ecuaciones diferenciales de orden...
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Cap´ıtulo 2ECUACIONES DIFERENCIALES DEORDEN SUPERIOR
2.1. INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona unavariable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable inde-pendiente x, así:
f�
x, y(x), Dy(x), D2y(x), . . . , Dny(x)�
= r(x)
En donde Dy(x), D2y(x), . . . , Dny(x) son las derivadas de orden 1, 2, . . . , n de la función y(x).
Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de laecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias,así:
F (x, y, C1
, C2
, . . . , Cn
)
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior, las siguientes:
1. y00(x)� xy(x) = 0
2. a2
y00(t) + a1
y0(t) + a0
y(t) = f(t)
3. y00(t) + 4 sin(y(t)) = 0
4. x3y000(x) + ↵x2y00(x) + �xy0(x) + �y(x) = f(x)
5. x2y00(x) + xy0(x) + (x2 � �2
)y(x) = 0
De las ecuaciones mostradas, la tercera es no lineal y el resto son lineales. La segunda ecuaciónes de coeficientes constantes y recibe el nombre de ecuación de oscilaciones.
139
140 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La primera ecuación es la ecuación de Airy1. La cuarta es la ecuación diferencial de Euler2 detercer orden y la última es la ecuación diferencial de Bessel3.Nuestro interés se concentrará en desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferencialesde orden superior, particularmente las lineales.
Primitiva de una ecuación diferencial
En el capítulo 1 se estableció que la primitiva de una ecuación diferencial de primer orden esuna familia de curvas del plano de la forma F (x, y, C) = 0. De manera similar, una familiade curvas del plano F (x, y, C
1
, C2
, . . . , Cn
) = 0, es la primitiva de una ecuación diferencial deorden n. La ecuación diferencial se obtiene derivando n veces y eliminando las constantes.
Ejemplo: 2.1. Considere la familia de curvas del plano 2xy � a � bx = 0, con: a, bconstantes reales.
1. Represente gráficamente los elementos correspondientes a:
a) a = 1, b = 1
b) a = 3, b = �1
2. Encuentre la ecuación diferencial de la familia.
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.⌥⌃ ⌅⇧Solución:
1. La figura 2.1 muestra las dos curvas de la familia.
2. Tomando la primera derivada, resulta:
2xy0 + 2y � b = 0
Derivando de nuevo, se tiene:2xy00 + 4y0 = 0
En consecuencia, la ecuación diferencial de la familia es:
y00 +2y0
x= 0
1Remítase a los ejemplos 5.9 y 5.12 en las páginas 328 y 3322Remítase a la sección 5.23Remítase a la sección 5.6.5
2.1. INTRODUCCIÓN 141
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
a =1, b =1
a = 3 , b = -1
Figura 2.1: Elementos de la familia de curvas del ejemplo 2.1
3. La ecuación diferencial obtenida es de segundo orden pero se puede resolver mediantelas técnicas desarrolladas en el capítulo anterior, así:
y0 = p ) dp
dx+
2p
x= 0 ) dp
p+
2dx
x= 0
Integrando se obtiene:
ln(p) = 2 ln(x) = ln(C1
) ) px2
= C1
Finalmente, regresando a la variable y e integrando, se obtiene que la solución generales:
y = �C1
x�1
+ C2
Claramente se observa que la solución hallada es equivalente a la familia dada inicial-mente.
Ejemplo: 2.2. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la siguiente primitiva:
y = C1
e�x
+ C2
e�2x
+ x⌥⌃ ⌅⇧Solución: Se deriva dos veces la expresión así:
y0 = �C1
e�x � 2C2
e�2x
+ 1
y00 = C1
e�x
+ 4C2
e�2x
142 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistema de dosecuaciones con las incógnitas, así:
e�x e�2x
�e�x �2e�2x
�
·
C1
C2
�
=
y � xy0 � 1
�
La solución del sistema se encuentra aplicando la regla de Cramer, así:
C1
=
�
�
�
�
y � x e�2x
y0 � 1 �2e�2x
�
�
�
�
�
�
�
�
e�x e�2x
�e�x �2e�2x
�
�
�
�
; C2
=
�
�
�
�
e�x y � x�e�x y0 � 1
�
�
�
�
�
�
�
�
e�x e�2x
�e�x �2e�2x
�
�
�
�
Al resolver los determinantes, resulta:
C1
= ex(2y � 2x+ y0 � 1)
C2
= e2x(�y + x� y0 + 1)
Sustituyendo en la segunda derivada, resulta:
y00 = 2y � 2x+ y0 � 1 + 4(�y + x� y0 + 1)
Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
y00 + 3y + 2y = 2x+ 3
La solución del ejemplo sugiere que la primitiva dada es la solución general de la ecuacóndiferencial. Son soluciones particulares de la ecuación diferencial aquellas que se obtienen alasignar valores particulares a las constantes arbitrarias.Las siguientes funciones son soluciones particulares de la ecuación diferencial:
y = x , y = e�x
+ x
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 143
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO OR-DEN
Consideremos la primitiva dada en la ecuación (2.1), en la que las funciones: y1
(x), y2
(x) yyss
(x) son linealmente independientes en un intervalo I de los reales R.
y = C1
y1
(x) + C2
y2
(x) + yss
(x) (2.1)
Derivando dos veces, se obtiene:
y0 = C1
y01
+ C2
y02
+ y0ss
y00 = C1
y001
+ C2
y002
+ y00ss
Con la ecuación original y la primera derivada, resulta el sistema de ecuaciones:
y1
y2
y01
y02
�
·
C1
C2
�
=
y � yss
y0 � y0ss
�
Resolviendo el sistema, resulta:
C1
=
1
W (x)(y0
2
y � y02
yss
� y2
y0 + y2
y0ss
)
C2
=
1
W (x)(�y0
1
y � y01
yss
+ y1
y0 � y1
y0ss
)
Donde: W (x) =
�
�
�
�
y1
y2
y01
y02
�
�
�
�
es el determinante del sistema y recibe el nombre de Wronskiano
de las funciones y1
, y2
. Veremos que si las funciones son linealmente independientes en unintervalo I, el Wronskiano es diferente de cero en el intervalo.
Sustituyendo los valores hallados en la segunda derivada, resulta:
y00 = y001
1
W (x)(y0
2
y � y02
yss
� y2
y0 + y2
y0ss
) + y002
1
W (x)(�y0
1
y � y01
yss
+ y1
y0 � y1
y0ss
) + y00ss
Simplificando la expresión anterior, se tiene:
y00 � 1
W (x)(y
1
y002
� y2
y001
)y0 +1
W (x)(y0
1
y002
� y02
y001
)y = r(x)
En donde r(x) se define como:
r(x) = yp00 � 1
W (x)(y
1
y002
� y2
y001
)y0ss
+
1
W (x)(y0
1
y002
� y02
y001
)yss
144 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Finalmente, la ecuación diferencial se puede escribir en la forma:
y00 + p(x)y0 + q(x)y = r(x)
Donde:
p(x) =
�
�
�
�
y1
y2
y001
y002
�
�
�
�
W (x), q(x) =
�
�
�
�
y01
y02
y001
y002
�
�
�
�
W (x)
Ejemplo: 2.3. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la primitiva:
y = C1
x+ C2
e�x
+ x2
⌥⌃ ⌅⇧Solución: El Wronskiano de las funciones viene dado por:
W (x) =
�
�
�
�
x e�x
1 �e�x
�
�
�
�
= �e�x
(x+ 1)
En cuanto a p(x) y q(x), tenemos:
p(x) =
�
�
�
�
x e�x
0 e�x
�
�
�
�
�e�x
(x+ 1)
=
x
x+ 1
, q(x) =
�
�
�
�
1 �e�x
0 e�x
�
�
�
�
�e�x
(x+ 1)
= � 1
x+ 1
Por otro lado, el término independiente viene a ser:
r(x) = 2 +
x
x+ 1
2x� 1
x+ 1
x2
=
2(x+ 1) + 2x2 � x2
x+ 1
=
2 + 2x+ x2
x+ 1
En consecuencia, la ecuación diferencial es:
y00 +x
x+ 1
y0 � 1
x+ 1
y =
x2
+ 2x+ 2
x+ 1
Otra forma de escribir la ecuación diferencial es:
(x+ 1)y00 + xy0 � y = x2
+ 2x+ 2
2.2.1. Fórmula de AbelA partir del Wronskiano de las funciones y
1
y y2
es posible encontrar una relación interesanteentre el Wronskiano y el coeficiente de la primera derivada, así:
W (x) = y1
y02
� y2
y01
) W 0(x) = y
1
y002
� y2
y001
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 145
Con base en lo anterior, podemos escribir: p(x) = �W 0(x)
W (x)Se puede ver que es una ecuación diferencial de primer orden y variables separables así:
dW (x)
W (x)= �p(x)dx
Por tanto el Wronskiano viene dado por:
W (x) = Ke�Rp(x)dx (2.2)
Donde K es una constante arbitaria.
En efecto, para la ecuación diferencial obtenida en el ejemplo 2.3 , se tiene:
W (x) = Ke�R
x
x+1dx= Ke�x+ln(x+1)
= K(x+ 1)e�x , donde K = �1
2.2.2. Dependencia e independencia linealConsideremos n funciones de variable real y
1
, y2
, y3
. . . yn
definidas en un intervalo I . Unacombinación lineal de ellas viene dada por:
yc
= C1
y1
+ C2
y2
+ C3
y3
+ · · ·+ Cn
yn
Donde las constantes C1
, C2
, C3
. . . , Cn
de la combinación lineal son números reales.
Se dice que las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, si la combinaciónlineal se anula para alguna constante diferente de cero. De otro lado, si la combinación linealse anula únicamente si todas las constante son iguales a cero, se dice que las funciones sonlinealmente independientes en el intervalo.Para determinar si un conjunto de funciones es linealmente dependiente o independiente enun intervalo I ✓ R , se procede asignando valores a la variable independiente en la siguienteidentidad:
C1
y1
(x) + C2
y2
(x) + · · ·+ Cn
yn
(x) ⌘ 0
Es pertinente aclarar que la identidad se convierte en una ecuación para cada uno de losvalores asignados a la variable. Así las cosas, si asignamos los valores: x
2
, x2
, . . . , xn
, resultaun sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas:
2
6
6
6
4
y1
(x1
) y2
(x1
) · · · yn
(x1
)
y1
(x2
) y2
(x2
) · · · yn
(x2
)
......
......
y1
(xn
) y2
(xn
) · · · yn
(xn
)
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
C1
C2
...C
n
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
0
0
...0
3
7
7
7
5
146 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con base en los conceptos de Álgebra Lineal, sí el determinante del sistema es cero el sistematiene infinitas soluciones y en consecuencia las funciones son linealmente dependientes. Porotro lado, sí el determinante es diferente de cero, la solución del sistema es la trivial y, portanto, las funciones son linealmente independientes.
Ejemplo: 2.4. Muestre que el conjunto de funciones: {1, x, x2} es linealmente indepen-diente en R.⌥⌃ ⌅⇧Solución: Efectuamos la combinación lineal: C
1
+C2
x+C3
x2 ⌘ 0 A continuación se asignantres valores arbitrarios a la variable independiente, así:
1. x = �1 ) C1
� C2
+ C3
= 0
2. x = 1 ) C1
+ C2
+ C3
= 0
3. x = 2 ) C1
+ 2C2
+ 4C3
= 0
El determinante del sistema viene dado por:�
�
�
�
�
�
1 �1 1
1 1 1
1 2 4
�
�
�
�
�
�
= 6
El resultado nos indica que las funciones son linealmente independientes.
2.2.3. WronskianoEl Wronskiano de un conjunto de n funciones {y
1
, y2
, . . . , yn
} calculado en el punto x0
2 I sedefine como el determinante de la matriz cuya primera fila son las funciones evaluadas en elpunto y las demás filas se obtienen por derivación sucesiva, así:
W (x0
) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y1
(x0
) y2
(x0
) · · · yn
(x0
)
y01
(x0
) y02
(x0
) · · · y0n
(x0
)
......
......
yn�1
1
(x0
) yn�1
2
(x0
) · · · yn�1
n
(x0
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Es obvio que el Wronskiano estará definido en aquellos intervalos en los que tanto las funcio-nes como sus primeras n� 1 derivadas están definidas.
Ejemplo: 2.5. Determine el Wronskiano de las funciones: {x, e�x} en R.⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en la definición, resulta:
W (x0
) =
�
�
�
�
x e�x
1 �e�x
�
�
�
�
= �e�x
(x+ 1)
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 147
Teorema 1Consideremos un conjunto de funciones y
1
, y2
, y3
. . . yn
. Si las funciones son linealmente de-pendientes en un intervalo I, entonces su Wronskiano se anula en cada punto del intervalo.
PruebaPor hipótesis, la combinación lineal de las funciones se anulará para, al menos, una constantediferente de cero.
C1
y1
(x) + C2
y2
(x) + C3
y3
(x) + · · ·+ Cn
yn
(x) ⌘ 0
Por derivación sucesiva se obtiene el sistema homogéneo de ecuaciones:2
6
6
6
4
y1
(x0
) y2
(x0
) · · · yn
(x0
)
y01
(x0
) y02
(x0
) · · · y0n
(x0
)
......
......
yn�1
1
(x0
) yn�1
2
(x0
) · · · yn�1
n
(x0
)
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
C1
C2
...C
n
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
0
0
...0
3
7
7
7
5
Aplicando la regla de Cramer, cada incógnita se encuentra como:
Ci
=
0
W (x0
)
Con base en lo anterior, sí alguna de las constantes es distinta de cero, el Wronskiano debeser cero para todo x
0
en el intervalo.Como corolario se tiene que sí el Wronskiano es diferente de cero en al menos un punto delintervalo, entonces las funciones son linealmente independientes en el intervalo.Se debe tener especial cuidado con el intervalo en el que se pide determinar la dependencia oindependencia lineal, sobre todo cuando las funciones están definidas por tramos en su domi-nio de definición.
Ejemplo: 2.6. Muestre que las funciones:{2x2, |x|x} son linealmente dependientes en(�1, 0) [ (0,1) y linealmente independientes en R.⌥⌃ ⌅⇧Solución: Denotemos las funciones como: f(x) = 2x2 y g(x) = x|x| como la función definidapor tramos:
g(x) =
(
�x2 , si x < 0
x2 , si x � 0
En la figura 2.2, es fácil observar la dependencia lineal en el intervalo (�1, 0)[(0,1), ya queuna es múltiplo de la otra. En el intervalo (�1, 0) tenemos: f(x)/g(x) = �2 y en el intervalo(0,1) tenemos: f(x)/g(x) = 2. Si calculamos el Wronskiano de las funciones f(x), g(x) en
148 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-1 0 1
-1
1
g(x)=x|x|
f(x)=2x2
Figura 2.2: Dependencia lineal de funciones del ejemplo 2.6
los intervalos (�1, 0) [ (0,1), probamos su dependencia lineal, veamos:
W (x) =
�
�
�
�
2x2 �x2
4x �2x
�
�
�
�
= �4x3
+ 4x3
= 0 , para �1 < x < 0
W (x) =
�
�
�
�
2x2 x2
4x 2x
�
�
�
�
= 4x3 � 4x3
= 0 , para 0 x < 1
Por otro lado, para probar su dependencia lineal en R, la combinación lineal de las funcionesdebe ser idénticamente cero, esto es:
C1
x2
+ C2
x|x| ⌘ 0
Al signar valores diferentes (x = ±1) para la variable en la combinación lineal, se tiene:
1 1
1 �1
�
·
C1
C2
�
=
0
0
�
Puesto que:�
�
�
�
1 1
1 �1
�
�
�
�
= �2 6= 0, entonces el conjunto es independiente en R.
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 149
2.2.4. Soluciones de una ecuación diferencial de segundo ordenDe acuerdo con lo estudiado hasta el momento, la ecuación diferencial lineal de segundo ordenpresenta la forma general:
y00 + p(x)y0 + q(x)y = r(x)
En lo sucesivo adoptaremos el operador: D para la derivada, con lo que la ecuación queda enla forma:
⇥
D2
+ p(x)D + q(x)⇤
y = r(x)
La expresión que acompaña a la variable dependiente es un operador lineal de segundo ordeny lo denotaremos por:
L2
(x,D)y = D2
+ p(x)D + q(x)
Con base en lo anterior, una forma simplificada de denotar a una ecuación diferencial linealde segundo orden es:
L2
(x,D)y = r(x)
Para efectos de resolver la ecuación diferencial definiremos la homogénea asociada, así:
y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0
Equivalentemente, la homogénea se escribe como:
L2
(x,D)y = 0
Al principio de la sección se dedujo que la primitiva de una ecuación diferencial lineal desegundo orden es una familia de curvas del plano de la forma:
y = C1
y1
+ C2
y2
+ yss
Por analogía con lo estudiado para la ecuación diferencial lineal de primer orden, diremos quela solución general de la ecuación diferencial lineal de segundo orden consta de dos parte asaber:
y = yc
+ yss
La primera parte de la solución general se denomina solución complementaria y correspondea una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes. La otra es una solu-ción particular de la no homogénea, tal como se vislumbra del procedimiento desarrollado alprincipio de la sección.Si las funciones y
1
, y2
son soluciones particulares de la homogénea y son linealmente indepen-dientes en un intervalo I de los reales, entonces la solución general de la homogénea es unacombinación lineal de las soluciones dadas, así:
yc
= C1
y1
+ C2
y2
Se dice que el conjunto de funciones {y1
, y2
} es un conjunto fundamental de soluciones (de-notado como: CFS) en el intervalo I y se caracteriza porque el Wronskiano es diferente decero en todos los puntos del intervalo, es decir:
150 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Teorema 2Si las funciones y
1
, y2
son soluciones linealmente independientes de la homogénea y W (x) 6= 0
para todo x 2 I, las funciones forman un conjunto fundamental y la solución general de lahomogénea es su combinación lineal.
PruebaSi y
1
, y2
son soluciones de la homogénea, entonces:
L2
(x,D)y1
⌘ 0
L2
(x,D)y2
⌘ 0
Multiplicando cada identidad por una constante arbitraria, resulta:
C1
L2
(x,D)y1
⌘ 0 ) L2
(x,D)C1
y1
⌘ 0
C2
L2
(x,D)y2
⌘ 0 ) L2
(x,D)C1
y2
⌘ 0
Sumando las dos últimas identidades se sigue que:
L2
(x,D)[C1
y1
+ C2
y2
] ⌘ 0
Con los mismos argumentos, si yss
es una solución particular de la no homogénea, la solucióngeneral de la no homogénea viene dada por:
y = yc
+ yss
= C1
y1
+ C2
y2
+ yss
2.2.5. Problema de valor inicial de segundo ordenUn problema de valor inicial lineal de segundo orden se formula mediante una ecuación dife-rencial lineal de segundo orden y dos condiciones iniciales, así:
y00 + p(x)y0 + q(x)y = r(x) , y(x0
) = y0
, y0(x0
) = p0
Geométricamente, la solución del problema es la curva del plano que satisface la ecuacióndiferencial, pasa por el punto (x
0
, y0
) y la pendiente de la recta tangente a la curva en elpunto es: p
0
. La solución del problema de valor inicial se obtiene a partir de la solucióngeneral, así:
y(x) = C1
y1
(x) + C2
y2
(x) + yss
(x)
y0(x) = C1
y01
(x) + C2
y02
(x) + y0ss
(x)
Evaluando en el punto (x0
, y0
) resulta el sistema de ecuaciones:
y1
(x0
) y2
(x0
)
y01
(x0
) y02
(x0
)
�
·
C1
C2
�
=
y0
� yss
(x0
)
p0
� y0ss
(x0
)
�
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 151
2.2.6. Teorema de existencia y unicidadPor analogía con el caso del problema de valor inicial de primer orden, el de segundo ordentendrá solución única en aquellas regiones en las que p(x), q(x) y r(x) sean continuas. Elintervalo de solución corresponde a la intersección de cada una de los intervalos individuales.
Ejemplo: 2.7. Resuelva el problema de valor inicial siguiente, indicando el intervalosde validez y la representación gráfica.
(x+ 1)y00 + xy0 � y = x2
+ 2x+ 2 , y(1) = 1 , y0(1) = 1⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en el ejemplo 2.3, la solución general de la ecuación diferencial es:
y(x) = C1
x+ C2
e�x
+ x2
Es importante precisar que: p(x) =
x
x+ 1
, q(x) = � 1
x+ 1
y r(x) =
x2
+ 2x+ 2
x+ 1
y que, envirtud del teorema, se garantiza solución en el intervalo (�1,1). Si se analiza la solucióngeneral se observa que es válida para todos los reales, lo cual no constituye una violaciónal teorema ya que las condiciones son de suficiencia y no de necesidad. Continuando con lasolución del problema de valor inicial, se tiene:
1 e�1
1 e�1
�
·
C1
C2
�
=
0
�1
�
La solución del sistema es: C1
= �1
2
, C2
=
e
2
⇡ 1.36. La solución del problema de valorinicial viene a ser:
y(x) = �1
2
x+
1
2
e�x+1
+ x2
La gráfica se muestra en la figura 2.3.
0 1 2
1
2
3
4
Figura 2.3: Solución del P.V.I del ejemplo 2.7
152 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.2.7. Reducción de ordenA continuación desarrollaremos un procedimiento que nos permite determinar la solucióngeneral de una ecuación diferencial de primer orden a partir de una solución conocida de lahomogénea asociada.Supongamos que y
1
(x) es una solución conocida de la homogénea y que es posible determinaruna función µ(x) de tal manera que la solución general de la no homogénea es:
y = y1
(x)µ(x)
Derivando dos veces, resulta:
y0 = y01
µ+ y1
µ0
y0 = y001
µ+ 2y01
µ0+ y
1
µ00
Sustituyendo en la no homogénea, resulta:
y1
µ00+ 2y0
1
µ0+ y00
1
µ+ p(x)[y1
µ0+ y0
1
µ] + q(x)y1
µ ⌘ r(x)
Reorganizando los términos de la anterior identidad, podemos escribir:
y1
µ00+ [2y0
1
+ y1
p(x)]µ+ [y001
+ p(x)y01
+ q(x)y1
]µ ⌘ r(x)
Puesto que y1
es solución de la homogénea, el tercer término de la izquierda es idénticamentecero, con lo que:
y1
µ00+ [2y0
1
+ y1
p(x)]µ0= r(x)
La ecuación obtenida para µ es de segundo orden, así:
µ00+
✓
2y01
y1
+ p(x)
◆
µ0=
r(x)
y1
La ecuación diferencial es reducible a una de primer orden mediante el cambio de variable:µ0
= z, así:dz
dx+
✓
2y01
y1
+ p(x)
◆
z =
r(x)
y1
Puesto que la ecuación diferencial es lineal, su factor integrante viene dado por:
�(x) = y21
eRp(x)dx (2.3)
Con el factor integrante hallado podemos escribir la solución para z, así:
z = A��1
+ �
�1
Z
�
r(x)
y1
dx
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 153
Donde A es una constante arbitraria.Integrando de nuevo, se obtiene:
µ(x) = B + A
Z
�
�1dx+
Z
�
�1
Z
�
r(x)
y1
dxdx
De la última ecuación se sigue que, si y1
es una solución de la homogénea de una ecuacióndiferencial de segundo orden, entonces:
y2
= y1
Z
�
�1dx (2.4)
yss
= y1
Z
�
�1
Z
�
r(x)
y1
dxdx (2.5)
Ejemplo: 2.8. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente, sabien-do que y = x es una solución de la homogénea.
x2y00 + xy0 � y = x⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en la ecuación, se tiene que: p(x) =1
x, por tanto, el factor integrante
es:� = y2
1
eRp(x)dx
= x2eR 1
x
dx
= x3
La segunda solución de la homogénea se puede escribir como:
y2
= x
Z
x�3dx = �1
2
x�1
El conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada es:
{y1
, y2
} = {x, x�1}
La solución particular, teniendo en cuenta que: r(x) =1
x, viene dada por:
yss
= x
Z
x�3
Z
x3x�1
xdxdx =
1
2
x ln(x)
F Solución de ejemplo 2.8 con Máxima:
(%i1) ode2(x^2*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x,1)-y=x,y,x);
Cuyo resultado es:
( %o2) y =
2 x log (x)� x
4
+ %k2 x� %k12 x
Observe que la parte: �x
4
, de la solución particular resulante es L.D con la solución homogé-nea: %k2 x, por lo puede ser escrita como un solo término.
F Solución de ejemplo 2.8 con Matlab:
154 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
>> dsolve(’x^2*D2y+x*Dy-y=x’,’x’)
ans =
C9*x + x*(log(x)/2 + C8/(2*x^2))
Ejemplo: 2.9. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente sabiendoque y = x es una solución de la homogénea.
(x+ 1)y00 + xy0 � y = 0⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en la ecuación, se tiene que: p(x) =x
x+ 1
, por tanto, el factor integrantees:
� = y21
eRp(x)dx
= x2eR
x
x+1dx
Evaluando la integral y simplificando, resulta: � =
x2ex
x+ 1
La segunda solución de la homogénea se puede escribir como:
y2
= x
Z
e�x
(x+ 1)
x2
dx = �e�x
Es un reto para el estudiante hacer la integral y verificar el resultado. Se sugiere partir laintegral en dos integrales y aplicar el método de integración por partes. La solución generales:
yc
= C1
x+ C2
e�x
Otra manera de solucionar la ecuación diferencial consiste en asumir soluciones de la forma:eax, de tal forma que reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
(x+ 1)a2eax + xaeax � eax = 0 ) eax(a2x+ a2 + ax� 1) = (a+ 1)[xa+ a� 1] = 0
De donde a = �1 y por lo tanto, una solución es: y1
= e�x
De otro lado, si se asume que tiene soluciones de la forma: xm, entonces tenemos:
(x+ 1)m(m� 1)xm�2
+ xmxm�1 � xm
= 0
) [m(m� 1)x�1
+m(m� 1)x�2
+m� 1]xm
= (m� 1)[mx�1
+mx�2
+ 1] = 0
De donde m = 1 y por tanto, la otra solución es: y2
= x
Ejemplo: 2.10. Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
(x2
+ 2x)y00 + (x2 � 2)y0 � 2(x+ 1)y = 0
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 155
⌥⌃ ⌅⇧Solución: Primero que todo, suponemos que tiene soluciones de la forma: y = eax, de talmanera que reemplazando en la ecuación diferencial, nos queda:
(x2
+ 2x)a2eax + (x2 � 2)aeax � 2(x+ 1)eax = 0
Reorganizando términos, tenemos:
(a2 + a)x2
+ (a2 � 1)2x� 2(a+ 1) = 0
De donde se concluye que a = �1, por tanto una solución de la ecuación diferencial es:y1
= e�x.
Para determinar la otra solución, usamos reducción de orden, así:
En este caso tenemos que: p(x) =x2 � 2
x(x+ 2)
y q(x) = �2(x+ 1)
x(x+ 2)
.
Usando fracciones parciales, p(x), se puede escribir como: p(x) = 1� 1
x� 1
x+ 2
. Con esto, elfactor integrante es:
� = e�2xeR(1� 1
x
� 1x+2 )dx
= e�2x
ex
x(x+ 2)
=
e�x
x(x+ 2)
La segunda solución es:
y2
= e�x
Z
x(x+ 2)exdx = e�xx2ex = x2
Finalmente la solución general es:
y = c1
e�x
+ c2
x2
156 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 2.1.
1. Muestre que los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en elconjunto de los reales.
a) {sin(x), cos(x)} b) {ex, e�x} c) {x2, ex}
2. Muestre que si f(x) es una función definida en el intervalo I ✓ R, en el conjunto defunciones: {f(x), xf(x)} es linealmente independiente en I.
3. Muestre que el conjunto de funciones: {1, cos(2x), sin2
(x)} es linealmente dependienteen los reales.
4. Muestre que el conjunto de funciones: {x2, x|x|} no puede ser un conjunto fundamentalde soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden.
5. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a cada una de las siguientes primitivas:
a) y = C1
e�x
+ C2
e�2x
b) y = C1
e�x
+ C2
xe�x
c) y = C1
e�x
cos(x) + C2
e�x
sin(x)
d) y = C1
cos(x) + C2
sin(x) + e�x
6. Dada la ecuación diferencial: y00 + 2↵y0 + ↵2y = 0
a) Muestre que y1
= e�↵x es una solución de la ecuación diferencial.b) Usando el método de reducción de orden, muestre que la otra solución es: y
2
=
xe�↵x.
7. Dada la ecuación diferencial: x2y00 + xy0 � 4y = 3x
a) Muestre que la parábola: y = x2 es una solución de la homogénea asociada.b) Encuentre la otra solución de la homogénea.c) Encuentre la solución particular.d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuación diferencial dada y
las siguientes condiciones iniciales: y(1) = 1, y0(1) = 1.e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial.
8. Dada la ecuación diferencial: x2y00 � xy0 + y = 0
a) Muestre que la recta: y = x es una solución de la homogénea asociada.b) Encuentre la otra solución de la homogénea.
2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 157
c) Encuentre la solución particular.d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y
las siguientes condiciones iniciales: y(1) = 1, y0(1) = 0.e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial.
9. Dada la ecuación diferencial: xy00 + 2y0 � xy = x
a) Muestre que la recta: y = x�1ex es una solución de la homogénea asociada.b) Encuentre la otra solución de la homogénea.c) Encuentre la solución particular.d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y
las siguientes condiciones iniciales: y(1) = 1, y0(1) = 1.e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial.
10. Dada la ecuación diferencial: xy00 + 2y0 + xy = x
a) Muestre que la recta: y = x�1
sin(x) es una solución de la homogénea asociada.b) Encuentre la otra solución de la homogénea.c) Encuentre la solución particular.d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y
las siguientes condiciones iniciales: y(1) = 1, y0(1) = 1.e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial.
158 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIEN-TES CONSTANTES
Una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes presenta la forma general:�
an
Dn
+ an�1
Dn�1
+ · · ·+ a1
D + a0
�
y(x) = r(x) (2.6)
La homogénea asociada a la ecuación diferencial es:�
an
Dn
+ an�1
Dn�1
+ · · ·+ a1
D + a0
�
y(x) = 0 (2.7)
Por analogía con el caso de segundo orden, la solución general de la no homogénea viene dadapor la suma de la solución complementaria y la solución particular, así:
y = yc
+ yss
La solución complementaria es una combinación lineal de n funciones linealmente indepen-dientes en el conjunto de los reales, así:
yc
= C1
y1
+ C2
y2
+ · · ·+ Cn
yn
(2.8)
Es fácil verificar que la homogénea de la ecuación diferencial admite soluciones de tipo expo-nencial, es decir, soluciones de la forma: e�x, siendo � un número complejo que es característicode la ecuación diferencial. En efecto, tomando las n derivadas de la función y sustituyendoidénticamente en la ecuación diferencial se obtiene una ecuación polinómica de grado n, co-nocida como ecuación característica de la ecuación diferencial, así:
an
�n
+ an�1
�n�1
+ · · ·+ a1
�+ a0
= 0 (2.9)
Puesto que los coeficientes del polinomio característico son reales, el polinomio siempre sepodrá expresar mediante factores lineales y cuadráticos. De lo anterior se infiere que las raícescomplejas son conjugadas.
La Ecuación Diferencial homogénea de segundo ordenLa ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden viene dada por:
�
a2
D2
+ a1
D + a0
�
y(x) = 0
Una forma alternativa de escribir la ecuación diferencial es la siguiente:�
D2
+ pD + q�
y(x) = 0
La ecuación característica de la ecuación diferencial es:
�2
+ p�+ q = 0
2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIENTES CONSTANTES 159
Aplicando la fórmula general, las dos raíces de la ecuación característica son:
�1
,�2
=
�p±p
p2 � 4q
2
Pueden presentarse tres situaciones diferentes, a saber:
1. El discriminante: p2 � 4q > 0. En este caso las raíces de la ecuación son reales ydiferentes y en consecuencia, el conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {y1
, y2
} = {e�1x , e�2x}
2. El discriminante: p2 � 4q = 0. En este caso, las dos raíces son iguales, así: �1
=
�2
= �p
2
= ↵ y el conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {y1
, y2
} = CFS = {e↵x , xe↵x}
3. El discriminante: p2 � 4q < 0. En este caso las raíces son complejas conjugadas, así:�1
,�2
= ↵± j!.
En donde la parte real viene dada por: ↵ = �p
2
y la parte imaginaria: ! =
p
4q � p2
2
.Como puede verse, usaremos la letra: j para representar a la unidad de los númerosimaginarios, esto es: j =
p�1 .
El conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {y1
, y2
} = {e(↵+j!)x, xe(↵�j!)x}
El número complejo ej✓ se puede expresar en su forma cartesiana mediante la identidadde Euler4, como:
e±j✓
= cos(✓)± j sin(✓)
Así las cosas, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial es:
CFS = {y1
, y2
} = {e↵x [cos(!x) + j sin(!x)] , e↵x [cos(!x)� j sin(!x)]}
Ahora bien, puede demostrarse que si el conjunto: {y1
, y2
} es un conjunto fundamen-tal de soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces, el conjunto:{a(y
1
+y2
), b(y1
�y2
)} es también un conjunto fundamental de soluciones; con a, b cons-tantes arbitrarias.
Con base en lo anterior, un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación di-ferencial, en este caso, es:
CFS = {y1
, y2
} = {e↵x cos(!x), e↵x sin(!x)}4Remítase al Apéndice A.1
160 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Podemos concluir que para hallar el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferen-cial homogénea de segundo orden basta con encontrar los valores característicos y ubicarnosen uno de los tres casos posibles.
Ejemplo: 2.11. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de lassiguiente ecuaciones diferenciales:
1. (D2
+ 3D + 2)y(x) = 0
2. (D2
+ 2D + 1)y(x) = 0
3. (D2
+ 2D + 2)y(x) = 0
4. (D2
+ 4)y(x) = 0⌥⌃ ⌅⇧Solución:
1. La ecuación característica es: �2
+ 3� + 2 = 0. Las raices son:�1
= �1, �2
= �2. Elconjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�x, e�2x}.
2. La ecuación característica es: �2
+ 2� + 1 = 0. Las raices son:�1
= �1, �2
= �1. Elconjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�x, xe�x}.
3. La ecuación característica es: �2
+ 2� + 2 = 0. Las raices son:�1
,�2
= �1 ± j1. Elconjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�x
cos(x), e�x
sin(x)}.
4. La ecuación característica es: �2
+ 4 = 0. Las raices son:�1
,�2
= 0 ± j2. El conjuntofundamental de soluciones es: CFS = {cos(2x), sin(2x)}.
Obsérvese que para hallar la ecuación característica basta con sustituir el operador D de laecuación diferencial por la variable: �. En general, para la ecuación de segundo orden, laecuación característica es:
a2
�2
+ a1
�+ a0
= 0
Generalización a la ecuación de orden n
Para la ecuación diferencial homogénea (2.7) de orden n, escrita como:
Ln
(D)y(x) = 0
El polinomio característico viene dado por: Ln
(�) = 0.Dicho polinomio se puede expresar como factores lineales y cuadráticos, resultanto n raícespara la ecuación característica, en el plano de los complejos.El conjunto fundamental constará de n soluciones linealmente independientes en los reales yse determinan con base en la naturaleza de la ecuación característica. Para la ecuación detercer orden, por ejemplo, el polinomio característico se puede expresar mediante un factorlineal y uno cuadrático, resultando las siguientes posibilidades:
1. Las tres raíces son reales y distintas: �1
,�2
,�3
En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�1x, e�2x, e�3x}
2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIENTES CONSTANTES 161
2. Las tres raíces son reales pero dos de ellas son iguales: �1
= �2
= ↵,�3
En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e↵x, xe↵x, e�3x}
3. Las tres raíces son reales e iguales: �1
= �2
= �3
= ↵En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e↵x, xe↵x, x2e↵x}
4. De las tres raíces, una es real y las otras dos son complejas conjugadas:�1
,�2,3
= ↵± j!En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {e�1x, e↵x cos(!x), e↵x sin(!x)}
Un razonamiento similar se puede hacer para ecuaciones de orden superior al tercero. Lossiguientes ejemplos servirán de guía en el proceso.
Ejemplo: 2.12. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de lassiguientes ecuaciones diferenciales:
1. (D3
+ 4D2
+ 4D)y(x) = 0
2. (D3
+D2 � 4D � 4)y(x) = 0
3. (D3
+ 3D2
+ 3D + 1)y(x) = 0
4. (D3
+ 8)y(x) = 0
5. (D4
+ 4D2
+ 3)y(x) = 0
6. (D4 � 16)y(x) = 0
7. (D4
+ 2D3
+ 3D2
+ 2D + 2)y(x) = 0
8. (D4
+ 5D2
+ 6)y(x) = 0
9. (D5
+ 4D3
)y(x) = 0
10. (D4
+D2
+ 1)y(x) = 0⌥⌃ ⌅⇧Solución: Se recomienda el uso de una calculadora o algún programa de cálculo para en-contrar las raíces de la ecuación característica en aquellos casos en que no sea evidente lafactorización.
1. La ecuación característica es: �3
+ 4�2
+ 4� = 0 ) �(�2
+ 4�+ 4) = 0 ) �(�+ 2)
2
= 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {1, e�2x, xe�2x}
2. La ecuación característica es: �3
+ �2 � 4� � 4 = 0 ) �2
(� + 1) � 4(� + 1) = 0 )(�2 � 4)(�+ 1) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e2x, e�2x, e�x}
3. La ecuación característica es: �3
+ 3�2
+ 3�+ 1 = 0 ) (�+ 1)
3
= 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�x, xe�x, x2e�x}
4. La ecuación característica es: �3
+ 8 = 0 ) (�+ 2)(�2 � 2�+ 4) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e�2x, ex cos(p3 x), ex sin(
p3 x)}
162 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5. La ecuación característica es: �4
+ 4�2
+ 3 = 0 ) (�2
+ 1)(�2
+ 3) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos(x), sin(x), cos(p3 x), sin(
p3 x)}
6. La ecuación característica es: �4 � 16 = 0 ) (�2 � 4)(�2
+ 4) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e2x, e�2x, cos(2x), sin(2x)}
7. La ecuación característica es: �4
+ 2�3
+ 3�2
+ 2�+ 2 = 0. Con ayuda de Máxima:
(%i1) factor(l^4+2*l^3+3*l^2+2*l+2=0);
( %o1) (l
2
+ 1)(l
2
+ 2l+ 2) = 0
De donde: (�2
+ 1)(�2
+ 2�+ 2) = 0.El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos(x), sin(x), e�x
cos(x), e�x
sin(x)}
8. La ecuación característica es: �4
+ 5�2
+ 6 = 0. Con ayuda de Máxima:
(%i1) factor(l^4+5*l^2+6=0);
( %o1) (l
2
+ 2)(l
2
+ 3) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {cos(p2 x), sin(
p2 x), cos(
p3 x), sin(
p3 x)}
9. La ecuación característica es: �5
+ 4�3
= 0 ) �3
(�2
+ 4) = 0 El conjunto fundamentalde soluciones es: CFS = {1, x, x2, cos(2x), sin(2x)}
10. La ecuación característica es: �4
+ �2
+ 1 = 0 ). Con ayuda de Máxima:
(%i1) factor(l^4+l^2+1=0);
( %o1) (l
2 � l+ 1)(l
2
+ l+ 1) = 0
El conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {e�x
2cos(
p3 x/2), e�
x
2sin(
p3 x/2), e
x
2cos(
p3 x/2), e
x
2sin(
p3 x/2)}
Hasta el momento se ha desarrollado el método para encontrar un conjunto fundamental desoluciones de la ecuación diferencial de cualquier orden, quedando pendiente, para la próximasección, los diferentes métodos para determinar la solución particular.
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 163
EJERCICIOS 2.2.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales:
1. (D3
+ 4D2
+ 3D)y(x) = 0
2. (D4
+D3 � 4D2 � 4D)y(x) = 0
3. (D3
+ 2D2
+ 2D + 1)y(x) = 0
4. (D4
+ 8D)y(x) = 0
5. (D4 � 4D2
+ 3)y(x) = 0
6. (D4
+ 4)y(x) = 0
7. (D4
+ 2D3
+D2 � 2D � 2)y(x) = 0
8. (D4 � 5D2
+ 6)y(x) = 0
9. (D5
+ 8D2
)y(x) = 0
10. (D4
+ 2D2
+ 1)y(x) = 0
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DI-FERENCIAL LINEAL
Hemos visto que la forma general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constanteses la siguiente:
(an
Dn
+ an�1
Dn�1
+ · · ·+ a1
D + a0
)y(x) = f(x)
Haciendo uso del operador, se tiene:
Ln
(D)y(x) = f(x)
Para determinar la solución particular de la ecuación diferencial desarrollaremos diferentesmétodos, a saber:
2.4.1. Método reducción de ordenTal como su nombre lo indica, el método consiste en reducir el orden de la ecuación diferencial,así: Sí m
1
es una raíz del polinomio Ln
(D), se tiene que:
Ln
(D) = Ln�1
(D)[D �m1
]
Con base en lo anterior, la ecuación diferencial queda en la forma:
Ln�1
(D)[D �m1
]y(x) = f(x)
Se hace el cambio de variable: µ1
(x) = [D �m1
]y(x), la ecuación diferencial resultante es deorden: n� 1, así:
Ln�1
µ1
(x) = f(x)
164 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Supongamos que m2
es una raíz del polinomio Ln�1
(D). Podemos entonces expresar la ecua-ción diferencial en la forma:
Ln�2
(D)[D �m2
]µ1
(x) = f(x)
De nuevo hacemos otro cambio de variable, así: µ2
(x) = [D �m2
]µ1
(x).
Procediendo sucesivamente, resulta un sistema de n ecuaciones de primer orden.
Particularmente, si la ecuación diferencial es de segundo orden, el procedimiento esbozadonos conduce a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, así:
Dada la ecuación diferencial:
(a2
D2
+ a1
D + a0
)y(x) = f(x)
Normalizando la ecuación diferencial, se tiene:
(D2
+ pD + q)y(x) = r(x)
El procedimiento consiste en factorizar el polinomio, así:
(D �m2
)(D �m1
)y(x) = r(x)
Hacemos el cambio de variable µ1
(x) = (D � m1
)y(x), resulta el sistema de ecuaciones deprimer orden:
(D �m1
)y(x) = µ1
(x)
(D �m2
)µ1
(x) = r(x)
Primero se resuelve la segunda ecuación y el resultado se sustituye en la primera.
Ejemplo: 2.13. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D2 � 1)y(x) = x⌥⌃ ⌅⇧Solución: Por simple inspección, la solución complementaria de la ecuación diferencial vienedada por:
yc
= C1
e�x
+ C2
ex
Haciendo uso del método de reducción de orden, se tiene:
(D + 1)(D � 1)y(x) = x
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 165
El sistema de ecuaciones asociado a la ecuación dada es:
(D � 1)y(x) = µ1
(x)
(D + 1)µ1
(x) = x
Para la segunda ecuación diferencial y con base en lo estudiado en el capítulo 1, el factorintegrante viene dado por: � = ex. En consecuencia, se tiene que:
exµ1
= C1
+
Z
xexdx
Resolviendo la integral, se encuentra que:
µ1
= C1
e�x
+ x� 1
La primera de las ecuaciones se puede escribir como:
(D � 1)y(x) = C1
e�x
+ x� 1
Para la nueva ecuación, el factor integrante es: � = e�x y, por tanto, se tiene:
e�xy(x) = C2
+
Z
e�x
(C1
e�x
+ x� 1)dx
Resolviendo la integral indicada, resulta:
y(x) = C2
ex � 1
2
C1
e�x � x
Realmente hemos encontrado una solución general de la ecuación diferencial. En particular,si las constantes se hacen iguales a cero, obtenemos la solución particular: y
ss
= �x.Finalmente, la solución general se puede escribir como:
y(x) = C1
e�x
+ C2
ex � x
En el proceso de determinar la solución particular, las constantes de integración se puedenhacer directamente iguales a cero, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: 2.14. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D2 � 1)y(x) = 2 sin(x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: Por simple inspección, la solución complementaria de la ecuación diferencial vienedada por:
yc
= C1
e�x
+ C2
ex
166 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En cuanto a la solución particular, el sistema de ecuaciones asociado al aplicar el método, esel siguiente:
(D � 1)y(x) = µ1
(x)
(D + 1)µ1
(x) = 2 sin(x)
Para la segunda ecuación diferencial y con base en lo estudiado en el primer capítulo, el factorintegrante viene dado por: � = ex. En consecuencia, se tiene que:
exµ1
= C1
+
Z
2ex sin(x)dx
Resolviendo la integral, se encuentra que:
µ1
= C1
e�x
+ sin(x)� cos(x)
Si hacemos la constante igual a cero, resulta:
µ1
= sin(x)� cos(x)
La primera ecuación queda en la forma:
(D � 1)y(x) = sin(x)� cos(x)
Prescindiendo de la constante, la solución particular viene dada por:
yss
= exZ
e�x
(sin(x)� cos(x))dx = � sin(x)
Finalmente, la solución general viene dada por:
yc
= C1
e�x
+ C2
ex � sin(x)
De hecho, la aplicación del método requiere de la evaluación de tantas integrales como sea elorden de la ecuación diferencial.Como puede verse, el método desarrollado es bastante laborioso y no es muy usado en lapráctica. En su defecto usaremos otros métodos que no impliquen necesariamente el desarrollode integrales.
2.4.2. Método de los coeficientes indeterminadosConsideremos la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes:
Ln
(D)y(x) = f(x)
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 167
Supongamos que la función f(x) presenta un número finito de derivadas y que la función consus derivadas conforman un conjunto de m funciones linealmente independientes; así:
{f1
, f2
, . . . , fm
}
En primer lugar supondremos que el conjunto de funciones obtenido a partir de f(x) eslinealmente independiente con el conjunto solución de la homogénea. En tal caso, la soluciónparticular es una combinación lineal del conjunto de funciones generado por f(x), esto es, lasolución particular es de la forma:
yss
= A1
f1
+ A2
f2
+ · · ·+ Am
fm
Los coeficientes de la combinación lineal se determinan sustituyéndola idénticamente en laecuación diferencial, así:
Ln
(yss
) ⌘ f(x)
Cuando el conjunto de funciones generado {f1
, f2
, . . . , fm
} por el término independiente f(x)es linealmente dependiente con la solución complementaria, es necesario independizarlo, loque se logra multiplicando cada elemento del conjunto por la menor potencia de la variableindependiente: xm , siendo m = 1, 2, 3, . . .. De esta manera la solución particular queda de laforma:
yss
= xm
(A1
f1
+ A2
f2
+ · · ·+ Am
fm
)
Es bueno precisar que el método es aplicable únicamente cuando f(x) presenta la formageneral:
f(x) = xmeax⇢
cos(bx)sin(bx)
�
con m � 0
Ejemplo: 2.15. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D2 � 1)y(x) = x⌥⌃ ⌅⇧Solución: Por simple inspección, el conjunto fundamental de soluciones de la homogéneaes:
CFS = {e�x, ex}A partir del término independiente: f(x) = x por derivación sucesiva, resulta el conjunto defunciones: {x, 1} que, evidentemente, es un conjunto de funciones linealmente independientecon la solución complementaria. En consecuencia, la solución particular viene dada por:
yss
= A1
x+ A2
Tomando las dos primeras derivadas, se tiene:
Dyss
= A1
, D2yss
= 0
168 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta: 0� (A1
x+ A2
) ⌘ x
A partir de la identidad es claro que: A1
= �1, A2
= 0.En consecuencia, la solución particular es:
yss
= �x
Observe que el resultado coincide con el obtenido previamente en el ejemplo 2.13.
Ejemplo: 2.16. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D2
+ 3D + 2)y(x) = sin(x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: El conjunto fundamental de soluciones viene dada por: CFS = {e�x, e�2x}
A partir del término independiente: f(x) = sin(x) por derivación sucesiva, resulta el con-junto de funciones: {sin(x), cos(x)}. En consecuencia, la solución particular es de la forma:
yss
= A1
sin(x) + A2
cos(x)
Puesto que el conjunto encontrado es linealmente independiente con la homogénea, se procedea sustituir idénticamente en la ecuación diferencial, así:
(D2
+ 3D + 2)[A1
sin(x) + A2
cos(x)] ⌘ sin(x)
Resolviendo las derivadas indicadas, resulta:
A1
(� sin(x) + 3 cos(x) + 2 sin(x)) + A2
(� cos(x)� 3 sin(x) + 2 cos(x)) ⌘ sin(x)
Simplificando la expresión, se tiene:
A1
(sin(x) + 3 cos(x)) + A2
(�3 sin(x) + cos(x)) ⌘ sin(x)
Se obtiene el sistema de ecuaciones:
A1
� 3A2
= 1
3A1
+ A2
= 0
Resolviendo el sistema, obtenemos la solución particular:
yss
=
1
10
sin(x)� 3
10
cos(x)
Lo más engorroso del procedimiento es el cálculo de las constantes, sobre todo cuando laecuación diferencial es de orden superior al segundo.
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 169
Ejemplo: 2.17. Encuentre la forma adecuada para la solución particular de la ecuacióndiferencial:
(D3
+D)y(x) = x2ex⌥⌃ ⌅⇧Solución: Por simple inspección, el conjunto fundamental de soluciones de la homogéneaasociada es:
CFS = {1, cos(x), sin(x)}
A partir del término independiente: f(x) = x2ex por derivación sucesiva, encontramos elconjunto de funciones: {x2ex, xex, ex} . En consecuencia, una forma adecuada para la soluciónparticular es:
yss
= A1
x2ex + A2
xex + A3
ex
F Solución de ejemplo 2.17 con Máxima:
(%i1) ode2(’diff(y,x,3)+’diff(y,x,1)=x^2*exp(x),y,x);msg1(%o1) false
En este caso Máxima no puede solucionar la ecuación diferencial debido a que el comando ode2sólo admite ecuaciones de primer y segundo orden. Sin embargo, podemos usar el comandoalternativo: desolve que resuelve una ecuación diferencial de orden superior mediante latransformada de Laplace5 en función de las condiciones iniciales.
(%i1) desolve(’diff(y(x),x,3)+’diff(y(x),x,1)=x^2*%e^x,y(x));
Cuyo resultado es:( %o1)
y (x) = �cos (x)
⇣
2
⇣
d
2
d x
2
y (x)
�
�
�
x=0
⌘
+ 1
⌘
2
+
d
2
d x
2
y (x)
�
�
�
�
x=0
+
sin (x)
�
2
�
d
d x
y (x)
�
�
x=0
�
� 1
�
2
+
x
2
e
x
2
� 2 x e
x
+
5 e
x
2
+ y (0)� 2
Como se puede ver, en el resultado aparecen términos que dependen de las condiciones ini-ciales, estos son términos de la solución homogénea y los demás pertenecen a la soluciónparticular. De aquí se tiene que: A
1
=
1
2
, A2
= �2 y A3
=
5
2
.
5Remítase al capítulo 4
170 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
F Solución de ejemplo 2.17 con Matlab:
>> y=dsolve(’D3y+Dy=x^2*exp(x)’,’x’);pretty(y)
/
| exp(x) sin(x) 5 exp(x) cos(x)
C3 cos(x) - cos(x) | ------------- - --------------- + C2 cos(x) +
\ 2 2
2 2 \
x exp(x) cos(x) x exp(x) sin(x) |
2 x exp(x) cos(x) - x exp(x) sin(x) - ---------------- + ---------------- |
2 2 /
/
| exp(x) cos(x) 5 exp(x) sin(x)
+ C4 sin(x) + sin(x) | ------------- + --------------- - C2 sin(x) -
\ 2 2
2 2 \
x exp(x) cos(x) x exp(x) sin(x) |
x exp(x) cos(x) - 2 x exp(x) sin(x) + ---------------- + ---------------- |
2 2 /
La solución que entrega Matlab es equivalente a la hallada mediante el procedimiento analítico,para simplificarla y observarla mejor, podemos usar:
>> simplify(y)
ans =(5*exp(x))/2 - C2 + (x^2*exp(x))/2 + C3*cos(x) + C4*sin(x) - 2*x*exp(x)
Se puede ver que es la misma solución entregada por Máxima.
Ejemplo: 2.18. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D2
+ 3D + 2)y(x) = x2e�x
⌥⌃ ⌅⇧Solución: El conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada es:
CFS = {e�x, e�2x}
A partir del término independiente resulta el conjunto de funciones: {x2e�x, xe�x, e�x}. Comopuede verse, el conjunto hallado es linealmente dependiente con la complementaria y, portanto, es necesario multiplicar cada elemento por: x. Así las cosas, la solución particular esde la forma:
yss
= x⇥
A1
x2e�x
+ A2
xe�x
+ A3
e�x
⇤
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 171
Se omitirá el procedimiento para calcular las constantes, pero el estudiante puede verificarque la solución particular viene dada por:
yss
=
e�x
3
�
x3 � 3x2
+ 6x�
F Solución de ejemplo 2.18 con Máxima:
(%i1) ode2(’diff(y,x,2)+3*’diff(y,x)+2*y=x^2*exp(-x),y,x);
( %o1) y =
(
x
3�3 x
2
+6 x�6
)
e
�x
3
+ %k1 e
�x
+ %k2 e
�2 x
F Solución de ejemplo 2.18 con Matlab:
>> y=dsolve(’D2y+3*Dy+2*y=x^2*exp(-x)’,’x’);pretty(y)3 2
x x - 2 x + 2 C2 C3-------- - ------------ + ------ + --------3 exp(x) exp(x) exp(x) exp(2 x)
Ejemplo: 2.19. Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguienteecuación diferencial:
(D3
+ 4D)y(x) = 2 sin(2x) + 5 cos(2x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: El CFS de la homogénea asociada es:
CFS = {1, cos(2x), sin(2x)}
A partir del término independiente resulta el conjunto: {sin(2x), cos(2x)}Puesto que, evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la soluciónparticular es:
yss
= x [A1
cos(2x) + A2
sin(2x)]
No se calculan las constantes ya que nos piden únicamente la forma de la solución.
Ejemplo: 2.20. Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguienteecuación diferencial:
(D3
+ 4D2
)y(x) = x3
+ 6x+ 4⌥⌃ ⌅⇧Solución: El CFS de la homogénea asociada es:
CFS = {1, x, e�4x}
172 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
A partir del término independiente resulta el conjunto: {x3, x2, x, 1}Puesto que, evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la soluciónparticular es:
yss
= x2
⇥
A1
x3
+ A2
x2
+ A3
x+ A4
⇤
F Solución de ejemplo 2.20 con Máxima:
(%i1) expand(desolve(’diff(y(x),x,3)+4*’diff(y(x),x,2)=x^3+6*x+4 ,y(x)));
( %o1) y (x) =
e
�4 x
⇣d
2
d x
2
y(x)
���x=0
⌘
16
+
x
⇣d
2
d x
2
y(x)
���x=0
⌘
4
�d
2
d x
2
y(x)
���x=0
16
+ x
�
d
d x
y (x)
�
�
x=0
�
�77 e
�4 x
2048
+
x
5
80
� x
4
64
+
17 x
3
64
+
77 x
2
256
� 77 x
512
+ y (0) +
77
2048
F Solución de ejemplo 2.20 con Matlab:
>> y=dsolve(’D3y+4*D2y=x^3+6*x+4’,’x’);pretty(y)2 3 4 5
C5 77 x 17 x x x / C5 77 \ C7 77-- + C6 + ----- + ----- - -- + -- - x | -- + --- | + -------- + ----16 256 64 64 80 \ 4 512 / exp(4 x) 2048
Los términos de la solución particular que son linealmente dependientes, entregados por elsoftware, son absorvidos por la solución complementaria, quedando como la solución propues-ta, con: A
1
=
1
80
, A2
= � 1
64
, A3
=
17
64
, A4
=
77
256
.
Principio de superposiciónConsideremos la ecuación diferencial: L
n
(D)y(x) = f1
(x) + f2
(x).Si los términos f
1
, f2
son de naturaleza diferente, esto es, sí ninguna de ellas se puede obtenerpor derivación de la otra, la solución particular de la ecuación diferencial viene dada por:
yss
= yss1 + y
ss2
Donde yss1 es la solución particular de la ecuación diferencial: L
n
(D)y(x) = f1
(x) y yss2 es la
solución particular de la ecuación diferencial: Ln
(D)y(x) = f2
(x).
Ejemplo: 2.21. Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguienteecuación diferencial:
(D3
+ 4D2
)y(x) = x3
+ 6e�4x⌥⌃ ⌅⇧Solución: El CFS de la homogénea asociada es:
CFS = {1, x, e�4x}
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 173
A partir del primer término independiente x3, resulta el conjunto:{x3, x2, x, 1} . Puesto que,evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solución particular es:
yss1 = x2
⇥
A1
x3
+ A2
x2
+ A3
x+ A4
⇤
En cuanto al segundo término 6e�4x, también por dependencia lineal, resulta:
yss2 = x
⇥
A5
e�4x
⇤
En consecuencia, por el principio de superposición, la solución particular es:
yss
= x2
⇥
A1
x3
+ A2
x2
+ A3
x+ A4
⇤
+ A5
xe�4x
2.4.3. Método del operador inversoEl método del operador inverso no goza de mucha popularidad en el gremio de los matemá-ticos puros pero, para los ingenieros, que son los principales destinatarios de esta obra, seconstituye en una poderosa herramienta en el análisis de los sistemas propios de la ingeniería.
Consideremos la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:
Ln
(D)y(x) = f(x)
La solución particular de la ecuación diferencial la simbolizaremos como:
yss
=
1
Ln
(D)
f(x)
Particularmente, el operador1
Doperando sobre una función f(x) debe interpretarse como
una antiderivada de la función, así:
1
Df(x) =
Z
f(x)dx
De manera similar, el operador1
Dk
f(x) con k = 1, 2, 3 . . .6 debe interpretarse como:
1
Dk
f(x) =1
Dk�1
1
Df(x) =
1
Dk�1
Z
f(x)dx =
1
Dk�2
ZZ
f(x)dxdx =
Z
· · ·Z
k veces
f(x)dx · · · dx
6Cuando k no es un entero, se habla de derivadas o integrales fraccionales y se tiene la definición matemática:
D
p
f(x) =
1
�(p)
R
x
0 (x� t)
p�1f(t)dt conocida como integral de Riemann-Liouville, y aunque se le ha asignado
significado geométrico y físico [2], aún no tiene aplicaciones en problemas de ingeniería.
174 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación diferencial de primer orden.
Consideremos la ecuación diferencial:
(D �m)y(x) = f(x)
Al aplicar la técnica desarrollada en el primer capítulo, la solución general de la ecuacióndiferencial viene dada por:
y = c1
emx
+ emx
Z
e�mxf(x)dx
Evidentemente el segundo término corresponde a la solución particular, esto es:
yss
=
1
D �mf(x) = emx
Z
e�mxf(x)dx
Podemos, en consecuencia, decir que la interpretación del operador1
D �moperando sobre la
función f(x) es la siguiente:
1
D �mf(x) = emx
Z
e�mxf(x)dx (2.10)
El resultado obtenido es de capital importancia ya que presenta propiedades que nos permi-tirán simplificar el procedimiento para hallar la solución particular.
Ejemplo: 2.22. Encuentre una solución particular para la ecuación diferencial:
(D � 2)y(x) = sin(x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en lo planteado, la solución particular es:
yss
=
1
D � 2
sin(x) = e2xZ
e�2x
sin(x)dx
Efectuando la integral, resulta:
yss
= �1
5
cos(x)� 2
5
sin(x)
De manera similar, podemos encontrar la interpretación del operador:1
(D �m)
k
, con k
entero, así:
1
(D �m)
k
f(x) =1
(D �m)
k�1
1
D �mf(x)
�
=
1
(D �m)
k�1
emx
Z
e�mxf(x)dx
�
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 175
En particular, para k = 2:
1
(D �m)
2
f(x) =1
D �m
emx
Z
e�mxf(x)dx
�
= emx
ZZ
e�mxf(x)dxdx
Ejemplo: 2.23. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D2
+ 4D + 4)y(x) = e�2x
⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en lo planteado, se tiene:
yss
=
1
(D + 2)
2
e�2x
= e�2x
ZZ
e2xe�2xdxdx =
1
2
x2e�2x
Términos independientes exponenciales
Consideremos la ecuación diferencial:
(D �m)y(x) = eax
La solución particular viene dada por:
yss
=
1
D �meax
Aplicando el método desarrollado, se tiene:
yss
= emx
Z
e�mxeaxdx = emx
Z
e(a�m)xdx = emx
e(a�m)x
a�m=
1
a�meax con a 6= m
Puede concluirse que:1
D �meax =
1
a�meax con a 6= m (2.11)
Analizando la expresión 2.11 vemos que operar sobre la función exponencial equivale a reem-plazar el operador D por el argumento a de la función exponencial, siempre y cuando dichoargumento sea diferente de m.Supongamos ahora que a = m, en tal caso, resulta que:
1
D � aeax = eax
Z
e�axeaxdx = xeax
Ahora bien, supongamos que la ecuación diferencial es de orden n, así:
Ln
(D)y(x) = eax
176 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La solución particular se expresa como:
yss
=
1
Ln
(D)
eax
Factorizando el denominador, se tiene:
yss
=
1
(D �m1
)(D �m2
) · · · (D �mn
)
eax
Descomponiendo en fracciones parciales, resulta:
yss
=
A1
D �m1
+
A2
D �m2
+ · · ·+ An
D �mn
�
eax
Suponiendo que a 6= mk
y con base en el resultado previo, la solución particular viene dadapor:
yss
=
A1
a�m1
+
A2
a�m2
+ · · ·+ An
a�mn
�
eax
Puede concluirse que, dada la ecuación diferencial: Ln
(D)y(x) = eax , la solución particularviene dada por:
yss
=
1
Ln
(a)eax si L
n
(a) 6= 0
Cuando ocurra que Ln
(a) = 0 , es porque eax es solución de la homogénea asociada y, en talcaso, se tiene:
yss
=
1
(D � a)Ln�1
(D)
eax
Usando la ecuación (2.10), con Ln�1
(a) 6= 0, se tiene que la solución particular es:
yss
=
1
(D � a)Ln�1
(D)
eax =
1
Ln�1
(a)
✓
eax
D � a
◆
=
1
Ln�1
(a)xeax
Puede demostrarse que no es necesario factorizar el operador para aplicar el método, así:
Ln
(D) = (D � a)Ln�1
(D) ) L0n
(D) = (D � a)L0n�1
(D) + Ln�1
(D)
Reemplazando D = a en la derivada del polinomio, nos queda: L0n
(a) = Ln�1
(a).
Entonces, de forma general, dada la ecuación diferencial Ln
(D)y(x) = eax, la solución parti-cular viene dada por:
yss
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
Ln
(a)eax si L
n
(a) 6= 0
1
L0n
(a)xeax si L0
n
(a) 6= 0
...1
Ln
n
(a)xneax si Ln
n
(a) 6= 0
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 177
Ejemplo: 2.24. Determine la solución particular de las ecuaciones diferenciales:
1. (D3
+ 2D2
+ 3D + 2)y(x) = e�2x
2. (D3
+ 2D2
+ 3D + 2)y(x) = e�x
⌥⌃ ⌅⇧Solución: En el primer caso se tiene que: L3
(�2) = (�8 + 8� 6 + 2) = �4 y por tanto, lasolución particular viene dada por:
yss
= �1
4
e�2x
Para la segunda ecuación se tiene que:L3
(�1) = �1+2�3+2 = 0. En consecuencia, tomamosla primera derivada, así:
L03
(D) = 3D2
+ 4D + 3
Evaluando en D = �1, resulta que la solución particular es:
yss
=
1
3� 4 + 3
xe�x
=
1
2
xe�x
Términos independientes constantes.
Un caso de particular interés es el correspondiente a excitaciones constantes, que es equivalenteal caso de excitaciones exponenciales con a = 0, es decir:Dada la ecuación diferencial: L
n
(D)y(x) = E, la solución particular viene dada por:
yss
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
Ln
(a)E si L
n
(a) 6= 0
1
L0n
(a)xE si L0
n
(a) 6= 0
...1
Ln
n
(a)xnE si Ln
n
(a) 6= 0
Términos independientes senoidales.
Consideremos la ecuación diferencial:
Ln
(D)y(x) =
(
sin(x)
cos(x)
Puesto que ambas funciones son combinaciones lineales de la función exponencial compleja7,se pueden aplicar los conceptos relacionados con las excitaciones exponenciales así:
7 Remítase a la identidad de Euler en el Apéndice A.1
178 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Dada la ecuación diferencial Ln
(D)y(x) = cos(!x) =
e+j!x
+ e�j!x
2
, la solución viene da-da por:
yss
=
1
2Ln
(+j!)e+j!x
+
1
2Ln
(�j!)e�j!x
Para evitar el uso de números complejos, la sustitución: D = ±j! se puede cambiar por:D2
= �!2.Con esto, podemos escribir:
yss
=
1
Ln
(D)
�
�
�
�
D
2=�!
2
✓
ej!x + e�j!x
2
◆
=
1
Ln
(D)
�
�
�
�
D
2=�!
2
cos(!x) , si Ln
(�!2
) 6= 0
En consecuencia, la respuesta particular ante una excitación cosenoidal es:
yss
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
Ln
(D)
�
�
�
�
D
2=�!
2
cos(!x) si Ln
(�!2
) 6= 0
x1
L0n
(D)
�
�
�
�
D
2=�!
2
cos(!x) si L0n
(�!2
) 6= 0
...
xn
1
Ln
n
(D)
�
�
�
�
D
2=�!
2
cos(!x) si Ln
n
(�!2
) 6= 0
Lo mismo aplica para la función seno.
Ejemplo: 2.25. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D2
+ 3D + 2)y(x) = sin(x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: Con base en lo planteado, resulta:
yss
=
1
D2
+ 3D + 2
�
�
�
�
D
2=�1
sin(x) =1
3D + 1
sin(x)
Multiplicando por el conjugado del denominador, resulta:
yss
=
3D � 1
9D2 � 1
�
�
�
�
D
2=�1
sin(x) =3D � 1
�10
sin(x) = � 1
10
[3 cos(x)� sin(x)]
Finalmente, la solución particular es:
yss
=
1
10
sin(x)� 3
10
cos(x)
Puede verse que el resultado coincide con el hallado en el ejemplo 2.16 de la página 168.
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 179
Ejemplo: 2.26. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D3
+ 4D)y(x) = 2 sin(2x) + 5 cos(2x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: Es claro que L3
(D2
) = 0, por tanto, si D2
= �4 la solución particular se puedeescribir como:
yss
=
1
3D2
+ 4
�
�
�
�
D
2=�4
x [2 sin(2x) + 5 cos(2x)]
En consecuencia, la solución particular viene dada por:
yss
= �1
8
[2x sin(2x) + 5x cos(x)]
Si el estudiante calcula los coeficientes indeterminados del ejemplo 2.19 de la página 171,encontrará que los resultados son coincidentes.
Términos independientes polinómicos.
Consideremos la ecuación diferencial Ln
(D)y(x) = xm, con m = 0, 1, 2, 3, . . .La solución particular se expresa de la siguiente manera:
yss
=
1
Ln
(D)
xm
=
1
a0
+ a1
D + a2
D2
+ · · ·+ an�1
Dn�1
+ an
Dn
xm
La expresión anterior se puede escribir en la forma:
yss
=
1
a0
1
1 + (D)
�
xm con (D) =
a1
D + a2
D2
+ · · ·+ an�1
Dn�1
+ an
Dn
a0
La serie asociada al término:1
a0
1
1 + (D)
�
viene dada por:
1
a0
1
1 + (D)
�
=
1
a0
⇥
1� (D) +
2
(D)� 3
(D) + · · ·+ m
(D) +
m+1
(D) + · · ·⇤
=
1
a0
1X
k=0
k
(D)xm
Ya que los operadores m+1
(D), m+2
(D), . . . aplicados a xm se vuelven nulos, la soluciónparticular nos queda:
yss
=
1
a0
⇥
1� (D) +
2
(D)� 3
(D) + · · ·+ m
(D)
⇤
xm
==
1
a0
m
X
k=0
k
(D)xm
Lo desarrollado indica que la operación de integración se convierte en derivación. Los siguien-tes ejemplos nos permitirán visualizar la importancia del método. Posiblemente aparezcan
180 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
términos en la solución particular que son linealmente dependientes con la solución comple-mentaria y que se pueden omitir en la solución particular.
Ejemplo: 2.27. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial:
(D3
+ 4D2
)y(x) = x3⌥⌃ ⌅⇧Solución: Usando el método del operador inverso, se tiene que:
yss
=
1
D3
+ 4D2
x3
=
1
D + 4
�✓
1
D2
x3
◆
Se calcula la doble integral de x3 y resulta que:
yss
=
1
D + 4
�✓
x5
20
◆
=
1
80
1
1 +D/4
�
x5
=
1
80
1� D
4
+
D2
16
� D3
64
+
D4
256
� D5
1024
�
x5
Resolviendo las operaciones, resulta:
yss
=
1
80
x5 � 5x4
4
+
20x3
16
� 60x2
64
+
120x
256
� 120
1024
�
Puesto que la ecuación característica de la ecuación diferencial dada es: �3
+ 4�2
= 0, elconjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {1, x, e�4x}
En consecuencia, hay dos términos de la solución particular hallada que se pueden sumar conla complementaria y, por tanto, la solución particular viene dada por:
yss
=
1
80
x5 � 1
64
x4
+
1
64
x3 � 3
256
x2
Otra manera de hallar la solución particular es la siguiente:
yss
=
1
D2
✓
1
D + 4
◆
x3
=
1
4D2
✓
1
1 +D/4
◆
x3
=
1
4D2
✓
1� D
4
+
D2
16
� D3
64
◆
x3
Desarrollando las derivadas, resulta:
yss
=
1
4D2
✓
x3 � 3x2
4
+
6x
16
� 6
64
◆
Efectuando la doble integral, se tiene:
yss
=
1
4
✓
x5
20
� x4
64
+
x3
16
+
3x2
64
◆
=
x5
80
� x4
256
+
x3
64
+
3x2
256
Como puede verse, los resultados coinciden. Se deja al estudiante que encuentre la soluciónparticular por coeficientes indeterminados (Remítase al ejemplo 2.21 de la página 172) ycomparar.
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 181
El operador inverso como técnica de integración.
Dada la ecuación diferencial:Dy(x) = eaxf(x)
La solución particular viene dada por:
yss
=
1
D[eaxf(x)] =
Z
eaxf(x)dx
Por otro lado, usando la ecuación 2.10, el operador f(x)
D+a
se interpreta como:
1
D + af(x) = e�ax
Z
eaxf(x)dx
Despejando la integral tenemos que:Z
eaxf(x)dx = eax1
D + af(x)
Y se concluye que:1
D[eaxf(x)] = eax
1
D + af(x)
El resultado puede generalizarse de la siguiente manera:Dada la ecuación diferencial: L
n
(D)y(x) = eaxf(x), la solución particular viene dada por:
yss
=
1
Ln
(D)
[eaxf(x)] = eax1
Ln
(D + a)f(x) (2.12)
De la misma manera, se puede encontrar una equivalencia para las integrales:R
cos(!x)f(x)dxyR
sin(!x)f(x)dx, así:
Usando la identidad de Euler8, partimos de la integral:Z
ej!xf(x)dx =
Z
cos(!x)f(x)dx+ j
Z
sin(!x)f(x)dx
Usando la propiedad de desplazamiento en (2.12), obtenemos:Z
ej!xf(x)dx =ej!xf(x)
D + j!= ej!x
(D � j!)f(x)
D2
+ !2
= [cos(!x) + j sin(!x)(D � j!)]f(x)
D2
+ !2
=
cos(!x)Df(x)
D2
+ !2
+ ! sin(!x)f(x)
D2
+ !2
�
+ j
sin(!x)Df(x)
D2
+ !2
� ! cos(!x)f(x)
D2
+ !2
�
8Remítase al Apéndice A.1
182 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La expresión anterior se puede escribir más compactamente usando la siguiente notación:
cos(!x)Df(x)
D2
+ !2
+ ! sin(!x)f(x)
D2
+ !2
�
= D(�)
✓
cos(!x)f(x)
D2
+ !2
◆
Aclarando que el operador D(�) invierte el signo al término de la derivada de la función cosenoen la derivación mediante la regla de la cadena. El mismo resultado se aplica a la función seno.
Con esto, nos queda:Z
ej!xf(x)dx = D(�)
✓
cos(!x)f(x)
D2
+ !2
◆
+ jD(�)
✓
sin(!x)f(x)
D2
+ !2
◆
Ya que: Re�R
ej!xf(x)dx
=
R
cos(!x)dx, se concluye que:
Z
cos(!x)f(x)dx = D(�)
✓
cos(!x)f(x)
D2
+ !2
◆
(2.13)
El mismo resultado aplica para la función seno, ya que Im�R
ej!xf(x)dx
=
R
sin(!x)dx
Ejemplo: 2.28. Evalúe la integral indefinida:R
eaxx2dx⌥⌃ ⌅⇧Solución: Usando la propiedad enunciada en la ecuación (2.12), se tiene:
1
D
�
eaxx2
�
= eax1
D + ax2
=
eax
a
✓
1
1 +D/a
◆
x2
=
eax
a
✓
1� D
a+
D2
a2
◆
x2
Resolviendo las derivadas, resulta:Z
eaxx2dx =
eax
a
✓
x2 � 2x
a+
2
a2
◆
Ejemplo: 2.29. Evalúe la integral indefinida:R
eax cos(bx)dx⌥⌃ ⌅⇧Solución: Usando la propiedad, se tiene:
1
D(eax cos(bx)) = eax
1
D + acos(bx) = eax
D � a
D2 � a2cos(bx)
�
�
�
�
D
2=�b
2
Resolviendo las operaciones, resulta:
1
D(eax cos(bx)) = eax
D � a
�b2 � a2cos(bx) = � eax
a2 + b2[�b sin(bx)� a cos(bx)]
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 183
En consecuencia, la integral pedida es:Z
eax cos(bx)dx =
eax
a2 + b2[b sin(bx) + a cos(bx)]
Ejemplo: 2.30. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D2
+ 3D + 2)y(x) = xe�x
⌥⌃ ⌅⇧Solución: Primero que todo escribimos la ecuación característica: �2
+ 3�2
+ 2 = 0. Conbase en lo anterior, el conjunto fundamental de soluciones viene dado por:
CFS = {e�x, e�2x}
Si se usase el método de los coeficientes indeterminados, la solución particular debe tener laforma:
yss
= x⇥
A1
xe�x
+ A2
e�2x
⇤
Usando el método del operador inverso, tenemos:
yss
=
1
D2
+ 3D + 2
e�xx = e�x
1
(D � 1)
2
+ 3(D � 1) + 2
x = e�x
1
D2
+Dx
Desarrollando las operaciones, se tiene:
yss
= e�x
1
D(D + 1)
x = e�x
1
D(1�D) x = e�x
1
D(x� 1) = e�x
(
x2
2
� x)
Ejemplo: 2.31. Evalúe la integral:R
x2
sin(bx)dx⌥⌃ ⌅⇧Solución: Aplicando la propiedad enunciada en la ecuación (2.13) y las propiedades deloperador inverso para los términos polinómicos tenemos:
Z
x2
sin(bx)dx = D(�)
sin(bx)x2
D2
+ b2
�
= D(�)
"
sin(bx)
1�✓
D
b
◆
2
!
x2
b2
#
Realizando operaciones, tenemos:Z
x2
sin(bx)dx = D(�)
sin(bx)
✓
x2
b2� 2
b4
◆�
= sin(bx)2x
b2� b cos(bx)
✓
x2
b2� 2
b4
◆
=
2x
b2sin(bx)�
✓
x2
b� 2
b3
◆
cos(bx)
184 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo: 2.32. Evalúe la integral:R
x2e�x
cos(x)dx⌥⌃ ⌅⇧Solución: Usando la propiedad, con f(x) = x2e�x, tenemos:Z
x2e�x
cos(x)dx = D(�)
✓
cos(x)(x2e�x
)
D2
+ 1
◆
= cos(x)D(x2e�x
)
D2
+ 1
+ sin(x)(x2e�x
)
D2
+ 1
Desarollando el término(x2e�x
)
D2
+ 1
, tenemos:
(x2e�x
)
D2
+ 1
=exx2
(D � 1)
2
+ 1
=
e�x
2
x2
1 +
D
2�2D
2
!
=
e�x
2
✓
1� D
2�2D
2
+
⇣
D
2�2D
2
⌘
2
◆
x2
=
e�x
2
✓
x2 � (2� 4x)
2
+ 2
◆
=
e�x
2
�
x2 � 2x+ 1
�
Derivando el resultado:
D(x2e�x
)
D2
+ 1
=
e�x
2
(2x� 2)� e�x
2
�
x2 � 2x+ 1
�
=
e�x
2
�
1� x2
�
Con esto, la integral nos queda:Z
x2e�x
cos(x)dx =
e�x
2
⇥
(1� x2
) cos(x) + (x2
+ 2x+ 1) sin(x)⇤
2.4.4. Método de variación de parámetros.Los métodos de coeficientes indeterminados y operador inverso son aplicables a ecuacionesdiferenciales de coeficientes constantes siempre que el término independiente tenga un númerofinito de derivadas distintas, esto es, para ecuaciones diferenciales de la forma:
Ln
(D)y(x) =
8
>
<
>
:
Eeax
(
cos(bx)
sin(bx)
)
An
xn
+ An�1
xn�1
+ · · ·+ A1
x+ A0
El método que desarrollaremos a continuación puede aplicarse a cualquier tipo de términosindependientes.
Para aplicar el método se requiere conocer un conjunto fundamental de soluciones de laecuación diferencial homogénea {y
1
, y2
, . . . , yn
}. Lo anterior nos permite encontrar la soluciónparticular para ecuaciones diferenciales tanto de coeficientes constante como variables.
Para facilitar la comprensión del método partiremos de una ecuación diferencial de segun-do orden, así:
y00(x) + p(x)y0 + q(x)y = r(x)
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 185
Sea {y1
, y2
} un conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada. Se trata dedeterminar dos funciones µ
1
, µ2
de tal manera que una solución particular de la no homogéneaes:
yss
= y1
µ1
+ y2
µ2
Tomando la primera derivada, se tiene:
y0ss
= y01
µ1
+ y1
µ1
+ y02
µ2
+ y2
µ02
) y0ss
= y1
µ01
+ y2
µ02
+ y01
µ1
+ y02
µ2
Tomando la segunda derivada, se obtiene:
y00ss
= y01
µ1
+ y1
µ001
+ y02
µ02
+ y2
µ002
+ y001
µ1
+ y01
µ01
+ y002
µ2
+ y02
µ02
Sustituyendo idénticamente en la ecuación diferencial, resulta:
y01
µ1
+ y1
µ001
+ y02
µ02
+ y2
µ002
+ y001
µ1
+ y01
µ01
+ y002
µ2
+ y02
µ02
+
p(x)[y1
µ01
+ y2
µ02
+ y01
µ1
+ y02
µ2
]+
q(x)[y1
µ1
+ y2
µ2
] ⌘ r(x)
Reorganizando los términos de la expresión anterior, se tiene:
[y001
+ p(x)y01
+ q(x)]µ1
+ [y002
+ p(x)y02
+ q(x)]µ2
+
2(y01
µ01
+ y02
µ02
) + p(x)[y1
µ01
+ y2
µ02
] + y1
µ001
+ y2
µ002
⌘ r(x)
Puesto que y1
, y2
son soluciones de la homogénea, los dos primeros términos de la identidadanterior son nulos, con lo que resulta:
2(y01
µ01
+ y02
µ02
) + p(x)[y1
µ01
+ y2
µ02
] + y1
µ001
+ y2
µ002
⌘ r(x) (2.14)
De la identidad anterior, el coeficiente que acompaña a p(x) debe ser igual a cero, con lo queresulta la ecuación:
y1
µ01
+ y2
µ02
= 0 (2.15)
Derivando la ecuación (2.15) se obtiene:
y01
µ01
+ y02
µ02
+ y1
µ001
+ y2
µ002
= 0 (2.16)
Reemplazando las ecuaciones (2.15) y (2.16) en (2.14), se obtiene:
y01
µ01
+ y02
µ02
= r(x)
En consecuencia, las funciones µ1
, µ2
a determinar deben cumplir el siguiente sistema deecuaciones:
y1
y01
y2
y02
�
·
µ01
µ02
�
=
0
r(x)
�
186 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Al resolver el sistema, resulta:
µ01
=
�
�
�
�
0 y2
r(x) y02
�
�
�
�
W (x)µ02
=
�
�
�
�
y1
0
y01
r(x)
�
�
�
�
W (x)
Las funciones se determinan por integración, teniendo en cuenta que las constantes de inte-gración se hacen iguales a cero.
El método se puede generalizar para cualquier ecuación diferencial lineal de la forma:
dny
dxn
+ p1
(x)dn�1y
dxn�1
+ p2
(x)dn�2y
dxn�2
+ · · ·+ pn�1
(x)dy
dx+ p
n
(x)y = r(x)
Si {y1
, y2
, . . . , yn
} es un conjunto fundamental de soluciones de la homogénea, entonces lasolución particular es de la forma:
yss
= y1
µ1
+ y2
µ2
+ · · ·+ yn
µn
Las funciones se determinan resolviendo el sistema:2
6
6
6
4
y1
y2
· · · yn
y01
y02
· · · y0n
......
......
yn�1
1
yn�1
2
· · · yn�1
n
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
µ01
µ02
...µ0n
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
0
0
...r(x)
3
7
7
7
5
Obsérvese que la ecuación diferencial debe estar normalizada, es decir, el coeficiente de lamáxima derivada debe ser igual a la unidad. Los siguientes ejemplos nos permitirán ilustrarel método.
Ejemplo: 2.33. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D2
+ 3D + 2)y(x) = xe�x
⌥⌃ ⌅⇧Solución: El CFS viene dado por:
CFS = {e�x, e�2x}
Aplicando el método de variación de parámetros, la solución particular debe ser de la forma:yss
= µ1
e�x
+ µ2
e�2x. Se debe resolver el sistema:
e�x �e�x
e�2x �2e�2x
�
·
µ01
µ02
�
=
0
xe�x
�
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 187
Resolviendo el sistema, resulta: µ01
= x y µ2
= �xex. Integrando y haciendo las constantesiguales a cero, se tiene:
µ1
=
1
2
x2 , µ2
= (�x+ 1)ex
En consecuencia, la solución particular es:
yss
=
✓
1
2
x2
◆
e�x
+ ((�x+ 1)ex) e�2x
=
1
2
x2e�x � xe�x
+ e�x
Finalmente, puesto que el último término de la solución hallada es linealmente dependientecon la complementaria, resulta que:
yss
=
1
2
x2e�x � xe�x
Ejemplo: 2.34. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D2
+ 4)y(x) = sec(2x)⌥⌃ ⌅⇧Solución: Es claro que no es posible aplicar ni el método de los coeficientes indeterminadosni el del operador inverso.Por simple inspección, el CFS viene dado por:
CFS = {cos(2x), sin(2x)}
Aplicando el método de variación de parámetros, se tiene: yss
= µ1
cos(2x) + µ2
sin(2x). Elsistema de ecuaciones a resolver es:
cos(2x) sin(2x)�2 sin(2x) 2 cos(2x)
�
·
µ01
µ02
�
=
0
sec(2x)
�
La solución del sistema es: µ01
= �1
2
tan(2x) y µ02
=
1
2
. Integrando, se tiene:
µ1
=
1
4
ln (cos(2x)) , µ2
=
1
2
x
En consecuencia, la solución particular es:
yss
=
✓
1
4
ln (cos(2x))
◆
cos(2x) +
✓
1
2
x
◆
sin(2x)
Ejemplo: 2.35. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
(D3
+D)y(x) = tan(x)
188 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
⌥⌃ ⌅⇧Solución: El CFS viene dado por: CFS = {1, cos(x), sin(x)}. La solución particular es dela forma:
yss
= µ1
+ µ2
cos(x) + µ3
sin(x)
Se debe resolver el sistema:2
4
1 cos(x) sin(x)0 � sin(x) cos(x)0 � cos(x) � sin(x)
3
5 ·
2
4
µ01
µ02
µ03
3
5
=
2
4
0
0
tan(x)
3
5
La solución del sistema es: µ01
= tan(x), µ02
= sin(x) y µ03
= �sin
2
(x)
cos(x)Integrando se tiene:
µ1
= �1
2
ln(cos(x)) , µ2
= cos(x) , µ3
= sin(x)� ln(sec(x) + tan(x))
En consecuencia, la solución particular viene dada por:
yss
= �1
2
ln(cos(x)) + cos
2
(x) + [sin(x)� ln(sec(x) + tan(x))] sin(x)
Puesto que sin
2
(x) + cos
2
(x) = 1 es linealmente dependiente con la homogénea, la soluciónparticular nos queda:
yss
= �1
2
ln(cos(x))� sin(x) ln(sec(x) + tan(x))
Evidentemente, la aplicación del método requiere la evaluación de integrales que pueden sercomplicadas de evaluar simbólicamente. De todas formas, el método se justificará fundamen-talmente para hallar la solución particular de ecuaciones diferenciales de coeficientes variableso de coeficientes constantes dependiendo del término independiente.
EJERCICIOS 2.3.
Usando el método de los coeficientes indeterminados, escriba la forma adecuada para la solu-ción particular de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. (D3
+ 3D2
)y(x) = x2
+ xe�3x
2. (D2
+ 4)y(x) = x cos2(x)
3. (D4
+2D2
+1)y(x) = sin(x) sin(2x). Ayuda: exprese el producto como una suma y resta.
4. (D3
+ 3D2
+ 2D)y(x) = x2
+ sinh(x)
2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 189
5. (D3
+ 2D2
+ 2D + 1)y(x) = x cosh(x)
6. (D3
+D2
+D + 1)y(x) = x2
+ x sin(x) + xe�x
7. (D4
+ 5D2
+ 4)y(x) = x sin(x) + x2
cos(2x)
8. (D3
+ 4D2
+ 6D + 4)y(x) = xe�x
sin(x)
9. (4D2
+ 4D + 1)y(x) = xe�x
2
10. (D4
+ 2D3
+ 5D2
+ 8D + 4)y(x) = xe�x
+ x sin(2x)
Usando el método del operador inverso, encuentre la solución particular para cada una de lassiguientes ecuaciones diferenciales.
11. (D3
+ 3D2
)y(x) = x2
+ xe�3x
12. (D2
+ 4)y(x) = cos
2
(x)
13. (D4
+ 2D2
+ 1)y(x) = sin(x)
14. (D3
+ 3D2
+ 2D)y(x) = x2
+ e�x
15. (D3
+ 2D2
+ 2D + 1)y(x) = xe�x
16. (D3
+D2
+D + 1)y(x) = x2
+ sin(x)
17. (D4
+ 5D2
+ 4)y(x) = e�x
sin(x)
18. (D3
+ 4D2
+ 6D + 4)y(x) = e�x
sin(x)
19. (4D2
+ 4D + 1)y(x) = xe�x
2
20. (D4
+ 2D3
+ 5D2
+ 8D + 4)y(x) = xe�x
+ x sin(2x)
Usando el método de variación de parámetros, encuentre la solución particular para cada unade las siguientes ecuaciones diferenciales.
21. (D2
+ 1)y(x) = csc(x)
22. (D2
+ 2D + 1)y(x) = e�x
sec(x)
23. (D2
+ 4D + 4)y(x) = e�2x
ln(x)
24. (D2
+D)y(x) = e�xx�1
25. (D3
+ 4D)y(x) = cot(2x)
190 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESUn sistema de ecuaciones diferenciales es aquel que relaciona n variables dependientes conuna variable independiente. Para efectos de nuestro estudio, la variable independiente es t ylas variables dependientes las denotaremos por x
1
(t), x2
(t), . . . , xn
(t).
En general, un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden presenta la forma general:
d
dxx1
= f1
(t, x1
, x2
, . . . , xn
)
d
dxx2
= f2
(t, x1
, x2
, . . . , xn
)
...d
dxxn
= fn
(t, x1
, x2
, . . . , xn
)
Se considerarán únicamente sistemas lineales de coeficientes constantes, es decir, sistemas quese pueden expresar de la siguiente manera:
d
dxx1
= a11
x1
+ a12
x1
+ · · ·+ a1n
xn
+ r1
(t)
d
dxx2
= a21
x1
+ a22
x1
+ · · ·+ a2n
xn
+ r2
(t)
...d
dxx1
= an1
x1
+ an2
x1
+ · · ·+ ann
xn
+ rn
(t)
El sistema se puede escribir en forma matricial, así:
d
dt
2
6
6
6
4
x1
x2
...xn
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
a11
a12
· · · a1n
a21
a22
· · · a2n
......
......
an1
an2
· · · ann
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
x1
x2
...xn
3
7
7
7
5
+
2
6
6
6
4
r1
(t)r2
(t)...
rn
(t)
3
7
7
7
5
Equivalentemente, el sistema se puede expresar en la forma:
d
dtX(t) = A ·X(t) + r(t) (2.17)
Donde X(t) es el vector solución, A es la matriz del sistema y r(t) es el vector de términosindependientes.
La ecuación diferencial vectorial se puede resolver de diversas formas según veremos a conti-nuación.
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 191
Solución de la ecuación matricialSe procederá por analogía con la ecuación diferencial lineal de primer orden, de acuerdo conel siguiente razonamiento.Dada la ecuación diferencial escalar de primer orden:
d
dtx(t) = ax(t) + br(t), la cual se puede
escribir como:d
dtx(t) � ax(t) = br(t), el factor integrante es: � = eat y la solución general
viene dada por:x(t) = Ceat + eat
Z
e�atr(t)dt
La constante de integración se determina con la condición inicial: x(0), con lo que se obtiene:
x(t) = x(0)eat + eatZ
t
0
e�a⌧r(⌧)d⌧
Para el caso matricial, dado el vector de condiciones iniciales: X(0), la solución del problemade valor inicial es:
X(t) = X(0)eAt + eAtZ
t
0
e�A⌧r(⌧)d⌧
La matriz: � = eAt recibe el nombre de matriz de transición de estados y cobrará significadoen el capítulo 3. Esta corresponde a las soluciones homogéneas del sistema y su cálculo sehace mediante series de potencias, así:
eAt = I+ At+ A2
2!
t2 +A3
3!
t3 + · · ·
Donde I es la matriz identidad. Por otro lado: e�At es la inversa de la matriz de transición deestados.En esta sección no aplicaremos este método de solución ya que requiere de algunos conceptosy herramientas que están por fuera del alcance de este texto, sin embargo en el ejemplo 2.36se muestra su cálculo mediante herramientas de software.
Otro método de solución para un sistema de ecuaciones diferenciales, involucra el cálculode los valores y vectores propios de la matriz del sistema. La solución de la homogénea sepuede expresar como:
Xc
(t) = c1
V1e�1t
+ c2
V2e�2t
+ · · ·+ cn
Vne�
n
t
Donde �1
,�2
, . . . ,�n
son los valores propios de la matriz A, V1,V2, . . . ,Vn son los vectorespropios del sistema y c
1
, c2
, . . . , cn
son contantes arbitrarias.
La solución particular Xss(t) se puede encontrar mediante el método de variación de pa-rámetros estudiado en la sección 2.4.4, resolviendo el sistema: X · µ0
= r(t). Donde X es una
192 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
matriz cuyas columnas son los vectores solución de la homogénea: Vne�n
t y µ0 es el vector defactores a determinar por integración. La solución particular está dada por: Xss(t) = X · µ.
Ejemplo: 2.36. Encuentre la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
d
dt
✓
x1
x2
◆
=
✓
�1 1
1 �1
◆
·✓
x1
x2
◆
+
✓
e�t
et
◆
⌥⌃ ⌅⇧Solución: Los valores propios de la matriz A se encuentran mediante el polinomio caracte-rístico:
p(�) = |A� �I| =�
�
�
�
�1� � 1
1 �1� �
�
�
�
�
= (1 + �)2 � 1 = 2�+ �2
= �(�+ 2) = 0
De donde los valores propios son: �1
= 0 y �2
= �2. Por lo que CFS = {1, e�2t}.Los vectores propios se encuentran resolviendo el sistema: (A� �I) ·V = 0.Reemplazando los valores propios en el sistema, y resolviendo los sistemas encontramos:Para �
1
= 0, tenemos que: �v1
+ v2
= 0 y v1
� v2
= 0 de donde el vector propio se expresacomo:
V1 =
✓
1
1
◆
Para �1
= �2, tenemos que: v1
+ v2
= 0 y v1
+ v2
= 0 de donde el vector propio se expresacomo:
V2 =
✓
1
�1
◆
Entonces los vectores propios son:
V1 =
✓
1
1
◆
, V2 =
✓
1
�1
◆
La solución de la homogénea nos queda:
Xc
(t) = c1
✓
1
1
◆
e0t + c2
✓
1
�1
◆
e�2t
Para la solución particular, a partir de las soluciones homogéneas construimos la matriz:
X =
✓
1 e�2t
1 �e�2t
◆
El sistema a resolver es:✓
1 e�2t
1 �e�2t
◆
·✓
µ01
µ02
◆
=
✓
e�t
et
◆
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 193
De donde, obtenemos:
µ01
=
�e�3t � e�t
�2e�t
=
1
2
�
e�t
+ et�
) µ1
=
1
2
�
�e�t
+ et�
µ02
=
et � e�t
�2e�t
=
1
2
�
et � e3t�
) µ2
=
1
2
✓
et � e3t
3
◆
Entonces la solución particular es:
Xss(t) =
✓
1 e�2t
1 �e�2t
◆
· 12
0
@
et � e�t
et � e3t
3
1
A
=
0
B
@
et
3
2et � 3e�t
3
1
C
A
Finalmente la solución general viene dada por:
X(t) = c1
✓
1
1
◆
+ c2
✓
1
�1
◆
e�2t
+
1
3
✓
et
2et � 3e�t
◆
F Solución de ejemplo 2.36 con Máxima: Primero definimos la matriz A y el vectorde excitaciones r(t) mediante el comando:
(%i1) A:matrix([-1,1],[1,-1]); r:matrix([exp(t)], [exp(-t)]);
Cuyo resultado es:
( %o1)✓
�1 1
1 �1
◆
( %o2)✓
%et
%e�t
◆
Para calcular la solución homogénea se usa el comando mat_function9, así:
(%i2) Xc=mat_function(exp,A*t);
Cuyo resultado es:
( %o3) Xc =
0
B
B
B
@
%e�2 t
2
+
1
2
1
2
� %e�2 t
2
1
2
� %e�2 t
2
%e�2 t
2
+
1
2
1
C
C
C
A
Como se puede ver, las columnas de la matriz entregada son combinaciones lineales del con-junto fundamental {1, e�2t}.
9Para esto es necesario cargar antes el paquete “diag” mediante el comando load(diag)
194 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Para la solución particular se requiere realizar el cálculo de la matriz e�At, el producto in-terno10 entre ésta y la excitación r(t), luego una integral y finalmente el producto internoentre esta última y la matriz eAt. Todo esto lo realizamos mediante el comando:
(%i3) Xss=innerproduct(mat_function(exp,A*t),integrate(innerproduct(mat_function(exp,-A*t),r),t));
Cuyo resultado es:
( %o4) Xss =
0
B
B
B
@
%e�t
(2 %e2 t � 3)
3
%et
3
1
C
C
C
A
La cual corresponde a la solución particular encontrada mediante el procedimiento manual,solo que con los elementos del vector trocados.
Para calcular mediante el procedimiento con los valores y vectores propios, usamos:
(%i4) eigenvectors(A);
(%o4) [[[-2,0],[1,1]],[[[1,-1]],[[1,1]]]]
Los primeros datos desplegados muestran los valores propios con su multiplicidad, en este caso�1
= 0,�2
= �2 con multiplicidad 1 y 1 respectivamente. Los siguientes datos nos indican losvectores propios: [1,�1] y [1, 1] que corresponden a V2, V1 hallados previamente.
Para la particular, debemos primero encontrar µ01
y µ02
(escritas como Du1,Du2) medianteel comando algsys que soluciona un sistema de ecuaciones:
(%i5) algsys([Du1+exp(-2*t)*Du2=exp(-t),Du1-exp(-2*t)*Du2=exp(t)],[Du1,Du2]);
(%o6) [[Du1=(%e^(-t)*(%e^(2*t)+1))/2,Du2=-(%e^(3*t)-%e^t)/2]]
Integramos la solución, así:
(%i6) integrate(%o6,t);
(%o7) [[Du1*t=(%e^t-%e^(-t))/2+%c1,Du2*t=%c2-(%e^(3*t)/3-%e^t)/2]]
Haciendo las constantes de integración cero, construimos el vector para µ, la matriz X yrealizamos el producto interno, así:
10Se usa el comando innerproduct pero para esto es necesario cargar antes el paquete “eigen” mediante elcomando load(eigen)
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 195
(%i7) X:matrix([1,exp(-2*t)],[1,-exp(-2*t)]);u:matrix([(%e^t-%e^(-t))/2],[-(%e^(3*t)/3-%e^t)/2]);innerproduct(X,u);
Y finalmente obtenemos la solución particular:
( %o8)
0
B
B
B
@
%et
3
%e�t
(2 %e2t � 3)
3
1
C
C
C
A
F Solución de ejemplo 2.36 con Matlab: En este caso se definimos la matriz A, el vec-tor de excitaciones r(t) y la variable simbólica t mediante la herramienta del toolbox simbólicode MATLAB, así:
>> A=[-1,1;1,-1], r=[exp(t); exp(-t)], syms tA =
-1 11 -1
r =exp(t)
1/exp(t)
Para el cálculo directo de la solución del sistema, primero encontramos la solución homogéneamediante del cálculo de la matriz eAt, con el comando expm así:
>> Xc=expm(A*t)
Xc =[ 1/(2*exp(2*t)) + 1/2, 1/2 - 1/(2*exp(2*t))][ 1/2 - 1/(2*exp(2*t)), 1/(2*exp(2*t)) + 1/2]
Como se puede ver, las columnas de la matriz entregada son combinaciones lineales del con-junto fundamental {1, e�2t}.
La solución particular viene dada por:
>>Xss= expm(A*t)*int(expm(-A*t)*r,t)
Xss =
(1/(2*exp(2*t)) - 1/2)*(1/(2*exp(t)) + exp(3*t)/6 - exp(t)) +
196 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
((exp(4*t) - 3)*(1/(2*exp(2*t)) + 1/2))/(6*exp(t))- (1/(2*exp(2*t)) + 1/2)*(1/(2*exp(t)) + exp(3*t)/6 - exp(t)) -
((exp(4*t) - 3)*(1/(2*exp(2*t)) - 1/2))/(6*exp(t))
La cual se puede simplificar, así:
>> simplify(Xss)
ans =(2*exp(t))/3 - 1/exp(t)
exp(t)/3
Las cuales corresponden con las encontradas mediante el procedimiento manual con los ele-mentos trocados.
Ahora, mediante el procedimiento con los vectores y valores propios:
>> [vecs,vals]=eig(A)vecs =
0.7071 0.7071-0.7071 0.7071
vals =-2 00 0
Como puede verse, Matlab entrega los vectores normalizados, esto es: V1 =
1p2
✓
1
1
◆
y
V2 =
1p2
✓
1
�1
◆
. Y los valores propios con su correspondiente multiplicidad, en este caso,
cero indica que no hay repetición de dicho valor.
Para la solución particular, resolvemos el sistema de ecuaciones para µ01
, µ02
,
>> syms Du1 Du2>> Du=solve(’Du1+exp(-2*t)*Du2=exp(-t)’,’Du1-exp(-2*t)*Du2=exp(t)’,Du1,Du2)Du =
Du1: [1x1 sym]Du2: [1x1 sym]
Luego integramos el resultado:
>> u1=int(Du.Du1,t), u2=int(Du.Du2,t)u1 =sinh(t)
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 197
u2 =-(exp(t)*(exp(2*t) - 3))/6
Ahora construimos la matriz X, el vector µ y realizamos el producto vectorial entre ambos,para obtener la solución particular:
>> X=[1,exp(-2*t); 1,-exp(-2*t)]; u=[u1;u2]; Xss=X*u
Xss =sinh(t) - (exp(2*t) - 3)/(6*exp(t))sinh(t) + (exp(2*t) - 3)/(6*exp(t))
Simplificando la solución, nos queda:
simplify(Xss)
ans =exp(t)/3
(2*exp(t))/3 - 1/exp(t)
Solución mediante regla de CrammerHaciendo uso del operador D, el sistema se puede escribir en la forma:
L11
(D)x1
+ L12
(D)x2
+ · · ·+ L1n
(D)xn
= r1
(t)
L21
(D)x1
+ L22
(D)x2
+ · · ·+ L2n
(D)xn
= r2
(t)...
Ln1
(D)x1
+ Ln2
(D)x2
+ · · ·+ Lnn
(D)xn
= rn
(t)
En forma matricial, resulta:2
6
6
6
4
L11
L12
· · · L1n
L21
L22
· · · L2n
......
......
Ln1
Ln2
· · · Lnn
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
x1
x2
...xn
3
7
7
7
5
+
2
6
6
6
4
r1
(t)r2
(t)...
rn
(t)
3
7
7
7
5
El determinante del sistema es:
Ln
(D) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
L11
L12
· · · L1n
L21
L22
· · · L2n
......
......
Ln1
Ln2
· · · Lnn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
198 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Aplicando la regla de Cramer, a cada variable se le asocia una ecuación diferencial de ordenn. Para la primera variable la ecuación diferencial es:
Ln
(D)x1
(t) = f1
(t)
El término independiente es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la primeracolumna de la matriz del sistema por el vector r(t) , así:
f1
(t) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
r1
(t) L12
· · · L1n
r2
(t) L22
· · · L2n
......
......
rn
(t) Ln2
· · · Lnn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Particularmente, para un sistema de segundo orden, se tiene:
L2
(D) =
�
�
�
�
L11
(D) L12
(D)
L21
(D) L22
(D)
�
�
�
�
Las ecuaciones diferenciales asociadas a las variables son:
L2
(D)x1
(t) =
�
�
�
�
r1
(t) L12
(D)
r2
(t) L22
(D)
�
�
�
�
= L22
(D)r1
(t)� L12
(D)r2
(t)
L2
(D)x2
(t) =
�
�
�
�
L11
(D) r1
(t)L21
(D) r2
(t)
�
�
�
�
= L11
(D)r1
(t)� L21
(D)r2
(t)
Ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto fundamental de soluciones de la homogénea perodiferente solución particular. Los siguientes ejemplos nos permitirán entender mejor el métodode solución descrito.
Ejemplo: 2.37. Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones:(
(D + 1)x(t)� y(t) = e�t
x(t) + (D + 1)y(t) = 0
⌥⌃ ⌅⇧Solución: El determinante del sistema es:
L2
(D) =
�
�
�
�
(D + 1) �1
1 (D + 1)
�
�
�
�
= D2
+ 2D + 2
La ecuación diferencial correspondiente a la primera variable x(t) es:
(D2
+ 2D + 2)x(t) =
�
�
�
�
e�t �1
0 (D + 1)
�
�
�
�
= (D + 1)e�t
= 0
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 199
Y para la segunda variable y(t):
(D2
+ 2D + 2)y(t) =
�
�
�
�
(D + 1) e�t
1 0
�
�
�
�
= (D + 1)0� e�t
= �e�t
La solución particular, usando el método del operador inverso, para la y(t) es:
yss
(t) =1
D2
+ 2D + 2
�
e�t
�
�
�
�
�
D=�1
= �e�t
Por simple inspección el conjunto fundamental de soluciones es:
CFS = {e�t
cos(t), e�t
sin(t)}
Así las cosas, la solución general del sistema es:
x(t) = C1
e�t
cos(t) + C2
e�t
sin(t)
y(t) = C1
e�t
cos(t) + C2
e�t
sin(t)� e�t
Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones iniciales x(0), y(0) yx0(0), y0(0) se obtienen del sistema original.
Ejemplo: 2.38. Resuelva el problema de valor inicial correspondiente al sistema del ejem-plo 2.37, con las condiciones iniciales: x(0) = 0, y(0) = 0.⌥⌃ ⌅⇧Solución: El sistema dado se puede escribir en la forma:
(
x0(t) + x(t)� y(t) = e�t
x(t) + y0(t) + y(t) = 0
Evaluando en t = 0, resultan las otras dos condiciones iniciales: x0(0) = 1 y y0(0) = 0.
Para la primera variable, el problema de valor inicial asociado es:
(D2
+ 2D + 2)x(t) = 0 con x(0) = 0, x0(0) = 1
A partir de la solución general, tenemos:
x(t) = C1
e�t
cos(t) + C2
e�t
sin(t)
x0(t) = (�C
1
+ C2
)e�t
cos(t) + (�C1
� C2
)e�t
sin(t)
Evaluando las condiciones iniciales, resulta:
C1
= 0 , �C1
+ C2
= 1 ) C2
= 1
200 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por tanto la solución para x(t) es:
x(t) = e�t
sin(t)
En cuanto a la otra variable, se puede sustituir el resultado hallado en cualquiera de las ecua-ciones originales o resolver el problema de valor inicial asociado a la variable. Si se sustituyeel valor hallado en la primera ecuación, se tiene:
y(t) = x0(t)+x(t)�e�t
= �e�t
sin(t)+e�t
cos(t)+e�t
cos(t)+e�t
sin(t)�e�t
= e�t
cos(t)�e�t
En el capítulo 3 se profundizará en la solución de problemas de valor inicial aplicados al aná-lisis de sistemas de ingeniería.
F Solución de ejemplo 2.38 con Máxima: El comando desolve puede solucionar sis-temas de ecuaciones diferenciales de primer orden.Primero, introducimos las condiciones iniciales x(0) = 0, y(0) = 0, mediante el comandoatvalue, así:
(%i1) atvalue(x(t),t=0,0); atvalue(y(t),t=0,0);
Ahora, solucionamos el sistema:
(%i2) desolve([’diff(x(t),t)+x(t)-y(t)=exp(-t), x(t)+’diff(y(t),t)+y(t)=0], [x(t),y(t)]);
Cuyo resultado es:( %o2) [x (t) = e
�t
sin (t) , y (t) = e
�t
cos (t)� e
�t
]
F Solución de ejemplo 2.38 con Matlab:
>> z=dsolve(’Dx+x-y=exp(-t)’,’x+Dy+y=0’,’x(0)=0’,’y(0)=0’,’t’)
z =y: [1x1 sym]x: [1x1 sym]
Para visualizar las soluciones para x y y es necesario digitar z.x y z.y, así:
>> z.x, z.yans =sin(t)/exp(t)
ans =cos(t)/exp(t) - 1/exp(t)
EJERCICIOS 2.4.Encuentre la solución general para cada uno de los siguientes sistemas.
2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 201
1.
(
(D + 1)x(t)� y(t) = sin(t)
x(t) + (D + 1)y(t) = cos(t)
2.
(
(D + 1)x(t)� y(t) = 10
�x(t) + (D + 1)y(t) = e�t
3.
(
(D + 2)x(t)� y(t) = 10
x(t) +Dy(t) = 10e�t
4.
8
>
<
>
:
(D + 1)x(t) +Dy(t) = 0
(D + 1)y(t) + z(t) = 10
(D + 1)x(t) +Dz(t) = e�t
5.
8
>
<
>
:
(D + 1)x(t) +Dy(t) = 0
�3x(t) + 4Dy(t) + 4z(t) = 10
�(D + 1)y(t) +Dz(t) = e�2t
MISCELÁNEA DE EJERCICICOSResuelva los siguientes problemas de valor inicial:
1. (D2
+ 4D + 3)y(t) = 30 con y(0) = 0, y0(0) = 0
2. (D2
+ 4D + 3)y(t) = 30e�t con y(0) = 0, y0(0) = 0
3. (D2
+ 4D + 4)y(t) = 30 con y(0) = 0, y0(0) = 0
4. (D2
+ 4D + 3)y(t) = 30e�t con y(0) = 0, y0(0) = 0
5. (D2
+ 2D + 10)y(t) = 30 con y(0) = 0, y0(0) = 0
6. Considere la ecuación diferencial: xy00 + 2y0 + xy = x2
a) Muestre que la solución de la homogénea asociada es: yc
= C1
x�1
cos(x)+C2
x�1
sin(x).
b) Determine la solución particular.
c) Resuelva el problema de valor inicial, con: y(1) = 0, y0(1) = 1.
7. Considere la ecuación diferencial: x2y00 � 2xy0 � 2y = x2
ln(x)
a) Determine los valores de � para que x� sea solución de la homogénea asociada.
b) Escriba la solución complementaria.
c) Determine la solución particular.
d) Resuelva el problema de valor inicial, con: y(1) = 1, y0(1) = �1.
Resuelva los problemas de valor inicial:
8.
(
(D + 1)x(t)� y(t) = sin(t)
x(t) + (D + 1)y(t) = cos(t)con x(0) = 0, y(0) = 0
202 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
9.
(
(D + 1)x(t)� y(t) = 10
�x(t) + (D + 1)y(t) = e�t
con x(0) = 0, y(0) = 0
10.
(
(D + 2)x(t)� y(t) = 10
x(t) +Dy(t) = 10e�t
con x(0) = 0, y(0) = 0