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© 2012 Pearson Education, Inc.
Ecuaciones Lineales en Algebra Lineal
LA ECUACION MATRICIAL x bA =
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ECUACION MATRICIAL § Definición: Si A es una matriz , con columnas
a1, …, an, y si x esta en , entonces el producto de A y x, denotado por Ax, es la combinacion lineal de las columnas de A usando las correspondientes entradas en x como pesos; esto es,
.
§ Ax esta definida unicamente si el número de columnas de A es igual al número de entradas en x.
x bA =m n×
Ax = a1a2! a
n
!"#
$%&
x1
x2
!xn
!
"
#####
$
%
&&&&&
= x1a1+ x
2a2+ ...+ x
nan
!n
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ECUACION MATRICIAL
§ Ejemplo 1: Para v1, v2, v3 in Rn , escribir la combinación lineal como el producto de una matriz por un vector.
§ Solución: Colocar v1, v2, v3 como columnas de una matriz A y colocar los pesos 3, , and 7 en un vector x.
§ Esto es,
x bA =
3v1 −5v2 +7v3
5−
3v1−5v
2+7v
3= v
1v2v3
"#$
%&'
3−57
"
#
$$$
%
&
'''= Ax
ECUACION MATRICIAL
§ Si
§ Escribimos:
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x bA =
v1 =10
!
"#
$
%&, v2 =
2−5
!
"#
$
%& y v3 =
−14
!
"#
$
%&
3 10
!
"#
$
%&−5 2
−5
!
"#
$
%&+7 −1
4
!
"#
$
%&= 1 2 −1
0 −5 4
!
"#
$
%&3−57
!
"
###
$
%
&&&
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ECUACION MATRICIAL
§ Ahora podemos escribir un sistema de ecuaciones lineales como una ecuación vectorial.
§ Por ejemplo, el sistema lineal ----(1)
es equivalente a la ecuación vectorial ----(2)
x bA =
1 2 3
2 3
2 45 3 1
x x xx x
+ − =
− + =
x110
!
"#
$
%&+ x2
2−5
!
"#
$
%&+ x3
−13
!
"#
$
%&= 4
1
!
"#
$
%&
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ECUACION MATRICIAL
§ De acuerdo ejemplo (1), la combinación lineal del lado izquierdo es el producto de una matriz por un vector, de manera que (2) se convierte en
----(3) § La ecuación (3) tiene la forma . . A esta
ecuación se les llama ecuación matricial.
x bA =
1 2 −10 −5 3
"
#$
%
&'
x1x2x3
"
#
$$$$
%
&
''''
= 41
"
#$
%
&'
Ax = b
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ECUACION MATRICIAL
§ El sistema de ecuaciones
§ La ecuación vectorial
§ La ecuación matricial
x bA =
1 2 −10 −5 3
"
#$
%
&'
x1x2x3
"
#
$$$$
%
&
''''
= 41
"
#$
%
&'
1 2 3
2 3
2 45 3 1
x x xx x
+ − =
− + =
x110
!
"#
$
%&+ x2
2−5
!
"#
$
%&+ x3
−13
!
"#
$
%&= 4
1
!
"#
$
%&
ECUACION MATRICIAL
§ Ecuación matricial
§ Ecuación vectorial
§ Matriz aumentada Slide 1.4- 8 © 2012 Pearson Education, Inc.
x bA =
1 0 5−2 1 −60 2 8
"
#
$$$
%
&
'''
x1x2x3
"
#
$$$$
%
&
''''
=2−16
"
#
$$$
%
&
'''
x1
1−20
"
#
$$$
%
&
'''+ x2
012
"
#
$$$
%
&
'''+ x3
5−68
"
#
$$$
%
&
'''=
2−16
"
#
$$$
%
&
'''
1 0 5 2−2 1 −6 −10 2 8 6
"
#
$$$
%
&
'''
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ECUACION MATRICIAL
§ Teorema 3: Si A es una matriz , con columnas a1, …, an, y si b está en Rm, entonces la ecuación matricial
tiene el mismo conjunto solución que la ecuación
vectorial ,
que además, tiene el mismo conjunto solución que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es
.
x bA =
m n×
Ax = b
x1a1 + x2a2 + ...+ xnan = b
a1 a2 ! an b!"#
$%&
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EXISTENCIA DE SOLUCIONES § La ecuación tiene una solución si y solo si
b es una combinación lineal de las columnas de A. § Teorema 4: Sea A una matriz . Entonces los
siguientes enunciados son lógicamente equivalentes. Para una A particular, Todos los enunciados son verdaderos o todos falsos.
a. Para cada b en Rm, la ecuación tiene una solución.
b. Cada b en Rm es una combinación lineal de las columnas de A.
c. Las columnas de A generan Rm. d. A tiene una posición pivote en cada fila.
Ax = b
m n×
Ax = b
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CALCULO DE Ax
§ Ejemplo 2: Calcule Ax, donde
y .
§ Solución: De la definición,
A =2 3 4−1 5 −36 −2 8
"
#
$$$
%
&
'''
x =
x1x2x3
!
"
####
$
%
&&&&
2 3 4−1 5 −36 −2 8
"
#
$$$
%
&
'''
x1x2x3
"
#
$$$$
%
&
''''
= x1
2−16
"
#
$$$
%
&
'''+ x2
35−2
"
#
$$$
%
&
'''+ x3
4−38
"
#
$$$
%
&
'''
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CALCULO DE Ax
---(1) § La primera entrada en el producto Ax es una suma de
productos (un producto punto), usando la primera fila de A y las entradas de x.
=
2x1−x16x1
"
#
$$$$
%
&
''''
+
3x25x2−2x2
"
#
$$$$
%
&
''''
+
4x3−3x38x3
"
#
$$$$
%
&
''''
=
2x1 +3x2 + 4x3−x1 +5x2 −3x36x1 − 2x2 +8x3
"
#
$$$$
%
&
''''
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CALCULO DE Ax
§ Esto es, .
§ De manera similar, la segunda entrada en Ax se obtiene como la suma de los productos de las entradas de la segunda fila de A por las entradas de x.
2 3 4!
"
###
$
%
&&&
x1x2x3
!
"
####
$
%
&&&&
=
2x1 +3x2 + 4x3!
"
####
$
%
&&&&
−1 5 −3
"
#
$$$
%
&
'''
x1x2x3
"
#
$$$$
%
&
''''
= −x1 +5x2 −3x3
"
#
$$$
%
&
'''
Slide 1.4- 14 © 2012 Pearson Education, Inc.
REGLA FILA-VECTOR PARA CALCULAR Ax
§ La tercera entrada de Ax se puede calcular a partir de la tercera fila de A y las entradas de x.
§ Si el producto Ax está definido, entonces la i-ésima entrada de Ax es la suma de los productos de entradas correspondientes de la fila i de A y las entradas de x.
Slide 1.4- 15 © 2012 Pearson Education, Inc.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax
§ Teorema 5: Si A es una matriz , u and v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces
a. b. .
§ Demostración: Para simplicidad, considerar , , y u, v en R3.
§ Para sean ui y vi las i-ésimas entradas en u y v, respectivamente.
m n×
A(u+ v) = Au+ Av;A(cu) = c(Au)
3n =A = a1 a2 a3
!"#
$%&
3°
1,2,3,i =
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax
§ Demostración: Para simplicidad, considerar , , y u, v en R3.
§ Esto es:
3n =A = a1 a2 a3
!"#
$%&
u =u1
u2
u3
!
"
####
$
%
&&&&
, v=
v1
v2
v3
!
"
####
$
%
&&&&
y u+ v =u1 + v1
u2 + v2
u3 + v3
!
"
####
$
%
&&&&
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax § Para probar el enunciado (a), calcule como
una combinación lineal de las columnas de A usando las entradas en como pesos.
A(u+ v)
u+ v
A(u+ v) = a1 a2 a3!"#
$%&
u1 + v1u2 + v2u3 + v3
!
"
####
$
%
&&&&
= (u1 + v1)a1 + (u2 + v2 )a2 + (u3 + v3)a3Entries in u+ v
Columns of A = (u1a1 +u2a2 +u3a3)+ (v1a1 + v2a2 + v3a3)
= Au+ AvSlide 1.4- 18 © 2012 Pearson Education, Inc.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR Ax
§ Para demostrar el enunciado (b), calcular como una combinación lineal de las columnas de A usando las entradas de cu como pesos.
A(cu)
A(cu) = a1 a2 a3!"#
$%&
cu1cu2cu3
!
"
####
$
%
&&&&
= (cu1)a1 + (cu2 )a2 + (cu3)a3
= c(u1a1)+ c(u2a2 )+ c(u3a3)
= c(u1a1 +u2a2 +u3a3)= c(Au)
