despus de cada extracci!n.

Podemos considerar este sorteo como un experimento aleatorio, pues aun"ue

lo realicemos en las mismas condiciones, los resultados "ue se obtendrían

serían di#erentes. $e antemano sabemos cu%les son los posibles resulta dos

"ue podemos obtener& 00000' 00001. m. 99999.

(l con)unto de estos resultados constitu*e el espacio muestral&π 

 + 00000'00001. m, 99999-

ada uno de estos resultados es un suceso elemental. /u%ntos posibles

resultados podemos obtener (l número de resultados posibles ser%n las

venaciones con repetici!n de 1$ elementos toma dos de 5 en 5' sí, el espacio

muestral ser% el con)unto de las 10,5

variaciones con repetici!n.

lgunos e)emplos de sucesos pueden ser los siguientes&

#obtener el primer premio2& este suceso es elemental puesto "ue es un

subcon)unto #orm ado por solo un punto muestral.

3i el reintegro se consigue con a"uellos números cu*a última ci#ra coincida

con la del primer premio * de#inimos el suceso

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Probabilidad de eventos compuestos

Eventos incompatibles

3upongamos "ue tiras un dado * "uieres determinar la probabilidad de "ueaparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10. Para "ue sea múltiplo de

tres, tenemos los casos& 4, Para "ue sea un divisor de 10, tenemos los casos&

1, 6, 5 7bserva "ue es imposible "ue se cumplan ambos eventos, *a "ue no

8a* ningún elemento común. (n este caso se dice "ue son eventos

incompatibles. La probabilidad de "ue aparezca un número múltiplo de tres o

divisor de 10 es, entonces&

(n general, si * son eventos incompatibles, la probabilidad del evento :

o ; se calcula mediante la suma de sus probabilidades. 3e supone "ue puede

ocurrir o puede ocurrir , pero la intersecci!n es vacía, pues no 8a*

elementos compatibles.

Por tanto& P< = > + P<> ? P<>

Eventos compatibles

3upongamos a8ora "ue vamos a extraer una carta de un mazo ingls de 56

cartas * "ueremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trbol.

Para "ue sea un as 8a* cuatro posibilidades, pero la probabilidad es

Para sacar un trbol 8a* trece posibilidades, pero la probabilidad es

Pero en este caso 8a* un elemento "ue es común a ambos eventos <el as de

trbol>, * por lo tanto los casos #avorables serían @ ? 14 A1 + 1' en trminos

de probabilidades sería e"uivalente a a#irmar "ue&

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Por lo tanto, si * son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir

ambos simult%neamente, la probabilidad se calcula mediante la suma de las probabilidades, menos la probabilidad de "ue se cumplan ambos, esto es&

Eventos independientes

3e dice "ue dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no

a#ecta la ocurrencia del otro. 3i tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de "ue en todas las ocasiones salga cara responde a eventos

independientes, *a "ue el resultado de un lanzamiento no a#ecta lo "ue va*a a

ocurrir en el pr!ximo. 3i con#iguramos un :diagrama de %rbol; para el conteo

de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el

siguiente gr%#ico&

3egún este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es , lo

"ue es e"uivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada

lanzamiento&

P<cara, cara * cara> +

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(n trminos de la #recuencia relativa, lo anterior es e"uivalente a pensar "ue al

lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara

<idealmente> la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo

lanzamiento, * la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad' por lo

tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. $ea"uí "ue la #recuencia relativa de las veces "ue saldría cara en los tres

lanzamientos es&

(n general, si * son eventos independientes, entonces la probabilidad de

"ue ocurran ambos es igual a la multiplicaci!n de sus probabilidades, es decir,se cumple "ue&