edounidad3e

222 Aplicaciones de la Transformada de Laplace. Vigas

Instituto Tecnolgico de Tepic

3.7 APLICACIONES DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS A LA

DEFLEXIN DE VIGAS

3.7.1 Introduccin

En este captulo veremos como se comporta una viga cuando se somete a una fuerza vertical. Consideremos una

viga horizontal de longitud L como se muestra en la figura 3.40

Si la viga est sostenida en los dos extremos, el eje longitudinal de ella se distorsiona por su propio peso. Se

quiere investigar la ecuacin y(x) de la curva de la lnea punteada, en otras palabras, queremos calcular la Curva

de deflexin de la viga. Para hacer esto, supongamos un

sistema de coordenadas rectangular de forma que el eje

positivo de las y est dirigido hacia abajo, como se muestra

en la figura 3.41.

En libros de resistencia y de mecnica de materiales (en el

tema teora de la elasticidad) se demuestra que el

momento flexionante M(x) en un punto x de la viga est

determinado por

( )dM

W xdx

(45)

donde W(x) la carga vertical (peso que soporta la viga) por unidad de longitud.

Tambin se demuestra que este momento es directamente proporcional a la curvatura de la curva elstica y

est determinado por

M EI (46) donde

es la curvatura de la curva elstica (en m-1 )

E es el modulo de Young (en Newton/m2)

I es el momento de inercia (en m4)

Por otro lado, en los cursos de clculo la curvatura de una funcin y=f(x) se define como

32 2

''

1 [ ']

[ ]

y

y

(47)

Ahora bien, cuando la deflexin es pequea, la derivada de y = f(x) es aproximadamente cero, o sea, 0'y

por lo que 3

2 21 [ '] 1[ ]y , as que podemos decir que '' y (48)

Sustituimos (48) en (45)

''M EIy (49)

Sustituyendo (49) en (45)

Figura 3.41. Se muestra la curva de deflexin de una

viga de longitud L

Viga sin carga Viga con carga vertical

Figura 3.40

Aplicaciones de la Transformada de Laplace. Vigas CAPTULO 3

223


2 2 2

2 2 2( '') ( '') ( )

d M d dEIy EI y W x

dx dx dx

4

4

( )d y W x

EIdx (50)

La fuerza cortante en la viga se define como ( '') ( '') '''dM d d

EI y EI y EI ydx dx dx

''' dM EI ydx

(51)

Si W(x) = W es constante, entonces (50) queda de la forma:

( )ivW

y xEI

Obtengamos su transformada:

{ }iv W Wy EI sEI L L 4 3 2( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)

Ws Y s s y s y sy y

sEI

5 2 3 4

1 1 1 1( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)

WY s y y y y

ss EI s s s

De forma que la transformada inversa ser:

4 3 2

( ) '''(0) ''(0) '(0) (0)24 6 2

Wx x xy x y y xy y

EI

Para poder determinar la deflexin y(x), es necesario conocer las condiciones de frontera, las cuales dependern

de la forma como est sostenida la viga. Por ejemplo, una viga en cantilever (viga en voladizo) est empotrada en

un extremo y libre en el otro. Si el empotramiento est en x = 0, all y = 0, en x = L el momento flexionante as

como la fuerza cortante son cero.

Enseguida se tiene una pequea tabla para los tres casos ms comunes de condiciones de frontera.

Tabla 3.7.1

Apoyo Condiciones de

Frontera

Simple y = y = 0

Empotramiento y = y = 0

Extremo libre y = y = 0

Nota: Recuerde que y(x) es la curva de deflexin, y(x) es la pendiente de dicha curva, EIy(x) es el momento

flexionante y la fuerza cortante es EIy(x).



3.7.2 Viga en Cantilever

Ejemplo 108. Considere una viga que en x = 0 est empotrada y en x = L est libre. Encuentre la curva de

deflexin de dicha viga debido a su propio peso.

Solucin 108. Si W es el peso de la viga, entonces el problema de condiciones de frontera por resolver es:

Apliquemos la transformada a la ecuacin diferencial y sustituyamos las condiciones de frontera de este

problema:

( )IV Wy x EIL L 4 3 2( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)

Ws Y s s y s y sy y

sEI

Como y(0) = y(0) = 0 y si decimos que y(0) = A y y(0) = B, se tendr:

4 4( ) ( )W W

s Y s sA B s Y s sA BsEI sEI

Yy en consecuencia

5 3 4( )

W A BY s

s EI s s

Obteniendo la transformada inversa se obtiene la deflexin de la viga:

4 2 3

( )24 2 6

Wx Ax Bxy x

EI

Ahora se procede a calcular A y B haciendo uso de las dos condiciones y(L) = y(L) = 0, para ello derivamos

y(x). 3 2

'( )6 2

Wx Bxy x Ax

EI ;

2

''( )2

Wxy x A Bx

EI ; '''( )

Wxy x B

EI

En la tercer derivada se tiene:

'''( ) 0WL

y L BEI

WL

BEI

Sustituyendo x = L y B en y(x) se tendr:

2

''( ) 02

WL WLy L A L

EI EI

De donde 2

2

WLA

EI . Sustituimos A y B en y(x)

4 22 3( )

24 4 6

Wx WL WLy x x x

EI EI EI

( )IVW

y xEI

Si 0 x L

(0) '(0) 0

''( ) '''( ) 0

y y

y L y L


225


x = 0 x = L/3 x = 2L/3 x = L

Factorizamos para tener la deflexin de la viga Cantilever:

2

2 2( ) 4 624

Wxy x x Lx L

EI

3.7.3 Viga simplemente apoyada

Ejemplo 109. Carga distribuida. Suponga una viga simplemente apoyada que soporta un peso W(x) por

unidad de longitud dado por:

0 03

2( )

3 3

20

3

Lx

L LW x W x

Lx

La representacin grfica de la carga que soporta la viga es:

Solucin 109. La carga se puede expresar tambin por ( ) [ ( / 3) ( 2 / 3)]W x W U t L U t L As que el PVF a

resolver es:

Obtenemos la transformada

2

4 3 2 3 3( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)Ls Ls

Ws Y s s y s y sy y e e

sEI

Como y(0) = y(0) = 0 y si A = y(0), B = y(0) se tiene

2

3 35 2 4

( )Ls Ls

W A BY s e e

s EI s s

La transformada inversa ser:

4 4 32 2

( )24 3 3 3 3 6

W L L L L Bxy x x U t x U t Ax

EI

Ahora se procede a calcular A y B, para ello usamos las condiciones y(L) = 0 y y(L) = 0. Antes de derivar re-

escribimos y(x).

3

4 3

4 4 3

06 3

2( )

24 3 6 3 3

2 2

24 3 3 6 3

Bx LAx x

W L Bx L Ly x x Ax x

EI

W L L Bx Lx x Ax x L

EI

Derivemos y(x) para xL

2

3, ( ya que se trata de evaluar y(x) y y(x) en x=L)

( ) [ ( / 3) ( 2 / 3)]( )IV

W x W U t L U t Ly x

EI EI

(0) ( ) ''(0) ''( ) 0y y L y y L



3 3 22

'( ) 4 424 3 3 2

W L L Bxy x x x A

EI

2 2

2''( )

2 3 3

W L Ly x x x Bx

EI

Evaluamos para x = L:

2 2

2''( ) 0

2 3 3

W L Ly L BL

EI

Donde 6

WLB

EI

4 4

32( ) 024 3 3 6

W L WLy L L AL L

EI EI

donde 3307

1932

WLA

EI

Estamos en condiciones de decir que la deflexin de la viga es:

33

4 3 3

4 4 3

307 0

1932 36 3

307 2( )

24 3 1932 36 3 3

2 307

24 2 3 1932

WL WL Lx x x

EI EI

W L WL WLx L Ly x x x x

EI EI EI

W L L WL xx x

EI E

3 2

36 3

WLx Lx L

I EI

Si se quiere calcular la deflexin en el centro de la viga, sustituimos 2

Lx en y(x). Esto es:

4 3 3307

2 24 2 3 1932 2 36 8

L W L L WL L WL Ly

EI EI EI

4 424

2 24 25 25

L WL WLy

EI EI

Ejemplo 110. Carga concentrada

Una carga concentrada P que acta en el punto ax de una viga se puede representar como

W x P x a

Donde x a es la funcin delta de Dirac.

Resolver el ejemplo 109 suponiendo que se aplica una fuerza concentrada P en 2

Lx .

Solucin 109. Procedemos a formular el problema de condiciones en la frontera

2, 0 '' 0 '' 0IV

LP xy x y y L y y L

EI

figura 3.42

Parecera muy natural que 2L

y sea la mxima

deflexin, debido a la simetra existente en la

viga y en la carga. Ver figura 3.42


227


Aplicamos la transformada a la ecuacin y sustituimos las condiciones de frontera, y como en el ejemplo 109

diremos que ' 0A y y ''' 0B y

4 3 2 2

4 2 2

2

4 2 4

0 ' 0 '' 0 ''' 0Ls

Ls

Ls

Ps Y s s y s y sy y e

EI

Ps Y s As B e

EI

P e A BY s

EI s s s

La transformada inversa de Y s es

3

3

6 2 2 6

P L L By x x U x Ax x

EI

O tambin

3

33

026

6 2 6 2

B LAx x x

y xP L B L

x Ax x x LEI

Ahora calculamos A y B usando 0y L y '' 0y L . Derivamos y(x).

2

2' ; ''2 2 2 2

P L B P Ly x x A x y x x Bx

EI EI

Evaluamos en x L

'' 02

PLy L BL

EI . As que

2

PB

EI

Evaluamos xy en L

3 3

048 12

PL PLy L AL

EI EI de donde

2

16

PLA

EI

Por lo que la solucin ser

2 2

2 2

3 4 0248

( )(4 8 ) 248

Px LL x xEI

y xP Lx L x xL L x LEI

Ejemplo 111. Si la viga del ejemplo 109 es de acero y tiene una longitud de 6 m y una seccin transversal

rectangular de 10 x 15 cm. Cul ser su deflexin y(x) debida a su propio peso? Cul ser la deflexin

mxima?

Solucin111. Habr que resolver el problema de condiciones iniciales siguiente:

0

0 0

'' 0 '' 0

IV Wy x x LEI

y y L

y y L

La obtencin de la transformada de la ecuacin junto con las condiciones 0 '' 0 0y y nos lleva a:

x

y

ymax



5 2 4

W A BY s

s EI s s donde ' 0A y y ''' 0B y .

La transformada inversa es:

4 324 6

W By x x Ax x

EI

Enseguida se calculan A y B haciendo uso de 0y L y '' 0y L .

Derivamos y(x):

3 2

2' ; ''6 2 2

Wx B Wxy x A x y x Bx

EI EI

Evaluamos en Lx

2

4 33

'' 02 2

024 12 24

WL WLy L BL B

EI EI

WL WL WLy L AL L A

EI EI EI

La deflexin ser

3 2 3224

Wxy x x Lx L

EI

El acero tiene una densidad = 7.75 gr/cm3 y un mdulo de Young 6 22.04 10kg

Ecm

. El rea de la seccin

transversal es 210 15 150 A cm , as entonces el peso por unidad de longitud de la viga es

W = A = (150cm2)(7.75gr/cm3) = 1162.5 gr./cm = 1.16 Kg/cm.

El momento de inercia I respecto al eje x es 31

12I bh . Esto es:

3 41 10 15 2812.5

12I cm

Sustituyendo L= 600 cm, W, E e I, la deflexin ser:

33 2

6

1.16 2 600 600

24 2.04 10 2812.5

x x xy x

cm.en 10 216120010 42.8 62312 xxxxy

Por la simetra de la curva de deflexin, la deflexin mxima estar en 300 cm.2

Lx Esto es

12 6 6 6max 8.42 10 300 27 10 108 10 216 10 0.34 cm.y

Ejemplo 112. Resolver el ejemplo 110 con la ayuda de Maple

>

Con assume estamos diciendo que L>0 .

>

>


229


>

>

>

Lo anterior indica que

>

Lo anterior es equivalente a . Calculamos la inversa

>

La salida anterior equivale a

y(x)=

Escrita en forma de funcin a tramos se tiene:

>

s4 ( )Y s s2 A BP e

s L

2

EI

( )Y s P e

s L

2

EI s4A

s2B

s4

P

x

L

2

3

Heaviside x

L

2

6 EIA x

B x3

6



Para calcular A y B usamos las condiciones y(L)=0 y y''(L)=0. Por lo que es necesario derivar la funcin y.

>

>

Sustituimos las condiciones y(L)=0 y y''(L)=0.

>

>

>

>

Ahora sustituimos los valores de A y B en la curva de deflexin "y".

>


231


De acuerdo a la salida previa, la deflexin de la viga es:

2 2

2 2

(3 4 ) 048 2

( )

( )(4 8 )48 2

P Lx L x si x

EIy x

P Lx L x xL L si x L

EI

Ejercicio 3.7. Resolver cada uno de los problemas de valor de frontera dado.

248. Una viga en Cantilever empotrada en 0x soporta una carga si 0

2

0 si 2

LW xW x

L x L

por unidad de longitud. Hallar la deflexin y x Cul ser la deflexin mxima?

249. Resolver el problema 248 si W x aplicada en 2

Lx .

250. Resolver el problema 248 si W x aplicada en x L .

251. Una viga fija en sus dos extremos soporta una carga por unidad de longitud igual a

0

2

0 2

LW xW x

L x L

. Calcular su deflexin en 2L

y .

252. Encontrar la deflexin de una viga apoyada simplemente en 0x y empotrada en Lx si soporta una

carga por unidad de longitud igual a 0

2

0 2

LW xW x

L x L

253. Resolver el problema 252 s 2L

W x x .

254. Resolver el problema 252 si W x W .

255. Una viga empotrada en sus extremos soporta una carga W uniformemente distribuida por unidad de longitud.

Encuentre la deflexin y x .

256. Resolver el problema 8 s 2L

W x x .

257. Resolver el problema 248 si W x x L .

261. Una viga simplemente apoyada soporta una carga 0 0

2

2

LxW x

LWx x L

y una carga concentrada

P aplicada en 2

Lx . Encuentre su deflexin y x .

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