9x⁵- 12x⁴ + 2x³ - 2x² - 10x + 5x⁰¹

El grado de un polinomio : Observe el exponente de cada monomio, el de mayor exponente es el grado del polinomio

El coeficiente principal : El coeficiente del monomio de mayor exponente

El coeficiente independiente : Al monomio que solo muestra coeficiente

El grado del polinomio “5”

Coeficiente Principal “9”

Coeficiente Independiente “5”

+ 4a²Signo

Coeficiente

Exponente

Variable

Monomio :

División Sintética3 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8

𝑥−23 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿

En toda división debe estar el Polinomio completo:

3 𝑥6−2𝑥5+𝟎 𝒙𝟒+𝑥3−32 𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿𝟑 𝒙𝟓−𝟑 𝒙𝟔+𝟔 𝒙𝟓

4 𝑥5+𝟒 𝒙𝟒

−𝟒 𝒙𝟓+𝟖 𝒙𝟒

8 𝑥4

+𝟖 𝒙𝟑

−𝟖 𝒙𝟒+𝟏𝟔𝒙𝟑

17 𝑥3

+𝟏𝟕𝒙𝟐

−𝟏𝟕𝒙𝟑+𝟑𝟒𝒙𝟐

2 𝑥2

+𝟐 𝒙

−𝟐 𝒙𝟐+𝟒 𝒙5 𝑥

+𝟓

−𝟓 𝒙+𝟏𝟎𝟐

El resto de la

División

Otra forma Sencilla

3 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿

Ahora hacemos lo mismo pero solo ponemos los coeficientes:

3−2+𝟎+1−32+1−8⌊1−2¿ ¿𝟑−𝟑+𝟔

4+𝟒

−𝟒+𝟖8

+𝟖

−𝟖+𝟏𝟔1 7

+𝟏𝟕

−𝟏𝟕+𝟑𝟒2

+𝟐

−𝟐+𝟒5

+𝟓

−𝟓+𝟏𝟎𝟐El resto

de la División

𝟑 𝒙𝟓+𝟒 𝒙𝟒+𝟖 𝒙𝟑+𝟏𝟕𝒙𝟐+𝟐 𝒙+𝟓

3 -2 + 0 +1 - 32 + 1 - 8

Para que este factor

sea cero

2

3

6

4

8

8

16

17

34

2

4

5

10

2

El último número es

el resto

3 𝑥6−2𝑥5+𝟎 𝒙𝟒+𝑥3−32 𝑥2+𝑥−8

𝟑 𝒙𝟓+𝟒 𝒙𝟒+𝟖 𝒙𝟑+𝟏𝟕𝒙𝟐+𝟐 𝒙+𝟓

4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0Resolver :

Teorema de Descartes El grado del polinomio indica el número de soluciones

Número de soluciones = 5

¿De estas 5 soluciones cuantas son positivas y cuantas negativas?

Observe los signos de cada monomio, luego avance de monomio en monomio y cuente los cambios de signo

4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0+ + +-- -

Se contabilizó 4 cambios de signo, cuando este número es mayor o igual a 2; reste siempre 2

Hay 4 positivas ò 2 positivas

Soluciones Positivas:

4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0

Soluciones Negativas:

Observe los signos en cada monomio y cambie el signo si la potencia es impar, si la potencia es Par no cambie, el termino independiente mantiene su signo

4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0- - ++- -

Se contabilizó solo un cambio de signo, como este número es menor a 2; no se resta nada

Hay 1 negativa

Resumen:+ 4 ò +2- 1

Debe combinar las respuestas

+ 4 y - 1

+2 y -1

5 respuestas

3 respuestas faltan 2, por lo tanto se completa con complejos.

Descartes asegura que una de estas combinaciones sucederá de todas maneras.

Ejemplo: 4x⁷ +- 3x⁴ +5x³ - x - 12 =0

¿Cuántos cambios de signo? 2 cambios ¿restamos 2?

Hay 2 positivas ò ninguna positiva+ 2 ò +0

POSITIVAS

NEGATIVAS

-+ + +- -+ -¿Cuántos cambios de signo? 3 cambios ¿restamos 2?

- 3 ò -1

Resumen:

Hay 3 negativas ò una negativa

+ 2 ò +0- 3 ò -1 Las combinaciones

+2 y -3+2 y -1+0 y -3+0 y -1

Y 2 complejosY 4 complejosY 4 complejos

Y 6 complejos

7 Soluciones

Teorema de Gauss: Da una combinación de las posibles soluciones pero; solo racionales

2 𝑥 ⁴−3 𝑥 ³−4 𝑥 ²+3 𝑥+2=0

1.- Debe estar el polinomio completo, si falta algún monomio se completa con ceros.

2.- Se toma el coeficiente independiente y se hallan todos sus divisores

{ 2 } → {1 , 2}

3.- Se toma el coeficiente principal y se hallan todos sus divisores

{ 2 } → {1 , 2}

4.- Se divide cada divisor independiente entre cada divisor principal

±{ 1, ½, 2 } Hay 6 posibles soluciones racionales, 3 positivas y 3 negativas

5.- En la división sintética podemos saber cual es la respuesta pero; si ninguna es la respuesta entonces solo podemos decir que la respuesta es irracional y/o Compleja.

2 𝑥 ⁴−3 𝑥 ³−4 𝑥 ²+3 𝑥+2=0Recuerde que el Polinomio debe estar completo

-3 -4 32 2

Las soluciones según Gauss

1

22-1

-1-5

-5-2

-20

Cuando el último número es cero quiere decir que el numero probado es

una respuesta

𝑥=¿

1

2

2

1

1

-4

-4-6 Al no ser cero el

número probado no es respuesta

Probamos con otro numero

2 -1 -5 -22

243

61

20

Otra respuesta

𝑥=¿

Como lo que queda es cuadrática , lo podemos resolver

2 𝑥2+3 𝑥+12𝑥2

2+ 3 𝑥

2+ 1

2 𝑥2+3 𝑥2

+12

(𝑥+ 34)

2

−9

16+ 1

2 (𝑥+ 34)

2

−1

16⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(𝑥+34+

14)(𝑥+

34−

14)⇒ ) ⇒𝑥=−1 ; 𝑥=−1/2