edades x i

697696 Aritmética Und. 10 – Estadística

La altura promedio de ellos es:

x = 164 + 169 + 154 + 158 + 160 + 1566 x = 160,7 cm

10.2.2C. Para datos agrupadosDecimos que los datos de una variable estadística están agrupados si cada uno de ellos se muestra enuna tabla de frecuencias indicándose la frecuencia con que se repite.

Sean x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn los valores de una variable y f1 ; f2 ; f3 ; ... ; fn sus respectivas frecuencias,entonces la media de estos valores viene dada por la siguiente relación:

( ... ) ( ... ) ( ... ) 1 2 nveces veces veces

1 1 1 2 2 2

1 2 3

f f f

n n n

n

x x x + x x x +. . . + x x xx = f +f +f + . . . + f

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

. . .. . .

n

i in n i

nn

ii

x fx f x f x f x fx f f f f

f

Ejemplo.- Dada la siguiente tabla de frecuencias, determinar la edad media de un grupo de alumnosde secundaria:

Edades ( )xi

iFrecuenciaAbsoluta ( )fi

Por tratarse de datos agrupados aplicamos la fórmula correspondiente para el promedio ponderado:

12 2+13 10+14 18+15 3+16 1=

34x x =13,74 años

Si los valores de una variable vienen dados en una tabla de frecuencias mediante clases que estánindicadas por intervalos numéricos entonces se procede así:

1ro. Se calculan las marcas de clase (mi) de cada intervalo.

2do. Se aplica la fórmula del promedio de datos agrupados.

1 1 2 2

1 2 3

. . .

. . .

i in n

n

m fm f m f m fx f f f f n

Obsérvese que en este caso las marcas de clase representan los promedios de la clase correspondiente.

10.2.1 Medidas de tendencia central

Una medida de tendencia central, llamada también medida de posición, es un valor que se calculapara un grupo de datos que se utiliza para describir, de alguna manera, su proximidad a un valor dereferencia, llamado valor central, constituyéndose en un representante de estos.

Para determinar una medida de tendencia central se aplica alguna clase de promedio, que en adelantese entenderá como una medida de tendencia central.En este texto daremos a conocer tres medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

10.2.2 Media (x)

10.2.2A. Definición

La media, llamada también promedio aritmético, denotado como x , es una medida de tendenciacentral cuyo valor es el promedio de un conjunto de valores y que se determina sumando todos losvalores de la muestra dividido entre el número de ellos.

Cuando analizamos un conjunto de datos, y con fines descriptivos, podemos suponer que todos losvalores de la muestra son iguales a su media.

10.2.2B. Para datos no agrupados

Sean: x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn los valores de una variable «x», entonces su media está dada por:

1 2 3 ... nx x x xx n

Ejemplo.- Las siguientes son las alturas de un conjunto de alumnos:{164 ; 169 ; 154 ; 158 ; 160 ; 156} cm

A diario compramos productos en cuyos envasesestá indicado el peso o el volumen. Por ejemplo: Arroz 750 g, café 350 g, gaseosa 500 ml.¿Estas medidas son exactas?Las máquinas que envasan estos productos, ¿sonconfiables?Para responder estas preguntas se utilizan las medi-das de dispersión que nos indican los niveles dedesviación de las medidas o valores respecto de losesperados.


10.2.3 Mediana (xm)

10.2.3A. DefiniciónLa mediana, denotada como xm, es el valor que divide al total de las observaciones, ordenados enforma ascendente o descendente, en dos grupos de igual tamaño.

La mediana es un dato estadístico que permite reconocer el valor localizado al centro de todo ungrupo de datos previamente ordenados. A diferencia de la media, el valor de la mediana no guardarelación con los valores de la muestra, es decir, no es igual ni está cerca, necesariamente, de losvalores extremos ni del valor medio.

10.2.3B. Para datos no agrupadosLuego de ordenados los datos, ascendente o descendentemente, se identifica:

i) xm = Valor central, si el número de datos es impar.

Si el número de datos es impar la mediana es el valor ubicado al centro del conjunto de datos.

ii) xm = Semisuma de los dos valores centrales, si el número de datos es par.

Si el número de datos es par la mediana viene dada por el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo 1.- Identificar la mediana del siguiente conjunto de valores:

5 ; 12 ; 14 ; 6 ; 9 ; 2 ; 11

En primer lugar ordenamos los datos en forma ascendente:

3datos

2 ; 5 ; 6 ; 9 ; 3datos

11; 12 ; 14

En este conjunto hay siete datos, y siendo impar el número de estos, concluimos que el valor centrales: xm = 9

Ejemplo 2.- Identificar la mediana de los siguientes valores: 9; 5 ; 4 ; 8 ; 3 ; 10

Ordenados estos números en forma creciente reconocemos que hay seis datos y que son dos losvalores centrales: 5 y 8.

valores

centrales

3 4 5 8 9 10

Luego la mediana es: 5 82mx = 6,5

10.2.3C. Para datos agrupadosSi los datos se pueden agrupar en clases, se define la clase mediana como aquella cuya frecuenciaabsoluta acumulada iguala o excede a la mitad del total de datos y cuyo valor se obtiene mediante:

-1-2 m

m m mm

n Fx L W f

De este modo la media de datos agrupados incluye más de un promedio. Asimismo la expresión if n es la frecuencia total que coincide con el tamaño de la muestra.

Ejemplo.- Dada la siguiente tabla de frecuencias para las alturas de los alumnos de un aula del centropre, determinemos la altura media de estos:

Altura en cmi Altura en cm ( )f iMarca de clase ( )mi

i

Por tratarse de datos agrupados aplicamos la fórmula del promedio ponderado:

160 5+164 9+168 10+172 2+176 430

x x =166,8 cm

A modo de descripción podemos decir que, según el cuadro de la izquierda, hay 5 alumnos de la 1raclase cuya altura está comprendida entre 158 y 162 cm.

La marca de clase correspondiente es m1 = (158 + 162)/2 = 160 cm.

Este valor se interpreta como si se tratara de 5 alumnos de la 1ra clase cuya altura promedio es de 160cm. Esta interpretación también es válida para las demás clases.

11.2.2D. Propiedades

D1. De las muestras iguales

Si los valores de la muestra son todos iguales se cumple que la media es igual a ellos.

1 2 3Si: ... nx x x x a x a

D2. De las desviaciones

Si definimos la desviación de un valor xi respecto de la media como la diferencia ( x - xi), se cumpliráque la suma de todas las desviaciones es igual a cero.

( )=0ix - x

Ejemplo.- Sean los valores de una muestra: 8; 3; 5; 12; 10. Calculemos su media:

8 3 5 12 105x 7,6x

A continuación calculamos todas las desviaciones:

8 - 7,6 = +0,6; 3 - 7,6 = -4,6; 5 - 7,6 = -2,6; 12 - 7,6 = +4,4; 10 - 7,6 = +2,4.

Luego: (+0,6) +(-4,6) +(-2,6) +(+4,4) +(+2,4)= 0


Ejemplo.- Identifiquemos la moda de los siguientes conjuntos de valores:

i) 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 7 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 9 ; 4

Identificamos y marcamos el valor que más se repite:

3 ;4

;4

; 5 ; 7 ;4

; 5 ; 6 ; 6 ; 9 ;4

Mo = 4

ii) 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 16 ; 20

En este conjunto no se identifica ningún valor que se repita, por lo tanto diremos que en este caso noexiste moda.

iii) 2; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 13

Identificamos los valores que más se repiten:

2; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 13

Observamos que existen dos grupos de valores que se repiten en igual cantidad, luego el conjunto denúmeros tiene dos modas 4 y 8, y se llama bimodal.

Mo = 4 y 8

10.2.4B. Para datos agrupadosSi agrupamos los datos en intervalos de igual ancho de clase se tiene que la clase modal es aquellaque posee la mayor cantidad de datos y el valor de la moda Mo se obtiene mediante:

1o o

1 2M =L +W d

d d

Donde: Lo : Límite inferior de la clase modal.

W : Ancho de la clase modal.

d1 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente.

d2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.

Ejemplo.- Determinar la moda de los datos de la tabla de frecuencias del ejemplo anterior.

Intervalo xi fi

Donde: Lm : Límite inferior de la clase mediana.

Wm : Ancho de clase de la clase mediana.

Fm - 1 : Frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana.

n : Número total de datos.

fm : Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Ejemplo.- Determinar la mediana de la variable «x» cuya tabla de frecuencias es la que se muestra:

Intervalo xixi fifi FiIntervalo

Luego de calcular los valores de la frecuencia acumulada (Fi) establecemos que los datos son 50 y lamitad de ellos es 25. De aquí deducimos que la clase mediana corresponde al valor Fi inmediatosuperior, esto es Fm = 36, que se indica con líneas de trazos. A continuación reconocemos que:

Lm = 4 ; Wm = 2 ; Fm-1 = 24 ; n = 50 ; fm = 12.

Luego la mediana la obtenemos aplicando la fórmula dada:

xm = 4 + 2

50 - 24212 xm = 4,17

10.2.4 Moda (Mo )

10.2.4A. Definición

La moda, denotada como Mo, es el valor de la variable «x» que se presenta con mayor frecuencia enun grupo de datos.

Para determinar la moda de un grupo de datos no se requiere ordenar ni agrupar, sino identificarlospor su abundancia o repetición.

A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal.

Si hubiesen más de dos valores con frecuencias máximas comunes o similares, la distribución esmultimodal: bimodal, trimodal, etc.

En caso que ninguno se repita se dice que no existe moda y la distribución es amodal.

10.2.4B. Para datos no agrupados

Cuando los datos no están agrupados sólo se aplica la definición de moda.


Luego la varianza será: 2(x)S = 5200,8/5 = 1040,16

Recuérdese que la media de los valores dados se constituye en el valor de referencia para establecer elnivel de desviación de todos los valores dados.

10.1.6C. Para datos agrupadosConsiderando a x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn las marcas de clase de cada uno de los intervalos de la distribucióny f1 ; f2 ; f3 ; ... ; fn sus respectivas frecuencias, se tiene:

2

2( )

1

1

( - )

x

n

in

i

x x fi iS

fi

Ejemplo.- A partir de los datos de la tabla, se pide determinar su varianza.

La media de estos datos se ha calculado así:

x =

5

15

1

i

i

x fi i

fi

= 224

50 x = 4,48

A continuación calculamos la varianza aplicando:

2(x)S =

2ni i

i 1n

ii 1

( x - x ) f

f

= 318,47

50 2(x)S = 6,37

10.2.7 Desviación estándar o típica (S, s)

10.2.7A. DefiniciónSe define como la raíz cuadrada de la varianza.

2( ) ( )S x S x

En primer lugar identificamos la clase con mayor cantidad de datos (fi), llamada clase modal, quehemos resaltado con una línea de trazos. A continuación reconocemos los elementos que permitencalcular el valor de la moda:

Lo = 2 ; Wo = 2 ; d1 = 15 - 9 = 6 ; d2 = 15 - 12 = 3

Mo = 2 + 2 66 3 Mo = 3,33

10.2.5 Medidas de dispersión

Se llaman medidas de dispersión a aquellas medidas de distribución de frecuencias que permitendeterminar la distancia de los valores de la variable con relación a un cierto valor central, o quepermiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable.

10.2.6 Varianza (S2)

10.2.6A. DefiniciónEs la medida de dispersión de un conjunto de valores que expresa el grado de separación de los datosrespecto de la media y se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datosrespecto a la media.

Recordemos que la desviación de un valor xi respecto de la media x está definida por la diferencia(xi - x ).

10.2.6B. Para datos no agrupadosDados los números x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn cuya media es x , se tiene:

22( )

1

1i

i

n

xS x xn

donde xi es un valor de la variable, x es su correspondiente media y n es el número de datos.

Ejemplo.- Empleando los datos del ejemplo (a) anterior calcularemos la varianza S2(x) :

xii (x - x)i 2

704 Aritmética 705Und. 10 – Estadística

01.- Determine la moda y la mediana de los siguien-tes datos referidos a la encuesta «tu color preferido»,siendo:

rojo = R; azul = A; verde = V

Moda: ...............................................................

Mediana: ..........................................................

02.- Determine la media aritmética de cada uno de lossiguientes conjuntos.

a. A = {12; 14; 15; 17; 19; 20; 22}

...................................................................

b. B = {14; 14; 14; 14; 14; 14; 14}

...................................................................

c. C = {17; 17; 15; 15; 15; 14; 13; 12}

...................................................................

d. D = {9; 9; 9; 9; 9; 11; 13; 15}

...................................................................

e. E = {16; 16; 16; 18; 14; 14; 18; 18}

...................................................................

03.- Los gastos en soles de un joven universitario du-rante los últimos 10 días fueron:

a. Elabora la tabla de frecuencias

b. Calcula el promedio ponderado de los gastos.

...........................................................................

04.- Oscar ha cursado cuatro materias en su últimociclo de universidad. Los criterios y notas al final delsemestre son los siguientes:

Curso Créditos Nota

¿Cuál es el promedio ponderado de Oscar?

...................................................................

05.- Los siguientes datos representan las veces poraño que Carlitos fue al médico durante los últimos nue-ve años.

3; 2; 8; 4; 2; 9; 7; 4; 2

a. ¿Cuál es la media?

............................................................................

b. ¿Cuál es la mediana?

............................................................................

06.- En el gráfico de frecuencias absolutas se pre-sentala distribución de pesos de un colegio.

Donde: N = número de alumnos;

P = peso en kg del alumno

Ahora responde:

a. ¿Cuántos alumnos pesan más de 60 kg?

............................................................................

Si el valor de la varianza es el promedio de los cuadrados de las dispersiones de un conjunto de datos,el valor de la desviación estándar es una buena aproximación al promedio de todas las desviaciones.

El valor de la desviación estándar es siempre un número positivo y se puede interpretar como ladistancia promedio S(x) de todos los valores en relación a la media ( x ).

En el diagrama xm y xM representan, respectivamente, los valores mínimo y máximo de los datos, R esel rango, x es la media, S(x) es la desviación típica y por último, xk y xj son los dos valores entre losque se ubican la mayoría de los datos de la población y que se determinan así:

xk = x - S(x) y xj = x + S(x)

Ejemplo.- Del ejemplo anterior se pide calcular la desviación estándar.

Sabemos que la varianza es: 2(x)S = 6,37

Luego la desviación será: S(x) = 6,37 S(x) = 2,52

Esto significa que la mayoría de los valores están comprendidos entre: xk = 4,48 - 2,52 = 1,96 y xj =4,48 + 2,52 = 7, lo cual es cierto si observas la tabla de frecuencias de arriba.

10.2.7B. Propiedades

B1. De la variación de los datos

Si cada uno de los valores de la variable x experimentan un mismo cambio, sea para aumentar o paradisminuir, se cumplirá que el valor de la varianza y de la desviación típica no se alteran respecto desu valor inicial.

En efecto, sabemos que al aumentar o disminuir los valores de la variable xi en una misma cantidadentonces la media x también aumenta o disminuye en la misma cantidad. Luego, es previsible quela diferencia xi - x se mantenga constante en dicho proceso.

B2. De la multiplicación de los datos

Si cada uno de los valores de la variable x se multiplican por un factor no nulo, se cumplirá que elvalor de la varianza queda multiplicado por el cuadrado de dicho factor y la desviación típica quedamultiplicado por el factor.

En efecto, al multiplicar los valores de la variable xi por un factor no nulo «k» la media x también semultiplica por el mismo factor. Luego, es previsible que la diferencia xi - x quede multiplicada por elmismo factor.

2 2 2 222 2 2 2 2( ) ( ) ( )'i i i i i i i ix x x

i i i i

x x f k x k x f k x x f x x fS S k k S

f f f f

706 Aritmética 707Und. 10 – Estadística

Prob. 01 (UNI 01 - I)

Las notas de un examen de Aptitud Académica es-tán distribuidas en el siguiente histograma de fre-cuencias:

¿Cuál es la nota promedio del examen?

A) 10,12 B) 11,08 C) 12,02

D) 13,12 E) 14,06

De acuerdo a las condiciones del problema tras-ladamos los datos a una tabla de frecuencias

Ii fi xi xi fi

Se sabe que la nota promedio es:

i ix fx n

En el cual reemplazamos los valores obtenidosen la tabla.

x 60150 x = 12,02

Prob. 02 (UNALM 06 - I)

En el siguiente arreglo creciente de números enteros:

2; 2; 3; 3; a; 5; b; b; b.

Calcular la suma de la mediana y la moda, si sesabe que su media es 4,7

.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) 16

Por tratarse de 9 datos, que es un número im-par, dividimos en dos grupos e identificamos ala mediana xm:

mx

a b b b4 4

2;2;3;3 ; ; 5; ; ;

i) La mediana es el término central, es decir,xm = a. Puesto que los datos son númerosenteros y están ordenados se debe cumplirque:

3 < a < 5 a = 4 xm = 4

ii) Aplicando la fórmula de la media:

b b bx 2 2 3 3 4 59

b19 34,7 9

19 + 3b = 43

b = 8

iii) La moda «Mo» está dada por el valor másfrecuente y este es:

Mo = b Mo = 8

Nos piden la siguiente suma:

xm + Mo = 4 + 8

xm + Mo = 12

b. ¿Cuál es la media aritmética de los pesos?.

...................................................................

c. ¿Cuántos alumnos participaran en la muestra?.

...................................................................

07.- De la siguiente tabla de frecuencias, se sabe que:

Edad fi hi

La moda es 30 y la frecuencia es 15.Ahora responde:

a. ¿Cuántas personas en total fueron encuestadas?

...................................................................

b. ¿Cuántas personas dijeron tener 25 años?

...................................................................

08.- Completa la siguiente tabla de distribución de fre-cuencia. Sabiendo que todos los intervalos tienen igualancho y que:

F2 = F1 + 5 F3 = F1 + F2

F4 = F3 + 2 F5 = F4 - 1

Intervalos xi fi

Responde:

a. ¿Cuál es la clase modal?

...................................................................

b. ¿A qué intervalo de clase pertenece la mediana?

...................................................................

09.- En un salón de clases se recopilaron las notas delcurso de lógica matemática.

NotaFrecuencia

Determina:

a. La media.

...................................................................

b. La mediana.

...................................................................

c. La moda.

...................................................................

10.- Se lanzó un dado doce veces y se anotaron lossiguientes resultados:

2; 3; 3; 6; 2; 6; 1; 1; 2; 3; 1; 2Determine:

a. Las medidas de tendencia central.

...................................................................

b. Las medidas de dispersión.

...................................................................


Finalmente aplicamos la fórmula de la media-na para datos agrupados:

m

60020 2052440 120x

xm = 455,83

Prob. 05 (cepreuni 07 - I)

Dada la tabla de frecuencias. ¿Qué porcentaje dedatos corresponden al intervalo entre la media yla mediana?

A) 1,87

B) 1,95

C) 2

Intervalos fi

D) 2,5

E) 2,7

De acuerdo al problema debemos calcular lamedia x y la mediana (Me), para lo cual com-pletamos la tabla de frecuencias:

Intervalos fi Fi xi

i. x 30 10 45 25 65 46 85 9 92 10100

x 61

ii. m

100 352= 50 + 30 46x xm = 59,79

iii. Ahora debemos calcular el porcentaje dedatos correspondiente al intervalo x xm ;

es decir [59,78; 61 para lo cual aplicamosuna regla de tres simple:

Ancho Porcentaje

Para [50; 80 : 30 46

Para [59,78; 61 12,2 x

12,2 4630x x = 1,87

Prob. 06 (UNCP 08 - I)

Del conjunto de datos no agrupados:

10; 14; 15; 10; 11; 10; 13; 18 y 16

Compara:Columna A Columna B Mediana Media

A) A es mayor que B

B) B es mayor que A

C) A es igual a B

D) No se puede comparar

E) No utilice esta opción

Contamos, ordenamos y agrupamos los datos:

mx4 4

10;10;10;11 ; 13 ; 14;15;16;18

i. La mediana xm es el término central:

xm = 13 (Columna A)

ii. La media x está dada por:

x 10 10 10 11 13 14 15 16 189

x 1179 x 13 Columna B

A es igual a B


A continuación se presenta la ojiva correspondientea las notas de un examen, donde la mediana es 13.


En una encuesta sobre los pesos de un grupo depersonas, se obtuvo la siguiente información

Peso

Además, el peso promedio es 79 kg. Determine elnúmero de personas si es el menor posible.

A) 25 B) 27 C) 30 D) 31 E) 33

En la tabla insertamos la columna de frecuen-cias asignando las variables m y n para los va-lores correspondientes a la 3ra y 4ta clase. Deeste modo se puede completar a columna de losproductos xi fi, obteniéndose:

Como el peso promedio x es 79 kg, aplicamos:

i ix fx n

Entonces se tiene: n nx n m

325 675 85 95 795 9

Efectuando y simplificando obtenemos:

3n + 8m = 53

Esta ecuación es diofántica y tiene dos solucio-nes en +:

i) n = 15 m = 1

Total de personas: 5 + 9 + 15 + 1 = 30

ii) n = 7 m = 4

Total de personas: 5 + 9 + 7 + 4 = 25

El menor número de personas es 25.


El siguiente cuadro representa el jornal básico(en soles) de un grupo de obreros:

Jornales Nº de obreros

¿Debajo de qué jornal (en soles) gana el 50% delos obreros?

A) 455,83 B) 465,83 C) 470

D) 475 E) 478,25

De acuerdo a las condiciones del problema debe-mos determinar el jornal de los obreros que ocu-pan la posición intermedia de la muestra el cualcorresponde a la mediana de los jornales (xm).Para poder identificar la clase que correspon-de a la mediana insertamos la columna de lasfrecuencias acumuladas (Fi), de donde la clasede la mediana es aquella donde Fi = 325, pues:

600325 2

Jornales fi Fi



El siguiente diagrama muestra la ojiva de la fre-cuencia relativa acumulada de los salarios de lostrabajadores de una empresa. Entonces, se puedeafirmar que la suma de la media y la mediana es:

A) 1410 B) 1415 C) 1418

D) 1420 E) 1440

Utilizando los datos del diagrama construimosuna tabla de distribución de frecuencias relati-vas y acumuladas, obteniéndose:

xi H %i hi %Ii

Por condición del problema debemos calcularla media x y la mediana (xm):

i. x 300 15 500 20 700 25 900 30 110 10100

x 700

ii.

m

100 352600 200 25x

xm = 720

Nos piden: m 700 720x x

x xm+ = 1 420


Si en el histograma que se muestra, la media es 60,calcular la mediana.

A) 63,4

B) 64,4

C) 65,4

D) 66 ,4

E) 67,4

Utilizando los datos elaboramos la siguientetabla de distribución de frecuencias:

xi Fifi Ii

Sabiendo que la media x es 60, aplicamos lafórmula correspondiente:

k k kx k

30 20 50 70 3 90 6020 5

k = 12

Luego el valor de la mediana (xm) será:

m

20 5 20260 20 3

k kx k

Reemplazando el valor de k = 12 se tiene:

m40 3260 20 36x

xm = 64, 4

¿Qué porcentaje de las personas que rindieron laprueba tiene una nota comprendida entre 12 y 18?

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

Elaboramos una tabla de distribución de fre-cuencias relativas y acumuladas con los datosde la gráfica:

hi % H %i Ii

Sabiendo que la mediana es 13, aplicamos lafórmula de la mediana para datos agrupados:

m50 P12 4 1380 Px

Despejando se obtiene: P = 40

Luego el porcentaje de alumnos que obtuvonotas entre 12 y 18 lo obtenemos desagregando:

18 16E 80 P 2020 16

Donde: P = 40

Luego: 1E 80 40 202

E = 50


Calcular la moda de la variable «y» sabiendo quela media es 9,45.

A) 5

B) 7

C) 9

f1 F1y1

D) 10

E) 12

Según los datos de la tabla planteamos que:

f3 = x + 5 F2 = 20

F3 = x + 5 + 20 = x + 25

Asimismo: F3 + f4 = F4

(x + 25) + (x + 10) = 75

x = 20

Ahora podemos completar la tabla de distribu-ción de frecuencias, obteniéndose:

f1 F1y1

Donde hemos asumido que «n» es la frecuen-cia de la 5ta clase. Luego, por condición delproblema proponemos que:

nx n

5 10 7 10 9 25 10 30 12 9,4575

Resolviendo se obtiene: n = 25

Finalmente la moda la reconocemos por el dato«y» que tiene mayor frecuencia, es decir:

f4 = 30

Mo = 10


De acuerdo al problema debemos calcular lamedia de los datos, para lo cual calculamos lamarca de clase de cada intervalo:

x1 = 410 ; x2 = 430 ; x3 = 450

x4 = 470 ; x5 = 490 ; x6 = 510

x7 = 530

Luego la media de los datos está dada por lafórmula:

i ix fx n

Reemplazando los datos en la formula se tiene:

x 80 410 120 430 125 450 ...600

99 470 88 490 78 510 10 530600

x = 458,97


En la siguiente tabla de frecuencias se cometió elerror de anotar fi y hi en orden invertido. Calculela diferencia entre la media correcta y la mediaerrada.

Intervalo

A) 0,05 B) 0,10 C) 0,11

D) 0,15 E) 0,17

Observamos que no se conocen los intervalosde clase pero sí algunas marcas de clase. Porotro lado, si invertimos el orden de los valoresde fi y hi, completamos el cuadro:

i. Asumiendo que los anchos de clase (w) soniguales hacemos:

x4 - x2 = 30 - 18 = 12

12 62w

Luego las marcas de clase se suceden de 6 en 6.

ii. Asimismo se sabe que:

h

f n4

4

f f44

0,2560

f4 = 20

Y completando la tabla se tiene:

iii. Luego la media errada será:

x112 13 18 17 24 19 30 20 36 11

80

x1 23,93

Pero, de acuerdo al problema la media correctase obtiene al invertir el orden de las frecuen-cias, con lo cual se obtiene:

x212 11 18 20 24 19 30 17 36 13

80

x2 24,08

Nos piden calcular:

x x2 1- = 24,08 - 23,93 = 1,15


Considerando el siguiente histograma:

Se puede concluir que el valor de la moda es:

A) 9,21 B) 9,6 C) 9,81 D) 10,2 E) 11,2

Elaborando una tabla de frecuencias se tiene:

hi %Ii

Aplicando la fórmula de la moda (Mo) paradatos agrupados, se tiene:

e20M 8 4 20 24

oM = 9,81


La siguiente tabla de frecuencias muestra los suel-dos mensuales de un grupo de empleados. Si la me-diana de los sueldos es S/. 1 500, calcular la moda.

A) 1560

B) 1600

C) 1650

Sueldos

D)

1666,6

E) 1680

Suponiendo que el ancho de clase es «w», com-pletamos el cuadro estadístico dado:

Ii

Dado que la mediana es 1500, aplicamos la fór-mula para datos agrupados:

m0,50 0,40= 1000 + 2 + 15000,20x w w

Despejando obtenemos: w = 200

Como nos piden la moda (Mo), aplicamos lafórmula correspondiente:

w wo0,10M = 1000 + 3 + 0,10 0,20

Reemplazando w = 200, obtenemos:

o0,10M = 1000 + 3 200 + 200 0,10 0,20

oM = 1 666,6


Considerando la siguiente tabla de frecuencias,calcular la media correspondiente.

A) 455,96

B) 456,86

C) 457,64

Intervalos fi Fi

D) 458,97

E) 469,48


En primer lugar calcularemos la media x delos datos, esto es:

x 16 19 13 20 14 16 19 18 17 15 16,710

Como la desviación estándar está dada por:

ix x

n

2

S

Reemplazamos los datos y se tiene:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

16,7 16 16,7 19 16,7 13 ...... 16,7 20 16,7 14 16,7 16 ...... 16,7 19 16,7 18 16,7 17... 16,7 15S 10

S = 2,19


Calcule la desviación estándar de los datos mos-trados en la gráfica.

A) 1,45 B) 1,5 C) 1,886

D) 1,9 E) 1,95

Los datos corresponden a un grupo de ejes quese han agrupado por el tamaño de sus diáme-tros. Distribuyendo estos datos en la tabla deción de frecuencias obtenemos:

xi hi %fiIi

i. x xn x x x3 4 22 2 n = 10x

ii. Como no conocemos la frecuencia absolu-ta (Fi); nos conviene trabajar con la frecuen-cia relativa:

ii

fh n

xh x1

2 100%10 h1 = 5 %

iii. Calculamos la media x .

x 1 5 3 30 5 40 7 20 9 5100

x 4,8

iv. Ahora calculamos la desviación estándar(S):

i if x xn

2

S

2 2 2

2 21 4,8 1 6 4,8 3 8 4,8 5 ...

...4 4,8 7 1 4,8 9S 100

S = 1,886


Las notas de 5 alumnos son números de 2 cifrascuyo promedio es 13,6. Si la mediana es 15 y lamoda es 16, calcular la varianza de dichas notas.

A) 5,76 B) 6,24 C) 6,64

D) 6,96 E) 7,24


En la ojiva de la figura, la mediana es 5,428572luego la frecuencia absoluta correspondiente a laclase mediana en % es:

%

A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) 35

En base a la información dada en el gráfico ela-boramos una tabla de frecuencias relativas yacumuladas, obteniéndose:

H %i hi %Ii

i. De acuerdo con los datos sabemos que lamediana es:

xm = 5,428572

Aplicando la fórmula correspondiente tenemos:

m

10024 2 5,42857260

ax a

Efectuando se obtiene: a = 25

ii. De la tabla reconocemos que la frecuenciarelativa que corresponde a la clase medianaes: h3

Luego: h3 = 60 - a

h3 = 60 - 25

h3 = 35


Dadas estas 6 calificaciones: 15; 13; 12; 15; 16;17 con varianza V. Se les suma la constante 3 acada calificación y se calcula la desviación típicade los nuevos valores, obteniéndose S. El valor deV – S es:

A) 1,12 B) 1,19 C) 1,29 D) 1,44 E) 1,96

Empezaremos calculando la media de las no-tas, esto es:

x 15 13 12 15 16 17 14,66

Luego la varianza será: 2iVx x

n

En el cual reemplazamos los datos y se obtiene:

2 2 2

2 2 214,67 15 14,67 13 14,67 12 ...

... 14,67 15 14,67 16 14,67 17V 6

0,11 2,79 7,13 0,11 1,77 5,43 17,34V 6 6

V = 2,89

Luego, si a cada dato se le suma 3, por propie-dad, la varianza y la desviación típica no sealteran.

Finalmente, por definición se sabe que:

S V

Con lo cual: S = 2,89 = 1,70


Los siguientes datos muestran las calificaciones de10 personas sometidas a una prueba de aptitud:

16; 19; 13; 20; 14; 16; 19; 18; 17; 15Calcular la desviación estándar.

A) 2,19 B) 16,34 C) 18,02

D) 18,23 E) 19,1



En una prueba de aritmética aplicada a 20 estu-diantes, se obtuvo la siguiente distribución depuntajes:

Puntajes Nº de alumnos

Determinar la diferencia entre la desviaciónestándar y la desviación media con respecto a lamedia aritmética (M) (Aproximar la respuestaal centésimo). La Desviación Media con respectoa la media aritmética, se define como:

i i f x xM

n

A) 2,23 B) 2,25 C) 2,27 D) 2,29 E) 2,31

De acuerdo al problema debemos determinarla desviación estándar (S) y la desviación me-dia (M). Para tal efecto empezamos calculan-do la media x de los datos.

i. x 1 40 3 50 8 60 3 70 3 80 2 9020

x 65

ii. Ahora determinamos la desviación estándar:

2 2 2

2 2 21 65 40 3 65 50 8 65 60 ......3 65 70 3 65 80 2 65 90S 20

S = 13,23

iii. Finalmente calculamos la desviación media:

1 65 40 3 65 50 8 65 60M ...20

3 65 70 3 65 80 2 65 9020

25 45 40 15 45 50M 20

M = 11

Nos piden la diferencia de S y M:

S - M = 13,23 - 11

S - M = 2,23


Calcular el tamaño de la muestra «N», si se cum-ple que:

2 2S 9,45; x 2 817 y x 16,5

A) 10 B) 15 C) 18 D) 50 E) 100

Para datos no clasificados:

22 2xS xN

Reemplazando los datos:

22 8179,45 16,5N

2 8179,45 272,25N

2 817280,7 N

N = 10


Sea x una variable que representa el sueldo delos trabajadores de una determinada empresa,donde se conoce que la media es S/. 800 y lavarianza es 50,00. Si la empresa decide incre-mentar en 20% el sueldo de cada empleado y lue-go descontarles S/. 20,00 a cada uno, ¿cuál es lamedia y la varianza de los nuevos sueldos? Darcomo respuesta la suma de estas cantidades.

A) 1010 B) 1011 C) 1012

D) 1013 E) 1014

Si el promedio de las 5 notas es 13,6, deduci-mos que la suma de estas notas es: 13,6 5 68 .

Como la mediana y la moda son 15 y 16 res-pectivamente, entonces el valor central es 15hay dos datos iguales a 16. Puesto que estos 3números suman 16 + 16 + 15 = 47, los otrosdos deben sumar 68 - 47 = 21.

Los únicos números posibles de dos cifras son10 y 21; es decir las 5 notas son:

10; 11; 15; 16; 16

Luego la varianza para dichas notas es:

22( )

ix

x xS n

2 2 2

2 22( )

13,6 10 13,6 11 13,6 15 ...... 13,6 16 13,6 16

5x S

S2(x) = 6,64


Sea x una variable que representa el sueldo de lostrabajadores de una empresa, donde se sabe que:V(x) = varianza de x = S/. 50. Si la empresa decideincrementar en 10 % el sueldo de cada empleado yluego descontar una cantidad igual a la décimaparte del número de trabajadores en la empresa.Calcular la varianza de los nuevos sueldos. (núme-ro de trabajadores en la empresa mayor que 20)

A) 54 B) 58 C) 60

D) 60,5 E) 62

De acuerdo a la condición del problema, si elsueldo de los trabajadores se incrementa en10%; el nuevo sueldo de c/u queda multiplica-

do por 110100 y por propiedad de la varianza , si

c/u de los datos se multiplica por un factor

entonces la varianza queda multiplicada porel cuadrado de dicho factor; con lo cual la nue-va varianza será:

2110V' 50 60,5100

Asimismo si cada uno de los datos se incre-menta o disminuyen en una misma cantidad elvalor de la varianza no se altera; con lo cual elvalor de la varianza seguirá siendo V’.

V’ = 60,5


Dada la variable x por la siguiente tabla.

x 4 7 10 15 20

Calcule la desviación estándar:

A) 4,04 B) 4,40 C) 6,40

D) 8,80 E) 16,32

Para determinar la desviación estándar, nece-sitamos conocer la media ( x ) de los datos. Paraello aplicamos la fórmula correspondiente y ob-tenemos:

x 4 2 7 5 10 8 15 6 20 12 5 8 6 1

x x233 10,5922

Como la desviación estándar por formula es:

2i iSf x x

n

Entonces:

2 2 2

2 22 10,59 4 5 10,59 7 8 10,59 10 ...... 6 10,59 15 1 10,59 20S 22

S = 4,04


Por propiedad del promedio aritmético, si losdatos se multiplican por 120

100 entonces su pro-medio original queda multiplicado por este mis-mo factor.

Asimismo, si todos los datos disminuyen en20, el promedio también disminuye en 20, conlo cual el nuevo promedio es:

120100 (S/. 800) – S/. 20 = S/. 940

Por otro lado y por propiedad de la varianza, sitodos los datos se multiplican por 120

100 , lavarianza queda multiplicada por su cuadrado.

Y si a todos los datos les disminuimos una mis-ma cantidad, la varianza no cambia, por lo cualla nueva varianza será:

2120 50 72100

Finalmente nos piden la suma del nuevo pro-medio y la nueva varianza:

940 + 72 = 1012


Completar el cuadro y calcular la varianza.

fi hiIi Fi

A) 15,26 B) 20,12 C) 23,65

D) 46,77 E) 50,82

Completando el cuadro se tiene lo siguiente:

fi hiIi Fi

Para calcular la varianza primero calculamosla media, esto es:

x 18 6 22 8 26 12 30 10 34 7 38 4 42 220

x 28,32

Luego la varianza de los datos es:

2 22( )

6 28,32 18 8 28,32 22 ...20xS

2 2 212 28,32 26 10 28,32 30 7 28,32 34 ...20

2 24 28,32 38 2 28,32 4220

xS2( ) 46,77


01.- Indicar el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. La mediana es la medida promedio que dependedel número de datos ordenados y no de los va-lores de estos datos.

II. La moda es el promedio que se usa cuando sequiere señalar el valor más común de una seriede datos.

III. Si los datos tienden a distribuir alrededor y cer-ca de su media, la varianza será pequeña

A) VVV B) VFV C) FFV

D) VVF E) FVV

02.- Respecto a las medidas de tendencia centralseñala V o F.

I. La media tiene la desventaja de ser influenciadapor valores anormalmente grandes o pequeños.

II. La mediana y la moda no resultan influenciadaspor valores observados anormalmente grandeso pequeños.

III. En una distribución simétrica la media, medianay moda siempre coinciden.

A) FFV B) FVF C) VVF

D) VVV E) FFV

03.- Indique verdadero (V) o falso (F):

I. La suma total de n valores cuya media es x , esigual a nx .

II. Si cada uno de los «n» valores xi es transforma-do en yi = axi + b, siendo a y b constantes,entonces, la media de los «n» valores yi es:

y ax b

III. La suma algebraica de las desviaciones de «n»datos xi con respecto a su media x , es igual acero.

A) VVV B) FVV C) FFVD) VVF E) FVF

04.- Dado el conjunto de datos:A = {8; 12; 15; 17; 20; 22} a cada uno de los datos sele suma cinco unidades, obteniéndose el conjuntode datos B. Se puede afirmar que A y B tienen:I. Medias igualesII. Varianzas igualesIII. Desviaciones estándares igualesA) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) Sólo II y III E) Todas

05.- De una muestra de 7 datos que son enterospositivos de dos cifras, se sabe que su media arit-mética es: 220 7 ; su mediana es 27 y su única modaes 28. Determinar su varianza.

A) 59,79 B) 74,49 C) 75,24D) 78,48 E) 78,29

06.- Las notas de siete alumnos son enteros positi-vos tales que su media es 14, la mediana es 15, laúnica moda es 17; las notas de dos de ellos sonprimos de igual valor y de dos cifras, entonces lamayor varianza es:A) 8,637 B) 8,857 C) 13,428D) 13,632 E) 13,882

07.- Determine la desviación estándar de:4 ; 6 ; 8 ; 2 ; 10 y 12

A) 3,4 B) 4,3 C) 5,3D) 6,4 E) 7,5


14.- Se registran los salarios mensuales de los em-pleados de la empresa RACSO.

Sueldos S/. Frec. absoluta

Calcula la suma de la media aritmética y la moda.A) 700 B) 981,08 C) 1481,08D) 1681,08 E) 1781,08

15.- En el gráfico adjunto, el área limitada por elpolígono de frecuencias es 720 u2 y la media 122/3.Entonces, la media aritmética del doble de los nú-meros «a» y «b» es:

A) 17 B) 18,5 C) 22D) 24 E) 23,0

16.- Calcular la desviación estándar de:15; 18; 13; 10; 17; 12; 8; 14; 18; 7

A) 1,23 B) 2,23 C) 3,76D) 2,76 E) 5,23

17.- Dada la tabla incompleta de la distribución defrecuencias de las notas de 30 alumnos se pide com-pletar la tabla, sabiendo que los intervalos de clasetienen una misma longitud y su rango es igual a 12.

Intervalos xi fi Fi x fi i

Calcular la varianza, sabiendo que la nota aprobatoriaes 10, el 20% de alumnos aprobaron con nota me-nos de 14.A) 10,49 B) 11,21 C) 12,31

D) 13,24 E) 13,64

18.- Se tiene la siguiente tabla de frecuencias:

Sueldos

La varianza es:A) 875 B) 1680 C) 3100D) 6240 E) 8496

19.- Considerando el siguiente histograma de fre-cuencias relativas

Se conoce que la moda es 280; además:2A1 = A3

A2 = 4A4

Si el ancho de clase es constante; encuentre la me-dia aritmética.A) 290,78 B) 291,67 C) 300D) 320,25 E) 380,2

08.- En una muestra de 8 empleados se hizo un es-tudio de las variables:

X : peso en kg.

Valores: 69,1; 69,2; 70,2; 70,1; 68,8; 69,4; 69,00; 69,2

Y : ingreso mensual en miles de soles.

Valores: 0,40; 0,60; 0,70; 3,8; 3,0; 0,50; 0,55; 0,45

Z : tiempo de servicios en años

Valores: 16; 18; 18; 18; 20; 17; 18; 18

Se puede firmar:

I. La medida de tendencia central para «X» es lamedia.

II. La medida de tendencia central para «Y» es lamediana.

III. La medida de tendencia central para «Z» es lamoda.

IV. Si cada valor de «X» se multiplica por 5; la me-dia no varía

A) VVVV B) VVFV C) FVVV

D) FVVF E) VVVF

09.- La media y la varianza de 3 números son: 3,5 y2/3 respectivamente; y la media y varianza de otros2 números son 5 y 1/4 respectivamente. Determinarla varianza de los 5 números.

A) 0,98 B) 1,00 C) 1,04

D) 1,1 E) 1,2

10.- Considerando el siguiente gráfico. Calcule lamedia aritmética.

A) 14,0

B) 15,0

C) 15,65

D) 16,15

E) 17,15

11.- La tabla que se muestra a continuación corres-ponde a las notas de un grupo de alumnos. Si lamoda de las notas es 18,4.

Notas h1 f1

Calcular la mediana

A) 13,8 B) 17,2 C) 17,3

D) 17,5 E) 17,6

12.- Del siguiente histograma, calcular: x + Mo + Me

A) 53,56

B) 54,56

C) 54,86

D) 55,26

E) 55,32

13.- A partir de la ojiva:

Calcular la suma de la media, la mediana y la moda.

A) 38,95 B) 40,485 C) 41,40

D) 42,8 E) 43,2

724 Aritmética

20.- Para cierta distribución de frecuencia, la mues-tra se dividió en «m» intervalos de igual amplitud, yse observó que:

hi fiyi

fi = xi , x = 6,6. Calcular «m».

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

21.- Una muestra de 70 datos de un media de 120 yuna desviación típica de 6, otra muestra de 30 datosda una media de 125 y una desviación típica de 5. Sereúnen las dos muestras formando una sola mues-tra de 100 datos. Calcule la varianza de estos 100datos.A) 37,95 B) 38,92 C) 38,97D) 39,25 E) 39,95

22.- La siguiente tabla de ingresos (cientos de so-les) de los trabajadores de una empresa.

Ingreso (I )i Nº de alumnos

La desviación estándar en los ingresos es:A) 7,8 B) 8,1 C) 8,5D) 8,8 E) 9,24

23.- Al calcular la media y la desviación estándar de80 datos resultaron 30 y 4 respectivamente. Un che-queo mostró que en lugar del valor 1,7 se introdujo17; al corregir se obtuvo que la verdadera media fuede 29,809 luego la verdadera desviación estándar es:A) 4,883 B) 4,936 C) 4,963D) 4,981 E) 4,986

24.- En el siguiente cuadro estadístico:

Se pide calcular el promedio geométrico

A) 8,03 B) 8,13 C) 8,23

D) 8,43 E) 8,63

25.- Sabiendo que:

fi 2 3 4 5

Se pide calcular la media armónica.

A) 7,30 B) 7,40 C) 7,50

D) 7,60 E) 7,80

26.- Dado el siguiente cuadro de datos agrupados,se pide calcular f2, si la media armónica de estos es60/29.

f1 4 f2 5 6 2 1

A) 2 B) 4 C) 3

D) 5 E) 6

03A

11C

04D

12A

20B

05B

13B

21A

06B

14D

22E

15D

23A

24C

02C

01A

10C

19A

09C

17A

25B

18E

26C

07A

08E

16C

edades x i

Documents