ecuaciones integrales del transporte de · 2008. 7. 17. · ecuaciones integrales del transporte de...

Sp ISSN 0081-3397

Ecuaciones Integrales del transporte de

porG. Velarde

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

MADRID, 1976

Toda correspondencia en relación con este trabajodebe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca yPublicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Univer-sitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para describir las materias que contiene este in-forme con vistas a su recuperación. Para mas detalles consultese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización)y LAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el OrganismoInternacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enFebrero de 1. 976.

Depósito legal nQ M-14593-1976 I.S.B.N. 84-500-7554-;

JEN 335

ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES E INTEGRALES NORMALESY ADJUNTAS DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES

PARTE 11

Guillermo Velarde

ÍNDICE

IV.- Ecuación integral del transporte de neutrones IV-1

V.- Ecuaciones adjuntas del transporte de neutrones V-l

IV -1-

IV.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES.

1.- MÉTODOS DE OBTENCIÓN.En el cap. III, partiendo de las hipótesis simplificativas del §3.1, se

obtuvieron en forma desarrollada, las ecuaciones integrodiferenciales de Boltz_

mann, y formalmente en forma operacional, las ecuaciones integrales de valores

propiosk y X(94,IIIy110 ,111). Partiendo de las mismas hipótesis, o mejor aún,

partiendo de las ecuaciones integrodiferenciales anteriores, pueden obtenerse

las ecuaciones integrales correspondientes, y en particular, los operadores in

tegrales K y -(L+R ) ~ 1 .

Es conveniente poner las ecuaciones (.26,111 y 27,111) o las (.37,111 y 38,

III) en una forma mas apropiada para la obtención de la ecuación integral

| -~ <j> = -Q-V * - l t <|> + Q e - ( L + R t ) <f> + Q e C D

siendo Q la densidad de fuente neutrónica debida al proceso x de emisión de

neutrones secundarios, x = s, p, d, f, sin subíndice para la fuente independiera

te, y con los subíndices e y q para los casos indicados a continuación,

'Q' O t ) j C ' Q 1Q _ ( r , v Ü , t ) = V ( r , v ' ñ ' ->vO, t ) tj)Cr,v' Q1 , t ) d v ' d n 1 = S ó

Q ( r , v f i , t ) =j^j- Q ( r , v , t ) = x Cv) (.1-3) v ( .v l ) ^ f ( r , v ! , t ) <j>(r , v ' í 2 ' , t )

• dv 1 dil1 = F 4 (5 )

• dv1 dQ1 = F, d> (6)d T

Prescindiendo de que Q sea funcional de §, P-,, la (1) es una ecuación

en derivadas parciales de primer orden en r, t, cuya solución, al depender

de Q , permitirá obtener <f> en forma de una ecuación integral dependiente de

P,. Por otro lado, como Q, es una funcional de <j>, la (2) es una ecuación en

derivadas parciales de primer orden en t, cuya solución dará P, como funció

nal de <j>.

IV -2-

2.- MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS.Como la ecuación (1) es formalmente una ecuación en derivadas parcia-

les de primer orden con cuatro variables independientes r,t, puede resolver^

se empleando el método de las curvas características

Tomando la distancia R en la dirección -ü, fig. 1, resulta

Pasando el primer miembro de (1) al segundo miembro, y comparando los

dos términos en derivadas parciales con (7), se obtienen las cuatro ecua-

ciones diferenciales ordinarias de primer orden

dR " ~ v / t ~ t " v ( 8 )

¿ = - 3 = > ? = ?•- R& (9)

cuyas soluciones dan lugar a la familia de curvas características anterior,

dependiente de cuatro parámetros 1/v, Q, y siendo r', t' las cuatro constan

tes de integración.

Para cada conjunto de valores de vfi, hay una curva característica que

pasa por el punto r',t', y el lugar geométrico de las curvas característi-

cas es la superficie integral, solución de (1).

Sustituyendo (7 a 9) en (1), y suprimiendo las primas, se obtiene la

ecuación diferencial ordinaria de primer orden

•— <j>(r - Rfi, vfi, t - h - iJr - Rü, v, t - f)<K? - RO, vQ, t - I") +

+ Q (r - R&, ví3, t - ~) = 0 (10)

2.1.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES, PARA LA DENSIDAD DEFLUJO NEUTRONICO.Empleando el factor integrante e , con

s(r -Rn->r,v, t - -| +t)= ^(r-R'ñ, v, t - ~) dR' (11)

(1) Courant, R. y Hilbert, D. - Methods of Mathematical Physics, vols.I y II - Interscience (1953 y 1962).

IV -3-

-> -»• R -> . .,

llamado espesor óptico entre r-RÍ2 en t y r en t, cuyo signincado físicose dará en el §6, resulta

expR

-s(r-RQ -> r,v,t - — •*- t) | <f)(r-K¿ ,vQ ,t - —) - C + [ expO

r,v,t - - >

-> t)| Q (r-R'n,vQ,t - — ) dR' = O (12)

siendo C la constante de integración, la cual se obtiene haciendo R= 0, con

lo cual C= <j)(r,vQ,t). Tomando R sobre la superficie libre R= R (v,ti), y des_s

pe jando tj)(r,ví2 ,t), se obtiene la integral general de (10)

R<P(r,vti,t) = exp -s(r-R Q -> r,v,t —-> t)

L

R ( s rs, I I

ó(r-R Ü,vü,t ) + exp -s(r -s 0 L

-v -»• R-RÍ2-* r,v,t -> t

con 0 £R^_R (s

Q (r -Rft,vQ,t - — ) dR (13)

Teniendo en cuenta la analogía entre las ecuaciones (2) y (10), resulta

-> + d f H »Pd(r,v,t) =Pd(r,v,0) e + e Qd(r,v,t

l) dt' (14)

Sustituyendo P en Q , y el resultado en (13), se obtiene una ecuación

integral en cj>, llamada del transporte de neutrones para la densidad del flu-

jo neutrónico.

La ecuación (13) puede interpretarse de la siguiente manera. El flujo

de neutrones de velocidad vti, que en el instante t hay en r, es debido a dos

contribuciones:R->- g

i) Los neutrones de velocidad vfi que en el instante t estaban en el-> ->

punto r - R ti sobre la superficie libre, y que llegan en el instantes-»• , , , _,t a r sin sufrir colisión.

-*• . Rii) Los neutrones emitidos con velocidad vü en el instante t por las

fuentes de dispersión,fisión,e independiente,situadas enr - RQ, siendo

R un punto del segmento 0 < R < R (r,Ó), los cuales llegan en el ins-•• —~~ s

tante t a r sin sufrir colisión.

2.2.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES, PARA LA DENSIDAD DE FUEN^TE NEUTRONICA. .Se obtiene sustituyendo el flujo dado en (13) y P, dado en (14), en la

ecuación (3) de Q . Como la expresión obtenida es de notación laboriosa, solo

se desarrollará para los casos de no considerar los neutrones retardados y de

IV -14-

reactores críticos.

3.- MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Cuando:

i) La configuración del reactor es independiente del tiempo,

ii) Las densidades nucleares son independientes del tiempo, o sea

al efectuar la transformada de Laplace de (1), análogamente a (98,111), re-

sulta

a Lt vO + — é(r,vn,O)I = Oea v ' *

(15)

Particularizando esta ecuación en el punto r-Rfi, con -Q°V =-JK, se ob-QK

tiene

^*a(?-Ra,v^,a) - |¿t, R Q ñ ( R Q Q

1 -+v

= 0 (16)

3.1.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES, PARA LA DENSIDAD DELFLUJO NEUTRONICO.Al ser la ecuación anterior de igual forma que la (10), resulta

(r,vQ,a) = exp•R.

- dRv

(r - R üñ 3 P

,ví2,a) + I exp- (-s(r -

(r-Rn,vn,0) dR (17)

cuya transformada inversa de Laplace, será

C(j>(r,víj,t) = exp-> -»--»-

-s(r-R s ' '

R

+ <exp -s(r -0

6(t' - | ) dt' ¡> dR

0

R-—) dt'

!,v^,0) 6(t-t')

(18)

y evaluando las integrales temporales, resulta

¿(r,vfi,t) = exp|-s(r-" ^ -'Rcü,vü,t --^-) + exp -s(r - vtñ - r,v)

IV -5-

Ein(vt,R ) r -i .

S exp -s(r-R^-*-r,v) Q (r - Rfi,vft,t - - ) dRL J e v

(19)

con 0 < R <min(vt ,R ) , y P , obtenido en ( 1 4 ) .— — S Q

Sustituyendo P, dado en(lt) en Q , y el resultado en (19), se obtiene

la ecuación integral del transporte de neutrones, para la densidad de flujo

angular.

La ecuación (19) es análoga a la (13), salvo el segundo término que re-

presenta los neutrones de velocidad vfi que en el instante 0 estaban en el pun_

to r - vtf2, los cuales llegan en el instante t a r sin sufrir colisión.

3.2.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES, PARA LA DENSIDAD DEFUENTE NEUTRONICA.Se obtiene sustituyendo el flujo dado en (.19) y P, dado en (14-), en la

ecuación (3) de Q . Este resultado solo se dará para los casos de no considet

rar los neutrones retardados, y de reactores críticos.

4.-. APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS ANTERIORES.Existen diversos casos particulares de gran interés en la teoría de las

colisiones múltiples y de las probabilidades de colisión, en los cuales la

expresión de la densidad de fuente es más sencilla que la dada en (3 a 5).

4.1.-APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO.Cuando el reactor es finito en la dirección considerada, empleando la

condición de contorno (14,111) en la superficie libre

<}>(?-R Q,vfi,t--) = 0, R e S . (20)S V o

el primer término de (13 y 19) se anula.

Cuando el reactor se extiende al infinito en la dirección considerada,

R = <=°, aplicando la condición del §3.2.2,111, el espesor óptico correspondiera

te será nulo, por lo que el primer término de (13 y 19) también se anula.

En ambos casos, se obtiene para la ecuación (13)

f s r ~l<j)(r,vQ,t) = exp -s(r -Rfi-*r,v,t • t) Q (r -Rü,vü,t )dR (21)

y para la (19)

r -i rmin(vt,Rs) r(j)(r,vfi,t) = exp -s(r - vtfi-s-r,v) <}>(r - vtñ,vQ,0) + exp -s(r-

L J J

IV -6-

Cr -RQ,vfi,t - |-) dR, (22)

4.2.- APLICACIÓN DE LA DELTA DE DIRAC ANGULAR.-y -> -v

Haciendo r' =r-RÍ2, y teniendo en cuenta que solamente los neutrones

que salen de r' en la dirección r—r '

I r-r"'pueden llegar al punto r sin sufrir

r-r'colisión, la ecuación (21) puede transformarse con la 5( , ,. -r-~ Ó)definida

en el espacio Í2, segúnr-r1

f í

é(r,vQ,t) = exp -s (r' -n?, v, t -r—r

v-»• t ) Q (r1,v r-r1

r-r'

r-r'

v

r-r1 r-r1(23)

Como dr' = |r-r' | d(|r-r' ¡) d —:—: , la ecuación (23) se transforma

en una integral volumétrica,r-r'

r-r

6(_£_E ¿) dr'r-r

en la cual

r-r'

n)

-> t) Q (v e r-r'

r-r1

exp | -s(r -^r, v,t "*" "t;r| -

r-r' r - r '

(25)

cuyo significado físico se dará en el §6.

4.3.- APLICACIÓN AL CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA Y FUENTES INDEPENDIENTES

ISÓTROPAS EN L.

En este caso, se tiene para las densidades de fuente

Qe(r>vn,t) = ¿ Q (r,v,t) = ~ L(r,v'->v,t) *(r,v' ,t) dv' =

= (S <j>) (r,v,t)

,vQ,t) = —- Q(?,v,t)

(26)

(27)

luego

IV -7-

Qe(r,v5t) (28)

Sustituyendo (28) en (24) e integrando para todo ti £ ti, resulta

í 1 -> ->= ^ T(r'->r,v,t "0

-*• t ) '',v,t-r-r1

v-) dr' (29)

4.4.- APLICACIÓN AL CASO DE NO CONSIDERAR LOS NEUTRONES RETARDADOS.

La ecuación integrodiferencial de Boltzmann, para el caso de no consi-

derar los neutrones retardados, es la dada en (79,111), o bien la (1) con

e t s q q f(30)

4.4.1.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES PARA LA DENSIDAD DE

FLUJO NEUTRONICO.

Sustituyendo (30) en (24), resulta

(31)

4.4.1.1.- Para el caso de dispersión elástica y fuente exterior isótropas

en L, la ecuación anterior se simplifica en

\-n--n' I , r- '

1cf)(?,v,t) =

v(v')

r-r1

v

r-r'',v',t

X*(v)

r-r1

-) > dr'v(32)

4.4.2.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES PARA LA DENSIDAD DE

FUENTE NEUTRONICA.

Sustituyendo $ dado en (24-), en Q dado en (30), resulta

Qt(r\vfi,t)

• T(r'->r,v' ,t -

r-r1

r-r1

r-r1

Qt(r',v'

r-r, t-

(33)

IV -8-

4.4.2.1.- Cuando se considera que la dispersión elástica y la fuente exte

rior son isótropas en L, (33) se reduce a

Qt(í,v,t)

r-r'-> t) Q (r1 ,v' ,t -•

r-r'

Xf(v) v(v') If(r,v',t)J -—

~)dv'dr'+Q(r~,v,t)

,v',t-

(34)

4.5.- APLICACIÓN AL CASO DE UN REACTOR CRITICO CON FUENTE INDEPENDIENTE DE

NEUTRONES.

La ecuación integrodiferencial de Boltzmann, para un reactor crítico

es la dada en (88, III y 89,111)

Q = (L+Rt) (35)

con

Qt = (36)

Las ecuaciones integrales del transporte de neutrones para las densi

dades de flujo y de fuente neutrónica, se obtienen de (31 a 34) suprimien

do la variable temporal, o sea

JzEL _ & a?.

• Qt(?' ,v')dv'dr.'+Q(?,v)

IV -9-

en donde las ecuaciones (38 y 40) corresponden a la condición (28) de disper

sión elástica y fuente independiente isótropas en L.

4.6.-APLICACIÓN AL CASO DE UN REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON K.La ecuación integrodiferencial de Boltzmann viene dada en (91,111), ob_

teniéndose la ecuación integral correspondiente, haciendo en el integrando

de (24)

con lo que las ecuaciones ir.tegrales (24 y 29) toman la forma

• <j>, (r1 ,V'Í2') dv'dfi'

r-r

i _Lk 4TT

-) + e é x f W v(v')

ü) dr' (42)

',v'^ v) + ^ v(v')

4¡k(rI,vl) dv' ¡> dr! (43)

mientras que las ecuaciones integrales en Q^ no pueden construirse a partir

de las anteriores, debido a la presencia del factor 1/k en el integrando.

4.7.-APLICACIÓN AL CASO DE UN REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON a.La ecuación integrodiferencial de Boltzmann es la dada en (103,111), ob

teniéndose la ecuación integral al hacer en (24)

Q = 0, + 7 = = > T(r'-3-r,v) —y T(r'->r,v) exp — |r-r' | (44)

o más fácilmente, sustituyendo (44) en las ecuaciones integrales (37 a 40),

T-P 1,v' Ú' ->• v ) + r-— XÁv) v(v')

I r-r'''.v'n') dv'dQ' |> &(-£^ $) dr' (45)

= |T(r'->r",v) expF- |r-r'

~ —1

(r,v) = |— T(r'->r,v) exp — r-r1v ' [ls(r',v'->v)+xf(v) v(v')

dv' (46)

IV -10-

I Leí.V' r-r ^ Xf(v) v(v')

• T(r'-»r,v)

Qat(?,v)

F, ¡r-r1 r-r

4r-r') dV dr' (47)

L(r,v'->v) + x^(v) v(v') "^tV* v1 ) •

exp —7- r-r'v'

Qat(r',v«) dv' dr' (48)

4.8.-APLICACIÓN AL CASO DE UN REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON \.La ecuación integrodiferencial de Boltzmann es la (111,111), obtenien_

dose la ecuación integral correspondiente haciendo en el integrando de

(2¡4 y 29),

Q = 0 ' Qe = (49)

con lo .que se obtiene

<K(r,vfi) = T |T(r'->r,v)A A

(r'.v'fr)

—

,vT) dv' dr'

r-r

5( r-r'

I?-?'dr'

Xf(v) v(v'

(v')

(50)

(51)

Sustituyendo § dado en (24) en Q = Q +Q.p, se obtiene

QAt(r\v£) = ir-r'

Xf(v) v(v')

.v1) Q, (r'.v1 -^-^A t i"*" •*•.

) dv' dr'

r-r'

QAt(?,v)

Qxt(r',v') dv' dr1

(52)

(V) L(r',v) T(r'->?sv') •

(53)

5.- MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE GREEN PARA REACTORES CRÍTICOS 0 VIRTUALMEN-TE CRÍTICOS.La formulación anterior de las ecuaciones integrales, se sitnplifi-

IV -11-

ca considerablemente empleando los operadores de evolución, sin embargo,

su desarrollo es necesario para poder obtener la función de Green del pro-

blema de contorno correspondiente.

Partiendo de la ecuación inteprodiferencial de Boltzmann (89,111, 91,111,

104-, III-y 111,111), y teniendo en cuenta que el operador (L+R ) es no singular,

admitirá inverso, con lo que la ecuación integral valdrá

<j>= -(L+RJ"1 Qt = -(L+Rt)~1 S (j) - (L+Rt)~

1 Q (54)

en la cual el operador -(L+R ) se obtendrá a continuación, a partir de la

función de Green del problema de contorno (35).

La solución de la ecuación (35) en función de Q , es

«j>(r,vfi) = fg(r,vfi; r'.v'S') QAr<,v<Q<) dv! dfi' dr' (55)

siendo g la función de Green, solución de

(L+Rt) g(r,vfi; ?',v'Q') + S(?-r') ó(v-v') 6(Q-0') = Q (56)

Introduciendo el operador de Green G, cuyo núcleo integral es la fun-

ción de Green

G = fdv' dfi1 dr' g(r,vfi; r',v'Q') • (57)

habiendo representado por • la función sobre la que opera, la ecuación (55)

puede ponerse en la forma

<j, = G Q = G Q + G Q = G S <j> + G Q (58)T S Q Cj

en la que Q toma diversos valores según que el reactor sea crítico con fuen

te independiente, o virtualmente crítico con K, a, A.

Comparando (58) con (54), resulta

G = -(L+Rt)~1 (59)

y comparando (58) con (24) se obtiene la función de Green

g(?,vn; r',v'Q') = T(r'-»r,v) &(-~^r ^) <5(v-v!) 6(tt-ü< ) (60)

I

IV -12-

5.1.-COLISIONES MÚLTIPLES.

La ecuación integral (58) puede desarrollarse en serie, de modo que

cada término represente las aportaciones de los neutrones debidas a las

sucesivas dispersiones sufridas por los neutrones de fuente Q .

La fórmula resolvente de (58), en función de Q , es

$ = (I - G S ) " 1 G Q (61)

Suponiendo que se cumplen las condiciones para que sea válido el de-

sarrollo de Neumann del operador anterior, se obtiene

co oo

(I - G S)" 1 G = I (G S) n G = > 4 = I (G S) n G Q (62)n=0 n=0 q

la cual expresa que el flujo en r,vQ proviene de los neutrones emitidos

por la fuente Q , bien directamente debido al término G Q , bien después

de haber sufrido una dispersión (GS) G Q , bien después de haber sufrido

dos dispersiones (G S) (G S) G Q ,... Por este motivo la (62) se llama

ecuación de las colisiones múltiples.

5.2.-REACTOR CRITICO CON FUENTE INDEPENDIENTE.

Teniendo en cuenta (36), la ecuación (58) toma la forma de una ecua_

ción integral en <j>,

cf> = G (S+F) $ + Q (63)

equivalente a (37), con

[G(S+F) = j dv' dO' dr' T(r'-*r,v)

X'-X' \ 1 f \ / » \

v ) + - — XJTÍV) vtv' )|r-r'

(64)

Por otro lado, la ecuación (6 3) puede ponerse en la forma de una ecua

ción integral en Q ,

Qt = (S+F) (f> + Q = (S+F) G Qt + Q (65)

que comparada con la (39), da

(S+F) G = dv'dfi' dr'

IV -13-

• T(r'->r,v') <S(-J~^ O») • (66)|r-r''

5.3.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON K.Teniendo en cuenta (4-1), la ecuación (61) se transforma en una ecuación

integral en <£,

«f>k = ~ (I - G S ) "1 G F ^ (67)

análoga a la (94,111) en la que el operador K definido en (95,111), toma las

siguientes formas

co

K = -(L+R +S)"1 F = -M"1 F = (I - G S)" 1 G F = £ (G S ) n G F (68)n=0

5.4.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON a.Se obtienen las mismas ecuaciones que las del §5.2, haciendo las susti-

tuciones indicadas en (4-4) .

5.5.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON X.

Teniendo en cuenta (4-9), la ecuación (58) se transforma en una ecuación

integral en <j>,

$ = i G (S+F) <K (69)A A A

análoga a la (112,111), y equivalente a la (50), con el operador G(S+F) da-

do en (64-).

Por otro lado, la ecuación (69) puede ponerse en la forma de una ecua-

ción integral en Q, ,

Qxt = (S+F) = f (S+F) G Qxt (70)

equivalente a la (52), en donde el operador (.S+F) G viene dado en (66).

6.- SIGNIFICADO FÍSICO DE e"S y T.Teniendo en cuenta (13, 19, 21 y 2 2 ) , la expresión

exp - s (r-RH-s-r, v, t y t)R ' lR

= exp - £t(r-R'fi,v,t-~) dR1 (71)

prepresenta la probabilidad de que un neutrón estando en el instante t — - den

tro de dr'dvdfi en r',vS, llegue en el instante t a drdvd^ en f,v^, sin sufrir

IV -14-

colisión. De un modo simplificado e impreciso, se dice que (71) representa

la probabilidad de ir de r' a r sin sufrir colisión.

Teniendo en cuenta (24), la expresión

exp.-> ->

I r-r+ ,

r -r

r-P(72)

r—r 1representa la probabilidad de que un neutrón estando en el instante t

dentro de dr'dvdfi en r',vS2, llegue en el instante t a la unidad de superficie

normal a r-r' en r, con velocidad dentro de dvdíí en vSÍ, sin 'surrir colisión.

7.- OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES INTEGRALES DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES PAj*TIENDO DE LAS HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS..En el §6, partiendo de las ecuaciones (13 y 24), se obtuvo el signifi-

cado físico de e y T. Recíprocamente partiendo del significado de \ como

la probabilidad de colisión por unidad de camino recorrido, se obtiene (71),

enta que el elemen

, se obtiene (72).

-> -> -4-

y teniendo en cuenta que el elemento de superficie normal a r-r' en r vale9 r—r'd

| r-r'De este modo, las ecuaciones (,13, 19, 21 y 22), y las (24) y siguientes

pueden obtenerse directamente.

7.1.-Para obtener la ecuación del flujo, en el caso de un reactor crítico,

se procede del siguiente modo.

Sea ó(r',v'íí') dv'dQ' el flujo en r' de neutrones de velocidad dentro

de dv'díü' en vü, luego el número de neutrones secundarios emitidos en la uni

dad de tiempo, dentro de dr'dvdfi en r',vQ, debidos a las dispersiones y fi-

siones producidas dentro de dr' en r' por neutrones de cualquier velocidad

es d v d Q d r ' m (r' ,v'fi'->vfi) +~ x^Cv) v(v') U r ' . v ' ) tj>(r',v'fi') dv'díT-, yJ L S

HIT r r j _ _el de neutrones emitidos, en la unidad de tiempo, dentro de dr'dvdfi en r',

vS¿ debidos a la fuente independiente, es dvdQdr' Q(r' ,vfl). Por tanto, el flu

jo cfi(r,ví¿) dvdfi será igual al número de neutrones emitidos calculados ante-

riormente, multiplicados por la probabilidad, dada en (72), T(r'->r,v) 6( •_». .—

-> ->. -> -y i r-r'

- Sí) de que lleguen a la unidad de superficie normal a r-r en v, con veloci^

dad dentro de dvdS2 en vfi, sin sufrir colisión, integrando el resultado en to_

do el reactor, r' E R. De este modo se obtiene la ecuación (37).

IV -15-

7.1.1.- En el caso de un reactor virtualmente crítico con k o con A, el nú-

mero de neutrones secundarios debidos a las fisiones debe dividirse por k,

o bien el debido a las dispersiones y fisiones debe dividirse por A, obte-

niéndose así las ecuaciones (42) y (50).

7.2.-Análogamente se obtiene la ecuación de la fuente, en el caso de un reac

tor crítico.

'TSea CL(r',v'Q') dv'dQ'dr' la fuente, es decir, el numero de neutrones

emitidos,en la unidad de tiempo,dentro de dr'dv'dn' en r',v'Q', luego el flu

jo en r debido a estos neutrones, será igual a la fuente anterior, multipli-—y. — - •Yi — yi I —y

cada por la probabilidad dada en (72), T(r'-*-r,vT) 6(. . ¿ Úl ) de que lleguen

a la unidad de superficie normal a r-r' en r, con velocidad dentro de dv'dQ1

en v'Q',sin sufrir colisión. Por tanto, la fuente Q (r,vQ) dvdíídr será debida

a la fuente independiente Q(r,vfi) dvdfidr, y a los neutrones secundarios emi-

tidos, en la unidad de tiempo, dentro de drdvdfi en r,vfí, debidos a las disper_

siones y fisiones producidas dentro de dr en r, por neutrones de cualquier ve

locidad correspondientes al flujo anterior, integrando el resultado en todo

el reactor, r' e R. De este modo se obtiene la ecuación (39).

7.2.1.- En el caso de un reactor virtualmente crítico con A, el número de neu_

trones secundarios debidos a las dispersiones y fisiones, debe dividirse por

A, obteniéndose de este modo la ecuación (52).

IV - 1 6 -

Fig 1. IV

V -1-

V.- ECUACIONES ADJUNTAS DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES.

1.- OPERADORES ADJUNTOS.

Sea O un operador lineal, y f y g dos funciones cualesquiera pertene-

cientes al espacio donde 0 está definido. Se llama operador adjunto 0 del

0, al obtenido por (3, Ap.I),

<f|0|g> = <g|0+|f>* = <0+f|g> . (1)

habiéndose empleado el formalismo de Dirac para representar el producto es-

calar, que en el caso de que el espacio considerado sea el fásico, toma la

forma

<f|g> = f"(r,vfi,t) g(r,vñ,t) dv dü dr (2)

Cuando 0 es uno de los operadores de evolución definidos en el Cap.III ,

ción f = <j>' , resulta

como estos operan sobre las funciones ó s F , efectuando el cambio de nota-

<d> 0 d)> — <(|> 0 4 ~ " $ M ^ v 3)

Como las funciones § cumplen las condiciones de continuidad y contorno

que definen a F , según la naturaleza del operador 0, se obtendrán determi-

nadas condiciones para § , que en general, serán distintas que para las §.

1.1.-OPERADOR ADJUNTO DE UN OPERADOR DIFERENCIAL.

Sea O E L = -(n*V)= -(V«$t), teniendo en cuenta que S"-Vcf>íj>' = V•&}>()>'= (j)T?2'V(p+•4*

+ éQ'Vcf) , de (3), se obtiene

1" S>V 4) dv dü dr = - V«Q (j> $'" dv dfi dr

• dv dü dr = - lo, <j) " dv dü dt + U S-V ó'" dv dü dv (4-)

Como <j> e F , cumple la condición de contorno

--*• -•- N •> -4- , -

<j)(r ,vñ,t) = 0, para n °Q < 0 (5)s s

para que el primer término del último miembro de (.4) se anule, las funciones

(j> han de cumplir la condición de contorno, llamada adjunta

A (rs,vñ,t) = 0, para n -Ü > 0 (6)s

V -2-

Debido a esto, (•+) se reduce a

'>" (7)

de donde el operador adjunto del L viene dado por

L1 = ít-V = > L + L1 = 0 (8)

Nótese que en la obtención de (4) se ha empleado la condición de con_

tinuidad del §3.1,111 para las funciones <j> y $ ' .

1.2.-OPERADOR ADJUNTO DE UN OPERADOR INTEGRAL.

Sea O H S , F , G. Considerando el primero operador, resulta

<é S | ( f » = L + " ( r , v f i , t ) \\l ( r , v ' ñ ' - * - v f i , t ) t f > ( r , v ' n ' , t ) d v ' dü1

J U ss dv dü dr =

¡ * * / *" „ ? A I _L \ ^ _ _ t 3 A l J _ _ S! r~\ J _ ^ J. n '> (r,vñ -> v'fi' t ) é ( r , v ' f t ! , t ) dv' dfi' dv dí2 dr = <$ S

(9)

ya que al ser las variables vú, v'Q' mudas, se han cambiado unas por otras.

De (9) se obtiene que el operador adjunto del S, es

S T = dv' dü1 I (r,vQ-> v'Q',t) • (10)

J 's

Análogamente para los casos de 0= F , G, se obtiene

F1 = -i-B v (v) (r",v,t) dv' di]' y (v') « (11)x HTT X x ir j x

G T = -(LT + RÍ)" 1 = ídv' d«' dr' g(?',v'fi'; r",vfi) « (12)

con

g(r',v'Q!; r,vn) = T(r->r',v') fi(——^ n' ) 5(v'-v) fiCn'-Jt) (13)r' -r |

1.2.1.- Suponiendo que los parámetros nucleares no dependen de la velocidad

del neutrón, como según (22,1) la sección eficaz diferencial de dispersión

vale Y (r,fi' *í2,t) la cual es invariante al cambiar u por ft' , de (10 y 11),

resulta

S f = S, F^ = Fx (14)

V -3-

es decir, son autoadjuntos o hermíticos.

1.2.2.- Nótese que en el caso de estos operadores integrales, no se ha im-

puesto a <j> ninguna condición de continuidad ni. de contorno.

1.3.-OPERADORES ADJUNTOS DE LOS RESTANTES OPERADORES DE EVOLUCIÓN.Conocidos los operadores adjuntos de los operadores L, S, F , G, se ob-

tiene para los restantes operadores

R1 = R , M+ = B T = = L (15)

K-, I / ,,Ts — 1 -."Í"/ T 1 "I _ t rt= -F'(M')"1 = -F'(L' + R^ + S')"~ = F1 6(1 - S' G1)

,i\-l

(16)

1.4.-MATRICES ADJUNTAS DE LAS MATRICES DE EVOLUCIÓN.La matriz adjunta de la cinética C; dada en (.41,111), es

(M + F 1 )P

h

h

X,dm

FT

- \

0

0

F '- 2

0

• * >

0

_, i

* dm

0

0

dm

(17)

2.- CONDICIONES GENERALES, DE CONTINUIDAD Y DE CONTORNO, DE LA FUNCIÓN AD-JUNTA.Debido a que $ e F , en la determinación del operador L se obtuvo que

t C

<j> debe cumplir la misma condición de continuidad que tj>, pero distinta con-

dición de contorno (6). Por tanto, en las ecuaciones en que intervenga el

operador L , <j> ha de cumplir estas dos condiciones de continuidad y contor

no. Por otro lado, debido al significado físico de <j> , el cual se dará en el

§8, deberá cumplir las mismas condiciones generales que ij>, de ser real, fini

ta y no negativa. De todo lo anterior se tiene:

i) <j>'(r,vQ,t) debe ser real, finita y no negativa, para todo r,vQ e R x

x 1/ x Í2, t < tQ.ii) ó (r,vQ,t) debe ser continua en r en la dirección ü, para todo r,vft e

iii) Se debe verificar la condición de contorno adjunta,

V -4-

(r ,vQ,t) = O, para n -n > O,- r e S (18)

En los problemas temporales deben además, especificarse las condiciones

iniciales.

2.1.-ESPACIO DE FUNCIONES.El conjunto de funciones que cumplen las condiciones generales, de con_

tinuidad, y de contorno anteriores definen el espacio de funciones F conju_

gado del F. Mientras las que cumplen solamente las condiciones de continui-

dad y contorno definen el F c F conjugado del F .

3.- ECUACIONES ADJUNTAS, PARA REACTORES VIRTUALMENTE CRÍTICOS.Las ecuaciones de valores propios dadas en el §6,111, y sus correspon-

dientes adjuntas, construidas con los operadores adjuntos obtenidos en el §1,

pueden representarse en la forma siguiente, indicando con las flechas hori-

zontales la transformación de una ecuación en su adjunta, y con flecha doble

vertical la transformación de los operadores,

M * k + k F * k = 0

^ V

ii2+T!

\ /

(19), (20)

-(M 1)'Ft<jJ=kV y -FM"1 1 =k <k (21),(22)K K K K

(23),

(25),(26)

IIo

= a V

\y

a1

= a —V é' a+

-> B éa

t i= a —V

tma

(27),(28)

(29),(30)

V - 5 -

(L+Rt)<|>A +~

iii

G(S+F)«(ix= X *

I 1 í , t

L - x $

( S + F ^ G 1 $1 =y i

( 3 1 ) , ( 3 2 )

(S+F)G $ = X (

( 3 3 ) ,

( 3 5 ) , ( 3 6 )

3.1.-La forma desarrollada de las ecuaciones anteriores, es la siguiente:

i) La ecuación integrodiferencial de valores propios (19) viene desarro_

liada en (90,III),luego su adjunta (20) tendrá la expresión,

n-v

~ ~ v(v) L(?,v,t =0

(37)

ii) La ecuación integrodiferencial de valores propios (27) viene desarro

liada en (102,111), luego su adjunta (28) valdrá

- \ (r,v) (r,

¿r v(v)

^ e Fa c

X J : ( V ) dv'dfi' =a

(38)

iii) La ecuación integrodiferencial de valores propios (39) viene desarro_

liada en (10 8,111), luego su adjunta (32) vendrá dada por

Í2«

v(v) Xf(V)

= 0 , (39)

iv) La ecuación integral de valores propios (34), teniendo en cuenta la

expresión del operador (S+F)G dada en (66,IV), se obtiene por

V -6-

A

T(r'->r,v')

+I~xf(v) v(v')

(40)

r -r

y su adjunta (33), por

,t,->- •*, 1

Ú)

¿- Xf(V) v(v)

dv'dfi'dr1

r-r1

v) La ecuación integral de valores propios (35), viene desarrollada

en (50,IV), pudiendo obtenerse directamente empleando el operador

G(S+F) dado en (64-,IV), o sea

r-r

(r , v Q, -*vr-r'

•- fi) ó.(r1,v!fi!) dv'dQ'dr'

v(v')

(42)

y su adjunta (36), tendrá la expresión

L(r,v) 5( r "r

I?'-?dv'dQ'dr'

:(V) V(V)

(43)

3.2.-Comparando (24) con (21), o bien (36) con (33), y partiendo de las

ecuaciones Íntegrodiferenciales de valores propios generalizadas (19) o

(31), se obtiene que la ecuación adjunta de su ecuación integral, no coin

cide con la ecuación integral de su ecuación adjunta. Sin embargo, en

(47 y 51) se obtendrá que los espectros de ambas ecuaciones coinciden,

y que sus soluciones están relacionadas entre sí.

3.3.-Las ecuaciones anteriores han de completarse con las condiciones de

continuidad y contorno que han de cumplir las funciones propias, <j>. , íj; ,- - t t t t - t - t Ka

'''a' A' k' *A 6 ^c' *k' a' a' A' k' A £ ^c" E s t a s funciones propias

se han representado con una notación análoga a la de los operadores ad-

juntos, con objeto de indicar que son solución de los problemas de valo-

res propios construidos con estos operadores. Teniendo en cuenta la si-

militud de la notación, a las funciones con t se las llama impropiamente

adjuntas de las correspondientes sin ella, y recíprocamente.

V - 7 -

3.4.-Suponiendo que los parámetros nucleares no dependen de la velocidad del

neutrón, de (14) se obtiene, que mediante el cambio de variable función <j> (r,

fi) = <Mr,-fi), las ecuaciones (20,26 y 32) en é1 son-idénticas a las corres-

pondientes (19,25 y 31) en $, es decir, tienen los mismos operadores y las

mismas condicri

para c}>, luego

mismas condiciones de contorno, n 'fi > 0 para § y n •(-Í2) > 0 ==> n '-ü < 0s s s

<Kr,ft) = ¡í>+(r,-n), k = k f , a = aT , A = X+

4 . - ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES DE VALORES PROPIOS.

Los problemas que aparecen en el análisis de las ecuaciones de valores

propios adjuntas son análogos a los expuestos en los §6.1.2,111 y §6.2.1.1,

III y §6.3.1,111.

4.1.-En el caso del problema adjunto correspondiente a reactores virtualmen-

te crí t icos con k, es necesario introducir la siguiente hipótesis;

H¿p6tz&¿¿> XI'I.- Exi¿tz un vaZofi propio kn, poi-itívo y ¿implz tal quz

k> |K | , n^o, al cual coHAz&pondz una función pKop¿a §y e F , pahü. todo

e Rx V x ü. AdemcLí, 4> <¿Á la. única {¡unción propia cíe ¿igno con&tante.0

en R x (/ x

Por tanto, todas las cj e F , y únicamente <j>.' e F' .Ki c Ko

4.2.-En el caso del problema adjunto correspondiente a reactores virtualmen-

te críticos con ex, se tiene

i) Existe un valor propio a', real y simple tal que a' > Re a , n/0, al

cual corresponde una función propia <j> £ F , para todo r,v?2 e R x

t * yx 1/ x c¡_ Además <j> es l a única función propia de signo cons tante en

0 t t t tR x [/ x Q , p o r t a n t o , todas l a s <j>a e F , y únicamente <j> e F .

i c °4.3.-En el caso del problema adjunto correspondiente a reactores virtualmen-

te críticos con X, se obtiene el mismo resultado que el dado para k.

5.- RELACIÓN ENTRE LOS VALORES PROPIOS Y ENTRE LAS.FUNCIONES PROPIAS.

Entre los valores propios y las funciones propias del §3 existen deter-

minadas relaciones.

5.1.-La relación entre los valores y funciones propias de los operadores K=-1 -1 .

= -M F y -FM se obtiene multiplicando la ecuación (23) por F, con lo que

resulta -FM (F<jv) =k(F<}), )> que comparada con la (22), da

V -8-

siendo Q,,. la fuente de neutrones secundarios de fisión (3, IV), debida a <¡>, .

Si <}>, es una función propia, solución de (23) para el valor propio k,

¡L = F<f>, será función propia, solución de (22) para el mismo valor propio

k = k.

-1 -1 -1-Recíprocamente, multiplicando (22) por -M se obtiene -M F(-M $,) =-1- "

= k(-M <j>, ) , que comparada con la (23), da

<j>k = - M " 1 í k , k = k ( 4 6 )

l u e g o s i cj>. e s s o l u c i ó n de ( 2 2 ) p a r a e l v a l o r p r o p i o k , <j>, = -M <j>, s e r á s o

k K K —lución de (23) para el mismo valor propio k = k.

Es decir, el problema de valores propios (23) es equivalente al (22),

en el sentido de que los espectros coincidan y las funciones propias están

relacionadas por la ecuación (45).

5.2.-La relación entre los valores y funciones propias de los operadores

K1 ='-F'(M )' y -(M )'F , se obtiene multiplicando la ecuación (21) por

F1 , de donde se obtiene -F'(M ) (Fl(j)1)=kl(F'd)1), que comparada con la

K K(24), da

• I a < & = F + • £ • k+ = kt ' U7)

Recíprocamente, multiplicando (24) por -(M ) , resulta -(M ) F'(-M ) •

• <j), =k (-M ) <f) , que comparada con la (21), se obtieneK K

cj)k = -(M"1)1" $£, k + = k+ (48)

Es decir, los problemas de valores propios (21 y 24) son equivalen-

tes, en el sentido de que los espectros coinciden y las funciones propias

están relacionadas por (47).

5.3.- La relación entre los valores y funciones propias de los operadores

G(S+F) y (S+F)G, se obtiene análogamente al caso del §5.1, partiendo de las

ecuaciones (35 y 34), de donde resulta

i x = Qxt= (S+F) (J)x, X = X (49)

siendo Q la fuente de neutrones secundarios de colisión, osea de disper-At

(1) Robkin, M.A. y Clark, M. - Nuc. Se, Eng. 8, 437 (3960).

V - 9 -

sión y de fisión, debida a <f>, . La relación anterior puede también obtenerse

comparando C+0) con (52,IV).

Recíprocamente

$x = G $x, X = X (50)

Luego los problemas de valores propios (34 y 35) son equivalentes, en

el sentido dado en el §5.1.

5.4.-La relación entre los valores y funciones propias de los operadores

(S'+F )GT y G'íS'+F1), se obtiene pa

modo análogo al del §5.2, resultando

(S'+F )GT y G'íS'+F1), se obtiene partiendo de las ecuaciones (36 y 33), de

*x = Qxt= ( s t + F + H x ' x+ = A+

y recíprocamente

$1 = Gf ff, X+ = Xf (52)A X

•Luego los problemas de valores propios (33 y 36) son equivalentes, en

el sentido dado en el §5.1.

6.- RELACIONES DE BIORTONORMALIZACION.

Las relaciones de ortonormalizacion se obtienen multiplicando cada ecua-

ción por la solución de su ecuación adjunta, restando los resultados, y apli-

cando la ecuación que define el operador adjunto (3). De este modo, resulta

i) Para las ecuaciones (19 y 20)

( i . _jL_) <fjjF|^> = 0 (53)jk k

i i ) Para las (21 y 22)

( k - k1"") « ¡ > £ Í

i i i ) Para las (23 y

(k - k t : ' ) < í k l ^> = 0 (.551

iv) Para las (25 y 26)

(p - p ") <*¿|F|$k> = 0 (56)

V -10-

v) Para las (27 y 28)

(a -aT")<i|/r|V-:I tí, > = 0

vi) Para las (29 y 30)

(a - a1"")a' v i 'a

= 0

vii) Para las (31 y 32)

(57)

(58)

X XT A

v i i i ) Para l a s (33 y 34)

(59)

( X - X ' " ) l T J-> = O

ix) Y para las (35 y 36)

(X - A' ) é > = 0' A

(60)

(61)

Teniendo en cuenta (45 y 47) y la definición de p dada en (92,III),

las ecuaciones (54, 55 y 56) son análogas a la (53). Del mismo modo, y se_

gún (49 y 51), las ecuaciones (60 y 61) son análogas a la (59). Por otro

lado, del §6.2,111, se obtiene que cuando no se consideran los neutrones

retardados la ecuación (58) es análoga a la (57).

Nótese que el producto escalar de dos funciones viene dado en (2),

mientras que el producto escalar de dos vectores, indicado en (57) viene

dado por

- 1

i 3

- 1V

W

a

la.I

A- P4TT

.= < * —a , ' v a .i ]

> + y < ~ p4TT da. 4ir da.

d i 3(62)

dma.

6.1,-Para soluciones no idénticamente nulas de las ecuaciones del §3, como

lr.3 "-lores propios predominantes sen reales y simples y las correspondien

V - 1 1 -

t tt es funciones propias <í>0, <j> ; í¡ , ty son no negativas, se obtiene

oV * ° ko = kó = ko = Co (63)

0 0

= al (65)

^ o ' | * x o > ^ ° X o = X o = * o = * ¡ (66)

6 . 2 . - S i l a s <j)., ó . ; ij^., IJJ . , forman un conjunto comple to , r e s p e c t o a l a s fun3 2 3 2 ~~

ciones p e r t e n e c i e n t e s a F , según e l § 2 . 1 , Ap. I , r e s u l t a

k. = kT" = k. = kT" . (67)1 1 1 1

a . = a l " , ( 6 8 )

X. = X ! ? = X. = \[" ( 6 9 )1 1 1 1

con lo cual, de (53 a 61) se obtienen las relaciones de biortonormalizacion

<ó' Fié. > = S(i-i), «?' |-|é > = ó(i-j), <*' Iv"1 ií) > = 6(i-j),'k ''k a.'vi'a J 'a.' 'ai ] i ] i i

<$1 |S+F|é, > = Ó(i-j) (70)A . A .

en donde S(i-j) representa la 6 de Krocneker o la de Dirac, según sea el es_

pectro discreto o continuo.

7.- DESARROLLO EN SERIE DE FUNCIONES PROPIAS.

En el caso de que se cumplan las condiciones necesarias y suficientes

para que las funciones propias 6. , é, ; IJJ , fy ; é , é formen un conjunto comK K Cí Ct Cí CX —

pleto en F , cualquier función perteneciente a F , y en particular el flujo

neutrónico, solución de las ecuaciones temporales de Boltzmann, o de las ecua_

ciones del reactor crítico con fuente independiente, puede desarrollarse en

serie de las funciones propias anteriores.

7.1.- CASO DE REACTOR CRITICO CON FUENTE INDEPENDIENTE.La ecuación Íntegrodiferencial de Boltzmann correspondiente, es la (89,111)

V -12-

B $ + Q = O (71)

cuya solución puede desarrollarse en serie de funciones propias , solución

de (25 y 26) o de (29 y 30).

En el primer caso, se tiene

= S a. <f>, (72)

i i i

con

B ¿ k = p F 4>k , BTd£ = pj F <£ , «(£ |F|4»k> = ó(i-j) (73)

j j i i i j

habiéndose representado por <p, las funciones propias correspondientes a va_

lores propios de cualquier multiplicad. Sustituyendo (72) en (71), y tenien_

do en cuenta (73), resulta

S a R B $k + Q = S a k p . F ^ + Q = 0 (74)

j j j . j j j

que multiplicada por <j>' , y considerando la condición de biortonormalizaciónki

(73) , se obtiene

s ak. pj ÍJ^+k.^ ^k+JQ> = °-=^ak.= F:<*kJQ> (75)

3 D i ] i i i i

que llevada a (72) da la solución buscada

<(. = S ~ < ^ |Q> * (76)i i i i

En el caso de emplear las funciones propias, solución de (29 y 30), se

tiene

( 7 7 )

con

= a. — é , B'é = a. — ó , <<ja. i v a . a i v a . a . v ' a .] D i i i ]

resultando análogamente a lo anterior

-|«(> > = ó(i-j) (78)

V - 1 3 -

<f> = s — « j > f |Q> ij) • ( 7 9 ). a . a . ' a.

1 1 1 i

Si el reactor esta próximo a crítico p ^ a ^ 0, el primer término del

desarrollo en serie es predominante, es decir

ó ^ Ci é, ^ c ó (80)k ko a ao

siendo c, y c dos constantes.

7.2.-CASO DE NO CONSIDERAR LOS NEUTRONES RETARDADOS.La ecuación correspondiente es la (80,111)

v~-r— 4>=B cf) + Q = O (81)9t

Considerando el desarrollo (77) con las ecuaciones (79), en la que los

coeficientes del desarrollo son ahora función de t, a.(t), y procediendo co_

mo en el caso anterior, resulta

S v ~ á * = S a B ó + Q = S a a. — ó + Q (82)a . a . . a. a. . a. i v a .

1 1 1 1 1 1 3 ] ]

luego

á - a. a - <éT |Q> = 0 (83)a . i a. Yct. '

cuya solución, teniendo en cuenta que la fuente puede ser función de t, es

análogamente a (14,IV)

a (t) = a (0) e X + e X <*+ (r,vfi)|Q(r,vü,t')> dt' (84)ai ai •'0 ai

El coeficiente aa#(0) se obtiene a partir de (77) particularizada parai 1 t

t = 0, cuyo producto escalar por — <j> , dai

a. a. ' ' v'" ' 'i i

7.2.1.-Cuando la fuente independiente no depende del tiempo, los coeficien-

tes del desarrollo valen

a.t ^ _^ ^ + a-t

a (t) = a (0) e X - — «ji (r,vfí) | Q(r,vfi)> (1-e X ) (86)i i i i

7.2.2.-Cuando no existe fuente independiente, la ecuación anterior se reduce a

V -14 -

a.t , . a-ta ( t ) = a (0) e a = <$T (r .vfi) | - U ( ? , v f i , 0 ) > e X C87)

a. a• a- ' v | T

que s u s t i t u i d a en ( 7 7 ) , da

= S «$,r (r,vü) | - | <|>(r\ vfi,0)> <j> (r ,vfi) e X (88)$1 1 1

análoga a la ecuación (106,111), obtenida al aplicar la transformación in-

versa de Laplace a la solución general de (78).

7.3.-CASO DE INCLUIR LOS NEUTRONES RETARDADOS.La ecuación integrodiferencial de Boltzmann, en forma matrical (43,

III), es entonces

-1 8V -5— if/ = C ip + s (89)

cuya solución puede desarrollarse en serie de funciones propias, solución

de (27 y 28). Es decir,

^ = S a i> (90)

siendo 4> solución de

j

-1 -r-J- í'{ — 1 T T — 1 1

C xp = c t . V ip , C ip = c t . V ip , <ip V | ^ > = 6(i-j) (91)Í 3 j i 1 "i "i "j

y procediendo como en el párrafo anterior, se obtiene

ct.t rt a.(t-t') .1 <]pa (t) = a (0) e + I e " <H>n s > dt 1 (92)

1 1 J0 1

con

V ( O ) = <*+ Iv"1!*^ (93)

1 1

representando el subíndice o el vector de componentes evaluados en t = 0.

7.3.1.-Cuando no existe fuente independiente, las expresiones anteriores

se simplifican en

t 1 -1 , Vip = s <iíi |V y > 4> e (94)

i ""i i

análoga a la (108,111)-, obtenida al aplicar la transformada inversa de La

place a la solución general de (91).

V -15-

8.- IMPORTANCIA NEUTRONICA.Sea un reactor crítico o virtualmente crítico, sin que existan neutro-

nes, ni por tanto precursores, para t < 0 . En el instante t =0 se inyectan

Q neutrones en el punto fásico r,vQ e R x V x Q. De estos neutrones, parte se

fugarán por la superficie libre, mientras que otros producirán colisiones. En_

tre los que producen colisiones, unos serán capturados, y otros originarán

dispersiones y fisiones, dando lugar a los neutrones secundarios de la prime

ra generación. Estos neutrones producirán estadísticamente procesos análogos

a los inyectados, es decir, fugas, capturas y neutrones de la segunda genera

ción, y así sucesivamente.

El flujo neutrónico evolucionará con el tiempo según la ecuación de Boltz_

mann del transporte de neutrones (89), partiendo de las condiciones iniciales

q>(r',v'Q', 0) = v' Q ó(r'^r) ó(v'-v) ó(fi'-Q) (95)

Pd(r',v',0) = 0

referidas a cualquier punto fásico, r',v'Q' e R x f x o,.

Existen diversas definiciones de la importancia neutrónica, las cuales

están relacionadas entre sí, y con las funciones adjuntas.

8.1.-IMPORTANCIA DE LOS NEUTRONES INYECTADOS.Se define como importancia de los neutrones inyectados en r,vfi, a la ra-

zón entre el número total de neutrones que hay en la distribución asintótica,

y el número de neutrones inyectados, es decir

=-| n(r' ,v'fi' ,») dv'dfi'dr' (96)

siendo n(r',v'fi',«) la densidad neutrónica asintótica que depende paramétrica_

mente del punto fásico de inyección r,vSÍ.

8.1.1.- Otras veces se define como importancia de los neutrones inyectados en

r,vfi, a la razón entre el numero total de colisiones o de fisiones, produci-

das en la unidad de tiempo, correspondientes a la distribución asintótica, y

el número de neutrones inyectados, o sea

I (r,vQ) =~ \l (r'.v'ñ1) <{>(rT ,v'í' ,°O dv'dfi'dr', x = t, f (97)x i¡ j x

8.1.2.- También se define como importancia de los neutrones inyectados en r,vQ,

V -16-

a la razón entre la potencia producida correspondiente a la distribución

asintótica, y el número de neutrones inyectados, o sea

I (r\vfi) = f If(r,vn) (98)

-10 - -1 -siendo f = 0,31 x io w.seg.fisión , la energía producida por fisión.

8.2.-IMPORTANCIA DE LOS NEUTRONES EMITIDOS.

En vez de considerar la importancia a los neutrones inyectados en r,vfi

puede calcularse la importancia asociada a los neutrones secundarios emiti_

dos en la primera generación, debidos a las colisiones o únicamente a las

fisiones, producidas por los neutrones inyectados.

8.3.-CONDICIONES GENERALES, DE CONTINUIDAD Y DE CONTORNO DE LA IMPORTANCIANEUTRONICA.Debido a la naturaleza física de la importancia neutrónica, expresada

en las ecuaciones (96 a 98), debe cumplir las condiciones generales del §2.

Como la densidad neutrónica asintótica varía continuamente cuando los neu-

trones de velocidad vú son inyectados a lo largo de la recta r+RQ, se debe

rá cumplir la condición de continuidad del §2. Por último, como la importan_

cia de un nuetrón inyectado en un punto de la superficie libre con veloci-

dad en la dirección saliente del reactor, tiene importancia nula, también

se deberá cumplir la condición de contorno del §2. De lo anterior se obtie_

ne que la importancia neutrónica verifica las mismas condiciones que el flu_

jo adjunto, dadas en el §2, es decir

i) I(r,vQ) debe ser real, finita y no negativa, para todo v,vü e R x

x 1/ x Q,.

ii) I(r,vfi) ^«be ser función continua de r en la dirección ti, para to-

do r,VQ e R x l/xfi.

iii) I(r,vfi) debe verificar la condición de contorno adjunta

K ? jVft) = 0, para n • $ > 0, r e S (.99)s s s

Por tanto, I e FT.

9.- ECUACIONES DEL BALANCE DE LA IMPORTANCIA NEUTRÓNICA.Teniendo en cuenta el significado físico de la importancia neutrónica,

se obtiene el principio de conservación de la importancia:

i) T.fl importancia de un neutrón invectado en un reactor crítico o vir-

V -17-

tualmente crítico es igual a la suma de las importancias de sus deseen

dientes, en cada una de las generaciones sucesivas.

Basándose en este principio de conservación, se obtienen las ecuaciones

del balance de la importancia neutrónica.

9.1.-ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE LA IMPORTANCIA.La importancia de los Q neutrones inyectados en r,vu, es igual a la im-

portancia de los neutrones que llegan a r+(.dR)fi sin sufrir colisión, más la

importancia de los neutrones secundarios emitidos por colisión durante le tra

fiyecto de r a r+(dR)fi.

9.1.1.- En el caso de un reactor crítico, se tiene

i) El número de neutrones que llegan a r+(dR)fi sin sufrir colisión es

Q[l-(dR) £,(r,vít)], luego su importancia asociada será:

jl-(dR) £t(r,vQ) I(?+dRQ,vfi) = I(.r,vft) + (dR)^-V I(r,vfi) -

- (dR) lt(v,vü) I(.r,vQ) + términos en (dR)n, n > 2 (100)

ii) El número de neutrones emitidos por captura es nulo, luego su impor-

tancia asociada será también nula.

iii) El número de neutrones secundarios emitidos con velocidad dentro de

dv'dfü' en v'p/, debidos a las dispersiones producidas durante el tra-

yecto dR, es Q(dR) Y (r,vü -> v'Q') dv'dfi', luego la importancia asocia

da a todos los neutrones emitidos por dispersión cualesquiera que sea

su velocidad, será

(dR) ¡lsCrsvfUv'ft1) Kr.v'ft1) dv'dQ' (101)

iv) El número de neutrones secundarios emitidos con velocidad dv'dfi' den-

tro de v'fi', debidos a las fisiones producidas durante el trayecto dR,

es Q(dR) -¡— X-c(v' ) v(v) ^.p(r,v) dv'dfí', luego la importancia asocia-

da a todos los neutrones emitidos por fisión cualesquiera que sea su

velocidad, será

(dR) vCv) If(r,v) X f C V ) I(r,v'Q') dv'da1 (102)

La suma de todas estas importancias debe ser igual a l(r,vQ), luego

V -18-

t(r,vft'fi') I ( ' f i '

s

+ ¿ V ( » If(r,v) xf(v') K r .v'fi») dv'dQ' = 0 , I e FT (103)

9.1.2.- En el caso de un reactor virtualmente crítico con k o con X, el mi

mero de neutrones secundarios debidos a las fisiones esta dividido por k ,

o bien el debido a las dispersiones y fisiones está dividido por Xn, obte-

niéndose así las ecuaciones en I. o í , .k X

9.1.3.- Comparando estas ecuaciones integrodiferenciales en unión de sus

condiciones generales, de continuidad y de contorno, con las correspondiera

tes para el flujo adjunto, dadas en (37 a 39), se obtiene,

*+ = C l X' *k Q =C 2 V * Í 0

= C 3 T X (104)

siendo c , c? y c, constantes.

Por tanto, las importancias son proporcionales a los flujos adjuntos

correspondientes al valor propio dominante.

9.2.-ECUACIONES INTEGRALES DE LA IMPORTANCIA.

Como las importancias son proporcionales a los flujos adjuntos, y am-

bos pertenecen al espacio F', satisfarán las mismas ecuaciones integrales.

Empleando un razonamiento análogo al empleado en el §7,IV, pueden ob-

tenerse directamente las ecuaciones integrales de la importancia de los neu_

trones inyectados I,, y la de los emitidos In , para un reactor virtualmen-A ^t

te crítico con X.

9.2.1.- Sea Q el número de neutrones inyectados en r,vS¡, luego Q T(r->r' ,v)

será el número de neutrones que llegan a la unidad de superficie normal a

r-r en r', con velocidad vü, sin sufrir colisión. Por tanto, el numero de

neutrones secundarios emitidos dentro de dr'dv'dñ' en r',v'£2', debidos a las

colisiones producidas dentro de dr' en r', será Q -t— > (r' ,vu ->• v'fi') +1 "*" t 0 L s

+ ~-Xxr(v') v(v) L(r' ,v) T(r4',v) $(Z~Z i - &) dv'dfi1 dr1, luego la impor^ " i r j r—r' I

tancia de todos estos neutrones emitidos, cualesquiera que sea su veloci-

dad se obtendrá multiplicando la expresión anterior por I, (r'jV'fi1), e inte

•* -s- - l o -

grando para todo r' ,v'fi' e R x 1/ x fl, Al igualar este resultado a la impor-

-,

tancia I-, (r,ví2) de los neutrones inyectados se obtiene la ecuación (41), oA0

sea

í = C3 h (105)

V -19-

dada ya en (104) .

9.2.2.- Análogamente, para la importancia de los neutrones emitidos en la

primera generación, debidos a las colisiones producidas por los neutrones

inyectados, se obtiene la ecuación (4-3), o sea

•Io = «Iot = (st + Ft) •!„ = % \ (106)

siendo c^ una constante.

9.3.-DESARROLLO EN SERIE DE FUNCIONES PROPIAS 4>arSea un reactor crítico, sin que existan neutrones ni precursores para— - » - - > •

t _< 0 . En el instante t = 0 se inyectan Q neutrones en r,vQ, por lo cual el flu_

jo evolucionará con el tiempo según la ecuación (89), con las condiciones ini_

ciales (95).

Sustituyendo (95) en. (93), resulta

a (0) = Q *' (r,vfl) (107)

i i

luego (92) , da

A a.t

a (t) = Q ¡I)1 (r,vQ) e 1 (108)ai ai

que l l evada a ( 9 0 ) , se ob t i ene e l d e s a r r o l l o en s e r i e de ijj

ty = Q S (j)' (r,vti) i¡ e 1 (109)i i i

cuya primera fila, es

4>(r' ,v'fi' ,t) = Q S ó' (r,vQ) ó (r',v'fi') e X (110)i i i

idéntica a la (88) cuando no se consideraban los neutrones retardados.

Al ser a,-, > Re a i n f 0 , en la distribución asintótica solo prevalecerá

el primer término, y como la configuración y composición del medio en las con

'diciones consideradas corresponde a la de un reactor crítico, an = 0 , obtenién

dose para el flujo asintótico

,«) = Q ii)x (v,vü) <p (r',v'n') (111)

V -20-

luego las importancias de los neutrones inyectados, definidas en el §8.1,

valdrán

Kr.vft) =

I (r,vn) = $f (r.vft)x aQ

dv'díí'dr1 (112)

( r ' .v 'Q 1 ) dv'dfi'dr"', x = t , f (113)aQ

siendo proporcionales al flujo adjunto tj>a para el valor propio dominante,0

de acuerdo con los resultados de (104 y 106), ya que como en este caso se

h a c o n s i d e r a d o q u e e l r e a c t o r e s c r í t i c o ctA = p A = 0 , X = k = 1 , l u e g o óÜ Ü O OA = p AÜÜ

X kOO

=o

= c I.

Nótese que en la obtención de (111) se ha empleado la condición de

biortonormalización del flujo (91) , y que debido a la estructura de las

ecuaciones (112 y 113) las constantes de proporcionalidad entre las impor-

tancias y los flujos adjuntos son independientes de la condición de biorto_

normalización del flujo.

10.- RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES ADJUNTAS Y LAS IMPORTANCIAS NEUTRONI-CAS.En (104-) se obtuvo la relación entre las importancias de los neutro-

nes inyectados y los flujos adjuntos, para el valor propio dominante, en

un reactor crítico o virtualmente crítico con k y A. En (106) se obtuvo la

relación entre las importancias de los neutrones emitidos y los flujos ad-

juntos, para el valor propio dominante, en un reactor virtualmente crítico

con X. Resumiendo estos resultados, y los del §5, se obtiene

= C2 h

= Q k f = F (}.k, k = k

•í

(115)

= F+ •!• *+ = k+ = >

C3 h

= (s+F) (j.A, I = x (118)

(119)

BIBLIOGRAFÍA DE LIBROS CONSULTADOS SOBRE TEORÍA YCALCULO DE REACTORES

l.-Bell, G.I. y Glasstone, S. NUCLEAR REACTOR THEORYVan Nostrand (1970).

2 . - C a s e , K . M . y Z w e i f e l , P . F . LINEAR TRANSPORT THEORY

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4 . - A k c a s u 1., L e l l o u c h e , G . S . y S h o t k i n , L.M. MATHEMATICAL

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5 . - V e ! a r d e , G. TEORÍA DE REACTORES. IEN , JEN ( 1 9 6 0 ) .

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8.-Davison,B. NEUTRÓN TRANSPORT THEORY. Oxford (1957).

J.E.N. 335 J.E.N. 335

Junta de Energía Nuclear, División de Tecnología de Reactores, Madrid.

"Ecuaciones integrodiferenciales e integralesnormales y adjuntas del transporte de neutrones"(Parte II)VELARE, G. (1976) 39 pp. 1 f i g . 8 refs.

Basándose en las hipótesis s impl i f icad vas o en las ecuaciones integrodife-

renciales de Botlzmann del transporte de neutrones, expuestas en el informe

JEN 334, se obtienen las diversas ecuaciones integrales, y sus correspondientes

adjuntas. Se establecen relaciones entre las diferentes funciones propias y sus

adjuntas, y en particular, partiendo de la ecuación integrodiferencial de

Boltzmann, se establecen las relaciones entre las soluciones de la ecuación

adjunta de su ecuación integral y las soluciones de la ecuación integral de su


"Ecuaciones integrodiferenciales e integralesnormales y adjuntas del transporte de neutrones"(Parte II)-

VELARDE, G. (1976) 39 pp. 1 f i g . 8 r e f s .Basándose en las hipótesis simplif icativas o en las ecuaciones integrodife-


JEN 334, se obtienen las diversas ecuaciones integrales, y sus correspondientes:



Boltzmann, se establecen las relaciones entre las soluciones de la ecuación


J.E.N. 335

Junta de Energía Nuclear, División de Tecnología de Reactores, Madrid."Ecuaciones integrodiferenciales e integrales

normales y adjuntas del t ranspor te de neut rones"(Parte II)VELARE, G. (1976) 39 pp. 1 fig. 8 refs.

Basándose en las hipótesis simplif icativas o en las ecuaciones integrodife-


JEN 334, se obtienen las diversas ecuaciones integrales, y sus correspondientes



Boltzmann» se establecen las relaciones entre las soluciones de la ecuación


J.E.N. 335


"Ecuaciones integrodiferenciales e integralesnormales y adjuntas del transporte de neutrones"(Parte II) -VELARDE, 6 . (1976) 39 pp. 1 f i g . 8 r e f s .

Basándose en las hipótesis simplif icativas o en las ecuaciones integrodife-renciales de Botlzmann del transporte de neutrones, expuestas en el informeJEN 334, se obtienen las diversas ecuaciones integrales, y sus correspondientesadjuntas. Se establecen relaciones entre las diferentes funciones propias y susadjuntas, y en part icular, partiendo de la ecuación integrodiferencial deBoltzmann, se establecen las relaciones entre las soluciones de la ecuación


ecuación adjunta.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-Zl; Neutrón Transport Theory; Boltzmann

Equation; Integral Equations; Adjoint Difference Hethod; Eigenfunctions.

ecuación adjunta.


Ebuation; Integral Equations; Adjoint Difference Hethod; Eigenfunctions.

ecuación adjunta.


Equation; Integral Equations; Adjoint Difference Method; Eigenfunction.

ecuación adjunta.


Equation; Integral Equations; Adjoint Difference Hethod; Eigenfunction.

J.E.N. 335 J.E.N. 335


"Normal and adjoint in tegra l and integrodifferen -

tial neutrón t r anspor t equat ions" . (Par t II)

VELARE, G. (1976) 39 pp. 1 flg. 8 refs.Using "the simplifying hypotheses of the integrodifferential Boltzmann equa-

tions of neutrón transport, given in JEN 334 report, several integral equations,and theirs adjoint ones, are obtained. Relations between the different normaland adjoint eigenfunctions are established and, in particular, proceeding fromthe i ntegrocli f erent i al Boltzmann equation i t ' s found out the relation betweenthe solutions of the adjoint equation of its integral one, and the solutions ofthe integral equation of its adjoint one.


"Normal and adjoint integral and integrodifferen-tial neutrón transport equations" (Part II)VELARE, G. (1976) 39 p.p. 1 f ig . 8 r e f s .

Using "the simplifying hypotheses of the integrodifferential Boltzmann equa-tions of neutrón transport, given in JEN 324 report, several integral equations,and theirs adjoint ones, are obtained. Relations between the different normaland adjoint eigenfunctions are established and, in particular, proceeding fromthe integrodiferential Bcltzmann equation i t ' s found out the relation betweenthe solutions of the adjoint equation of its integral one, and the solutions ofthe integral equation of its adjoint one.

J.E.N. 335

Junta de Energía Nuclear, División de Tecnología de Reactores, Hadrid.

"Normal and adjoint in tegra l and integrodifferen-

tial neutrón t r anspor t equat ions" . (Par t II)

VELARE, 6. (1976) 39 pp. 1 fig. 8 refs.Using the simplifying hypotheses of the integrodifterential Boltzmann equa-

tions of neutrón transport, given in JEN 334 report, several integral equations,and theirs adjoint ones, are obtained. Relations between the different normaland adjoint eigenfunctions are established and, in particular, proceeding fromthe integrodiferential Boltzmann equation i t ' s found out the relation betweentho solution of the adjoint equation of i ts integral one, and the solutions ofthe integral equation of its adjoint one.

J.E.N. 335


"Normal and adjoint integral and integrodifferen-tial neutrón transport equations". (Part II)VELARDE, G. (1976) 39 pp. 1 f i g . 8 r e f s .

Using the simplifying hypotheses of the integrodifferential Boltzmann equa-tions of neutrón transport, given in JEN 334 report, several integral equations,and theirs adjoint ones, are obtained. Relations between the different normaland adjoint eigenfunctions are established and, in particular, proceeding fromthe integrodiferential Boltzmann equation i t ' s found out the relation betweenthe solution of the adjoint equation of its integral one, and the solutions ofthe integral equation of i ts adjoint one.

INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; Boltzmann INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; BoHzmannEquation; Integral EquaHrlon?;!Adjoínt Difference Hethod; Eigenfunctions. ' Equation; Integral Equations; Adjoint Difference Method; Eigenfunctions.

INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; Bclüniann INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; BoHzmannEquation; Integral Equations; Adjoint Difference Method; Eigenfunctions. ' Equation; Integral Equations; Adjoint Difference Hethod; Eigenfunctions.

ecuaciones integrales del transporte de · 2008. 7. 17. · ecuaciones integrales del transporte de...

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