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1.4

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Ecuaciones Lineales en Algebra Lineal

LA ECUACION MATRICIAL x bA =

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ECUACION MATRICIAL §  Definición: Si A es una matriz , con columnas

a1, …, an, y si x esta en , entonces el producto de A y x, denotado por Ax, es la combinacion lineal de las columnas de A usando las correspondientes entradas en x como pesos; esto es,

.

§  Ax esta definida unicamente si el número de columnas de A es igual al número de entradas en x.

x bA =m n×

Ax = a1a2! a

n

!"#

$%&

x1

x2

!xn

!

"

#####

$

%

&&&&&

= x1a1+ x

2a2+ ...+ x

nan

!n

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ECUACION MATRICIAL

§  Ejemplo 1: Para v1, v2, v3 in Rn , escribir la combinación lineal como el producto de una matriz por un vector.

§  Solución: Colocar v1, v2, v3 como columnas de una matriz A y colocar los pesos 3, , and 7 en un vector x.

§  Esto es,

x bA =

3v1 −5v2 +7v3

5−

3v1−5v

2+7v

3= v

1v2v3

"#$

%&'

3−57

"

#

$$$

%

&

'''= Ax

ECUACION MATRICIAL

§  Si

§  Escribimos:

Slide 1.4- 4 © 2012 Pearson Education, Inc.

x bA =

v1 =10

!

"#

$

%&, v2 =

2−5

!

"#

$

%& y v3 =

−14

!

"#

$

%&

3 10

!

"#

$

%&−5 2

−5

!

"#

$

%&+7 −1

4

!

"#

$

%&= 1 2 −1

0 −5 4

!

"#

$

%&3−57

!

"

###

$

%

&&&

Slide 1.4- 5 © 2012 Pearson Education, Inc.

ECUACION MATRICIAL

§  Ahora podemos escribir un sistema de ecuaciones lineales como una ecuación vectorial.

§  Por ejemplo, el sistema lineal ----(1)

es equivalente a la ecuación vectorial ----(2)

x bA =

1 2 3

2 3

2 45 3 1

x x xx x

+ − =

− + =

x110

!

"#

$

%&+ x2

2−5

!

"#

$

%&+ x3

−13

!

"#

$

%&= 4

1

!

"#

$

%&

Slide 1.4- 6 © 2012 Pearson Education, Inc.

ECUACION MATRICIAL

§  De acuerdo ejemplo (1), la combinación lineal del lado izquierdo es el producto de una matriz por un vector, de manera que (2) se convierte en

----(3) §  La ecuación (3) tiene la forma . . A esta

ecuación se les llama ecuación matricial.

x bA =

1 2 −10 −5 3

"

#$

%

&'

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

= 41

"

#$

%

&'

Ax = b

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ECUACION MATRICIAL

§  El sistema de ecuaciones

§  La ecuación vectorial

§  La ecuación matricial

x bA =

1 2 −10 −5 3

"

#$

%

&'

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

= 41

"

#$

%

&'

1 2 3

2 3

2 45 3 1

x x xx x

+ − =

− + =

x110

!

"#

$

%&+ x2

2−5

!

"#

$

%&+ x3

−13

!

"#

$

%&= 4

1

!

"#

$

%&

ECUACION MATRICIAL

§  Ecuación matricial

§  Ecuación vectorial

§  Matriz aumentada Slide 1.4- 8 © 2012 Pearson Education, Inc.

x bA =

1 0 5−2 1 −60 2 8

"

#

$$$

%

&

'''

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

=2−16

"

#

$$$

%

&

'''

x1

1−20

"

#

$$$

%

&

'''+ x2

012

"

#

$$$

%

&

'''+ x3

5−68

"

#

$$$

%

&

'''=

2−16

"

#

$$$

%

&

'''

1 0 5 2−2 1 −6 −10 2 8 6

"

#

$$$

%

&

'''

Slide 1.4- 9 © 2012 Pearson Education, Inc.

ECUACION MATRICIAL

§  Teorema 3: Si A es una matriz , con columnas a1, …, an, y si b está en Rm, entonces la ecuación matricial

tiene el mismo conjunto solución que la ecuación

vectorial ,

que además, tiene el mismo conjunto solución que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es

.

x bA =

m n×

Ax = b

x1a1 + x2a2 + ...+ xnan = b

a1 a2 ! an b!"#

$%&

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EXISTENCIA DE SOLUCIONES §  La ecuación tiene una solución si y solo si

b es una combinación lineal de las columnas de A. §  Teorema 4: Sea A una matriz . Entonces los

siguientes enunciados son lógicamente equivalentes. Para una A particular, Todos los enunciados son verdaderos o todos falsos.

a.  Para cada b en Rm, la ecuación tiene una solución.

b.  Cada b en Rm es una combinación lineal de las columnas de A.

c.  Las columnas de A generan Rm. d.  A tiene una posición pivote en cada fila.

Ax = b

m n×

Ax = b

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CALCULO DE Ax

§  Ejemplo 2: Calcule Ax, donde

y .

§  Solución: De la definición,

A =2 3 4−1 5 −36 −2 8

"

#

$$$

%

&

'''

x =

x1x2x3

!

"

####

$

%

&&&&

2 3 4−1 5 −36 −2 8

"

#

$$$

%

&

'''

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

= x1

2−16

"

#

$$$

%

&

'''+ x2

35−2

"

#

$$$

%

&

'''+ x3

4−38

"

#

$$$

%

&

'''

Slide 1.4- 12 © 2012 Pearson Education, Inc.

CALCULO DE Ax

---(1) §  La primera entrada en el producto Ax es una suma de

productos (un producto punto), usando la primera fila de A y las entradas de x.

=

2x1−x16x1

"

#

$$$$

%

&

''''

+

3x25x2−2x2

"

#

$$$$

%

&

''''

+

4x3−3x38x3

"

#

$$$$

%

&

''''

=

2x1 +3x2 + 4x3−x1 +5x2 −3x36x1 − 2x2 +8x3

"

#

$$$$

%

&

''''

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Slide 1.4- 13 © 2012 Pearson Education, Inc.

CALCULO DE Ax

§  Esto es, .

§  De manera similar, la segunda entrada en Ax se obtiene como la suma de los productos de las entradas de la segunda fila de A por las entradas de x.

2 3 4!

"

###

$

%

&&&

x1x2x3

!

"

####

$

%

&&&&

=

2x1 +3x2 + 4x3!

"

####

$

%

&&&&

−1 5 −3

"

#

$$$

%

&

'''

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

= −x1 +5x2 −3x3

"

#

$$$

%

&

'''

Slide 1.4- 14 © 2012 Pearson Education, Inc.

REGLA FILA-VECTOR PARA CALCULAR Ax

§  La tercera entrada de Ax se puede calcular a partir de la tercera fila de A y las entradas de x.

§  Si el producto Ax está definido, entonces la i-ésima entrada de Ax es la suma de los productos de entradas correspondientes de la fila i de A y las entradas de x.

Slide 1.4- 15 © 2012 Pearson Education, Inc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax

§  Teorema 5: Si A es una matriz , u and v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces

a.  b.  .

§  Demostración: Para simplicidad, considerar , , y u, v en R3.

§  Para sean ui y vi las i-ésimas entradas en u y v, respectivamente.

m n×

A(u+ v) = Au+ Av;A(cu) = c(Au)

3n =A = a1 a2 a3

!"#

$%&

3°

1,2,3,i =

Slide 1.4- 16 © 2012 Pearson Education, Inc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax

§  Demostración: Para simplicidad, considerar , , y u, v en R3.

§  Esto es:

3n =A = a1 a2 a3

!"#

$%&

u =u1

u2

u3

!

"

####

$

%

&&&&

, v=

v1

v2

v3

!

"

####

$

%

&&&&

y u+ v =u1 + v1

u2 + v2

u3 + v3

!

"

####

$

%

&&&&

Slide 1.4- 17 © 2012 Pearson Education, Inc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax §  Para probar el enunciado (a), calcule como

una combinación lineal de las columnas de A usando las entradas en como pesos.

A(u+ v)

u+ v

A(u+ v) = a1 a2 a3!"#

$%&

u1 + v1u2 + v2u3 + v3

!

"

####

$

%

&&&&

= (u1 + v1)a1 + (u2 + v2 )a2 + (u3 + v3)a3Entries in u+ v

Columns of A = (u1a1 +u2a2 +u3a3)+ (v1a1 + v2a2 + v3a3)

= Au+ AvSlide 1.4- 18 © 2012 Pearson Education, Inc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax

§  Para demostrar el enunciado (b), calcular como una combinación lineal de las columnas de A usando las entradas de cu como pesos.

A(cu)

A(cu) = a1 a2 a3!"#

$%&

cu1cu2cu3

!

"

####

$

%

&&&&

= (cu1)a1 + (cu2 )a2 + (cu3)a3

= c(u1a1)+ c(u2a2 )+ c(u3a3)

= c(u1a1 +u2a2 +u3a3)= c(Au)