ediciÓn abril 2020...preguntando por un número que es el 100% importante identificar que 9.000...

EDICIÓN ABRIL 2020

Prueba Transición Matemática Admisión 2021

¿Qué Incluye? 21 PÁGINAS CON RESÚMENES DE CONTENIDOS DE LA PRUEBA DE TRANSICIÓN 2021

TIPS PARA ABORDAR MEJOR LA PSU E INFORMACIÓN IMPORTANTE

4 PÁGINAS CON EJERCITACIÓN (1 POR EJE TEMÁTICO), 38 EJERCICIOS EN TOTAL (77 en la versión pagada)

Profe MANUEL HERNÁNDEZ DÍAZ

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CAPÍTULO 1




PORCENTAJES El tanto por ciento corresponde a una proporcionalidad directa, en el que uno de los términos de la proporción es 100

CASOS DE PROBLEMAS QUE INVOLUCREN PORCENTAJES Hallar un tanto por ciento de un número Hallar un número cuando se conoce un

tanto por ciento de él Dado dos números, averiguar qué tanto

por ciento es uno del otro

¿Cuál es el 15% de 9.000? ¿De qué número, 1.350 es el 15%? ¿Qué porcentaje de 9.000 es 1.350?

Importante identificar que 9.000 corresponde al 100% y lo que se está

preguntando es por un número 𝑥

Importante identificar que se está preguntando por un número 𝑥 que es el

100%

Importante identificar que 9.000 corresponde al 100% y lo que se está preguntando es por un porcentaje 𝑥

15%

100%=

𝑥

9.000

𝑥 =15 ∙ 9.000

100= 1.350

15%

100%=

1.350

𝑥

𝑥 =100 ∙ 1.350

15= 9.000

𝑥

100%=

1.350

9.000

𝑥 =100 ∙ 1.350

9.000= 15%

OPERATORIA CON NÚMEROS ENTEROS SUMA DE ENTEROS DE IGUAL SIGNO

Se suma los valores absolutos de cada

número, y siempre se mantiene el signo.

“Junto positivos entre sí, y negativos entre sí”

SUMA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO

Se resta los valores absolutos de cada número, y se mantienes el signo del valor

absoluto mayor. “Resto y conservo el signo del mayor”

EJEMPLOS

−𝟑 + 𝟒 − 𝟏𝟎 + 𝟕 −𝟏𝟑 + 𝟏𝟏

−𝟐 1°Identifico los de igual signo

2° Sumo los que tienen igual signo 3° Resto y conservo el signo del “mayor”

Si bien en algunas operaciones aparecen restas, ciertas propiedades permiten tomar como negativo el número para efecto de cálculo

MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE 2 ENTEROS DE IGUAL SIGNO

El resultado es siempre POSITIVO

MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE 2 ENTEROS DE DISTINTO SIGNO

El resultado es siempre NEGATIVO

−𝟑 ∙ 𝟓 − 𝟔: −𝟐 −𝟏𝟓 + 𝟑

−12 1° Identifico y calculo las operaciones de punto respetando la regla de los signos 2° Suma los enteros, ya sea de igual o

distinto signo

Para operatorias combinadas, recuerda priorizar las operaciones con: PA PO MUD AS

1° Paréntesis 2° Potencias 3° Multiplicaciones y divisiones 4° Adiciones y sustracciones




OPERATORIA CON NÚMEROS RACIONALES SUMAS Y RESTAS

Se ocupa mínimo común múltiplo para

amplificar e igualar denominadores

𝟓

𝟔−

𝟕

𝟗+

𝟏

𝟑=

𝟏𝟓 − 𝟏𝟒 + 𝟔

𝟏𝟖=

𝟕

𝟏𝟖

MULTIPLICACIÓN

Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, luego simplifico

si es necesario

𝟐

𝟗∙

𝟕

𝟏𝟎∙

𝟓

𝟕=

𝟕𝟎

𝟔𝟑𝟎=

𝟏

𝟗

Para reducir el proceso, se puede

simplificar antes y luego multiplicar de lado a lado

DIVISIÓN

Se multiplica la primera fracción por el recíproco del segundo, o

“multiplico por el segundo dado vuelta”

𝟓

𝟕:𝟑

𝟕=

𝟓

𝟕∙

𝟕

𝟑=

𝟑𝟓

𝟐𝟏=

𝟓

𝟑

ORDEN EN LOS RACIONALES Existen diversas formas de ordenar números racionales (fracciones o decimales)

A continuación, te dejo diversas estrategias, para comparar directamente entre 2 o más racionales:

ESTRATEGIAS PARA FRACCIONES ESTRATEGIA PARA DECIMALES

MULTIPLICACIÓN CRUZADA

AMPLIFICAR por Mínimo Común Múltiplo DÍGITO A DÍGITO

De tener 2 fracciones…

5

9 ___

4

7

Al multiplicar cruzado

se tiene:

5 ∙ 7 ___ 9 ∙ 4 35 < 36

Por lo tanto:

5

9 <

4

7

De tener 3 o más fracciones…

5

6 ;

7

12 ;

5

9 ;

2

3

1° Encontrar Mínimo

Común Múltiplo (MCM) entre los denominadores

2° Amplificar cada fracción, de tal forma que todas queden con el MCM

como denominador 3° Comparar directamente

los numeradores, y así ordenar según corresponda

Amplificando las fracciones anteriores:

30

36 ;

21

36 ;

20

36 ;

24

36

Ordenando según

numeradores:

20

36 <

21

36 <

24

36 <

30

36

ORDEN CRECIENTE (menor a mayor)

5

9 <

7

12 <

2

3 <

5

6

De tener 3 o más decimales, se procede de la misma forma anterior:

𝐴 = 0,333333 … 𝐵 = 0,343434 … 𝐶 = 0,343343 … 𝐷 = 0,334334 …

ORDEN CRECIENTE (menor a mayor)

𝑨 < 𝑫 < 𝑪 < 𝑩

ORDEN DECRECIENTE (mayor a menor) 𝑩 > 𝑪 > 𝑫 > 𝑨




TRANSFORMACIONES IMPORTANTES FRACCIÓN A DECIMAL:

Se divide numerador con denominador

2

5= 2: 5 = 0,4

NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN:

Se multiplica el denominador por el entero, y al resultado se le suma el

numerador. El denominador se mantiene

22

3=

3 ∙ 2 + 2

3=

8

3

DECIMAL FINITO A FRACCIÓN: Numerador: Se anota todo el número

Denominador: Se anota una potencia de 10… 1 decimal: 10, 2 decimales: 100,

3 decimales 1000, etc. Simplifico si es necesario

1,25 =125

100=

5

4

DECIMAL INFINITO PERIÓDICO A FRACCIÓN:

Numerador: Se anota todo el número y resto lo que está antes del período (número bajo el “sombrero”)

Denominador: Se anota un 9 por cada período Simplifico si es necesario

1, 25̅̅̅̅ =125 − 1

99=

124

99

DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN:

Numerador: Se anota todo el número y resto lo que está antes del período (número bajo el “sombrero”)

Denominador: Se anota un 9 por cada período y luego un 0 por cada ante período. Simplifico si es necesario

1,25̅ =125 − 12

90=

113

90

PROPIEDADES ELEMENTALES MULTIPLICACIÓN

¡Lo que es igual se mantiene!

Si las BASES son IGUALES Sumo los exponentes y mantengo la base

𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

Si los EXPONENTES son IGUALES Multiplico las bases y mantengo el

exponente

𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛

DIVISIÓN

¡Lo que es igual se mantiene!

Si las BASES son IGUALES Resto los exponentes y mantengo la base

𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

Si los EXPONENTES son IGUALES Divido las bases y mantengo el exponente

𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = (𝑎: 𝑏)𝑛

BASES ENTERAS Y EXPONENTES NEGATIVOS

¡Transformar a exponente positivo!

Si la base es un ENTERO Anoto 1 en el numerador, y la misma potencia con exponente positivo en el

denominador

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Si la base es un RACIONAL NO ENTERO Se invierte la fracción, y el exponente

cambia a positivo

(𝑎

𝑏)

−𝑛

= (𝑏

𝑎)

𝑛

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Multiplico los exponentes y mantengo la base

(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚

Potencias de base 2: {𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔, 𝟑𝟐, 𝟔𝟒, 𝟏𝟐𝟖, 𝟐𝟓𝟔 … }

Potencias de base 3:

{𝟑, 𝟗, 𝟐𝟕, 𝟖𝟏, 𝟐𝟒𝟑 … }

Potencias de base 5: {𝟓, 𝟐𝟓, 𝟏𝟐𝟓, 𝟔𝟐𝟓 … }

Ejemplos:

8 = 23 273 = (33)3 = 39

(4

9)

−4

= (9

4)

4

= ((3

2)

2

)

4

= (3

2)

8




PROPIEDADES ELEMENTALES MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES CON IGUAL

ÍNDICE

√𝑎𝑛 ∙ √𝑏𝑛

= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

DIVISIÓN DE RAÍCES CON IGUAL ÍNDICE

√𝑎𝑛 : √𝑏𝑛

= √𝑎: 𝑏𝑛

RAÍCES COMO POTENCIA CON EXPONENTE RACIONAL

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛

3√18 ∙ 5√2 = 15 ∙ √18 ∙ 2 …

15√36 = 15 ∙ 6 = 90

6√8: 3√2 = 2√8: 2 …

2√4 = 2 ∙ 2 = 4

√2 = 212

√275

= √335= 3

35

RAÍZ DE UNA RAÍZ

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛∙𝑚

Multiplico los índices de las raíces

COMPOSICIÓN DE RAÍCES

𝑏 ∙ √𝑎𝑛 = √𝑏𝑛 ∙ 𝑎𝑛

El número que está fuera, entra a la raíz elevado al índice de esta

DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES

√𝑏𝑛 ∙ 𝑎𝑛

= 𝑏 ∙ √𝑎𝑛

RAÍCES CUADRADAS EXACTAS:

{𝟏, 𝟒, 𝟗, 𝟏𝟔, 𝟐𝟓, 𝟑𝟔, 𝟒𝟗, 𝟔𝟒, 𝟖𝟏, 𝟏𝟎𝟎 … }

√√523

= √53∙2

= √56

= 516

2√33

= √23 ∙ 33

= √8 ∙ 33

= √243

√12 + √27 = √4 ∙ 3 + √9 ∙ 3 …

2√3 + 3√3 = 5√3

PROPIEDADES ELEMENTALES MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN EL ARGUMENTO

𝐥𝐨𝐠𝒃(𝒎 ∙ 𝒏) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒎 +𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒏 El logaritmo de un producto en el argumento se puede separar en una suma de

logaritmos, con igual base, de los factores y viceversa

log9 10 = log9(2 ∙ 5)

log9 2 + log9 5

log3 12 = log3(22 ∙ 3) = log3 22 +log3 3

= 2log3 2 + 1 Cuando los argumentos son números, por lo general se pueden descomponer en potencias de 2, 3, 5.. etc. Y se puede combinar con la propiedad de potencias en el

argumento




DIVISIÓN DE NÚMEROS EN EL ARGUMENTO

𝐥𝐨𝐠𝒃 (𝒎

𝒏) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒎 −𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒏

El logaritmo de un cociente en el argumento se puede separar en una resta de logaritmos, con igual base, entre el dividendo y divisor, y viceversa

log9 (4

5) = log9 4 − log9 5

log3 (1

27) = log3 1 − log3 27

0 − 3 = −3 Cuando se quiere calcular logaritmos de fracciones en el argumento, se puede aplicar

esta propiedad para calcular de forma más rápida

POTENCIAS EN EL ARGUMENTO

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂𝒏 = 𝒏 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 El logaritmo de una potencia en el argumento es igual al producto entre el

exponente de la potencia y el logaritmo de la base de la potencia, conservando la base del logaritmo

log9 8 = log9 23 = 3log9 2

log3 √93

= log3 √323= log3 3

23

2

3∙ log3 3 =

2

3∙ 1 = 0,6666 …

Si se tiene una raíz en el argumento, recordar que esta se puede transformar a una potencia con exponente fraccionario

“Para todo acto disciplinado,

existe una recompensa múltiple”

(J. Rohn)




EJERCITACIÓN




EJERCITACIÓN TRANSICIÓN 2021: NÚMEROS




CAPÍTULO 2




MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS FACTORIZACIÓN Corresponde a dejar expresiones algebraicas como

multiplicación entre términos SE MULTIPLICAN LOS COEFICIENTES ENTRE SÍ, Y LAS PARTES

LITERALES SE OPERAN APLICANDO PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN CON IGUAL BASE (SUMAR EXPONENTES)

𝟒𝒙𝟐𝒚𝟑 ∙ 𝟐𝒙𝒚 ∙ 𝟓𝒙𝟑𝒚 = (4 ∙ 2 ∙ 5)𝑥2+1+3𝑦3+1+1 = 40𝑥6𝑦5

(𝟑𝒙𝟐𝒚𝟑)𝟑 = 3𝑥2𝑦3 ∙ 3𝑥2𝑦3 ∙ 3𝑥2𝑦3 = 27𝑥6𝑦9

𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟓) = 6𝑥2 − 10𝑥

(𝟒 − 𝒙)(𝟓 + 𝟑𝒙) = 20 + 12𝑥 − 5𝑥 − 3𝑥2

= −3𝑥2 + 7𝑥 + 20

FACTOR COMÚN ¿Hay algo en común: números y/o letras? 2𝑥 + 4 = 2(𝑥 + 2)

𝑥3 − 𝑥2 = 𝑥2(𝑥 − 1) 8𝑥2 + 12𝑥 = 4𝑥(2𝑥 + 3)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

25𝑥2 − 𝑦6 = (5𝑥 + 𝑦3)(5𝑥 − 𝑦3)

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + (𝒑 + 𝒒)𝒙 + (𝒑𝒒) Buscar 2 números que multiplicados den −18 y sumados −3

𝑥2 − 3𝑥 − 18 = (𝑥 + 𝟑)(𝑥 − 𝟔) Los números encontrados se distribuyen en cada paréntesis,

considerando su signo

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎 ± 𝑏) = (𝑎 ± 𝑏)2 4𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 + 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦)2

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) 27𝑥3 + 𝑦3 = (3𝑥 + 𝑦)(9𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2)

PRODUCTOS NOTABLES IMPORTANTES CUADRADO DE BINOMIO

(𝑎 ± 𝑏)2 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎 ± 𝑏) = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

PRODUCTO DE SUMA POR SU DIFERENCIA (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

(𝑎 + 𝑝)(𝑎 + 𝑞) = 𝑎2 + (𝑝 + 𝑞)𝑎 + (𝑝𝑞)

ECUACIONES Una ecuación corresponde a una igualdad

que tiene una o más incógnitas, con coeficientes que pueden ser numéricos o

literales

𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 Donde 𝑥 es la incógnita

PASOS PARA RESOLVER

1° Eliminar fracciones y paréntesis (VER MÁS ABAJO CÓMO)

2° Agrupar la incógnita en un lado de la igualdad, y los demás términos al otro

3° Se reducen términos hasta despejar la

incógnita pedida

Una ecuación puede tener:

Solución Única

𝑥 + 3 = 5

Infinitas Soluciones

𝟎 = 𝟎

𝑥 + 3 = 𝑥 + 3

SIN Solución

𝟎 ≠ 𝟎

𝑥 + 3 = 𝑥




RESOLUCIÓN DE ECUACIONES: Eliminar Paréntesis Un signo + antes de un paréntesis, se elimina

directamente, manteniendo el signo de los términos dentro

de este +(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏

Un signo − antes de un paréntesis, se elimina

directamente CAMBIANDO el signo de los términos dentro

de este −(𝑎 − 𝑏) = −𝑎 + 𝑏

Un valor 𝑘 antes de un paréntesis, multiplica a cada

uno de los términos dentro de este

𝑘 ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑘 − 𝑏𝑘

EJEMPLO

2(𝑥 − 4) = −(−3𝑥 + 6) 2𝑥 − 8 = 3𝑥 − 6

−8 + 6 = 3𝑥 − 2𝑥 −𝟐 = 𝒙 ↔ 𝒙 = −𝟐

En un sistema del tipo

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Se pueden tener sistemas:

SOLUCIÓN ÚNICA SIN SOLUCIÓN INFINITAS SOLUCIONES

Rectas Secantes

𝒂

𝒅≠

𝒃

𝒆

Rectas Paralelas

𝒂

𝒅=

𝒃

𝒆≠

𝒄

𝒇

Rectas Coincidentes 𝒂

𝒅=

𝒃

𝒆=

𝒄

𝒇

INECUACIONESCorresponde a una desigualdad que involucra incógnitas y valores conocidos (numéricos o literales)

¿CÓMO RESOLVER INECUACIONES?

1° Eliminar paréntesis y/o fracciones

2° Agrupar incógnitas en un lado, valores conocidos al otro

−(3𝑥 − 2) ≥ 2(3 − 𝑥) + 1

−3𝑥 + 2 ≥ 6 − 2𝑥 + 1 −3𝑥 + 2𝑥 ≥ 6 + 1 − 2

−𝑥 ≥ 5 𝑥 ≤ −5

/∙ −1

SOLUCIÓN GRÁFICA:

SOLUCIÓN POR INTERVALO:

]−∞, −5]



(J. Rohn)




¿CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE INECUACIONES? 1° Se resuelven las inecuaciones por separado, despejando siempre el valor de 𝑥 (incógnita)

2° Luego graficar las soluciones y así encontrar las intersecciones de ambas. Si no hay intersección se dice que la solución es vacía ∅

EJEMPLO: 1° Resolviendo por separado: 2° Graficando las soluciones:

𝟐𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟗

𝟒 − 𝟓𝒙 < 𝟐𝟒

𝟐𝒙 ≤ 𝟗 − 𝟑 2𝑥 ≤ 6

𝑥 ≤6

2

𝑥 ≤ 3

−𝟓𝒙 < 𝟐𝟒 − 𝟒 −5𝑥 < 20 /∙ −1

5𝑥 > −20

𝑥 > −20

5

𝑥 > −4

Solución por intervalo: ]−4,3]

ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación es de segundo grado si

tiene la forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

PARA IDENTIFICAR 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ¡RECUERDA IGUALAR A CERO!

RELACIONES ENTRE RAÍCES:

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃

𝒂

𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =𝒄

𝒂

TIPS: Puedes recordarlo como “una BACA negativa”

Naturaleza de Raíces o CÓMO son las soluciones de la ecuación

(DISCRIMINANTE)

∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆> 𝟎 : Reales y distintas ∆= 𝟎 : Reales e iguales

∆< 𝟎 : Complejas y conjugadas

OPCIÓN 1: FÓRMULA GENERAL

𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

• Identifico los valores de a, b y c

• Reemplazo en fórmula

• Ordenadamente se va calculando los valores respectivos hasta llegar a las soluciones

EJEMPLOS

𝑺𝒆𝒂: x2 + 5x + 6 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 = 5, 𝑐 = 6

𝑥 =−(5) ± √(5)2 − 4(1)(6)

2(1)

𝑥 =−5 ± √1

2

𝑥 =−5 ± 1

2

x =−5 + 1

2

𝐱 = −𝟐

x =−5 − 1

2

𝐱 = −𝟑

¡RECUERDA QUE TAMBIÉN SE ENCUENTRA EL MÉTODO POR FACTORIZACIÓN QUE ES MÁS RÁPIDO!




DEFINICIÓNSon aquellas funciones donde su crecimiento o decrecimiento es constante y su gráfica siempre corresponde a una recta

CLASIFICACIONESToda función de comportamiento lineal se puede clasificar en 3 formas: AFÍN, LINEAL o CONSTANTE

FUNCIÓN AFÍNNOTACIÓN

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑚 ≠ 0, 𝑛 ≠ 0 (con 𝑚 y 𝑛 distintos de cero)

DOMINO: 𝑹

RECORRIDO: 𝑹

𝑅 → Todos los Reales

𝒎: PENDIENTE Indica si la gráfica es creciente o decreciente

𝒏: COEFICIENTE DE POSICIÓN Indica la intersección de la

recta con el eje Y (ordenadas)

Si 𝑚 > 0 (positivo)

La gráfica es CRECIENTE

Si 𝑚 < 0 (negativo)

La gráfica es

DECRECIENTE

Siempre intersecta en el punto

(0, 𝑛)

¿CÓMO MODELAR FUNCIONES?Solo basta conocer 2 puntos que

pertenezcan a la gráfica de la función, y, además, que sea de comportamiento

lineal

𝑥 𝑓(𝑥) (𝑥, 𝑦) 𝑥1 𝑦1 (𝑥1, 𝑦1) 𝑥2 𝑦2 (𝑥2, 𝑦2)

Teniendo los puntos, se reemplazan los datos en la fórmula de ecuación de la

recta:

Al reemplazar en la ecuación, el objetivo está en despejar "𝑦”, recordando que

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥1 , 𝑦1 son las coordenadas del punto escogido

PENDIENTE = 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

CONCAVIDAD INTERSECCIÓN CON EL EJE Y Es cóncava hacia ARRIBA si

𝑎 > 0 (positivo)

Es cóncava hacia ABAJO si 𝑎 < 0 (negativo)

Una parábola intersecta al eje de

las ordenadas, o eje Y, en el punto cuyas coordenadas

son (0, 𝑐)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6




VÉRTICE 𝑷(𝒙, 𝒚) EJE DE SIMETRÍA PUNTO MÍNIMO/MÁXIMO

𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒚 = 𝒇 (−𝒃

𝟐𝒂) =

𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐

𝟒𝒂

Divide a la

parábola en 2 partes simétricas

entre sí

P. Mínimo P. Máximo

DISCRIMINANTE: ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

Si ∆> 𝟎

La parábola intersecta en 2 puntos al

eje X

Si ∆= 0

La parábola intersecta en

1 punto al eje X

Si ∆< 0

La parábola NO intersecta al eje X

APLICACIONES: INTERÉS COMPUESTOCorresponde el CAPITAL ACUMULADO O FINAL (𝑪𝒇) que se

genera al depositar un CAPITAL INICIAL (𝑪𝒊), a una TASA DE INTERÉS (𝒊) al término de una

CANTIDAD DE PERÍODOS (𝒏), donde los intereses se obtienen al final de cada período y se reinvierte al capital inicial.

𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛

i es la tasa de interés en forma decimal, es decir, si la tasa es de

un 5%, el valor de 𝑖 = 5% =5

100= 0,05



(J. Rohn)




GRÁFICASUno de los objetivos en este tema es reconocer una gráfica de función potencia, sus características y cómo puede variar. Para ello

se puede construir una tabla de valores, graficar y analizar, o tener en cuenta algunas características que ocurren al variar el exponente (número natural mayor que 1) y el número que multiplica a esta.

Dentro de las variaciones más frecuentes son las siguientes:

"𝑛" un número PAR "𝑛" un número IMPAR Si 𝑎 > 0, o sea el número que multiplica la potencia mayor

que cero o positivo

Si 𝑎 < 0, o sea el número que multiplica la potencia menor

que cero o negativo

Si 𝑎 > 0, o sea el número que multiplica la potencia mayor

que cero o positivo

Si 𝑎 < 0, o sea el número que multiplica la potencia menor

que cero o negativo

𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑥2

𝑓(𝑥) = −3 ∙ 𝑥2

𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑥3

𝑓(𝑥) = −3 ∙ 𝑥3

CÓNCAVA HACIA ARRIBA CÓNCAVA HACIA ABAJO CRECIENTE DECRECIENTE

FUNCIÓN INVERSA

Si una función 𝑓 es biyectiva (ver próxima lámina), entonces siempre existirá una función inversa de 𝑓

Si 𝑓(𝑥) o "𝑦” es la función, la notación para una función inversa es 𝑓−1(𝑥) o 𝑦−1

¿CÓMO ENCONTRAR UNA FUNCIÓN INVERSA? PASOS EJEMPLO

1° Cambiar 𝒇(𝒙) por "𝒚"

2° Despejar "𝒙" en la función

3° Cambiar la variable…

→ "𝑥" por 𝑦−1 o 𝑓−1(𝑥) → "𝑦" por "𝑥"

Si 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙−𝟖

𝟒, entonces su función inversa es:

1° 𝑦 =2𝑥−8

4

2° 4𝑦 = 2𝑥 − 8 → 4𝑦 + 8 = 2𝑥 → 4𝑦+8

2= 𝑥

3° 𝑥 =4𝑦+8

2 → 𝒇−𝟏(𝒙) =

𝟒𝒙+𝟖

𝟐

VALORACIONES Tener en cuenta por ejemplo que 𝒇(𝟏𝟐) ≠ 𝒇−𝟏(𝟏𝟐)

Recuerda que tener 𝑓(𝑎)

significa reemplazar el valor "𝑎" en la función 𝑓

𝑓(12) =2 ∙ 12 − 8

4=

16

4= 4

𝑓−1(12) =4 ∙ 12 + 8

2=

56

2= 28




EJERCITACIÓN




EJERCITACIÓN TRANSICIÓN 2021: ÁLGEBRA Y FUNCIONES




CAPÍTULO 3




FÓRMULAS Si se tienen 2 puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2), se pueden aplicar las siguientes 2 fórmulas:

DISTANCIA ENTRE PUNTOS PUNTO MEDIO

Cada vez que se requiera encontrar la distancia o longitud entre

2 puntos en el plano cartesiano, se puede aplicar la siguiente fórmula:

Corresponde a un punto, el cual está a igual distancia (equidista) de 2 puntos, y se puede determinar con la siguiente fórmula en

el plano cartesiano:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 (La cual viene al aplicar teorema de Pitágoras)

o de forma más abreviada:

𝑑 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 Donde ∆𝑥 es la diferencia o resta entre las coordenadas de "𝑥" y

∆𝑦 entre las coordenadas de "𝑦"

𝑀(𝑎, 𝑏) es el punto medio, donde:

𝑎 =𝑥1 + 𝑥2

2 𝑦 𝑏 =

𝑦1 + 𝑦2

2

o de forma más abreviada:

𝑀 = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2)

TRASLACIONES Una traslación describe un desplazamiento en el plano mediante un par ordenado 𝑇(𝑎, 𝑏) llamado vector de traslación

La clave está en identificar el punto inicial, el vector y el punto final, para así plantear una ecuación la cual permita encontrar lo

pedido en el enunciado

ROTACIONES Si un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) se rota en sentido ANTIHORARIO y con respecto AL ORIGEN, se pueden aplicar las siguientes fórmulas:

ÁNGULO FÓRMULA EJEMPLO 𝑷(−𝟑, 𝟔)

90° (−𝑦, 𝑥) (−6, −3)

180° (−𝑥, −𝑦) (3, −6)

270° (𝑦, −𝑥) (6,3)

360° (𝑥, 𝑦) (−3,6)

Recuerda que las expresiones " − 𝑥" o " − 𝑦" significan CAMBIO DE SIGNO, no que queden necesariamente negativas




SIMETRÍAS o REFLEXIONES Se puede considerar una simetría como aquella transformación que, aplicada a un punto, lo mueve 180° con respecto a un

elemento de simetría, que puede ser una recta o un punto

Si un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) se le aplica una simetría con respecto a:

EJE X EJE Y ORIGEN Es equivalente a una rotación de 180°

𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑷′(𝒙, −𝒚) 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑷′(−𝒙, 𝒚) 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑷′(−𝒙, −𝒚)

SEMEJANZA ~ 2 figuras son semejantes siempre que tengan la MISMA FORMA Y DISTINTO TAMAÑO

Para ello deben cumplirse 2 condiciones: ÁNGULOS respectivamente CONGRUENTES y LADOS HOMÓLOGOS sean proporcionales

Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 ÁNGULOS CONGRUENTES

< 𝐴 ≅ < 𝐷

< 𝐵 ≅ < 𝐸

< 𝐶 ≅ < 𝐹

LADOS PROPORCIONALES

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ =𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐸𝐹̅̅ ̅̅ =𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐷𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑘

Donde "𝑘" es la razón de

semejanza

IMPORTANTES Lados homólogos o correspondientes, son los que contienen a

los mismos ángulos. EJEMPLO:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ homólogo con 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ con 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ con 𝐷𝐹̅̅ ̅̅

𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 ∆𝑨𝑩𝑪

𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 ∆𝑫𝑬𝑭= 𝒌

Á𝒓𝒆𝒂 ∆𝑨𝑩𝑪

Á𝒓𝒆𝒂 ∆𝑫𝑬𝑭= 𝒌𝟐

TEOREMA DE THALES Si hay rectas transversales a rectas que son paralelas, entonces existe proporcionalidad entre los segmentos comprendidos entre

las rectas paralelas

Si 𝐿1 // 𝐿2 // 𝐿3

Se pueden establecer diversas proporciones, pero los más recurrentes son:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎

𝑎 + 𝑏=

𝑐

𝑐 + 𝑑




TEOREMA PARTICULAR 1

Si 𝐿1 // 𝐿2

𝑎

𝑏=

𝑎 + 𝑐

𝑑

TEOREMA PARTICULAR 2

Si 𝐿1 // 𝐿2

Para este caso se obtiene la siguiente proporción, la cual se

origina por semejanza:

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒=

𝑐

𝑓



(J. Rohn)




CARACTERÍSTICAS

𝟎 < 𝒌 < 𝟏 𝒌 = 𝟏 𝒌 > 𝟏 DISMINUYE su tamaño MANTIENE su tamaño AUMENTA su tamaño

−𝟏 < 𝒌 < 𝟎 𝒌 = −𝟏 𝒌 < −𝟏

CONSIDERACIONES Al comparar ÁREAS, la razón de homotecia siempre es al

cuadrado

Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐷𝐸𝐹

Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶= 𝑘2

En un ejercicio se debe tener claro:

1° Cuál es la figura INICIAL y

FINAL 2° Interpretar la razón de

homotecia

Si una razón de homotecia está como decimal, conviene pasar a fracción, para así comparar y deducir según lo que la pregunta

pida. EJEMPLO:

Si 𝑘 = −0,25 es equivalente a 𝑘 = −1

4, lo cual significa que…

La figura DISMINUYE DE TAMAÑO, y queda pasado el centro de homotecia



(J. Rohn)




ECUACIÓN PRINCIPAL

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

La "𝑦" queda despejada en una parte de la igualdad, dejando los

demás términos en la otra parte de esta

PENDIENTE (𝒎)

El signo indica si es una recta creciente (+) o decreciente (-)

Si 𝑚 = 0, Es una recta paralela

al EJE X

COEF. DE POSICIÓN (𝒏)

El valor de 𝑛 indica el punto

de intersección con el eje Y, es decir, en el punto (0, 𝑛)

EJEMPLO

ANÁLISIS Y CÁLCULO DE PENDIENTE La recta es decreciente, por lo tanto, su pendiente debe ser

negativa

Intersecta al eje Y en el punto (0,4), por lo tanto, su coeficiente de posición es +4

Pasa por los puntos (0,4) y (2,0)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS (analizando pendientes) RECTAS PARALELAS

Si las pendientes de las rectas son iguales

y los coeficientes de posición distintos

𝑦 = 𝟐𝑥 + 6 𝑦 = 𝟐𝑥 − 4

𝑦 = 𝟐𝑥

RECTAS PERPENDICULARES

Si el producto de las pendientes de las rectas son igual a -1

𝑦 = 𝟐𝑥 + 6

𝑦 = −𝟏

𝟐𝑥 − 5

RECTAS COINCIDENTES

Si las pendientes y los coeficientes de posición de las rectas son iguales

𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟔

2𝑦 = 4𝑥 + 12 → 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟔




EJERCITACIÓN




EJERCITACIÓN TRANSICIÓN 2021: GEOMETRÍA




CAPÍTULO 4




MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MODA

(Ver frecuencia absoluta)

Para datos NO agrupados, corresponde al DATO que tiene mayor frecuencia

INTERVALO o CLASE MODAL (Ver frecuencia absoluta)

Para datos agrupados, corresponde al

INTERVALO que tiene mayor frecuencia

Para datos agrupados, ¡LA MODA NO SE ENCUENTRA NECESARIAMENTE EN EL INTERVALO MODAL, ya que no se conocen los datos!

MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO Es la suma de todos los datos, dividida por el total de estos

En datos NO agrupados, corresponde a la suma del producto entre cada dato y su frecuencia, dividida por la suma de todas

las frecuencias

En datos agrupados, corresponde a la suma del producto entre la marca de clase y su frecuencia, dividida por la suma de todas

las frecuencias

MEDIANA (Ver frecuencia acumulada)

Corresponde al valor central de todos los datos de una muestra, ordenados en forma ascendente o descendente (cuando el número total de datos es impar)

Cuando la muestra presenta una cantidad par de datos, la mediana corresponderá al promedio de los dos datos centrales

En caso de trabajar con tablas o gráficos, seguir el siguiente

procedimiento:

1° Ver si la cantidad de datos es PAR o IMPAR 2° Buscar en la FRECUENCIA ACUMULADA la posición donde está la mediana

PAR Promedio entre los datos que

están en la posición

(𝑛

2 𝑦

𝑛

2+ 1)

IMPAR Valor único que está en la

posición

(𝑛 + 1

2)

Datos NO agrupados: Se puede saber cuál es la mediana, ya que son datos exactos Datos Agrupados: NO se puede saber cuál es exactamente la mediana, pero sí el intervalo donde se encuentra esta

PORCENTAJES:

% =𝑓𝑟𝑒𝑐. 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠∙ 100

FRECUENCIA RELATIVA

𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑡𝑜/𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

MARCA DE CLASE:

Corresponde al promedio de los límites de cada intervalo




CÓMO CALCULAR CUANTILES

𝑪𝒌 =𝒌 ∙ (𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔)

(𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍)= 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝐶𝑘 → 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎

CUARTIL 2:

𝑄2 =(2) ∙ (50)

(4)=

100

4= 25

***Buscar posición 25*** Cuartil 2 son 3 televisores

QUINTIL 1:

𝐾1 =(1) ∙ (50)

(5)=

50

5= 10

***Buscar posición 10*** Quintil 1 son 2 televisores

DECIL 9:

𝐷9 =(9) ∙ (50)

(10)=

450

10= 45

***Buscar posición 45*** Decil 9 son 5 televisores

PERCENTIL 6:

𝑃6 =(6) ∙ (50)

(100)=

300

100= 3

***Buscar posición 3***

Percentil 6 son 0 televisores

DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES

Los diagramas de cajas se ocupan para representar una distribución de datos de una muestra a través de CUARTILES

El Rango Intercuartil corresponde a la diferencia entre el

CAURTIL 3 y el CUARTIL 1

El Rango corresponde a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un grupo de datos



(J. Rohn)




PROBABILIDAD CLÁSICA y REGLA DE LAPLACE La probabilidad de que ocurra un suceso o evento A, siempre se

puede calcular con:

𝑃(𝐴) =𝑁° 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑎 𝐹𝐴𝑉𝑂𝑅

𝑁° 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿𝐸𝑆

Si 𝑃(𝐴) = 0 se llama evento IMPOSIBLE

Si 𝑃(𝐴) = 1 se llama evento SEGURO

Las probabilidades siempre son números entre 0 y 1, o en porcentaje entre 0% y 100%

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

0% ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 100%

Si A es un evento, la probabilidad que NO ocurra dicho evento está dada por 1 − 𝑃(𝐴)

SUMA DE PROBABILIDADES Generalmente aparece un conector “o” en el enunciado

PRODUCTO DE PROBABILIDADES Generalmente aparece un conector “y” en el enunciado

Si NO hay elementos en común

Si hay elementos en común Si uno NO afecta la ocurrencia de otro

Si uno afecta la ocurrencia de otro

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴)

En ejercicios, conviene contabilizar todos los elementos pedidos, para así aplicar LAPLACE inmediatamente

En ejercicios, es mucho más frecuente cuando una probabilidad se multiplica inmediatamente. En cambio, la otra se aplica con

probabilidad condicionada

EJEMPLOS

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un número menor que 3 al lanzar un dado?

Casos a Favor: {1,2,4,6}, Por lo tanto… 𝑃(𝐴) =4

6=

2

3

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y un número menor que 3 al lanzar 2 dados y en ese orden?

𝑃(𝐴) =3

6∙

2

6=

6

36=

1

6

PROBABILIDAD CONDICIONADA

𝑃(𝐵/𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

La probabilidad que ocurra B dado que sucedió A

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵): Probabilidad que ocurra A y B




¿SE OCUPAN TODOS LOS ELEMENTOS?

SÍ → 𝑷𝑬𝑹𝑴𝑼𝑻𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑛: número total de elementos

SIN REPETICIÓN CON REPETICIÓN CIRCULARES

𝑛!

𝑛!

𝑎! ∙ 𝑏! ∙ … ∙ 𝑟!

𝑎, 𝑏, … 𝑟: veces que se repiten los

elementos

(𝑛 − 1)!

¿De cuántas formas se pueden ordenar 4 personas en una fila?

¿Cuántas palabras con o sin sentidos se pueden formar con as letras AAABBCD?

¿De cuántas formas se pueden ordenar 4 personas en una mesa redonda?

𝑛 = 4

4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 𝟐𝟒

𝑛 = 7, 𝑎 = 3, 𝑏 = 2

7!

3! 2!=

7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3! ∙ 2=

840

2= 𝟒𝟐𝟎

𝑛 = 4

(4 − 1)! = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 𝟔

¿SE OCUPAN TODOS LOS ELEMENTOS? NO → ¿IMPORTA EL ORDEN? → ⋯

𝑛: número total de elementos, 𝑘: número de elementos a escoger

𝑰𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝑶𝑹𝑫𝑬𝑵 → 𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑵𝑶 𝒊𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝑶𝑹𝑫𝑬𝑵 → 𝑪𝑶𝑴𝑩𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 SIN REPETICIÓN CON REPETICIÓN SIN REPETICIÓN CON REPETICIÓN

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

𝑛𝑘

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)! ∙ 𝑘!

(𝑛 + 𝑘 − 1)!

(𝑛 − 1)! ∙ 𝑘!

En un curso de 6 estudiantes, se desean

distribuir cargos de presidente, vicepresidente y

tesorero. ¿De cuántas formas distintas se pueden

distribuir los cargos?

Se tienen dígitos mayores que 4 para formar una clave de 3 cifras. ¿Cuántas claves se

pueden formar con los dígitos a disposición?

En un curso de 6 estudiantes, se desean armar grupos de 3

para un trabajo de matemática. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?

Se tiene una caja con 6 números distintos, y para un

juego de azar se extrae 1 número y se anota, repitiendo esto 3 veces en total. Si cada vez que se extrae un número este se devuelve. ¿Cuántas

combinaciones de números se puede obtener?

𝑛 = 6, 𝑘 = 3

6!

3!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3!= 𝟏𝟐𝟎

𝑛 = 6, 𝑘 = 3

63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 𝟐𝟏𝟔

𝑛 = 6, 𝑘 = 3

6!

3! 3!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3! ∙ 6= 𝟐𝟎

𝑛 = 6, 𝑘 = 3

8!

5! ∙ 3!=

8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!

5! ∙ 6= 𝟓𝟔




EJERCITACIÓN




EJERCITACIÓN TRANSICIÓN 2021: DATOS Y AZAR




DESCRIPCIÓN En las preguntas asociadas a suficiencia de dato no pide que se dé la solución al problema,

sino que decidas si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

¿CÓMO SE PROCEDE? Debes marcar la alternativa:

A) B) C) D) E) (1) Por sí sola (2) Por sí sola Ambas juntas,

(1) y (2) Cada una por sí sola,

(1) ó (2)

Se requiere información adicional

si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta, pero la

afirmación (2) por sí sola no lo es

si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta, pero la

afirmación (1) por sí sola no lo es

si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son

suficientes para responder a la

pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por

sí sola es suficiente

si cada una por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta

si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional

para llegar a la solución

PARA PSU En PSU existen 8 preguntas de suficiencia de datos, en donde hay 2 preguntas para cada eje temático:

NÚMEROS – ÁLGEBRA Y FUNCIONES – GEOMETRÍA – DATOS Y AZAR

RECOMENDACIONES




CAPÍTULO 5




CAMBIOS PARA LA PSU TRANSICIÓN DE MATEMÁTICA

ADMISIÓN 2021




¿QUÉ PUEDES HACER SI SACAS MENOS DE 500pts?




¡¡CAMBIA TU FORMA DE PENSAR!!

☹Elimina tus creencias limitantes:

😊 Y adopta creencias que te potencien:




NIVELARTE EN MATEMÁTICA

¡NO HAY EXCUSAS!




¿CON QUÉ CONTENIDOS NIVELARTE?

Operatoria con Números Racionales: Fracciones y Decimales.

Además de ciertas propiedades de potencias y raíces. No saber

esto, te pasa a llevar todos los contenidos que vienen

Manejo en álgebra y operatoria. Dominar ecuaciones de primer

grado (despeje de incógnitas)

Conceptos Básicos de Geometría: Áreas y Perímetros de figuras

planas, como por ejemplo: Triángulos (equilátero, isósceles,

rectángulo) y sus elementos (ángulos, altura, bisectrices,

medianas), Cuadriláteros (cuadrado, rectángulo, rombo, romboide,

trapecios) y Circunferencias




¿QUÉ PUEDES HACER SI YA ESTÁS EN LOS 600pts?

EJERCITAR DE FORMA MÁS ÓPTIMA




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DETALLE DE LAS 31 LÁMINAS DE MI LIBRO:

CAPÍTULO 1: NÚMEROS




CAPÍTULO 2: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

CAPÍTULO 3: GEOMETRÍA

CAPÍTULO 4: DATOS Y AZAR




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