NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

Si una ecuación diferencial tiene la forma

( )dy

f ax y cdx

con 0b

Entonces puede reducirse a una Ed en variables separable mediante la sustitución

z ax by c

Demostración:

Al hacer el cambio

z ax by c

1

dz dya b

dx dx

dy dza

dx b dx

Sustituyendo en la ED

1( )

( )

dza f z

b dx

dzbf z a

dx

Separando variables se tiene la forma:

( )

dzdx

bf z a

Ejemplo. Hallar la solución general de la ED sin( 1)dy

x ydx

La ED tiene la forma () , entonces hacemos la sustitución:

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1

1

1

z x y

dz dy

dx dx

dy dz

dx dx

Sustituyendo en la ED

1 sin( )dz

zdx

Separando variables

1 sin( )

dzdx

z

Integrando

2

2

1

1 sin( )

1 sin( )

cos ( )

sec ( ) sec( ) tan( )

tan

1 sin( )

1 sin( )

( ) sec( )

dx dzz

zdx dz

z

dx z z z dz

x z z C

z

z

Regresando a la variable x

tan( 1) sec( 1)x x y x y C

Ejemplo: Resolver la ED 4 4 8dy

y xdx

.

Haciendo

4 8

4

4

z y x

dz dy

dx dx

dy dz

dx dx

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Sustituyendo en la Ed y separando variables

4 4dz

zdx

dzdx

z

Integrando se tiene la solución general

2

2 4 8

z x C

y x x C

DESARROLLANDO TUS COMPETENCIAS

Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante una sustitución

apropiada y representa gráficamente a la familia de soluciones o a la curva integral según

corresponda.

1. 2tan ( )dy

y xdx

2. 4( 4)dy

x ydx

(1) 1y

3. 1dy

x ydx

(0) 4y

4. 2

2 3

dy x y

dx x y

5. 2

1

( 2 )

dy

dx x y