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MATEMÁTICADISEÑO CURRICULARSegundo Ciclo
Autores: •YudithVivianaMurugarren •OlgaNélidaVírgola
FUNDAMENTACIÓN
“…No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática sin preguntarse al mismo tiempo qué son las
matemáticas, en qué consisten y para qué sirve hacer matemáticas …”Chevallard, Bosch y Gascón
Los conocimientos matemáticos se ge-neraron y transformaron dando respuesta a problemas en distintos contextos sociales y culturales. A lo largo de la historia se fueron construyendo no sólo modos particulares de pensar y producir los saberes matemáticos, sino también diferentes procedimientos, modos de tratamiento de la información y medios de representación y comunicación.
En cada momento cultural, la matemá-tica se fue configurando como una creación humana y los problemas que dieron origen a los saberes, le dan sentido a la matemática producida.
La escuela asume la responsabilidad de brindar a los alumnos la oportunidad de apropiarse de los saberes matemáticos que como productos culturales, la sociedad con-sidera valiosos. En la actualidad la educación de nuestra provincia enfrenta el desafío de la democratización de la cultura y por ser la matemática parte de esa cultura es esencial que su enseñanza alcance a todos, aceptan-do las diferencias y haciéndose cargo de la diversidad. Es decir que todos los alumnos puedan acceder a los conocimientos y a los valores de la cultura matemática.
Desde la enseñanza, se plantearán situa-ciones que promuevan en los alumnos una actividad de producción de conocimientos que guarde cierta analogía con el quehacer de los matemáticos, es decir que se apropien tanto de los saberes matemáticos como de los modos de producción de esos saberes, considerando que aprender es construir los conocimientos mediante un proceso similar al que realizan los matemáticos cuando pro-ducen los conocimientos que se enseñan. En términos de Charlot1 (1986) “…No se trata que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática don-de la actividad que ellos desarrollan tenga el mismo sentido que el de los matemáti-cos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos”.
En este sentido, se trata de convertir el aula en un espacio en el que los alumnos aprendan a mirar la realidad matemática-mente, entrar en la lógica del pensamiento y del lenguaje matemático, usando las formas y los significados que le son propios, favore-ciendo la formación científica inicial (alfabe-tización científica).
Se concibe entonces, que “hacer mate-mática” en la escuela implica generar una actividad de reconstrucción de conocimien-tos que permita a los alumnos confiar en sus posibilidades para resolver problemas y dis-poner de conocimientos matemáticos. Esta actividad determina en cierto modo, la idea que van configurando acerca de lo que es la matemática y cómo se relacionan con ella.
1 BERTRAND Charlot. Conferencia sobre las concepciones de matemática implícitas en la enseñanza. Cannes (1986)
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Es decir que su actitud hacia la matemática depende de las experiencias de conocer y utilizar los conocimientos matemáticos.
Por otra parte, crear un espacio de pro-ducción de conocimientos, supone consi-derar esencial la intencionalidad de la en-señanza. Recuperar su centralidad significa destacar el rol fundamental de los docentes en su función de enseñar y constituye una de las finalidades definida en los lineamientos políticos pedagógicos de la provincia.
Plantear un proyecto de enseñanza que involucre a los alumnos en procesos de producción de conocimientos implica pro-poner situaciones que les permitan pensar, ensayar, explorar, representar, argumentar, discutir, poner en juego lo que saben, comu-nicar ideas, aceptar las ideas de otros…Y es allí donde resulta esencial la intervención de los docentes para que los conocimientos que circularon en la clase se reconozcan como saberes matemáticos.
“…Un alumno no hace matemática si no se plantea y no resuelve problemas…” estas palabras de Brousseau2 reconocen y afirman la importancia de la resolución de proble-mas como actividad propia de la producción de conocimientos matemáticos.
Un problema se concibe como una situa-
ción que genera un obstáculo a vencer, que promueve la búsqueda de una solución a partir de poner en juego los conocimientos disponibles, “...es un desafío para actuar. Tiene que permitirles a los alumnos ima-ginar y emprender algunas acciones para resolverlo...”3
Pero, para construir el sentido de un co-nocimiento es necesario que los alumnos no se enfrenten a un único problema, sino a múltiples problemas que esa noción permite resolver.
En el proceso de resolución de proble-
2 BROUSSEAU, Guy, matemático e investigador de la escuela francesa
3 SAIZ, Irma; PARRA, Cecilia, en Enseñar aritmética a los más chicos”. Editorial Homo Sapiens (2007)
mas el alumno: busca entre todos sus cono-cimientos matemáticos aquellos que consi-dera pertinentes, toma decisiones y anticipa posibles resultados. Al rechazar los que no le resultan útiles e implicarse en la búsqueda de nuevos modos de resolución, avanza en sus conocimientos. Pero los conocimientos se generan no sólo resolviendo problemas sino que es esencial que se propongan re-flexiones acerca de lo realizado y de los pro-cedimientos utilizados.
Concibiendo que aprender matemática implica resolver problemas y reflexionar acerca de ellos, es tarea del equipo do-cente seleccionar propuestas de trabajo, organizar discusiones y analizar diferen-tes aspectos de la producción. En muchas ocasiones la actividad problematizadora puede ser un juego, en tanto represente un desafío que incentiva a los alumnos, es-timula su creatividad y promueve su parti-cipación activa.
En toda situación de enseñanza, la inter-vención docente estará orientada a organi-zar espacios de participación de los alumnos, promoviendo que expliciten, justifiquen y validen sus producciones, a la vez que evo-lucionan hacia un aprendizaje cada vez más autónomo.
Las interacciones entre pares resultan, entonces, esenciales en la producción de conocimientos dado que comunicar procedi-mientos, tratar de comprender la resolución de un compañero, argumentar para defen-der su punto de vista favorece la búsqueda de explicaciones, el establecimiento de rela-ciones entre nociones y el avance en nuevas conceptualizaciones.
En síntesis y coincidiendo con numerosos especialistas en didáctica de la matemática se sostiene que “hacer matemática” es un trabajo del pensamiento que permite cons-truir conocimientos resolviendo problemas, es también establecer la validez de lo produ-cido, es decidir la certeza o no de los resul-tados, es comunicar, comparar, confrontar procedimientos, es crear, reflexionar, produ-cir, representar…
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Los alumnos aprenden, actuando, pen-sando, reflexionando sobre lo que hacen y lo que imaginan, y lo que aprenden está re-lacionado con cómo lo aprenden y cómo se implican en la tarea.
Creemos que es posible crear en la es-cuela las condiciones para que la matemá-tica pueda ser accesible a todos, que todos los alumnos puedan apropiarse de los co-nocimientos matemáticos, de los modos de pensar y sobretodo que el conocimiento los convoque, los desafíe, los inquiete…
PROPÓSITOSGENERALES
En el Segundo Ciclo de la Escuela Prima-ria se propondrán situaciones de enseñanza que permitan:
• Crear espacios de producción de co-nocimientos en los que los alumnos se apropien tanto de los saberes como de los modos de producción de esos saberes, recuperando y pro-fundizando los conocimientos dispo-nibles.
• Favorecer que los alumnos avancen en la construcción de un nuevo sen-tido de los conocimientos a partir de resolver problemas, cuestionando sus concepciones previas, recono-ciendo sus límites y estableciendo múltiples relaciones entre los nuevos conocimientos.
• Promover en los alumnos el dominio de los conocimientos acerca del sis-tema de numeración, las operaciones con diferentes clases de números (na-turales, fraccionarios y decimales), para utilizarlos como herramientas en la resolución de problemas pero también definirlos y reconocerlos en su carácter histórico, cultural y social.
• Propiciar la evolución de formas de pensar como la argumentación, la explicación, el poder anticipatorio en la producción de conocimientos
matemáticos relacionados con los números, las operaciones, el espacio, las figuras y cuerpos geométricos, y la medida.
• Facilitar el intercambio de los cono-cimientos entre pares, la produc-ción de conjeturas y afirmaciones de carácter general, y el análisis de su campo de validez tanto en la resolu-ción de problemas aritméticos como geométricos.
• Estimular el proceso de construcción e interpretación de textos con diver-sas representaciones, valorando la potencia del lenguaje matemático para organizar el propio pensamien-to y para comunicarlo.
• Propiciar el desarrollo de la confian-za en sus posibilidades para “hacer matemática” en el aula y disponer de conocimientos fundamentados en un conjunto de relaciones propias del saber matemático.
• Favorecer un modo de trabajo cada vez más autónomo y comprometido ante la propia tarea y la de sus pares; valorando la cooperación, en un cli-ma de respeto por el pensamiento del otro.
CONTENIDOS
Los contenidos matemáticos propues-tos para su enseñanza en este ciclo han sido seleccionados sobre la base de su significatividad y relevancia social; con la intencionalidad de promover en los alum-nos el avance en las construcciones inicia-das en el primer ciclo y que constituirán el fundamento de aprendizajes matemáticos posteriores.
La organización de los mismos, en la ta-bla, se presenta en tres Ejes que pretenden evidenciar algunas relaciones entre los dife-rentes contenidos pero dejando la posibili-dad de realizar integraciones y establecer ar-ticulaciones entre los mismos al diseñar los proyectos institucionales.
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Los Ejes propuestos son:
Número y OperacionesEspacio y Geometría Medida
Los contenidos seleccionados para cada Eje están expresados en términos de los sa-beres (procedimientos, contextos, significa-dos) que se ponen en juego para alcanzar, los aprendizajes fundamentales de cada uno de los grados.
En la tabla se incluyen los contenidos que se inician en uno de los grados pero que se desarrollan a lo largo del ciclo en profundi-zaciones sucesivas. Esta característica queda reflejada en la disposición en tres columnas, que pretende mostrar cómo se avanza en la construcción de los conocimientos a partir de una lectura horizontal. En algunos casos el tratamiento de ciertos contenidos en los tres años no implica repetición sino preci-samente evolución y profundización con la especificidad propia de cada grado del ciclo. Sin embargo la lectura vertical permite evi-denciar la evolución en la apropiación de los saberes en el mismo grado.
Es importante también tener en cuenta que el proceso de apropiación de las nocio-nes o conceptos matemáticos lleva mucho tiempo, por lo que al planificar no es posi-ble dejar de considerar el punto de partida y el alcance progresivo de esos contenidos en cada grado.
En lo que respecta al tratamiento de la información los contenidos se presentan ar-ticulados en los ejes Número y Operaciones; y Medida. Estos tienen la intencionalidad de que los alumnos tengan oportunidades para interpretar, seleccionar y organizar la informa-ción que se presenta en diferentes portadores (enunciados, tablas, gráficos…) a la vez que ela-boran procedimientos de resolución, analizan y clasifican datos, y anticipan resultados.
La resolución de problemas se considera transversal a todos los contenidos presenta-dos dado que se asume que esta estrategia es fundamental en la construcción del sen-tido de los conocimientos, por lo que carac-teriza el enfoque didáctico de la enseñanza y provee el contexto en el cual los concep-tos, procedimientos y actitudes han de ser aprendidos.
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ORIENTACIONES PARALA ENSEÑANZA
Reflexionar acerca de la intencionalidad didáctica de la escuela primaria actual im-plica considerar al niño como productor de conocimientos y concebir que la enseñanza de la matemática no puede estar orientada sólo a la comunicación de resultados o a la aplicación de técnicas que alguna vez se re-conocieron como saberes.
Como ya hemos expresado, esta postura de “hacer matemática” en el aula reconoce la importancia de la resolución de proble-mas como el medio fundamental para lograr los saberes que la escuela debe trasmitir. Los problemas permiten producir nuevos cono-cimientos, reinvertir conocimientos recien-temente aprendidos, profundizar, y extender lo aprendido a nuevas situaciones.
Esta perspectiva se centra en atribuirle a la matemática que se enseña y se aprende un sentido diferente, lo que significa plan-tear situaciones que desafíen los conoci-mientos de los alumnos, que les permitan pensar, probar, ensayar, explorar, poner en juego lo que saben, proponer conjeturas, encontrar diferentes caminos de resolución, discutir con otros sobre esos procedimien-tos, formular argumentos que prueben su validez, plantearse nuevos interrogantes…, en definitiva producir conocimientos.
Cuando se instalan en la clase estas con-diciones de producción, el docente plantea a los niños situaciones que los llevan a poner en juego los conocimientos que poseen pero que les presentan obstáculos o dificultades que los tornan insuficientes y les exigen producir los nuevos conocimientos como soluciones. En estos momentos el docente los alentará a intentar caminos de solución con las herramientas que poseen, que pue-dan desplegar sus representaciones no con-vencionales, ofreciéndoles de este modo la oportunidad de elaborar, profundizar, avan-zar, aprender, es decir construir una red de relaciones que den sentido a los saberes in-volucrados.
Para que esto suceda, en el aula, es nece-sario proponer una modalidad de enseñanza en la que se consideren relevantes tanto el tipo de problemas y los procedimientos de resolución, como la intervención del docen-te que promueva la confrontación de las so-luciones e identifique el saber que circula en la clase.
Ante la tarea de seleccionar problemas, con la intencionalidad de que los niños cons-truyan el sentido de un conocimiento, el docente tendrá en cuenta la diversidad de contextos, significados y representaciones a la vez que considerará las posibles relaciones entre los datos e incógnitas con el propósito de promover el análisis de los enunciados y superar el uso de situaciones estereotipadas.
En este tipo de trabajo con problemas se pretende que los alumnos logren autonomía en la lectura y la comprensión de los enun-ciados, que puedan anticipar si el problema tiene una, varias o ninguna solución. Pro-ponerles que inventen preguntas o nuevos problemas les permite poner juego todo lo que profundizaron en el análisis de los enun-ciados.
Pero para aprender matemática no bas-ta con resolver problemas es esencial que los alumnos formulen y confronten los pro-cedimientos personales que les ayudaron a pensar la situación con las de sus pares, comprendan las producciones de sus com-pañeros, debatan con ellos, y expliciten ra-zones para validar ciertos procedimientos o cuestionen distintos puntos de vista, den pruebas o ejemplos y señalen errores.
Esta etapa de validación es central en este proceso. En el primer ciclo los niños pueden validar sus producciones a través de ejemplos, de comprobaciones empíricas o de argumentos vinculados con el contexto en que elaboraron soluciones. En el segun-do ciclo si bien continúan estas formas de validación (ejemplos, contraejemplos, cons-tataciones empíricas), es necesario que se generen condiciones para que los alumnos
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comiencen a elaborar argumentos que per-mitan validar sus afirmaciones sustentados en los conocimientos de los que disponen sin esperar que dominen los principios de la demostración.
En este ámbito de resolución de proble-mas y discusión de ideas, la intervención del docente estará centrada en promover el de-bate y no en determinar los procedimientos válidos o erróneos. Luego, identificará los co-nocimientos que circularon en la clase y los vinculará con los saberes producidos por la ciencia, favoreciendo de este modo que los nuevos conocimientos sean reconocibles, reutilizables y se desprendan del contexto en que aparecieron.
Un trabajo “centrado en la resolución de problemas no excluye la importancia de la eficacia y el dominio de los conocimientos”4. Es necesario explicar o fundamentar ma-temáticamente los nuevos conocimientos, explicitarlos, reconocerlos y sistematizarlos para favorecer que puedan ser reutilizados en otras situaciones y los niños puedan evo-lucionar en su dominio.
Mientras los alumnos resuelven proble-mas pueden aparecer procedimientos erró-neos que no significan ausencias de conoci-miento sino que dan cuenta del estado de saber de los alumnos. Es importante que el docente los recupere como objetos de tra-bajo de la clase y seleccione situaciones que problematicen los errores sobre los que crea conveniente trabajar.
Todo lo expresado en los párrafos ante-riores intenta sintetizar que la clase de ma-temática debe ser un ámbito de producción colectiva del conocimiento que permita a los alumnos enriquecer sus experiencias y representaciones, que se apropien tanto de los saberes como de los modos de produc-ción de esos saberes, es decir del “hacer ma-temática en el aula”.
Acerca de la enseñanza del número y del sistema de numeración 4 SAIZ, Irma, PARRA, Cecilia en Enseñar Matemática a los más chicos. Editorial Homo Sapiens.(2007)
Será intencionalidad del trabajo en 2º ciclo que los alumnos dispongan de mayo-res conocimientos alrededor del sistema de numeración decimal y comprendan la orga-nización recursiva de los agrupamientos, el papel de la base y el significado de la posi-ción de las cifras, para enfrentar problemas que involucren las propiedades del sistema decimal y de las operaciones.
Es esperable que en el tratamiento de los números naturales; y desde la lectura o escritura de números, la elaboración de es-trategias de comparación y el análisis del valor posicional, los alumnos avancen en la anticipación de resultados en situaciones de cálculo mental o al resolver diferentes ope-raciones, y en la generalización de ciertas re-gularidades que subyacen a la estructura del sistema de numeración.
En relación a otros sistemas de numera-ción, se pretende que tengan la oportunidad de explorar diversos sistemas: posicionales, no posicionales, aditivos, multiplicativos o decimales, y conocer sus propiedades para compararlos con el sistema de numeración decimal, centrando este análisis en caracte-rísticas como: la cantidad de símbolos, el va-lor absoluto o relativo de cada cifra, la exis-tencia de base, favoreciendo de este modo la comprensión del sistema decimal.
Desde las actividades propuestas en el aula se promoverá que reconozcan que las regularidades identificadas en números me-nores son válidas también para los números que alcanzan los miles, millones o miles de millones. Se propiciará que la composición y descomposición de números con sumas o multiplicaciones por potencias de diez sea una estrategia de resolución de problemas y no un mecanismo sin sentido.
Es importante plantearles situaciones que les permitan explicitar las relaciones arit-méticas subyacentes en la escritura de un número y desarrollar estrategias de cálculo, aproximación, redondeo o encuadramiento utilizando la información contenida en la es-critura decimal de un número.
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Al abordar el trabajo con SIMELA en 5º y 6º grado se promoverá que establezcan relaciones entre el sistema de numeración decimal y los sistemas de unidades de medi-ción. Las situaciones en relación al cálculo, y a las equivalencias requieren poner en juego algunas características del sistema de nume-ración (en tanto multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros) y la propor-cionalidad directa.
En síntesis, el trabajo con números natu-rales en este ciclo estará orientado a propo-ner situaciones que les permitan:
• Profundizar sus conocimientos, plan-tearse preguntas, cuestionarse sobre las propiedades del sistema de nu-meración decimal.
• Poner en juego los conocimientos del sistema para resolver problemas, desarrollar métodos de cálculo y pro-ducir argumentos para validar resul-tados y estrategias de resolución.
Acerca de la enseñanzade las operaciones
En cuanto al trabajo, en torno a las ope-raciones resultará muy valioso proponer di-versas situaciones que permitan a los alum-nos construir nuevos significados no sólo en relación al campo de problemas que involu-cran esas operaciones, sino también en lo que respecta a la exploración y explicitación de sus propiedades, el uso de las escrituras aritméticas para expresar relaciones y su tratamiento con otros números (fracciones, decimales)
Creemos que existe un complejo inter-juego entre los procedimientos que utilizan los alumnos cuando no dominan el algorit-mo convencional, los recursos de cálculo de que disponen y la construcción del sentido de las operaciones. Por ello es esencial plan-tear situaciones que les exijan anticipar, esti-mar, usar propiedades, controlar resultados, movilizando y poniendo en juego el sentido
de las operaciones.
Las situaciones que se planteen tendrán como propósito no sólo ampliar el campo de problemas asociados a cada operación sino también que profundicen en el estudio de las estrategias de cálculo, la explicitación de las propiedades de los números y de las operaciones que subyacen a esos recursos y el inicio del estudio de nuevas características de los números en términos de múltiplos y divisores.
En este ciclo, con respecto a los pro-blemas que se pueden resolver con suma y resta se seguirán planteando situaciones en las que se pongan en juego los diferentes significados (reunir, separar, agregar, quitar, encontrar una diferencia o un complemento, componer dos transformaciones).
Profundizar en los significados de la suma y la resta implicará que se propongan pro-blemas, cuya información sea presentada de diversas maneras, y que les requiera tanto una mejor organización para identificar los datos necesarios, como utilizar mayor can-tidad de cálculos para resolverlos (sumas, restas y otras operaciones combinadas) Por ejemplo: “¿Cuánto dinero tenía Ana en su cartera si gastó: $253 en una remera, $125 en la verdulería y aún le quedan $38?” O, “Si por un trabajo me pagaron $360, le devolví $145 a Javier, mi tía me regaló $70 y compré un libro que me costó $158. ¿Cuánto dinero tengo?”
En relación a la multiplicación y división será trabajo de este ciclo, la sistematización y profundización de los problemas con estas operaciones así como también el reconoci-miento y formulación de sus propiedades, dado que en primer ciclo el trabajo sólo es-tuvo centrado en que los niños se apropien de recursos de cálculo y resuelvan proble-mas que involucran estas operaciones.
Entre los problemas multiplicativos que se pueden proponer es necesario incluir aquellos que involucren series proporciona-les, organizaciones rectangulares, combina-
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toria, reparto, partición, iteración y aquellos en los que la respuesta dependa del análisis del resto y de las relaciones entre dividen-do, divisor, cociente y resto, favoreciendo de este modo la ampliación de los significados elaborados en el primer ciclo.
En la selección de problemas que involu-cren la división es interesante incluir situa-ciones de reparto, cuya respuesta dependa del análisis del resto, por ejemplo: ¿Cuántas lanchas habrá que alquilar para que los 59 niños de 6° año puedan pasear, si en cada lancha sólo pueden subir hasta 6 niños? Y también situaciones que requieran del aná-lisis de las relaciones entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Por ejemplo, ¿En qué número pensó Ariel si nos dijo que al dividirlo por 12, el cociente le dio 5 y el resto 8?
Es importante que la diversidad de pro-blemas multiplicativos que se pueden plan-tear en el aula se constituya en objeto de es-tudio y se promueva un análisis acerca de las similitudes y diferencias: entre los enuncia-dos, las formas de representación, los pro-cedimientos de resolución y otros posibles de utilizar. Por ejemplo, para los problemas de iteración, algunos niños pueden realizar sumas o restas sucesivas, mientras que para resolver problemas de combinatoria es posi-ble que utilicen los diagramas de árbol. Re-conocer a la multiplicación y la división como recursos útiles de solución en este tipo de problemas será el punto de llegada, pero es esencial que el docente gestione un trabajo de reflexión en torno a ello.
Con respecto a las situaciones asociadas a las relaciones de proporcionalidad directa, en este ciclo, no sólo deben involucrarse en la resolución de problemas, sino que ade-más se deben convertir en objeto de estu-dio. Las situaciones que se planteen estarán orientadas a reconocer, analizar y sistemati-zar las propiedades que quizá los niños usa-ron de manera intuitiva en el primer ciclo, a estudiar las diferentes formas de represen-tación (tablas, gráficos), como así también a reconocer cuando la proporcionalidad no es
el modelo adecuado, promoviendo de este modo la construcción de criterios para dife-renciar situaciones proporcionales de aque-llas que no lo son.
A partir de un trabajo de reflexión y aná-lisis podrán explicitar algunas propiedades: “Si se duplica o triplica una cantidad, la co-rrespondiente también resultará duplicada o triplicada”; “Si se suman o restan dos can-tidades de una de las magnitudes relacio-nadas, al valor obtenido le corresponde la suma o la diferencia respectivamente de las cantidades correspondientes en la otra mag-nitud”.
Por otra parte el tratamiento de la pro-porcionalidad permite profundizar el estu-dio de otros contenidos matemáticos vin-culados a este concepto como la medida, la equivalencia entre unidades de medida, los números racionales y sus operaciones.
En el tratamiento de la proporcionalidad inversa es necesario proponer problemas en los que se plantee primero su resolución, para luego analizar las relaciones involu-cradas. Así por ejemplo, los problemas de fraccionamiento y envasado de productos proporcionan un contexto que permite otor-garles significado.
Acerca de la enseñanzadel cálculo
En este ciclo, como en el anterior, se im-pulsará a que los alumnos logren desarrollar variadas estrategias de cálculo mental, con-siderado como cálculo pensado y reflexiona-do, teniendo en cuenta que es otro modo de favorecer la construcción del sentido de las operaciones.
Cuando el cálculo mental se convierte en objeto de reflexión es importante presentar situaciones intra-matemáticas que contribu-yan a que los alumnos construyan el senti-do de los cálculos, establezcan relaciones y utilicen propiedades que luego podrán ser
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reconocidas y explicitadas. Este tipo de si-tuaciones promueve la construcción de un repertorio de cálculos memorizados que les servirá de apoyo para resolver nuevos cálcu-los. Por ejemplo, dado un producto es posi-ble obtener otros sin realizar las cuentas lo que favorece el uso de algunos resultados, relaciones o propiedades que los alumnos tienen disponibles: productos y cocientes por 10, 100..., dobles, triples, mitades…
Por otra parte el trabajo sobre cálculo mental constituye un problema en sí mismo que permite usar las propiedades de las ope-raciones y los números, estimar resultados, controlar las propias estrategias y poner en juego el sentido de las operaciones. Este tra-bajo se basa también en el uso de composi-ciones y descomposiciones de los números en función de las características del sistema de numeración decimal.
Cuando los alumnos logran dominio y automatización en los cálculos están en me-jores condiciones para resolver problemas y para comprender los algoritmos.
Los algoritmos convencionales son técni-cas de carácter general, reconocidas y valo-rizadas en la cultura dado que permiten ob-tener un resultado independientemente, de los números que intervienen.
La enseñanza de los mismos represen-ta un desafío a largo plazo, y se planteará a partir de situaciones de exploración, en las que los alumnos desarrollen diferentes pro-cedimientos, pongan en juego las propieda-des de los números y de las operaciones, y las estrategias de cálculo como recursos de control de los resultados. Esto les permite avanzar en la construcción de los algoritmos conservando el control de lo que hacen y dándoles significado. Además es importante que reconozcan cuando es pertinente e im-prescindible utilizarlos.
Los algoritmos convencionales “escon-den” muchos de los pasos intermedios, las propiedades de las operaciones y descom-posiciones de los números, por lo que es
necesario que en el aula se promueva el de-sarrollo de procedimientos personales y se generen reflexiones que permitan hacer ex-plícitas las relaciones “invisibles” y las ope-raciones intermedias. Este proceso de bús-queda de relaciones que vinculen los pro-cedimientos favorece la comprensión de los algoritmos convencionales. Así por ejemplo para avanzar en la significación del algoritmo de la división, es útil promover el registro de los cálculos intermedios para vincularlos con los pasos que se desarrollan en el mismo, dado que, “no explicitar los pasos interme-dios”, “ni las restas”, “no escribir los ceros”… son obstáculos que inciden en la compren-sión del mismo.
En este eje se considera también el traba-jo en torno a la divisibilidad que permite que los alumnos profundicen sus reflexiones con respecto a las relaciones entre multiplicación y división exacta; y resuelvan problemas que impliquen tanto realizar descomposiciones multiplicativas como reconocer la reversibi-lidad de las relaciones de múltiplo y divisor a partir de otras relaciones como doble, mitad, triple, tercio y otros… Es importante tener en cuenta que para enfrentar problemas vincu-lados con el uso de múltiplos y divisores es necesario que los alumnos cuenten con un rico repertorio multiplicativo.
En general podemos decir que las situa-ciones planteadas para el tratamiento de las operaciones y el cálculo deberán constituir oportunidades para:
• Favorecer que los alumnos diseñen y utilicen variados procedimientos, comuniquen y comparen estrategias de resolución, analicen errores y ela-boren estrategias más económicas de cálculo, y profundicen en la siste-matización de las propiedades de las operaciones.
• Establecer estrategias para determi-nar, frente a un problema, si es nece-saria una respuesta exacta o aproxi-mada, y en función de ello decidir el tipo de cálculo más adecuado.
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Acerca de la enseñanzade las fracciones
En este ciclo, el estudio de los números fraccionarios será enriquecido a partir de la resolución de problemas contextualizados en situaciones que los naturales no permiten resolver, y que hacen posible el análisis de relaciones entre fracciones (dobles, mitades, triples, tercios)
El tratamiento de esta nueva clase de nú-meros, supone enfrentar a los alumnos con un amplio espectro de situaciones que les permitan reconocer sus usos y significados y otorgar sentido al concepto de equivalencia de fracciones.
Para iniciar el estudio de las fracciones se plantearán situaciones de reparto, donde hay resto y tiene sentido seguir repartien-do (repartir chocolates entre varios chicos o jugo en recipientes de igual capacidad) y también a partir de problemas de medida, donde el objeto a medir no entra un número exacto de veces. Estas situaciones represen-tan contextos interesantes dado que permi-ten que sus conocimientos sobre la división y la medida sirvan de apoyo a la vez que fa-vorecen la aparición de equivalencias.
Un número racional (en este ciclo sólo se trabajará con positivos) expresado en su for-ma fraccionaria es el resultado de:
• Expresar con un par ordenado de nú-meros naturales la relación entre las partes y un todo.
• Un reparto y queda vinculado al co-ciente entre dos naturales
• Una medición e indica una relación con la unidad
• Indicar una razón. (constante de pro-porcionalidad). Esa constante tendrá diferentes significados en función del contexto (escalas, porcentaje, ve-locidad, y densidad)
Dado los múltiples significados de los nú-meros racionales y teniendo en cuenta que no es posible abordarlos todos al mismo
tiempo, es necesario plantear alguna opción respecto de qué significados privilegiar y de-finir los alcances en cada año a partir de una articulación institucional pero sin descuidar ninguno de ellos.
Las situaciones que se planteen tendrán como intencionalidad que los alumnos pro-fundicen en el comportamiento de estos nú-meros en sus dos formas de expresión: frac-cionaria o decimal, reconozcan las diferen-cias con respecto a los naturales y puedan establecer sus características y propiedades.
Las diferencias fundamentales que los alumnos deben reconocer en esta clase de números son:
• Se utilizan necesariamente dos nú-meros (numerador y denominador) para expresar una cantidad.
• Un mismo número tiene infinitas ma-neras de expresarse (equivalencia de fracciones).
• Para determinar una relación de or-den entre dos fracciones no es posi-ble comparar en forma independien-te numerador y denominador.
• No es posible interpretar a la mul-tiplicación de fracciones como una suma reiterada.
• La posibilidad de resolver todas las divisiones, en este conjunto numéri-co.
Otra cuestión importante a tener en cuenta para plantear la enseñanza es que cuando se trabaja con números decimales como con ciertas fracciones se está operan-do con magnitudes continuas y esto supone una representación mental menos inmedia-ta que al utilizar magnitudes discretas en el campo de los números naturales.
En el trabajo en este campo numérico la comparación de fracciones será una ac-tividad que atravesará todo el proceso de aprendizaje, si bien el cálculo algorítmico es el más económico, no debe priorizarse ni presentarse antes de que los alumnos se enfrenten a situaciones que les permitan es-
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tablecer relaciones para la construcción del sentido y elaborar diferentes estrategias de resolución que luego fundamentarán los al-goritmos. Asimismo en el momento de se-leccionar problemas es necesario tener en cuenta que los números involucrados pue-den hacer variar completamente las estrate-gias de resolución.
Es interesante plantear problemas que requieran el uso de la recta numérica, como modo de representación dado que contribu-yen a dar sentido a las fracciones y a las es-trategias de comparación.
En el uso de la recta es necesario que los alumnos reconozcan la importancia de la escala que se determina fijando la posi-ción del cero y del uno, o de dos números cualesquiera y que puede variar de una re-presentación a otra. Otra particularidad de este modo de representación que es preciso considerar, es que cada punto representa un número y ese número a la vez representa la distancia a cero.
Si bien constituye un desafío a largo pla-zo, es propósito fundamental del trabajo con números racionales que los alumnos logren establecer relaciones entre las distintas es-crituras para un mismo número, (entre frac-ciones y el entero, entre decimales y el ente-ro y entre fracciones y decimales).
En este sentido en 4° y 5° grado se plan-tearán situaciones en las que se usen escritu-ras fraccionarias, las escrituras decimales en contextos como el del dinero y de la medida, estableciendo relaciones entre ambas escri-turas, sólo en aquellas de uso habitual. En 6º grado se propondrá un trabajo conjunto con fracciones y expresiones decimales en situa-ciones que requieran el uso de uno u otro tipo de escritura y serán los alumnos quienes tomarán la decisión acerca de cuál es la re-presentación más conveniente en cada caso.
En relación al pasaje de una forma de es-critura a otra se podrá identificar que cual-quier expresión decimal (finita) admite in-finitas representaciones fraccionarias pero
es esperable que los alumnos no utilicen un algoritmo para pasar de fracción a decimal, o de decimal a fracción sino que desplieguen un trabajo exploratorio que les permita esta-blecer relaciones y descubrir regularidades.
Los alumnos construirán conocimientos acerca de las fracciones y los decimales si tienen la oportunidad de apoyarse en una red de conceptos que se relacionan con la reconstrucción de la unidad, la comparación de partes congruentes, el valor de posición de cada cifra en el contexto del sistema de numeración decimal, (para los décimos, cen-tésimos y milésimos) y la correspondencia entre diferentes escrituras de un número (expresiones decimales, porcentuales y frac-cionarias).
Tal como ya mencionáramos, para el tra-tamiento de los números decimales será ne-cesario, plantear situaciones que involucren este tipo de números tanto en el contexto del dinero como en el de la medida. Si bien el contexto del dinero propicia el uso de expre-siones decimales también tiene cierto límite: por un lado, sólo se pueden usar dos cifras decimales, por otro se oculta la característi-ca fundamental de este nuevo conjunto de números: que entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Es decir la propiedad de los racionales de ser un con-junto denso. El contexto de la medida con distintas unidades permite añadir el orden de los milésimos y dar otros significados a estos números.
Es necesario entonces tener en cuenta que tanto el trabajo con el contexto del dine-ro como el de la medida no resulta suficiente para que los alumnos acepten a los números decimales como un conjunto propio de los números racionales y diferentes de los natu-rales.
Por otra parte, las situaciones que se planteen deberán permitirles extender a los decimales las relaciones establecidas en el campo de los naturales acerca de las diferen-tes unidades del sistema de numeración con las unidades de orden superior o inferior, (un
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décimo es la décima parte de uno, un cen-tésimo es la décima parte de un décimo) así como identificar las diferencias del compor-tamiento de las expresiones decimales con respecto al de los naturales. Entre ellas es posible destacar:
• un número con menos cifras puede ser mayor que uno con más cifras;
• no existe ni el anterior, ni el siguiente de un número;
• entre dos números decimales pue-den encontrarse infinitos números;
• cuando se multiplican o dividen dos números decimales es posible obte-ner un número menor a los factores en juego o un cociente mayor a los números que se dividen, respectiva-mente.
En el trabajo sobre los números decima-les es posible avanzar en el significado de sus cifras a través de la equivalencia con las frac-ciones decimales, pero no es esperable la introducción de los números decimales sólo a partir de las fracciones decimales sino pro-mover la profundización de las interacciones entre ambas escrituras a partir de proble-mas que requieran pensar simultáneamente en unas y otras, es decir que promuevan un “ir y venir” de manera sostenida entre ellas.
Para el abordaje de las operaciones con fracciones, en este ciclo, se propone que se planteen situaciones para que los alumnos establezcan relaciones, utilicen equivalencias, o descomposiciones aditivas que les permitan encontrar caminos de resolución y mantener el control de las operaciones realizadas
Con respecto al tratamiento de las ope-raciones con expresiones decimales resulta enriquecedor plantear situaciones de dinero que involucren sumas y restas, multiplicacio-nes o divisiones sencillas, que los alumnos resuelvan elaborando sus propios procedi-mientos sin haberles enseñado estrategias de cálculo. De ese modo se promoverá un trabajo de cálculo mental con expresiones decimales que impliquen el uso de relacio-nes como: dobles, triples, mitades y también
descomposiciones de los números en térmi-nos de monedas (parte entera y centésimos) utilizando el valor posicional dentro de la es-critura.
Tanto en las situaciones que incluyen números fraccionarios como expresiones decimales el trabajo sobre cálculo mental se convierte en una poderosa herramienta que permite enriquecer el conjunto de relacio-nes sobre los números, a diferencia del cál-culo algorítmico que se basa en la aplicación de reglas. El dominio de los algoritmos per-mite asegurar un resultado válido pero no requiere que se utilicen las relaciones numé-ricas ni los resultados anteriores de los que disponen los alumnos.
En relación a la construcción del sentido de las operaciones con los números raciona-les será intencionalidad de la enseñanza que los alumnos tengan la posibilidad de:
• Evolucionar en sus conocimientos acerca de las operaciones desde un trabajo que implique un inter-juego entre el cálculo mental y el algorítmi-co.
• Disponer del cálculo mental como una herramienta de control que les permi-te elaborar razones para fundamentar el funcionamiento de los algoritmos y a partir del dominio de los algoritmos enriquecer el cálculo mental.
Acerca de la enseñanzadel espacio y la geometría
La construcción del espacio considerado
como un proceso cognitivo de interacciones, se desarrolla a partir del estudio del espacio físico y de los objetos que en él se encuen-tran, pero es necesario avanzar hacia un espacio conceptualizado o abstracto, reco-nociendo propiedades geométricas, adop-tando diferentes sistemas de referencia y estableciendo relaciones.
El dominio del espacio, se favorecerá si los alumnos disponen de conocimientos para enfrentar problemas cuya resolución
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se apoya en la modelización del espacio en cuestión. El pensamiento geométrico puede tomar a éste como punto de partida pero tiene que evolucionar hacia la construcción de imágenes, relaciones y razonamientos manejables mentalmente.
En este ciclo, los problemas vinculados con el espacio no se resuelven en forma empírica sino que hacen referencia a representaciones gráficas y a descripciones orales y escritas.
Los problemas espaciales cuyo propósi-to concierne al espacio real involucran tan-to acciones (fabricar, desplazarse, o dibujar) como la comunicación de esas acciones o constataciones a través del lenguaje o re-presentaciones espaciales que sustituyen a la percepción. Su validación depende de la comparación entre el resultado que se obtie-ne y el que se espera.
Es importante plantear situaciones que exijan a los alumnos que interpreten planos de espacios no conocidos y elaboren planos de espacios pero de mayor tamaño de los que hicieron en primer ciclo. Otras situa-ciones podrán requerirles que identifiquen códigos de señalización en mapas o croquis, establezcan diferentes puntos de referencia y analicen la ubicación de los objetos.
Para elaborar representaciones es ne-cesario que los alumnos pongan en juego distintos aspectos como la adecuación a la situación para la cual esas representaciones son producidas o utilizadas, la posibilidad de interpretación de los códigos empleados, las relaciones entre el espacio representado y su representación; y las diferencias que se producen por los distintos puntos de vista de los observadores. Es esperable que los alumnos produzcan representaciones cada vez más ajustadas utilizando puntos de refe-rencias, analizando distancias y reconocien-do la proporcionalidad en el tamaño de los objetos a representar.
El aprendizaje de la geometría permitirá a los alumnos controlar sus relaciones con el espacio, y representar o describir el medio
que los rodea en forma racional. Además es-tudiar los objetos geométricos como mode-lizaciones de esa realidad les servirá para in-terpretar y analizar el mundo físico y actuar en su entorno para expresar e interpretar conceptos propios de la matemática.
Concebir la geometría como una mode-lización del espacio físico, implica asumir la relación que se establece entre los datos que se obtienen a través de la percepción y la medición en el espacio físico, y las fi-guras, cuerpos, y sus propiedades. Así por ejemplo algunas figuras geométricas como el círculo, el cuadrado y el triángulo han sido creadas en un intento de modelizar las formas de los objetos físicos. Una vez con-ceptualizadas, esas figuras, se desprenden de los objetos físicos y representan objetos teóricos cuyas propiedades ya no tienen re-ferentes físicos.
Ponderar la enseñanza de la geome-tría implica reconocer qué es un problema geométrico. Es posible considerar como tal, a toda situación que al resolverla se pon-gan en juego las propiedades de los objetos geométricos. Es decir que pone al alumno en interacción con objetos de un espacio conceptualizado que se representa a través de figuras-dibujos. En este tipo de proble-mas la validación de las soluciones se reali-za utilizando las propiedades de los objetos geométricos y no en forma empírica. Las ar-gumentaciones desde las propiedades de los cuerpos y figuras producen nuevos conoci-mientos acerca de los mismos.
Su enseñanza estará orientada al estudio de las propiedades de figuras y cuerpos; y a que los alumnos se inicien en un modo de pensar, propio del saber geométrico.
El modo de pensar geométrico significa uti-lizar las propiedades conocidas de las figuras y los cuerpos para anticipar nuevas relaciones. Para demostrar la validez de una afirmación, se utilizan argumentos y no la medición o los dibujos. Pero estos aspectos del estudio de la geometría sólo se inician en este ciclo, dado que son propios de la escuela secundaria.
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En este ciclo es esencial que se planteen situaciones que exijan a los alumnos hacer anticipaciones, tomar decisiones basadas en conocimientos geométricos y encontrar la manera de validarlas. Si bien, algunos pro-blemas geométricos en un comienzo, pue-den ser explorados empíricamente, es nece-sario que progresivamente las propiedades utilizadas sean validadas a través de justifi-caciones no empíricas.
Entre los problemas geométricos se dis-tinguen aquellos que implican construccio-nes y aquellos que requieren de la anticipa-ción respecto de la experiencia de medir. Es-tos últimos tienen por finalidad, de manera más explícita la idea del trabajo argumenta-tivo, propio de la actividad geométrica.
Los problemas que implican construccio-
nes ocupan un lugar esencial, en este ciclo, dado que favorecen que los alumnos pongan en juego algunas relaciones que caracterizan las figuras o cuerpos y desarrollen destrezas en el uso de instrumentos.
En el trabajo alrededor de las construc-ciones de figuras se pueden plantear pro-blemas que impliquen: dictado de figuras, copiado, construcción a partir de pedido de datos, construcción a partir de datos dados.
Copiar una figura implica tener en cuenta
sus medidas, reconocer ciertas característi-cas, relaciones y propiedades como así tam-bién seleccionar los instrumentos más apro-piados. El copiado de una figura se puede realizar con el modelo presente o tomar los datos necesarios antes de empezar a dibujar y luego lo hacerlo sin la figura a la vista.
El dictado de figuras se organiza como una situación de comunicación en la que un grupo de emisores produce un texto (sin dibujos) para que otro grupo de receptores que no la tiene a la vista pueda reproducirla exactamente.
Elaborar un mensaje para describir una figura supone reconocer los elementos y relaciones que la definen trascendiendo los datos que se interpretan por la percepción.
Los mensajes deben contener la información necesaria y suficiente que permita, que la fi-gura dibujada sea congruente a la original. El análisis a posteriori de las condiciones míni-mas necesarias, en los mensajes elaborados, se convertirá en objeto de estudio en este tipo de tareas.
En las actividades de pedido de datos para
dibujar una figura es esencial no sólo identi-ficar los datos necesarios y suficientes, sino también reconocer relaciones y anticipar al-gún camino para realizar la construcción.
Es importante que los problemas que se
propongan, permitan analizar propiedades de las figuras que no son evidentes o per-ceptibles desde el dibujo como el paralelis-mo y la perpendicularidad de los lados de los cuadriláteros, la medida de los lados de cuadrados y rectángulos o la relación entre los lados de un triángulo. Estos aspectos fa-vorecen que los alumnos elaboren criterios para clasificar las figuras, en torno a sus pro-piedades y elementos.
En función de todo lo expresado en los párrafos anteriores es importante que los contenidos de este eje se planteen a través de situaciones que permitan:
• Favorecer el reconocimiento y la ex-plicitación de propiedades de los cuerpos y de las figuras que no de-penden del dibujo.
• Que los alumnos evolucionen en la construcción del concepto de figura geométrica distinguiéndola del dibu-jo que la representa.
• Iniciarse en la elaboración de argu-mentos para validar soluciones sin necesidad de comprobaciones empí-ricas.
Acerca de la enseñanzade la medida
Para el tratamiento de la medida en este ciclo, se propone profundizar lo planteado
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en el primer ciclo en relación al estudio de la longitud, la capacidad, el peso y el tiempo ampliando este estudio a otras magnitudes como la amplitud (angular) o la superficie. Este trabajo estará orientado al análisis de las relaciones entre los sistemas de medida y el de numeración, y a establecer equivalen-cias entre distintas unidades, para luego, en la escuela secundaria, abordar las relaciones entre magnitudes.
Medir es indagar cuántas veces una uni-dad está contenida en otra de la misma mag-nitud, es decir que el proceso de medir con-siste en comparar una cantidad dada de una magnitud con otra que se considera como unidad. El número obtenido a partir de ese proceso de iteración es: la medida, que se expresa no sólo con números naturales sino también con racionales (expresiones de-cimales y fraccionarias). Entre la unidad de medida y la medida existe una relación de proporcionalidad inversa.
En un principio el hombre utilizó unida-des de medida antropométricas, es decir partes de su propio cuerpo (manos, pies, brazos…), luego comenzó a usar objetos ex-ternos (palitos, piedras, vasijas…) pero dada su falta de uniformidad estas unidades le ge-neraron dificultades, en especial, de índole comercial. Este hecho lo llevó a establecer convenciones y crear unidades de medidas reconocidas internacionalmente.
El uso de un sistema de medición unifi-cado, fue acordado a finales del siglo XVIII y se conoció con el nombre de Sistema Métri-co Decimal. En todos los países del mundo, excepto en los anglosajones, se utiliza este sistema regular que se denomina métrico porque su base es el metro y decimal porque los cambios se realizan de diez en diez.
“La utilización de cambios regulares es, precisamente, lo que asemeja al sistema de medida y al sistema de numeración, pues en ambos se hace necesaria la comprensión de los distintos órdenes de unidades para en-tender y elaborar escrituras numéricas”… “La escritura de una medida tiene su equivalen-
te en la descomposición de un número bajo la forma de unidades, decenas y centenas”5.
En la vida cotidiana nos encontramos permanentemente con situaciones que in-volucran la medida, sin embargo es muy im-portante reconocer la necesidad de que se traten en la escuela, dado que los alumnos no se apropian de estos conocimientos sólo por su uso social.
Es esencial que en aula se realicen prác-ticas efectivas de medición. Los problemas reales que demandan el uso de instrumen-tos de medición para establecer y comparar medidas, permiten que los alumnos cons-truyan progresivamente una representación interna del significado de los atributos me-dibles, (como características de los objetos que se pueden cuantificar), y que reconoce-mos como magnitudes.
Es necesario entonces que cuenten con la posibilidad de manipular objetos para re-conocer sus propiedades; dado que es difícil determinar si un objeto es más o menos pe-sado que otro utilizando sólo el sentido de la vista, que un recipiente tiene más o menos capacidad que otro, sin recurrir al trasvasa-miento; o que una superficie tiene igual área que otra de distinta forma sin usar el recor-tado o embaldosado. Esto les permitirá esta-blecer también qué relación existe entre las transformaciones de la unidad de medida y la medida en diferentes magnitudes.
• Será intencionalidad de la enseñanza de la medida, proponer situaciones que permitan a los alumnos tomar conciencia de los distintos aspectos que involucra el proceso de medir:
• Seleccionar la unidad y el instrumen-to de medición más apropiado dado que el resultado de la medición de-pende de la unidad elegida.
• Percibir la imprecisión de la medi-ción, reconociendo como causas tan-to al instrumento como al sujeto que mide, es decir la medición siempre es
5 Chamorro, María del Carmen en El problema de la medida Editorial Síntesis
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aproximada. • Determinar el grado de precisión ne-
cesaria al medir, es decir si se requie-re una medida exacta o aproximada.
Resultará fructífero proponer problemas que les permitan reconocer las unidades de medida convencionales de las magnitudes mencionadas, sus múltiplos y submúltiplos, a la vez que se enfrentan a situaciones que requieran establecer relaciones entre dife-rentes unidades de medidas.
Pero, es importante que la enseñanza de la medida no esté centrada sólo en las equivalencias entre unidades, y reducida a la conversión de una unidad a otra, en las que sólo se exija la memorización de reglas me-cánicas para establecer equivalencias. Este trabajo algorítmico no contribuye a la cons-trucción de sentido y convierte a la enseñan-za en un discurso teórico.
Para favorecer la comprensión y descu-brimiento de las relaciones entre unidades será esencial plantear situaciones que re-quieran realizar manipulaciones tanto en el marco aritmético como geométrico. En este sentido es importante también establecer equivalencias entre unidades antropomé-tricas y patrones arbitrarios, (no convencio-nales), contribuyendo de este modo al reco-nocimiento de las regularidades propias del sistema.
Es también importante tener en cuenta que la medición produce nuevos significa-dos para los números, en tanto son repre-sentaciones de la iteración de la unidad de medida. Comparar, medir, determinar can-tidades, son diferentes acciones que ponen en funcionamiento las primeras nociones de fracciones. Resulta muy valioso plantear problemas de medida cuya solución no sean números enteros y les exija a los alumnos buscar otras representaciones, por ejemplo números menores que uno o que están en-tre dos números enteros.
Por otra parte es válido tener en cuen-ta que la comprensión de la estructura de
los diferentes sistemas de medición, puede resultar un soporte interesante para la com-prensión de la escritura decimal de los nú-meros racionales.
Es necesario que los alumnos construyan una representación de los distintos órdenes de magnitud. Para ello son recomendables las actividades de estimación que, requie-ren que antes se desarrollen prácticas de medición de objetos reales y contribuyen al aprendizaje de qué unidades usar en la me-dición a la vez que permiten controlar el tra-bajo con los sistemas de unidades.
Estimar la medida de una cantidad es el proceso de obtener una medición sin nece-sidad de utilizar instrumentos pero implica una estrategia de pensamiento, es decir un proceso mental en el que confluyen la intui-ción y la lógica para resolver situaciones de la vida cotidiana.
En este ciclo se avanza también en el es-tudio de la medición de ángulos y del tiem-po. A partir de cuarto año, cuando se inicie el aprendizaje de la noción de ángulo se plantearán situaciones que demanden usar el ángulo recto como unidad de medida, y que generen la necesidad de contar con una unidad que permita determinar cualquier amplitud, hasta reconocer el grado sexagesi-mal como unidad de medida convencional. El trabajo de medición de ángulos se presen-tará asociado al estudio de las propiedades de las figuras geométricas.
Por otra parte, en la medición de tiem-po es esencial favorecer que se establezcan relaciones entre horas, minutos, y segundos, y su estudio representará una oportunidad para analizar la estructura sexagesimal y compararla con la del sistema decimal.
Otro aspecto a considerar en la enseñan-za de la medición es el estudio del perímetro y el área que permite establecer relaciones entre conocimientos aritméticos (sobre los números y operaciones) y conocimientos geométricos (sobre las figuras y sus propie-dades).
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En relación al perímetro, a partir de 5° grado se plantearán problemas que exijan la medición efectiva en ciertos casos y el cálculo en otros. Cuando se trabaje con po-lígonos, se promoverá que los alumnos evo-lucionen en sus procedimientos desde los que necesitan medir efectivamente todos los lados hasta aquellos en que basándose en las propiedades de las figuras determinen cuáles son los datos de los lados necesarios y suficientes.
Con respecto a la medición de superfi-cies se plantearán situaciones que impliquen comparar áreas de figuras, a partir de recor-tes y superposiciones, (mediciones directas) o utilizando diversas superficies como unida-des de medida.
Otra clase de problemas a los que se enfrentarán los alumnos son aquellos que involucran la transformación de figuras de manera tal, que varíe el área independien-temente del perímetro y viceversa, lo que les permitirá progresivamente comprender la independencia entre ambos atributos.
En relación al sistema de unidades de medida de superficie será interesante que los alumnos resuelvan situaciones en las que utilicen superficies cuadradas cuyas medidas sean el metro cuadrado, el decímetro cua-drado y el centímetro cuadrado como uni-dades de medida para mediciones directas y estimativas.
Asimismo es importante proponer pro-blemas que promuevan la construcción de fórmulas para el cálculo del área del cua-drado y del rectángulo que servirán de base para definir otras fórmulas como las del cál-culo del área del triángulo y del rombo.
EVALUACIÓN
En la enseñanza de la matemática, como en otros campos de conocimiento, la eva-luación se concibe como un proceso conti-nuo que representa para el docente tanto
una herramienta para tomar decisiones y reorientar su tarea, como un medio para ob-tener información acerca de la marcha de los aprendizajes de los alumnos.
La evaluación ha ocupado siempre un lu-gar esencial en la tarea docente y está aso-ciada a la comprensión de los procesos de pensamiento de los alumnos, es un instru-mento de seguimiento, y está relacionada con la reflexión sobre la propia práctica del docente.
Tal como ya se ha planteado en este do-cumento, se concibe que todos los alumnos pueden aprender matemática y para ello es necesario que en el aula se instalen las con-diciones didácticas que les permitan avanzar y aprender, aunque de diferente manera y desde sus diferencias individuales.
Si desde la enseñanza se promueve que el aula se convierta en un espacio en el que los alumnos construyan conocimientos ma-temáticos a partir de resolver problemas y reflexionar sobre sus resoluciones, la evalua-ción formará parte de esos procesos de en-señar y aprender que se produzcan en ella.
El reto consiste en evaluar los avances y progresos de los aprendizajes de los alum-nos con respecto a los conocimientos que tenían al comenzar el proceso de enseñanza y lo que se ha trabajado, las oportunidades que se han brindado de desplegar activida-des relacionadas con lo que se pretende que aprendan y que luego es evaluado.
En este sentido, la evaluación diagnóstica permite determinar el punto de partida de cada alumno y del grupo en general, pero también favorece la comprensión de los aprendizajes subyacentes en la resolución de tareas o problemas orientando la toma de decisiones del docente.
Este tipo de evaluación que tradicional-mente se utilizara al iniciar el ciclo escolar, constituye una herramienta potente para relevar información antes de comenzar cada propuesta de trabajo.
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Evaluar los conocimientos que han lo-grado los alumnos significa reunir y analizar datos sobre lo que saben con respecto a con-ceptos y procedimientos matemáticos. Es importante que los alumnos participen acti-vamente en la evaluación de las tareas que realizan, ya sean individuales o grupales, a la vez que toman conciencia de lo que están aprendiendo. De ese modo se compromete-rán cada vez más con su propio proceso de aprendizaje.
Es necesario que la evaluación de los
conocimientos matemáticos que han cons-truido los alumnos no se reduzca a plantear evaluaciones escritas sino que se utilicen di-ferentes herramientas como la observación de su participación en las tareas grupales, en el tipo de preguntas que realizan, en las explicaciones que formulan…, con la inten-cionalidad de interpretar la evolución de los aprendizajes.
Uno de los propósitos de la enseñanza de la matemática que sostiene este Diseño Cu-rricular es que los alumnos se apropien tam-bién de los modos de producción de los sa-beres es decir que progresivamente dispon-gan de los modos del quehacer matemático, esto implica que desde la evaluación el do-cente valorará también el proceso de elabo-ración de sus producciones, la participación en la formulación de esas producciones, en las discusiones o debates, en las argumenta-ciones para defender sus resoluciones, en la posibilidad de comprender procedimientos de otros…
En coherencia con los propósitos y los contenidos definidos para este campo de conocimiento, se definen a continuación los criterios de acreditación para este Ciclo
CRITERIOS DE ACREDITACIÓN
Al finalizar el Segundo Ciclo los alumnos estarán en condiciones de:
• Producir estrategias personales para
resolver problemas, comunicar pro-cedimientos y resultados obtenidos con el lenguaje propio de la matemá-tica.
• Resolver problemas que exijan reco-nocer, leer, escribir, comparar y des-componer números en forma aditiva o multiplicativa, utilizando los conoci-mientos sobre el sistema de numera-ción decimal.
• Disponer de estrategias de cálculo mental, (exacto o aproximado) con números naturales, decimales o frac-ciones, de acuerdo a la situación y los números involucrados.
• Poner en juego un repertorio memo-rizado de cálculos aditivos y multipli-cativos con números naturales, frac-cionarios y decimales para resolver otros cálculos, operar con seguridad y controlar resultados en la resolu-ción de problemas.
• Usar eficazmente los algoritmos para resolver situaciones que involucren distintos sentidos de las operacio-nes: suma, resta y multiplicación con números naturales, fracciones o de-cimales, y la división con números naturales.
• Reconocer y poner en juego las pro-piedades de las figuras y cuerpos geométricos, en la resolución de pro-blemas geométricos.
• Utilizar las unidades y los instrumen-tos más apropiados para realizar es-timaciones y mediciones en función del tamaño y naturaleza del objeto a medir.
• Resolver problemas que involucren el uso de unidades del sistema mé-trico legal argentino (SIMELA) para distintas magnitudes (longitud, capa-cidad, peso, área, tiempo, amplitud) estableciendo relaciones entre las unidades de medida de una misma magnitud.
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