ecuacionesdiferenciales ii

5/24/2018 EcuacionesDiferenciales II

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Departamento de Fsica Terica II(Mtodos Matemticos de la Fsica)

Universidad Complutense

U

Ecuaciones Diferenciales II

0

0

0

5

5x

t

u(t,x)

1

1

Manuel Maas Baena y Luis Martnez Alonso


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ndice General

1 Introduccin a las ecuaciones en derivadas parciales 11.1 Definicin de EDP. EDP lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 EDP relevantes en la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Cambio de variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . 81.2.1 Dominios. Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Existencia local de soluciones de EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 El teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2 Curvas caractersticas para EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Curvas caractersticas para EDP de segundo orden . . . . . . . . . . 29

1.5 Operadores diferenciales. Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 Operadores de frontera y de condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 351.5.3 Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.4 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Teora espectral de operadores diferenciales. Anlisis de Fourier 392.1 Producto escalar en espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Cambios de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Conjuntos ortogonales de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Desarrollos en serie de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Conjuntos ortogonales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Operadores diferenciales simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i


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ii NDICE GENERAL

2.4 Autovalores y autofunciones. Operadores simtricos . . . . . . . . . . . . . 472.4.1 Problemas de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.2 Autovalores y autofunciones de operadores simtricos . . . . . . . . 50

2.5 Operadores de SturmLiouville en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.1 Caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Carcter simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Caso singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.3 Operadores de Schrdinger, Legendre y Bessel . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Operadores de SturmLiouville en varias dimensiones . . . . . . . . . . . . 592.7 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.7.1 Bases trigonomtricas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7.2 Desarrollos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7.3 Convergencia de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.8 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.8.1 Definicin de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8.2 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 822.8.3 Transformadas seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Transformada de Fourier en R3 para funciones radiales . . . . . . . 902.9 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.9.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3 Mtodos de separacin de variables y desarrollo en autofunciones 953.1 El mtodo de separacin de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1.1 Operadores diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.1.2 Soluciones de EDP homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1.3 Soluciones de problemas de contorno homogneos . . . . . . . . . . 993.1.4 El MSV y las ecuaciones de la fsica matemtica . . . . . . . . . . . . 103

3.2 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . 1053.2.1 Partcula cuntica en una caja impenetrable . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.2 Partcula cuntica en una caja con condiciones peridicas . . . . . . 1073.2.3 Fluido en una tubera paralepipdica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . 1103.3.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.2 Partcula cuntica en una cua cilndrica impenetrable . . . . . . . . 1123.3.3 Fluido en una tubera cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.4 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4.1 Resolucin de la ecuacin angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4.2 Resolucin de la ecuacin radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4.3 Partcula cuntica en una caja esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.4.4 Fluido en el interior de una caja esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.5 El mtodo de desarrollo en autofunciones (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.5.1 El MDA en problemas inhomogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.5.2 Ejemplos en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5.3 El mtodo de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.6 Problemas de contorno en electrosttica y mecnica de fluidos . . . . . . . 1513.6.1 Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


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NDICE GENERAL iii

3.6.2 El MDA en problemas de electrosttica y mecnica de fluidos consimetra esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.6.3 Esfera conductora cargada en equilibrio electrosttico en un campoelctrico constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.6.4 Fluido en movimiento uniforme deformado por una bola esfrica . 159

3.7 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.7.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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CAPTULO1Introduccin a las ecuacionesen derivadas parciales

En este primer captulo se presentan las definiciones generales sobre ecuacionesen derivadas parciales (EDP) y se enuncia uno de los teoremas de existencia yunicidad bsicos, debido a Cauchy y a Kovalevskaya. Tambin se introducen los

problemas de Cauchy y la nocin de hipersuperficie caracterstica y se dedica una sec-cin a definiciones bsicas sobre operadores diferenciales y problemas de EDP linealesasociados.

1. Definicin de EDP. EDP lineales

2. Condiciones de contorno. Condiciones iniciales

3. Existencia local de soluciones de EDP

4. Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas

5. Operadores diferenciales. Problemas lineales.

1.1 Definicin de EDP. EDP lineales

En esta seccin, tras una introduccin de carcter general sobre nmeros complejosy derivadas parciales, presentamos algunas de las EDP ms relevantes en Fsica. Porltimo, analizamos como se transforman las EDP ante cambios de coordenadas.

1.1.1 Aspectos generales

Salvo mencin de lo contrario siempre consideraremos funciones dependientes de uncierto nmero de variables reales y que toman valores complejos. Utilizaremos dostipos de notacin dependiendo de la situacin.

Notacin extendida Escribiremos u= u(x, y , . . . ) = u1( x , y , . . . ) + i u2( x , y , . . . )para denotar una funcin que depende de las variables reales (x, y , . . . ), que tomavalores complejos cuya parte real e imaginaria vienen dadas por nmeros

complejos

1


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2 Introduccin a las ecuaciones en derivadas parciales [Captulo 1

Re u = u1, Im u = u2.

Como nmeros complejos, los valores de la funcin u pueden conjugarse y poseenmdulo y argumento:

u=

u1

i u2

, |

u| = +u

2

1 +u2

2, arg u

=arctan

u2

u1.

Es til recordar que:

|u|2 = uu, u = |u| eiarg u.

Recordemos que en el lgebra de nmeros complejos, dados a, b R, se tienen lasfrmulas de Euler:nmeros

complejos,

frmulas de

Euler

ei b = cos b + isen b, ea+i b = eaei b = ea(cos b + isen b).

Frecuentemente, en las aplicaciones en la Fsica, una de las variables a tener encuenta es el tiempot , as que en tales ocasiones denotaremos mediante (t , x, y , . . . ) alas variables de las que dependen nuestras funciones.

Las derivadas deu, cuando existan, se obtendrn derivando las partes real e ima-ginaria deu y se denotarn como muestran los ejemplos siguientes:derivadas

parciales

ut= ut

= u1t

+ i u2t

, ux= ux

= u1x

+ i u2x

,

uxx= 2u

x 2=

2u1x 2

+ i2u2

x 2 , uxy=

2u

xy=

2u1xy

+ i 2u2

xy

Supondremos siempre que las funciones que manejamos admiten derivadas hastael orden requerido por las operaciones que debamos efectuar. En particular tal orden

ha de ser suficiente para que el resultado de una derivacin mltiple sea independientedel orden en que efectuemos las derivaciones individuales. Por ejemplo:

uxxyxzy= uxxxyyz= uzxyxyx .

Ejemplos

1. Sea

u(x,y) = xy + i ex2+y2 .

En este caso

u1(x,y) = xy, u2(x,y) = ex2+y2 ,

por lo tanto

u = xy i ex2+y2 , |u| =

(xy)2 + e2(x2+y2)

Se calcula inmediatamente que

ux= y+ 2 i xex2+y2 , uxx= i(2 + 4x2)ex2+y2 .



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1.1] Definicin de EDP. EDP lineales 3

2. Sea

u(x,y) = exy+i(x2+y2).

Utilizando las frmulas de Euler

u = exy(cos(x2 + y2) + isen(x2 + y2)),

luego

u1= exy cos(x2 + y2), u2= exy sen(x2 + y2),

|u| = exy, arg u = x2 + y2.

As, las derivadas de primer orden son

ux= (y+ i 2x)exy(cos(x2 + y2) + isen(x2 + y2)),uy= (x + i 2y)exy(cos(x2 + y2) + isen(x2 + y2)).

Notacin abreviada En una notacin ms compacta las funciones las escribiremosen la formau = u(x) = u1(x) + i u2(x), donde

x= (x0, x1, . . . , xn1),

denota un punto de Rn. Frecuentemente, aunque no siempre, la variablex0ser iden-

tificada con una variable tiempo t . Para las derivadas escribiremos notacinabreviada

Du:= ||u

x00 x

11 x n1n1

, || = 0 + 1 + n1,

donde aparecen ndices vectoriales

= (0, 1, , n1) Zn+ Rn,

conncomponentes enterasi 0. Obsrvese que || es el orden de la derivadaDu. Por definicin si = (0, 0, . . . , 0), entoncesDu u.

La relacin entre los dos tipos de notacin es fcil de establecer. Por ejemplo si(x0, x1, x2, x3) = (t,x,y,z):

uxxzyz= Du, = (0, 2, 1, 2).

Cuando tengamos una sola variable independiente x , usaremos la notacin

Dnu:= dn u

d xn.

EDPPara definir el concepto de EDP es conveniente usar la notacin abreviada.



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Definicin 1.1.1. Una EDP es una ecuacin de la forma:

F(x,Du) = 0, (1.1)

siendoFuna funcin que depende de x=

(x0, x1, . . . , xn

1) (n > 1), y de unnmero finito de derivadasDu. La nomenclatura es la siguiente:

i) Las variablesxi,i = 0, . . . , n 1,se denominanvariables independientes de laEDP.

ii) La funcin incgnitau de la EDP se denominavariable dependientede la EDP.

iii) Sires el orden mximo de las derivadasDude las que depende la funcinF, entoncesres por definicin el orden de la EDP.

Aunque pueden tratarse situaciones ms generales de gran inters, aqu slo conside-raremos EDP correspondientes a funcionesFque dependen polinomicamente en lasvariablesDu. No impondremos tal tipo de restricciones a la dependencia respectode las variables xi. En particular, si Fes un polinomio de grado uno enDuse diceque la EDP es una EDP lineal. En ese caso la EDP es de la forma

EDP lineal

a(x)D

u f(x) = 0, (1.2)

donde

significa que la suma se extiende a un conjunto finito de multi-ndices

con|| 0. Las funcionesa(x) y f (x) se suponen dadas. Normalmente cuandotratamos con una ecuacin como (1.2) la escribimos como

a(x)Du = f(x),

y nos referimos al trmino f(x) como el trmino inhomogneo de la ecuacin. Sif(x) 0 diremos que la EDP lineal es homognea.EDP homognea

En general las EDP no lineales son mucho ms difciles de tratar que las lineales.Para considerar EDP concretas la notacin extendida es ms conveniente.

Ejemplos1. La EDP

ux + ex+yuy u = x2y2,es lineal de orden 1.

Sin embargo, existen situaciones fsicas en que aparecen ecuaciones ms generales. Por ejemplo,la ecuacin de sine-Gordon:

utt uxx= sen use utiliza en la descripcin de la transparencia auto-inducida o en el estudio de las uniones Josephson.As mismo, tambin es relevante en geometra diferencial.

Una extensin del concepto de EDP lineal es el de EDP cuasi-lineal, ahora se exige linealidad tanslo en las derivadas de orden ms alto.



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2. La EDP

uxx u + uy+ xy= 0,es no lineal, obsrvese el trminouxx u, y de orden 2.

1.1.2 EDP relevantes en la Fsica

La Fsica est repleta de EDP lineales y no lineales. Tanto en electromagnetismo comoen mecnica cuntica las ecuaciones bsicas son lineales, pero en otras reas, como ladinmica de medios continuos o la relatividad general, las ecuaciones fundamentalesson no lineales.

Hay cuatro ejemplos de EDP lineales, todas ellas de segundo orden, a las que vamosa dedicar un inters particular en este curso:

1. La ecuacin de Poisson Poisson

uxx+

uyy+

uzz=

f ,

siendo f= f(x,y,z) una funcin dada. Si f 0 la EDP se conoce como ecuacinde Laplace. Ambas EDP aparecen a menudo en electrosttica y en mecnica defluidos.

2. La ecuacin de ondasondas

utt= c2

uxx + uyy+ uzz

,

dondec es un nmero real positivo que representa la velocidad de propagacinde las ondas.

3. La ecuacin de Schrdinger Schrdinger

i ut= 2

2m

uxx + uyy+ uzz

+ q(x,y,z)u,que describe la dinmica de una partcula de masa m en un campo de fuerzascon funcin potencial q= q(x,y,z). El smbolo representa la constante dePlanck normalizada. Es de observar la presencia del nmero imaginario i en elcoeficiente de ut. Este hecho es el principal motivo por el que en este cursoconsideramos funciones con valores complejos.

4. La ecuacin del calor calor

ut= a2

uxx + uyy+ uzz

,

es relevante en procesos de difusin trmica y de difusin de fluidos en general.El smboloa2 representa el coeficiente de difusin.

Para escribir de forma abreviada las ecuaciones anteriores es conveniente usar la no-tacin del operador Laplaciano:

u:= uxx + uyy+ uzz.As se obtiene:



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1. Ecuacin de Poisson en 3 dimensiones:

u = f .

2. Ecuacin de ondas en 1+3 dimensiones:

utt= c2u.

3. Ecuacin de Schrdinger en 1+3 dimensiones:

i ut= 2

2mu + qu.

4. La ecuacin del calor en 1+3 dimensiones:ut= a2u.

En ocasiones consideraremos versiones simplificadas de las ecuaciones anteriores enlas que u no depende de algunas de las variables (x, y, z). As, una versin en 1+2dimensiones de las ecuaciones de ondas, Schrdinger o del calor es una EDP en quesuponemos queu depende de(t,x, y)solamente.

Aunque no vamos a tratar tales problemas en este curso, hay muchos ejemplos deEDP no lineales de gran importancia por sus aplicaciones en la Fsica. Los mtodosque se emplean en su estudio son muy diferentes de los desarrollados para las EDPlineales. Solo mostraremos un par de EDP no lineales que gozan de gran popularidadactualmente

1. La ecuacin de Kortewegde VriesKortewegdeVries

ut + uxxx + uux= 0,

con aplicaciones en hidrodinmica, fsica del estado slido y fsica del plasma.

2. La ecuacin de Schrdinger no linealSchrdinger no

lineal i ut= uxx + |u|2u,

con relevancia en diversos campos entre los que destaca la ptica no lineal.

1.1.3 Cambio de variables independientes

cambios de

coordenadasDada una EDP (1.1), una de las manipulaciones ms frecuentes que debemos efectuares determinar la forma que adquiere cuando efectuamos un cambio de variables inde-pendientesx y= y(x)con ecuaciones de transformacin:

yi= yi(x0, x1, . . . , xn1), i = 0, 1, . . . , n 1,A veces en Fsica se utiliza el dAlambertiano: u = utt c2u, tomando la ecuacin de ondas la

forma u = 0.



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que siempre supondremos invertible y x= x(y), con ecuaciones de transforma-cin inversa

xi= xi(y0, y1, . . . , y n1), i = 0, 1, . . . , n 1.Para simplificar no utilizaremos un nuevo smbolo de funcin para la funcin com-

puestau(x(y)), que simplemente denotaremos u(y).La forma que toma (1.1) en las nuevas variables se determina sustituyendo en

F(x,Du) las variables x por x(y), y las derivadas respecto de x (Du) por susexpresiones en trminos de derivadas respecto dey. Para esto ltimo hay que utilizarla regla de la cadena. Las expresiones de las derivadas de ordenes uno y dos son

u

xi=

i

u

yi

yi

xi,

2u

xixj=

xi

j

yj

xj

u

yj

=

i jyi

xi

yj

xj

2u

yiyj+

j2yj

xixj

u

yj

En ocasiones un cambio de variables puede convertir una EDP en otra ms simple.El ejemplo clsico es la ecuacin de ondas en 1+1 dimensiones.

Ejemplosi) Sea la EDP:

utt uxx= 0.Efectuemos el cambio de variable:

y1=

t

+x, y2

=t

x.

con cambio inverso:

t=12

(y1 + y2), x=12 (y1 y2)

Inmediatamente se obtiene:

ut= uy1y1t

+ uy2y2t

= uy1 + uy2 ,

ux= uy1y1x

+ uy2y2x

= uy1 uy2 ,

utt

=

y1 +

y2(uy1+

uy2 )

=uy1y1

+uy2y2

+2uy1y2 ,

uxx=

y1

y2

(uy1 uy2) = uy1y1 + uy2y2 2uy1y2 .

Como consecuencia la EDP se escribe:

4uy1y2= 0.En su nueva forma la EDP puede integrarse y se obtiene la solucin:

u = f (y1) + g(y2) = f (x + t) + g(t x),dondef yg son funciones arbitrarias.



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ii) Formulemos la EDP

ux + uy= x2y,

en coordenadas polares:

x = rcos , y= rsen ,

r=

x2 + y2, = arctanyx

.

Aplicando la regla de la cadena:

ux= xx2 + y2

ur yx2 + y2 u= cos ur

sen r

u,

uy= y

x2 +y2

ur+ xx2 + y2 u= sen ur+

cos r

u.

Luego la EDP se escribe:

(cos + sen )ur+1r

(cos sen )u= r3 sen cos2 .

1.2 Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales

1.2.1 Dominios. Fronteras

En general cuando consideramos una EDP (1.1) la funcin incgnitau = u(x)se supo-ne definida sobre un conjunto dado de Rn. Supondremos siempre que satisfacedominios

las dos condiciones siguientes:

i) es un conjunto abierto. Esto es, para todo punto a existe un radio r >0tal que todo punto x Rn cuya distancia aa es inferior ar (d(x,a) < r)pertenece a .

ii) es conexo.

Es decir, no es posible encontrar dos conjuntos abiertos no vacos i, (i =1, 2)tales que 1 2= y 1 2= .

En tal caso diremos que es undominiode Rn. LafronteraS ()de es el conjuntofrontera

formado por los puntos a Rn tales que para todo radio r >0, existen puntos x ,tantodentro x como fuera x , tales que d(x,a) < r. Obviamente la propiedadi) significa que no tiene puntos en comn con su frontera S(). En cuanto a lapropiedad ii), podemos interpretarla como la prohibicin de que pueda dividirse endos sectores separados. El conjunto unin

= S(),

se denominael cierre de .A continuacin mostramos diagramas de un dominio y de conjuntos que no son

dominios dado que violan la propiedad i) o la propiedad ii).



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1.2] Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales 9

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

























































x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x



































x x x x x x x x x x x x x x x











x x x x x x x x x x x














x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x


















Frontera

Dominio

conjunto no conexoconjunto no abierto

1.2.2 Condiciones de contorno

Dada una EDP sobre un dominio Rn:

F(x,Du) = 0, x , (1.3)

normalmente se nos pide no slo que encontremos una funcin u=u(x)que satis-faga la EDP en todo punto de , sino tambin que tal funcin satisfaga una serie decondiciones

fi(x,Du) = 0, x Si, i = 1, . . . m ,

donde los smbolosSidenotan partes de la fronteraS()de , y lasfison funcionesdependientes de las variablesxi, y de un nmero finito de derivadas Ducon|| 0. Condiciones de esta clase se denominan condiciones de contorno tambin seconocen como condiciones de frontera, en este texto utilizaremos ambas .. Solo condiciones de

contornoconsideraremos condiciones de contorno en las que las funciones fi son polinomiosde grado uno en las variables Du(condiciones de contorno lineales). Es decir, de laforma

bi,(x)D

u gi(x) = 0, x Si,

o bien

bi,D

u|Si= gi.

Un problema consistente en resolver una EDP sobre un dominio y un conjunto de con-diciones de contorno se denominaproblema de contornoo problema de frontera.



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Ejemplos1. La ecuacin de Laplace en una caja rectangular. Consideramos la EDP

uxx + uyy+ uzz= 0,en un dominio = [0, a] [0, b] [0, c]. La condiciones de contorno son

u(x,y, 0) = 0, u(x, y , c ) = g(x,y),u(0, y , z ) = 0, u(a, y , z) = 0,

u(x, 0, z) = 0, u(x, b , z ) = 0.La solucinu(x,y , z)a este problema modela el potencial electrosttico en unacaja con todas sus caras a potencial cero mientras que la sexta tiene el potencialg(x,y).

R3

x

y

z

a

b

c

u(x, 0, z) = 0

u(x,b,z) = 0

u(x,y, 0) = 0

u(x,y,c) = g(x,y)

u(a,y,z) = 0

u(0, y , z ) = 0

uxx + uyy+ uzz= 0

2. Una EDP no siempre admite la imposicin de determinadas condiciones de con-torno. A titulo de ejemplo podemos considerar la ecuacin de ondas

u12= 0en el cuadrado (1, 2) [0, 1][0, 1]. Impongamos las condiciones de contornosiguientes

u(1, 0) = f1(1), u(1, 1) = f2(1), u(0, 2) = g1(2), u(1, 2) = g2(2).Veamos ahora que este problema puede no tener solucin. Como se satisface

la la EDP u12= 0 la funcin u1 no depende de 2, u1= u1(1), y por ellodebemos tenerf1= f2,

y un argumento anlogo conduce a

g1 = g2.Por tanto, para que el problema de contorno tenga solucin es necesario que sesatisfagan condiciones adicionales sobre los datos de frontera. Este problemaest relacionado con las curvas caractersticas que discutiremos ms adelante.



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R2

1

2

1

1u(1, 0) = f1(1)

u(1, 1) = f2(1)

u(0,

2)=

g1(2)

u(1,

2)=

g2(2)

u12= 0

En problemas sobre un dominio en el espacio R3 se utiliza la siguiente nomen-clatura para las condiciones de frontera ms simples sobre una superficie ScontenidaenS ():

1. Condicin de Dirichlet:

u|S= g.

2. Condicin de Neumann:

u

n

S

= g,

siendo

u

n := n u = n1ux + n2uy+ n3uz,

donden = (n1, n2, n3)es el campo de vectores normales a la superficie S.3. Condicin mixta

au + b u

n

S

= g.

Aqua y b denotan funciones dadas.



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S

n

En ocasiones consideraremos versiones en R2 de las anteriores condiciones de con-torno. En tales casos ser un recinto del plano, Suna curva contenida enS ()y enlugar de la notacinS , S ()preferiremos usar , ()respectivamente.




































n

En todo caso, siempre que trabajemos con una condicin de contorno sobre unaparteSde la frontera de Rn, supondremos queSpuede describirse mediante unaecuacin implcita:

fS(x) = 0,tal que

fS(x) 0, x S.Podemos definir un campo normal unitario segnnormal unitaria



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n(x):= fS(x)fS(x) .

Ejemplos Los ejemplos siguientes muestran los campos de vectores normales y lascorrespondientes operaciones de derivacin en la direccin del vector normal.

1. crculo con centro el origen y radio ren R2, = ().

f(x,y) = x2 + y2 r2,

n = (2x, 2y)(2x, 2y)

= 1r

(x,y), u

n

= 1r

xux + yuy

.

R2

x

y

rn

2. interior del cilindro con ejeOZy radioren R3,S= S().

fS(x,y,z) = x2 + y2 r2,

n = (2x, 2y, 0)(2x, 2y, 0)

= 1r

(x,y, 0), u

n

S

= 1r

xux + yuy

.



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R3

x

y

z

r

n

S

3. interior de la esfera centrada ena = (a1, a2, a3)y radioren R3,S= S().

fS(x,y,z) = (x a1)2 + (y a2)2 + (z a3)2 r2,

n = 1r

(x a1, y a2, z a3), un

S

= 1r

(x a1)ux + (y a2)uy+ (z a3)uz

.

R3

x

y

z

r

n

a

S

Existe otro tipo de condiciones de contorno asociadas con pares apropiados dehipersuperficies de la frontera de . Supongamos dos hipersuperficiesSi, i = 1, 2 de



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Rn contenidas enS (), tales que existe una aplicacin biyectiva entre ellas

: S1 S2,x(x),

tal que tanto como su inversa, expresadas en coordenadas locales de sus superficies condiciones de

contornoperidicas

dominio, son funciones que admiten todas las derivadas. Una condicin de contornoperidicaviene expresada como una ecuacin de la forma

f(x,Du(x)) = f((x),Du((x)), x S1.

1.2.3 Condiciones iniciales

Otro tipo de condiciones que se suelen exigir a las soluciones de una EDP son lasdenominadas condiciones iniciales respecto de una de las variables independientesque denotaremost o x0. Normalmente son un conjunto de condiciones de la forma:

u|t=t0= 0,ut

t=t0= 1, . . . ,

r

1

ut r1

t=t0= r1,

donde r0 y las funciones i dependen del resto de variables independientes. En condicionesinicialesgeneral, las condiciones iniciales no son condiciones de contorno ya que tambin se

consideran situaciones en las que el conjunto determinado por la ecuacin t = t0puede estar en el interiorde .

En problemas fsicos en los que se analiza la evolucin de un sistema suelen coe-xistir tanto condiciones de contorno como iniciales.

Los siguientes ejemplos muestran un par de situaciones genricas diferentes.

Ejemplos

1. Sea la ecuacin del calor en 1+1 dimensiones:

ut= uxx ,sobre el dominio

= {(t,x) R2 | t >0, 1< x


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Podemos imponer las condiciones

u|t=0= (x 1)(x 2), u|x=1= 0, ux=2= 0.

En este caso la condicin inicial es tambin condicin de contorno.

2. Sea la ecuacin de Schrdinger en 1+1 dimensiones:

i ut= uxx ,

sobre el dominio

= {(t,x) R2 | < t < , 1< x


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1.3] Existencia local de soluciones de EDP 17

2) La composicin de dos funciones diferenciables

x y= f(x) z = g(y) = g(f(x)),

es tambin una funcin diferenciable. Ahoraf : 1 2y g : 2 C.

Para los problemas de contorno suele utilizarse el espacio C()de funciones dife-renciables en el cierre de . Por definicinu C()si u C(0)para algnabierto 0.

1.3 Existencia local de soluciones de EDP

1.3.1 Planteamiento del problema

Dada una EDP (1.1) sobre un dominio Rn, la primera cuestin natural a considerares la existencia de soluciones u= u(x). Por nuestra experiencia con las ecuacionesdiferenciales ordinarias debemos intuir que los resultados generales que podemos

esperar han de ser locales. Es decir, resultados asegurando la existencia de solucionesenalgn abierto alrededor de cada punto de . existencia local

Un aspecto importante a considerar es el tipo de soluciones que buscamos. Esdecir, las propiedades que exigimos a u = u(x). Nuestra decisin en este aspecto estcondicionada por las propiedades de la propia funcin F= F(x,Du)que define laEDP. En este sentido vamos a concentrarnos ahora en una clase de problemas en que esposible deducir un importante resultado sobre la existencia de soluciones analticas.En este punto es importante comentar la nocin de funcin analtica.

Funciones analticas

El espacioA()de funciones analticasen un abierto est formado por las funcio- funcionesanalticas

nes f=f (x)tales que para todo punto a existe un radio r >0 y un desarrolloen serie mltiple de potencias def

f(x) =

||0c(x a), (x a) := (x0 a0)0(x1 a1)1 (xn an)n1 ,

convergente en la bola |x a| < r.Las propiedades de las funciones analticas que ms nos interesan ahora son

1) Toda funcin analtica en es tambin una funcin diferenciable en . Ademssus desarrollos en serie de potencias alrededor de cualquier a coinciden consus desarrollos de Taylor. Es decir

f(x) =

||0c(x a), c= 1

!Df(a).

2) Sif , g A()entonces las funciones

f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x)

,(g(x) 0),

tambin pertenecen aA() , C.



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3) La composicin de dos funciones analticas

x y= f(x) z = g(y) = g(f(x)),es tambin una funcin analtica. Aqu tenemos, f : 1 2y g : 2 C.

forma normal Pasamos a introducir la nocin de EDP en forma normal o de Kovalevskaya.

Definicin 1.3.1. Sea una EDP (1.1)con variables independientes

x = (x0= t, x), x:= (x1, . . . , xn1).

Decimos que la EDP posee formanormal (o de Kovalevskaya) de orden r > 0respecto de la variablet si puede escribirse como:

ru

t r = G(x,Du), r >0, (1.4)

siendoG una funcin que depende polinomicamente de un nmero finito de deri-

vadas

Du = 0u

t 01u

x11

n1u

xn1n1

,

pero debe ser independiente de las siguientes

ru

t r ; Du, con || > r .

Comentarios

1. De acuerdo con la definicin anteriorres el orden de (1.4).

2. Para analizar si una EDP posee la forma normal respecto de una de sus variablesindependientest , lo primero que hay que hacer es despejar la derivada respectode t de orden ms alto y despus comprobar que en el segundo miembro noaparezcan derivadas de orden estrictamente superior.

Ejemplos1. La EDP

ux uy= log(xy),

posee la forma normal respecto de cualquiera de sus variables x y, pues puedeescribirse como

ux= uy+ log(xy),o bien

uy= ux log(xy),y en ambos casos se verifica la condicin de normalidad respectiva.

Sin embargo la funcin log(xy)slo es analtica cuando xy >0, luego la EDP es normal-analtica(ver 1.3.2) en x e y en los dominios 1 = {(x,y) R2, conx >0,y >0} y 2 = {(x,y) R2, conx


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2. La ecuacin del calor en 1+1 dimensiones

ut uxx= 0,

es claramente de forma normal respecto de la variablex , pero no lo es respectodet ya que al despejarut

ut= uxx ,

en el segundo miembro queda una derivada de orden mayor que el de ut .

3. La ecuacin de Kortewegde Vries

uxxx= uux ut ,

es claramente normal respecto de x .

4. Las ecuaciones de Poisson y de Laplace en 3 dimensiones son normales respectode sus tres variables independientes x, y , z. La ecuacin de ondas en 1+3 di-mensiones es normal respecto de sus cuatro variables independientes t, x , y , z.Las ecuaciones de Schrdinger y del calor en 1+3 dimensiones no son normalesrespecto det y si lo son respecto de x , y , z.

problema de

CauchyDefinicin 1.3.2. Dada una EDP normal de orden rrespecto de una variable t

ru

t r = G(x,Du), x , (1.5)

definida sobre un dominio

= I,

siendoIun intervalo abierto de Ry un abierto de Rn1, un problema de Cauchycon valores iniciales consiste en determinar una solucin u= u(x) de (1.5) quesatisfaga lasr condiciones iniciales

u(t0,x)= 0(x),u

t(t0,x)= 1(x),

...

r1ut r1

(t0,x)= r1(x),

x (1.6)

donde t0 Iyi= i(x) son una serie de funciones dadas, que reciben el nombrede valores iniciales del problema.

Ejemplo Para la ecuacin de Schrdinger no lineal, que tiene la siguiente forma nor-mal con respecto ax ,

uxx= i ut + u3, u: R,



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se plantea el problema de Cauchy de condiciones iniciales

u(t, 0) = f(t),u

x(t, 0) = g(t).

1.3.2 El teorema de Cauchy-Kovalevskaya

Uno de los resultados generales de la teora de EDP, que se aplica tanto a los casoslineales como no lineales, es el siguiente teorema debido a Cauchy y Kovalevskaya, alcual nos referiremos como teorema CK.

teorema de

Cauchy-

Kovalevskaya

Teorema 1.3.3. Sea un problema normal de Cauchy con valores iniciales(1.5)-(1.6)para una EDP normal yx0= (t0,x0) un punto de su dominio tal que

i) Condicin de analiticidad de la EDP.

Como funcin dex la funcinG(x, Du) del segundo miembro de (1.5) esanaltica enx0.

ii) Condicin de analiticidad de los valores iniciales.

Los valores inicialesi(x),(i = 0, . . . , r 1)son funciones analticas en x0.

Entonces existe una funcin u= u(x) definida sobre un abierto0 quecontiene ax0 tal que:

i) La funcinu = u(x)satisface la EDP en 0 y las condiciones iniciales en todopunto(t0,x) 0.

ii) La funcin u=

u(x) es la nica funcin analtica en 0

que satisface tales

propiedades.

Comentarios

1. El teorema nos garantiza la existencia y unicidad locales de una solucin analticade un problema de Cauchy con datos iniciales, siempre que se verifique que la EDPes normal y que tanto la EDP como los datos iniciales dependan analticamentede las variables independientes.












x x

x x

x

t

0

I

t0

x0



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2. Hay una clara analoga entre este resultado y los teoremas de existencia bsicosde la teora de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Diremos que una EDPes normal-analticasi es normal y satisface la condicin i) de analiticidad delteorema CK. Entonces, bajo condiciones apropiadas se verifica:

La solucin local de una EDO de orden rdepende der constantes arbitrarias.

La solucin analtica local de una EDP normal-analtica de orden rdepende derfunciones analticas arbitrarias.

3. La demostracin del teorema, que no proporcionaremos en este curso, est ba-sada en la generacin de una solucin en forma de serie mltiple de Taylor alre-dedor dex0

u(t,x) =

||0

1!

Du(x0)(x x0).

Las incgnitas a determinar son las derivadas Du(x0). Para ello observemosque derivando respecto de las variablesxi, i

1,las condiciones iniciales (1.6),

podemos hallar todas las derivadas del tipo

||ut 0x

11 x n1n1

(t0,x) = ||00

x11 x n1n1

(x),

con 0 r 1. Para calcular las derivadas con 0 rdebemos utilizar lasderivadas anteriores as como la propia EDP (1.5) y sus derivadas. Gracias a laforma normal de la EDP es posible de esta forma generar todas las derivadasDu(x0)de forma unvoca. Este proceso demuestra la unicidad de la solucinanaltica de (1.5)-(1.6). La demostracin de la convergencia de la serie, es decirdel hecho de que realmente construimos una funcin, es ms delicada.

4. La condicin t= t0 (t0 I) determina un trozo de hiperplano en S . Sila funcinG(x, Du)es analtica en Sy los datos iniciales i(x)son funcionesanalticas en , entonces el teorema asegura la existencia de una solucin anal-tica local alrededor de cada punto de S. Como consecuencia puede demostrarseque existe una solucin analtica nica del problema de Cauchy en un abierto 0que contiene aS.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x










x

t

t0

0

S

Para entender el alcance de este importante resultado es conveniente considerarlos ejemplos siguientes.



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Ejemplos1. Consideremos el problema siguiente

ut= ux , (t,x) R2,u(0, x)

=ex .

Claramente la EDP es normal respecto de t, y se cumplen las condiciones dedependencia analtica en todo R2. Busquemos una solucin local alrededor delpunto(t ; x) = (0, 0):

u(t,x) =

n0,m0

1n!m!

n+mut nx m

(0, 0)tnxm. (1.7)

Derivando respecto dex la condicin inicial tenemos que

mu

x m(0, 0) =

mex

x m

x=0

= e0 = 1. (1.8)

Por otra parte derivando respecto det la EDP

n+1ut n+1

= n+1u

t nx, n 0,

e iterando este resultado se obtiene

n+1ut n+1

= n+1u

t n1x 2= =

n+1ux n+1

.

Derivando esta ltima relacin respecto dex se obtiene

n+

m

+1u

t n+1x m=n

+m

+1u

x n+m+1 , n, m 0.Por tanto

n+m+1ut n+1x m

(0, 0) = n+m+1u

x n+m+1(0, 0)

n+m+1ex

x n+m+1

x=0

= 1, n, m 0.(1.9)

De esta forma usando (1.8)-(1.9) en (1.7) se obtiene

u(t,x)= n0,m0

1

n!m!tnxm

=

n0

1n!

tnm0

1m!

xm

= etex.Puede comprobarse directamente que hemos construido una solucin del pro-

blema.

La solucin general de la ecuacin ut= ux tiene la forma f (t + x) dondefes cualquier funcinderivable. Si adems queremos que u(0, x) =ex debemos tenerf(x)=ex y asu(t,x)=et+x comohemos obtenido.



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2. Ausencia de normalidad

Consideremos ahora el problema de Cauchy:

ut= uxx , (t,x) R (1, 1),u(0, x)

= 1

1 x.

En este caso, aunque se cumplen las condiciones de analiticidad del teoremaCK en todo el dominio, la EDP no es normal respecto de t . Luego no podemosasegurar que se verifiquen las conclusiones del teorema CK. De hecho vamos acomprobar que no se cumplen. Para ello vamos a suponer que existe una solucinanaltica local en(t, x) = (0, 0)

u(t,x) =

n0,m0

1n!m!

n+mut nx m

(0, 0)tnxm.

La serie ha de ser convergente para todo (t,x) en algn abierto del tipo (r0, r0)(

r1, r1). Para todo x0 tal que

|x0

| < r1 la funcin u(t,x0) ser una funcin

analtica det alrededor det= 0, luego admitir un desarrollo en serieu(t,x0) =

n0

an(x0)tn, (1.10)

donde

an(x0) = 1n!

nu

t n(0, x0).

Pero derivando la EDP

nu

t n=

n+1ut n1x 2

, n 0,

e iterando este resultado se obtienenu

t n=

n+4ut n2x 4

= = 2nu

x 2n.

Por otra parte derivando respecto dex la condicin inicial tenemos que

mu

x m(0, x0) =

m(1 x)1x m

x=x0

= m!(1 x0)m+1 .

Por tanto

an(x0) = (2n)!n!(1

x0)2n+1

.

Pero este resultado implica que la serie (1.10) tiene radio de convergenciar= 0ya que aplicando la frmula bien conocida:

1

r= lim

n

an+1an

= limn

(2n + 2)(2n + 1)(n + 1)(1 x0)2 = .

Luego no es posible encontrar una solucin analtica alrededor de (0, 0).

A pesar de que no existe una solucin analtica local en(0, 0)de este problemade Cauchy, puede demostrarse que s que existe una solucin de claseC.



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3. Ausencia de la condicin i) de analiticidad de la EDP

Si la condicin i) de analiticidad no se verifica podemos tener problemas muygraves con la existencia de soluciones locales. No es slo que nos podamosencontrar con la ausencia de soluciones analticas, sino que quizs la EDP no tienesoluciones locales admisibles. La construccin de tales ejemplos es sofisticada,slo mencionaremos el debido a H. Lewy (1957) que es la siguiente EDP lineal deejemplo de Lewyprimer orden

ux + i uy 2 i(x + i y)ut= f(t).

Resulta que si f= f(t) es una funcin continua con valores reales, que slodepende de t y no es analtica en t= 0, entonces no existe ninguna solucinlocal de claseC1 en(t,x, y) = (0, 0, 0).Este ejemplo muestra la profundidad del problema de existencia local de solu-ciones de EDP en el caso de no analiticidad.

1.4 Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas

1.4.1 Planteamiento del problema

En la seccin anterior hemos considerado la cuestin de la existencia de solucioneslocales de una EDP. Ahora queremos considerar la misma cuestin pero para problemasde Cauchy de valores iniciales sobre un subconjunto S de Rn determinado por unaecuacin implcita:

h(x0, x1, . . . , xn1) = 0. (1.11)

Tales subconjuntos Sse denominan hipersuperficies de Rn. Podemos construir uncampo de vectores unitarios normales sobre Smediante la expresin:

n(x) := h(x)h(x) .

En los casos n = 2 (el plano) y n = 3 (el espacio),Sser una curva, que denotaremos, y una superficie, respectivamente.

Por admisible entendemos aquellas soluciones cuyo grado de diferenciabilidad es mayor o igualque el orden de la EDP.

Entre los resultados ms generales que pueden usarse en tal contexto est la siguiente consecuenciade un importante resultado (teorema de Nirenberg(1959)): dada una EDP lineal de la forma:

cD

u(x) = f(x),

donde los c son constantes y funa funcin C en x0 Rn, entonces existe una solucin local declaseC en x0.



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1.4] Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas 25

: h(x,y) = 0

x

y

S: h(x,y , z) = 0

x

y

z

problema de

CauchyDefinicin 1.4.1. Sea una EDP de orden rsobre un dominio en Rn,

F(x,Du) = 0, x. (1.12)Dada una hipersuperficie S (1.11) en , un problema de Cauchy de valores ini-ciales sobre Ses un sistema de ecuaciones determinado por(1.12)yr condiciones

u

S= 0(x),u

n

S

= 1(x),

...

r

1u

nr1

S= r1(x),

(1.13)

siendo los datos inicialesi(x) funciones definidas sobre S. Diremos que Ses unahipersuperficie caracterstica de(1.12)si las condiciones iniciales(1.13)determi-nan el valor de la funcinF(x, Du)sobreS.

El significado de las hipersuperficies caractersticas es que el problema de Cauchy

de valores iniciales sobre ellas ser en general incompatible. Esto es as debido a quede acuerdo con la definicin dada el valor de F(x, Du)sobreSest determinada porlas condiciones iniciales y por tanto solo ser posible la existencia de una solucin de

la EDP si ese valor es cero.

Ejemplos1. Sea el siguiente problema de Cauchy

ut uxx= 0, (t, x) R2,u|t=0= 0(x), ut|t=0= 1(x).

Obsrvese que la EDP es de orden 2 y que las dos condiciones iniciales estnasociadas a la curva determinada por la ecuacin t= 0. Sobre la funcin



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F= ut uxx est determinada por las condiciones iniciales, ya que:

(ut uxx )= 1(x) 0,xx (x).

Pero la EDP exige que F= 0 sobre . Por lo tanto, en general el problema deCauchy es incompatible pues slo podr tener solucin para ciertos datos inicia-

les: aquellos que satisfagan:

1(x) 0,xx (x) = 0.

2. Estudiemos el siguiente problema de Cauchy

A(1, 2)u1+ B(1, 2)u2 + G(1, 2, u) = 0,u(0, 2) = (2).

(1.14)

Ahora las variables independientes son1,2y la curva est determinada por

1= 0. Observemos que sobre todas las derivadas parciales con respecto a2 de las soluciones se encuentran completamente determinadas por y susderivadas:

nu

n2(0, 2) = (n)(2).

Sin embargo, el clculo de las derivadas con respecto a 1deusobre no puedehacerse usando la condicin inicial. Por tanto el primer miembro de la EDP noestar completamente determinado sobre , salvo cuando suceda queA(0, 2) =0. En tal caso para que pueda existir solucin del problema de Cauchy debesuceder

B(0, 2)(2) + G(0, 2) = 0

que claramente es una ligadura entre los coeficientes B, G que definen la EDP yla funcin . La curva : 1=0 es un ejemplo de lo que se entiende por curvacaracterstica, concepto que ser estudiado a continuacin.

1.4.2 Curvas caractersticas para EDP de primer orden

Consideremos ahora el problema general de Cauchy para una EDP de primer orden en R2 de la forma:

a(x,y)ux + b(x,y)uy+ G(x,y,u) = 0, (1.15)u|= (x,y), (1.16)

donde las funcionesa y b toman valores reales y es una curva en de ecuacin:

: y= y(x).

Nuestro objetivo es determinar las curvas que son caractersticas. Para ello efectua-mos un cambio de variables(x,y ) (1, 2)

1= 1(x, y ), 2= 2(x,y),



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con el fin de llevar nuestro problema a la forma (1.14). Por tanto, debemos imponer lacondicin

1(x,y) = y y(x).

Esta condicin hace que la ecuacin de la curva en las nuevas variables sea

: 1= 0.

En cuanto a la EDP, toma la forma

a

u1

1x

+ u22x

+ b

u1

1y

+ u22y

+ G(1, 2, u) = 0,

o bien

(a1,x + b1,y)u1 + (a2,x + b2,y)u2+ G(1, 2, u) = 0. (1.17)

La condicin inicial se escribe

u(0, 2) = (0, 2), (1.18)

donde ahora suponemos que todas las funciones a , b , u , G . . . estn expresadas entrminos de las variables(1, 2). Derivando (1.18) se obtiene

u2 (0, 2) = 2(0, 2).

Por tanto la funcinFde la EDP (1.17)

F= (a1,x + b1,y)u1+ (a2,x + b2,y)u2 + G(1, 2,u),

est determinada por la condicin inicial sobre salvo por el trmino en u1 . Peroeste trmino est ausente cuando:

(a1,x + b1,y)|= 0, (1.19)

luego esta condicin es la que caracteriza las curvas caractersticas. Como la curva satisface:

1(x,y(x)) = 0,

entonces derivando esta ecuacin respecto de x

1,x(x,y(x))+

1,y(x,y(x))y(x)

=(1,x

+1,yy

)|

=0.

Por tanto la condicin (1.19) queda

(b ay)1,y|= 0.

As obtenemos la siguiente ecuacin diferencial ordinaria que determina las curvascaractersticas : EDO curvas

caractersticas

y(x) = b(x,y)a(x,y)

. (1.20)



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Ejemplos1. Sea la EDP

ux + uy+ xy u2 = 0.En este caso:

a = 1, b = 1,

la ecuacin (1.20) de las caractersticas es

y(x) = 1.

Luego las caractersticas son las rectas

y=

x+

c.

2. Para la EDP

xux + yuy+ u = 0,

se tiene que

a = x, b = y,

luego la ecuacin (1.20) de las caractersticas es

y(x) = yx

,

cuya integracin conduce a las siguientes curvas caractersticas

y= cx.

3. La EDP

sen y ux + cos x uy+ u3 = 0,

tiene

a = sen y, b = cos x,

la ecuacin (1.20) de las caractersticas es

y(x) = cos xsen y

.

Luego las caractersticas son las curvas

y= arccos( sen x + c).



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1.4.3 Curvas caractersticas para EDP de segundo orden

Consideremos ahora el problema de Cauchy para EDP de segundo orden en R2 dela forma:

a(x,y)uxx+

2b(x,y)uxy+

c(x,y)uyy+

G(x,y,u,ux, uy)

=0, (1.21)

u|= 0(x,y), un

= 1(x,y),

donde las funcionesa,b y c toman valores reales y es una curva en de ecuacin:

: y= y(x).

Nuestro objetivo de nuevo es determinar las curvas que son caractersticas. Para elloefectuamos tambin un cambio de variables(x,y ) (1, 2)

1= 1(x, y ), 2= 2(x,y),

con la condicin

1(x,y) = y y(x),

que hace que la ecuacin de la curva en las nuevas variables sea

: 1= 0. (1.22)

Veamos qu derivadas podemos determinar a partir de las condiciones iniciales.La primera de estas condiciones adopta la forma

u(0, 2) =

0(0, 2),

y mediante derivacin es claro que se obtienen todas las derivadas respecto de2 en:

u2 (0, 2) = 0,2 (0, 2), u22 (0, 2) = 0,22(0, 2) , . . .

En cuanto a la segunda condicin inicial, tenemos en primer lugar que como conse-cuencia de (1.22) el campo de vectores normales es

n = 1

21,x + 21,y

(1,x, 1,y),

y la derivada correspondiente es

u

n= 1

21,x + 21,y(1,x ux + 1,yuy).

Dado que mediante la regla de la cadena podemos expresar las derivadasux yuyentrminos deu1 yu2 , disponemos de una expresin de la forma

u

n

= (2)u1 (0, 2) + (2)u2(0, 2),



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en que conocemos las funciones y . As la segunda condicin inicial se escribe

(2)u1(0, 2) + (2)u2(0, 2) = 1(0, 2), (1.23)

que es de la forma

u1(0, 2) =1(2).

Por derivacin se obtiene

u12 (0, 2) =1,2(2).

En conclusin, las condiciones iniciales nos permiten determinar sobre la funcinu y todas sus derivadas respecto de i hasta el segundo orden con la excepcin deu11 (0, 2).

Al escribir la EDP (1.21) sobre en las variables i, el nico trmino que no ven-dr determinado por las condiciones iniciales ser el de u11(0, 2). Para hallar su

coeficiente, vemos que

uxx=

1,x

1+ 2,x

2

(1,x

u

1+ 2,x u

2) = 21,xu11 + ,

uyy=

1,y

1+ 2,y

2

(1,y

u

1+ 2,y u

2) = 21,yu11+ ,

uxy=

1,x

1+ 2,x

2

(1,y

u

1+ 2,y u

2) = 1,x1,yu11 + .

De donde se deduce que el trmino que contieneu11(0, 2)en (1.21) es

(a21,x+

2b1,x1,y+

c21,y)u11 .

Por consiguiente las caractersticas son determinadas por la condicin

a21,x + 2b1,x1,y+ c 21,y

= 0.

De manera equivalente cuando a 0

1,x(x,y(x)) + 1a

(b

b2 ac)1,y(x,y(x) = 0. (1.24)

Como1(x,y(x)) = 0, derivando respecto dex se obtiene

1,x(x,y(x)) + 1,y(x,y(x))y(x) = 0,que al usarlo en (1.24) nos proporciona el siguiente par de ecuaciones diferencialesordinarias para las caractersticas

EDO curvas

caractersticasy= 1

a(b

b2 ac). (1.25)

Cada una de estas ecuaciones puede determinar una familia de caractersticas.clasificacin

EDP 2do ordenAdems nos permite establecer la siguiente clasificacin de las EDP de segundo

orden (1.21) en subconjuntos 0 en que no cambie el signo de la funcinb2 ac.



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Definicin 1.4.2. 1. Elptica en 0 si

b2 ac 0, (x,y) 0.

Poseen dos familias de curvas caractersticas en 0determinadas por(1.25).

3. Parablica en 0 si

b2 ac= 0, (x,y) 0.

Poseen una sola familia de curvas caractersticas en dada por las solucio-

nes dey= ba

.

Ejemplos

1. La ecuacin de Laplace

uxx + uyy= 0,

verifica

a = 1, b = 0, c= 1,

luegob ac= 10. Es hiperblica en todo el plano. Sus caractersticas vienendescritas por las ecuaciones

x(t) = 1,

son por tanto las dos familias de rectas

x= t + k.



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3. La ecuacin del calor

ut uxx= 0,

verifica

a = 1, b = 0, c= 0,

luegob ac= 0. Es parablica en todo el plano. Sus caractersticas verifican

t(x) = 0.

Luego son la familia de rectast= k.

4. Para la ecuacin de Tricomi

yuxx + uyy= 0,

se tiene

a(x,y) = y, b = 0, c= 1.

As,

b2 ac= y.

Por tanto, la ecuacin es

elptica en y >0,

parablica en y= 0,hiperblica en y


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1.5] Operadores diferenciales. Problemas lineales 33

1.5 Operadores diferenciales. Problemas lineales

En esta seccin se formulan los problemas de contorno y/o de condiciones iniciales detipo lineal, que son el tema de estudio de este curso. Se proporcionan las notacionesapropiadas para tratar con comodidad tales problemas.

1.5.1 Operadores diferenciales

Definicin 1.5.1. SeaC()el espacio de funciones diferenciables en. Un ope-rador diferencialL sobreC()es una aplicacin

L:C() C()u Lu,

de la forma siguiente

Lu:=

a(x)Du,

donde

significa que la suma se extiende a un conjunto finito de multi-ndices

con|| 0 y se supone que los coeficientesa(x) son funciones de C()dadas.

Todo operador diferencial es una aplicacin lineal. Es decir, verifica

L(u + v ) = Lu + Lv, u, v C(), , C.

Una notacin habitual que usaremos para referirnos a un operador diferencial es

L:=

a(x)D.

Ejemplos

1. Sea el siguiente operador enC(R)

L = x2D + x.

Su accin sobre la funcinu = cos x es

Lu = x2 sen x + x cos x.

2. El operador laplaciano

Lu:= uxx + uyy+ uzz,

puede denotarse como

L = 2

x 2+

2

y2+

2

z2.



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Es un operador diferencial sobreC() , siendo un dominio cualquiera de R3.Su accin sobre la funcin

u:= exp(x2 + y2 + z2),

es

Lu = (4(x2 + y2 + z2) + 6) exp(x2 + y2 + z2).

Los operadores diferenciales son los objetos matemticos apropiados para manejarlas EDP lineales. As, una EDP lineal de la forma

a(x)D

u = f(x),

se escribe de forma condensada como

Lu = f ,siendoL el operador diferencial

Lu:=

a(x)D

u.

Por tanto el problema que representa la EDP lineal consiste en encontrar elementosu C()cuya imagen mediante la aplicacin lineal L coincida con la funcinf.

Ejemplos de estas EDP son

1. Ecuacin de Poisson en 3 dimensiones:

Lu = f , Lu:= u.

2. Ecuacin de ondas en 1+3 dimensiones:

Lu = 0, Lu:= utt c2u.

3. Ecuacin de Schrdinger en 1+3 dimensiones:

Lu = 0, Lu:= i ut + 2

2mu + qu.

4. La ecuacin del calor en 1+3 dimensiones:

Lu = 0, Lu:= ut a2u.

Los operadores diferenciales tienen propiedades algebraicas muy importantes. Ad-miten las siguientes operaciones naturales



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1) Suma de operadores L + M(L + M)u:= Lu + Mu.

2) Producto de nmeros complejos por operadores L

(L)u:= (Lu).

3) Producto de operadoresLM

(LM)u:= L(Mu).

4) Conmutador de operadores[L, M]

[L,M]u:=

L(Mu)

M(Lu).

Con respecto a la suma y al producto de nmeros complejos los operadores di-ferenciales forman un espacio lineal. El operador cero, definido como el operadordiferencial con todos los coeficientes iguales a cero, se denotaL=0 (obviamente ental casoLu = 0 para todau). Con respecto a la operacin de producto de operadores,que coincide con la composicin de operadores como aplicaciones, la peculiaridad msdestacada es que no es una operacin conmutativa. Por ejemplo, si tomamos

L = D, M= D + x,se tiene que

L(Mu) = D2

u + xDu + u, M(Lu) = D2

u + xDu.Por tantoLMM L.

Es claro que dos operadores conmutan si y slo si su conmutador es el operadorcero[L, M] = 0.

1.5.2 Operadores de frontera y de condiciones iniciales

Definicin 1.5.2. SeaC()el espacio de funciones diferenciables en. Un ope-rador de fronteral sobreC()es una aplicacin

l:C

()

C(S),u l(u),

siendo C(S) el conjunto de funciones continuas sobre una hipersuperficie SS()en la frontera de , de la forma siguiente

l(u):=

b(x)D

u |S,

donde

significa que la suma se extiende a un conjunto finito de multi-indices

con || 0y se supone que los coeficientesb(x) son funciones de C(S) dadas.



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Todo operador de frontera es una aplicacin lineal. Es decir, verifica

l(u + v ) = l(u) + l(v), u, v C(), ,C.

Definicin 1.5.3. Cuando una de las variables independientes es el tiempo

x = (t,x), x:= (x1, . . . , xn1),

ySdenota el subconjunto interseccin de un hiperplanot= t0 con definimosun operador de condicin inicial como una aplicacin de la forma

l:C() C(S),u l(u),

dada por

l(u):= r

ut r

t=t0

, r 0.

Es claro que estas aplicaciones son tambin lineales.Los operadores de frontera y de condiciones iniciales son los objetos matemti-

cos apropiados para manejar las condiciones de contorno lineales y las condicionesiniciales. As, una condicin de contorno lineal de la forma

b(x)D

u |S= g,

se escribe de forma condensada como

l(u) = g,siendol el operador de frontera

l(u):=

b(x)D

u |S,

Ejemplos tpicos de operadores de frontera asociados con condiciones de contornol(u) = gson

1. Condicin de Dirichlet:

l(u):= u|S.

2. Condicin de Neumann:

l(u):= un

S

.

3. Condicin mixta

l(u):=

au + b un

S

.



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1.5.3 Problemas lineales

El problema tpico que consideraremos en este curso es el de caracterizar las funcionesu C()que son solucin de un sistema de ecuaciones de la forma

Lu = f ,li(u) = gi, i = 1, . . . , m ,

donde L es un operador diferencial y li una serie de operadores de frontera o decondiciones iniciales.

1.5.4 Caractersticas

El smbolo o parte principal del operador diferencial

L:=

||ma(x)D

,

se define como

(x,):=

||=ma(x)

.

Una caracterstica deL es una hipersuperficie Sde ecuacin(x) = 0 tal que

(x, ) = 0.

Construimos, de forma anloga a la anterior discusin sobre caractersticas, nuevascoordenadasx con x j= xj ,j= 2, . . . , ny x 1= (x). Entonces la ecuacin

Lu = f

se transforma en

(x,

(x))mu

x n1 +Mu

=f

dondeMes un operador diferencial en las variablesxque no contiene derivadas conrespecto a x1 de orden superior a (m 1). Por tanto, sobre problemas de Cauchysobre las caractersticas llevan a ligaduras adicionales entre los datos que definen elproblema.

Una ecuacin es elptica en un punto x0si por el no pasa ninguna caracterstica; v.g., no existen soluciones reales p = (pi)a

(x0, p) = 0.



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1.6 Cuestiones y problemas

1.6.1 Cuestiones

1. Dada la ecuacin en derivadas parciales

yuxx + 2xuxy+ u2y= 0determinar cual de las curvas siguientes es caracterstica

(a) y2 = 2x2(b) y2 = 4x2(c) y= 2x(d) y= x2(e) y= 2x

Resolucin En esta EDP de segundo orden se tienea(x, y)=y, b(x, y)=x ,c(x,y)= 0. Por tanto, la EDO que determina las caractersticas es y= (x

x2)/y; esto es, bien y= 0 o yy= 2x. As, integrando estas ecuacionesobtenemos dos familias de caractersticasy= constante, y2/2 = x2+constante.

2. Dada la ecuacin en derivadas parciales

x2uxx xy uxy+ y2uyy= exp u

cual de las siguientes afirmaciones es cierta

(a) Es parablica paraxy >0(b) Es hiperblica paraxy0

(c) Es elptica paraxy0

(d) Es hiperblica parax > y

(e) Es elptica para todo(x,y )

Resolucin En esta EDP de segundo orden se tienea(x, y)= x2, b(x,y)=xy /2,c(x,y ) = y2. Por tanto, b2 ac= 3/4x2y2 y siempre quexy0 laecuacin ser elptica.



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CAPTULO2Teora espectral de operadoresdiferenciales. Anlisis de

Fourier

Introducimos en este tema las nociones bsicas del anlisis en espacios funciona-les, que son necesarias para abordar la teora de operadores diferenciales de tipoSturmLiouville. Estos operadores se usarn posteriormente en la resolucin de

EDP lineales separables. Tambin se incluye en este tema una iniciacin al anlisis deFourier, esto a las series de Fourier y a la transformada de Fourier. Los puntos quetrataremos son:

1. Producto escalar en espacios funcionales

2. Conjuntos ortogonales de funciones

3. Operadores diferenciales simtricos

4. Autovalores y autofunciones. Operadores simtricos

5. Operadores de SturmLiouville

6. Series de Fourier

7. Transformada de Fourier

2.1 Producto escalar en espacios funcionales

Comenzamos esta seccin realizando un rpido recordatorio de lo que aprendimos enlgebra Lineal sobre espacios complejos con producto escalar, enfatizando los aspec-tos que son extensibles a espacios funcionales. Finalizamos viendo como la expresindel producto escalar en espacios funcionales cambia bajo transformaciones generalesde coordenadas.

39


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40 Teora espectral de operadores diferenciales. Anlisis de Fourier [Captulo 2

2.1.1 Producto escalar

Supongamos pues que tenemos un espacio vectorial complejo V, un producto escalar(, ) no es ms que una aplicacin que a cada pareja de vectores de V le asigna unnmero complejo, que eso si, debe satisfacer la siguiente lista de propiedades

producto escalar

Definicin 2.1.1. Un producto escalar enVes una aplicacin(, ) : V V Ctal que

i) (u,v) = (v,u), u, v V.ii) (u,v1 + v2) = (u,v1) + (u,v2), u, v1, v2 V y, C.iii) (u,u) 0, u V;(u,u) = 0 u = 0.

De las propiedades i) y ii) inferimos que(v1 + v2, u) = (v1, u) +(v2, u). Vemosque (, )es casi una forma bilineal que a veces se denomina forma sesqui-lineal. Lapropiedad iii) nos dice que el producto escalar de un vector consigo mismo es siempre

no negativo y que se anula tan slo para el vector 0. El producto escalar nos permitedotar de longitud, que llamaremos norma, a los vectores:norma

u := +

(u,u).

Una desigualdad bsica (desigualdad de CauchySchwarz) que relaciona la norma y elproducto escalar esdesigualdad de

CauchySchwarz|(u,v)| uv.

Se cumplen para la norma tres propiedades fundamentales

i)u = 0 u = 0.ii)u = ||u, Cy u V.iii)u + v u + v (desigualdad triangular), u, v V.

Estas tres propiedades nos permiten definir una distancia en V

d(u,v):= u v =

(u v, u v).

La nocin de producto escalar tal como la hemos esbozado aqu se puede aplicara espacios funcionales.producto escalar

de funcionesDefinicin 2.1.2. Consideremos un abierto Rn y una funcin : Rdiferenciable y positiva ((x) >0 x ). Dadas dos funcionesu, v definidassobre su producto escalar correspondiente a lafuncin peso se define en laforma

(u,v) =

u(x)v(x)(x) dn x.



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2.1] Producto escalar en espacios funcionales 41

Debemos recordar que la integral de funciones sobre de funciones con valores com-plejos se entiende como:

u(x)(x) dn x:=

Re(u(x))(x) dn x + i

Im(u(x))(x) dn x.

Obviamente, para que este producto escalar tenga sentido es necesario que la in-tegral correspondiente exista. Esta condicin est garantizada si trabajamos en elespacio de funciones

L2():=

u: C

u2 =

|u(x)|2 (x) dn x <

.

En realidad la operacin (, ) que acabamos de definir no es estrictamente un productoescalar, lo que falla es que existen funciones u(x) 0 no nulas en que tienen normanulau = 0. Para subsanar este problema debemos considerar que una funcin esla funcin cero si su norma lo es. Igualmente, dos funciones sern iguales si y solosi su diferencia tiene norma cero. El conjunto obtenido a partir de L2() medianteestas identificaciones lo denotaremos por L2() y es un espacio vectorial de dimen-

Espacios de

Hilbertsin infinita con producto escalar. El producto escalar en L2() dota a este espaciode funciones de una estructura matemtica que se conoce con el nombre de espaciode Hilbert. Los elementos deL2()se denominanfunciones de cuadrado integrablesobre . Si es un conjunto compacto (lo que equivale a que sea un conjunto aco-tado) entonces es claro que toda funcin diferenciable en es de cuadrado integrableen . Es decir

compacto C() L2().

Si no es compacto tal inclusin no es cierta y solo aquellas funciones diferenciablesque decrezcan suficientemente rpido en el infinito sern de cuadrado integrable.

Ejemplos1. Sea = (0, +) R; u(x)= x y v(x)=1, si el peso es(x)=1 entonces el

producto escalar deu y v no existe ya que

(u,v) =

0x d x = .

Si tomamos ahora el peso(x) = ex2 , el producto escalar deu con v existe

(u,v) =

0xex

2d x = 1/2.

Surge aqu la pregunta Qu integral estamos utilizando?, el lector ya conoce la integral de Riemann;sin embargo, sta no es completamente adecuada en este contexto. De hecho, es necesario utilizar unateora de integracin ms sofisticada debida a Lebesgue.

Por ejemplo, la funcin que sobre los racionales vale 1 y sobre los irracionales 0, es integrableLebesgue y con norma 0.

En rigor, lo que aqu hacemos no es ms que considerar clases de equivalencia de funciones: u vsiempre queu v = 0. El espacio cocienteL2()/ es lo que denotamos por L2().



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42 Teora espectral de operadores diferenciales. Anlisis de Fourier [Captulo 2

2. Si tomamos el dominio = (0, 1)y el peso (x) = 1, el producto escalar de lasfuncionesu(x)=1/x yv(x)= 1 no esta definido debido a la singularidad delintegrando enx = 0.

(u,v) = 1

0

1x

d x= .

Sin embargo, para el peso(x) = xobtenemos el siguiente producto escalar10

x1

xd x= 1.

3. Tomamos ahora = (0, 1), u(x)= x+ i x2 y v(x)= 1 i x con (x)= 1.Entonces

(u,v) =1

0(x i x2)(1 i x) d x=

10

(x x3 2 i x2) d x= 1/2 2 i /3

y la norma deu es

u2 = (u,u) =

1

0

x + i x22 d x= 10

(x2 + x4) d x= 8/15.

4. Si = (0, 2 ),u(x) = ei x yv(x) = e2 i x con(x) = 1 obtenemos

(u,v) =2

0e i xe2 i x d x= 0

y el cuadrado de la longitud de u ser

u2 =2

0

ei x2 d x= 2 .

2.1.2 Cambios de coordenadas

Hemos definido el producto escalar de funciones sobre dominios en Rn usando coor-denadas cartesianas. Sin embargo, por el teorema del cambio de variables del clculointegral estos productos escalares se pueden expresar en otro tipo de coordenadas,

cambio de

coordenadasapareciendo as, desde un punto de vista activo, un cambio de dominio y de funcinpeso, que en este caso ser el jacobiano de la transformacin. Por ejemplo:

Si el dominio de definicin es el plano R2 podemos considerar coordenadas po-lares y llegar a

coordenadas

polares

(u,v)= R2 u(x,y)v(x,y)(x,y)d x d y=

0

2

0u(r,)v(r,)(r,)rd rd .

As, cuando cambiamos a coordenadas polares tenemos(x,y) r(r,). En el espacio R3 tenemos las coordenadas esfricas y ahoracoordenadas

esfricas

(u,v)=R3

u(x,y,z)v(x,y,z)(x,y,z) d x d yd z

=

0

0

20

u(r,,)v(r,,)(r,,)r2 sen d rd d .

y(x,y , z) r2 sen (r,,).



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2.2] Conjuntos ortogonales de funciones 43

Ejemplos Sean el peso = 1 y las funciones u(r,,) = ei /2/(r2+1) y v(r,,) =sen

r2 ; entonces, su producto escalar es:

(u,v) = 0

0

20

e

i /2

(r2 + 1)sen

r2 r2 sen d rd d

=

0

d r1 + r2

0

sen2 d 2

0e i /2 d

=

arctan r

0

2sen2

4

0

2 i e i /2

20

=

2

2

2 i(2)

= i 2.

2.2 Conjuntos ortogonales de funciones

conjunto

ortogonalEn esta seccin intoducimos los conceptos de ortogonalidad, conjunto completo de

funciones y base ortogonal de un espacio funcional.

Definicin 2.2.1. Dado un conjunto de funciones{un(x)}nJ en L2(),dondeJ Z es un conjunto de ndices finito o infinito, decimos que esortogonal si(un, um) = 0, n m; n, m J.

Ejemplos

i) El conjunto

sen

nx

n1 es ortogonal en el intervalo [0, ] con peso (x)= 1.

Basta comprobar que0

senn x

sen

m x

d x

=

0

12

cos

(n m)x

cos

(n + m)x

d x = 0,

paran m.

En el clculo de la integral hemos reducido expresiones cuadrticas en funciones trigonomtricasen formas lineales gracias a las frmulas del seno y del coseno:

cos A B) = cos A cos B sen A sen B,sen(A B) = sen A cos B cos A sen B,

que dan lugar a las frmulas de suma siguiente

sen A sen B= 12

(cos(A B) cos(A + B)),

sen A cos B=12

(sen(A B) + sen(A + B)),

cos A cos B=12

(cos(A B) + cos(A + B)).

Ecua

ecuacionesdiferenciales ii

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