ecuaciones generales modelo de maxwell - upmecuaciones de maxwell. j.l. fernández jambrina eym 2a-1...

Ecu

aci

ones

gen

erale

sM

odel

o d

e M

axw

ell

•Introducción

•Fuentes de campo:

–Carga eléctrica. Corriente eléctrica.

–Ecuación de continuidad.

•Definición del campo electromagnético.

•Ecuaciones de M

axwell.

J.L. Fernández Jambrina

EyM 2a-1

•Ecuaciones de M

axwell.

–Form

a Integral. Form

a diferencial.

•Ecuaciones de estado.

–Influencia sobre los m

ateriales.

–Clasificación de m

edios.

–Ley de O

hm. Constante de relajación.

•Condiciones en las interfases.

•Linealidad de las ecuaciones de M

axwell.

•Balance energético: Teorema de Poynting.

Intr

oducc

ión

•El modelo de M

axwell se compone de las denominadas ecuaciones

de Maxwelljunto con las ecuaciones de estado.

•Es un m

odelo macroscópico:

–Los m

ateriales se consideran continuos.

–En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de

partículas elementales en los recintos habituales perm

ite considerarlos

continuos.


EyM 2a-2

continuos.

•Hay dos form

as de expresar las ecuaciones de M

axwell:

–Integral:

»Flujos y circulaciones.

–Diferencial:

»Divergencias y rotacionales.

•Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes.

–Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente.

–Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente.

Carg

a e

léct

rica

.

•Se supone conocido el concepto

de carga eléctrica.

–El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral.

»Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen.

•Unidad: Culombio ó C

oulomb (C)

–Es una unidad m

uy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra

puesta a 1V es del orden de 0.7 m

C


EyM 2a-3

•Se puede considerar que los portadoresde carga básicos son los

protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa.

–En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela.

–Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones.

–En los m

etales existen electrones libres que se pueden desplazar entre

una red de iones.

–En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones.

Den

sidad d

e ca

rga e

léct

rica

volu

mét

rica

.

•Magnitud diferencial o puntual asociada:

Densidad de carga por unidad de volumen:

–Definición:

()

dVdq

Vqlim

rV

=∆∆

=ρ

→∆

0

rdVdq

r rO

V


EyM 2a-4

–Unidades: (C/m

3)

–Relación con la carga encerrada en un volumen:

dV

VV

∆→

∆0

()

∫∫∫∫∫∫

ρ=

=V

VdV

rdq

qr

O

Otr

os

tipos

de

dis

trib

uci

ones

de

carg

a

•Carga puntual:

–Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de

dim

ensiones m

uy pequeñas frente a la distancia de observación.

–La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se

encuentra la carga:

»Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q

en

su interior:


EyM 2a-5

su interior:

»Su densidad se puede representar por una δ

tridim

ensional: δ

3

()

()

()

q

qq

Vr

rq

rV

r

Vr

qdV

rq

rr

rrr

r−

δ=

ρ⇒

∉∈=

ρ=∫∫∫

3

;0

;

r r q

OV

q

() (

)

∉∈=

−δ

≠=

δ ∫∫∫V

r

Vr

dV

rr

rr

qq

Vq

rrr

r

rr

;0

;1

0;

0

3

3

()

∞=

∆=

∆∆=

ρ→

∆→

∆Vq

lim

Vqlim

rV

V0

0

r

Dis

trib

uci

ón s

uper

fici

al de

carg

a.

•Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una

de sus dim

ensiones es despreciable frente a la distancia de

observación.

–Caso típico: carga en la superficie

de un conductor.

–Densidad de carga superficial:

dS

S

O

dq

r r

()

dq

q∆

r


EyM 2a-6

–Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los

puntos de la superficie.

–Se puede representar por una δ.

»si la superficie está definida por ui= uS:

()

2

0m

CdS

dq

Sqlim

rS

S=

∆∆=

ρ→

∆

r

dS

dV

ρ ρρρ S

()

()

∞=

∆∆ρ

=∆∆

=ρ

→∆

→∆

VSr

lim

Vqlim

rS

VV

rr

00

()

()

()

ru

ur

SS

n

rr

ρ−

δ=

ρ

Dis

trib

uci

ón lin

eal de

carg

a

•Es un m

odelo sim

plificado de una distribución de carga tal que dos

de sus dim

ensiones son despreciables frente a la distancia al punto

de observación.

–Caso típico: carga de un hilo conductor.

–Densidad de carga lineal:

()

mC

dq

qlim

r=

∆=

ρr

dl

CO

dq

r r


EyM 2a-7

–Dificultad: la densidad de carga

volumétrica no está definida en los

puntos de la línea.

–Se puede representar por una δ2:

»si la línea está definida por ui= ul,iy uj= ul,j:

()

mC

0dl

llim

rl

L=

∆=

ρ→

∆

()

()

∞=

∆∆ρ

=∆∆

=ρ

→∆

→∆

Vlr

lim

Vqlim

rL

VV

rr

00

CO

()

()(

)()

ru

uu

ur

Lj

lj

il

i

rr

ρ−

δ−

δ=

ρ.

.

•La corriente eléctrica es la carga en m

ovim

iento.

•La m

agnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica

es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que

atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (M

agnitud integral)

Adt

dq

I=

Corr

iente

Elé

ctri

ca


EyM 2a-8

–La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que

equivale a un flujo de 1 C

oulomb en 1 segundo.

–En un m

etal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad

media depende del campo eléctrico existente:

–Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan.

–En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y

negativos.

»Sus velocidades m

edias dependen del campo eléctrico pero no

tienen por qué coincidir.

–Otro tanto se puede decir de los semiconductores.

Den

sidad d

e co

rrie

nte

volu

mét

rica

•Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto.

•Definición:

–Es un vector:

»definición por componentes:

dS

SdI

$ n

dSdI

SIlim

Jn

S=

∆∆=

⋅→

∆0

ˆr

OjO


EyM 2a-9

•Unidades: Amperio/m

etro2, es decir, A/m

2

•Relación con la intensidad de corriente:

•Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica.

–Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de

una superficie en la unidad de tiempo.

–Corriente volumétrica porque las cargas se m

ueven dentro de un volumen.

dS

S∆

∫∫∫∫

∫∫⋅

=⋅

==

SS

SS

dJ

dS

nJ

dI

Ir

rrˆ

OjO

Den

sidad d

e co

rrie

nte

volu

mét

rica

(2)

•Suponiendo un único tipo de portadores:

»densidad de carga asociada: ρ

»Velocidad m

edia de desplazamiento:

•La carga ∆qque atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t

a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida

en el volumen ∆V:

vr

r vnt

⋅$∆

dtd

Sn

vV

qˆ ⋅

ρ∆ρ

∆r

rr


EyM 2a-10

•Puesto que la superficie es arbitraria:

•En el caso de varios tipos de portadores:

•Unidades: A/m

2

∆ ∆∆∆S

ρ ρρρ

r vr vnt

⋅$∆

$ n

r vt

∆

nv

dSdt

dtd

Sn

v

tS

Vlim

tS

qlim

nJ

SS

ˆˆ

ˆ0

0⋅

ρ=

⋅ρ

=∆

∆∆ρ

=∆

∆∆=

⋅→

∆→

∆

rr

r

vJ

rr

ρ=

∑∑

ρ=

=i

ii

i

iv

JJ

rr

r

OjO

•La corriente superficial es una aproxim

ación de una corriente que

circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto

de observación.

•La densidad de corriente superficial

caracteriza este tipo de distribuciones.

»les la intersección de la superficie

Dis

trib

uci

ones

de

corr

iente

super

fici

al

dl

dI

lIlim

Jn

lS

=∆∆

=⋅

→∆

0

ˆr

dI

δ>0

δ⋅

=⋅

=r

rr

n̂


EyM 2a-11

»les la intersección de la superficie

por la que circula la corriente con

la que se utiliza para el cálculo de

la intensidad.

»está contenido en la superficie

por la que circula la corriente y

es norm

al a l

•Unidades: A/m

–Amperios/(Unidad de anchura)

•Relación con la intensidad:

∫∫

⋅=

=L

SL

dl

nJ

dI

Iˆ

r

$ n

OjO

dl

nJ

Sd

JdI

δ⋅

=⋅

=ˆ

rr

r

dl

n̂

dI

δ=0

ld

JdI

S

rr⋅

=

dl

n̂

Dis

trib

uci

ones

filiform

es.

•Son una aproxim

ación de las corrientes que circulan a lo largo de un

recinto de dim

ensiones transversales despreciables frente a la

distancia al punto de observación.

–Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor.

•Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I,y el

vector unitario .

ˆl̂

l̂


EyM 2a-12

l̂I

SI

l̂

∫∫⋅

=s

Sd

JI

rr

Ley

de

conse

rvaci

ón d

e la

carg

a:

Ecu

aci

ón d

e co

ntinuid

ad

•Ley de conservación de la carga:

La carga no se crea ni se destruye.

–Ecuación de continuidad en form

a integral.

»Para cualquier volumen V

la disminución de la carga encerrada es

$ n

dV

dq

r rO

VS

r J

⇔−

=dt

dq

I0

=+

dt

dq

I


EyM 2a-13

»Para cualquier volumen V

la disminución de la carga encerrada es

igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente.

–Ecuación de continuidad en form

a diferencial.

»Si Vperm

anece fijo en el tiempo:

»Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen:

0=

∂∂ρ+

⋅∇

tJr

0=

∂∂ρ+

⋅∇

=+

⇒

ρ=

ρ=

⇒ρ

=

⋅∇

=⋅

=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

V

VV

V

VS

dV

tJ

dt

dq

IdV

dt

ddV

dtd

dt

dq

dV

q

dV

JS

dJ

Ir

rr

r

Def

inic

ión d

el c

am

po e

lect

rom

agnét

ico

•La descripción del campo electromagnético requiere cuatro vectores:

–: Intensidad de campo eléctrico (V/m

)

–: Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento

eléctrico (C/m

2)

–: Densidad de flujo m

agnético (T=wb/m

2)

–: Intensidad de campo m

agnético (A/m

)

•La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.

Er Dr Br Hr


EyM 2a-14

•La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.

–Si una carga q se m

ueve a velocidad en el seno de un campo

electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor:

•Fuerzas sobre distribuciones volumétricas:

vr

()

Bv

Eq

Fr

rr

r×

+=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫

×+

ρ=

×ρ

+ρ

=

=×

+=

VV

VV

QQ

dV

BJ

dV

EdV

Bv

dV

E

dq

Bv

dq

EF

rr

rr

rr

rr

rr

Ecu

aci

ones

de

Maxw

ell

•Son cuatro.

–A M

axwell se debe sólo un térm

ino de una de ella

s.

•Ecuaciones de M

axwell

Forma Integral

Forma Diferencial

Ley de Gauss

qS

dD S

=⋅

∫∫r

rρ

=⋅

∇Dr


EyM 2a-15

S∫∫

Ley de Faraday

∫∫∫

⋅∂∂

−=

⋅S

CS

dB

tl

dE

rr

rr

tBE

∂∂−

=×

∇

rr

Flujo del campo

Magnético

0=

⋅∫∫ S

Sd

Br

r0

=⋅

∇Br

Ley de Ampère

∫∫∫

⋅∂∂

+=

⋅S

CS

dD

tI

ld

Hr

rr

r

tDJ

H∂∂

+=

×∇

rr

r

Ley

de

Gauss

•Enunciado:

–El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, , a través una

superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior.

qS

dD S

=⋅

∫∫r

rdV

V

$ n

r D

dS

Dr


EyM 2a-16

•Es fácil pasar de su form

a integral a la diferencial:

–Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios:

•La densidad de carga es la fuente escalar del campo : las líneas

tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de

carga negativa.

VS

⇒ρ

=⋅

∇⇒

ρ=

⋅∇

=⋅

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫V

V

V

V

Gauss

SdV

dV

DdV

q

dV

DS

dD

rr

rr

ρ=

⋅∇

Dr

Dr

Ley

de

Fara

day

•Relaciona el campo con la variación temporal del campo .

–La circulación del campo a lo largo de un contorno C

es igual a la

menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través

de una de las superficies lim

itadas por C.

∫∫∫

⋅∂∂

−=

⋅S

CS

dB

tl

dE

rr

rr

dS

S

C

$ n

Br

BrEr

Er


EyM 2a-17

–Si se supone que la superficie S

perm

anece fija

y que sólo contiene puntos ordinarios:

–La variación temporal de es fuente vectorial del campo .

C

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫

⇒⋅

∂∂−

=⋅

×∇

⋅∂∂

=⋅

∂∂

⋅×

∇=

⋅

=∂∂

SS

S

tS

S

S

Sto

kes

C

Sd

tBS

dE

Sd

tBS

dB

t

Sd

El

dE

rr

rr

rr

rr

rr

rr

0tB

E∂∂

−=

×∇

rr

ErBr

Ecu

aci

ón d

el flu

jo d

el c

am

po m

agnét

ico

•Las líneas de campo m

agnético son cerradas:

–Para toda superficie:

–Y si sólo contiene puntos ordinarios:

0=

⋅∫∫ S

Sd

Br

r


EyM 2a-18

–Equivale a negar la existencia de m

onopolos o cargas m

agnéticas.

⇒=

⋅∇

=⋅

∫∫∫∫∫

0V

SdV

BS

dB

rr

r

0=

⋅∇

Br

•Relaciona el campo con la variación temporal del campo y la

corriente.

–La circulación del campo a lo largo de un contorno C

es igual a la

derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través de una

de las superficies lim

itadas por C m

ás la corriente.

Hr

Dr

dS

S

$ n

∫∫∫

⋅∂∂

+=

⋅S

CS

dD

tI

ld

Hr

rr

r

Hr

Dr

Ley

de

Am

pèr

e


EyM 2a-19

–Si se supone que la superficie S perm

anece fija y

que sólo contiene puntos ordinarios:

•La variación temporal de y la densidad de corriente, ,son fuentes

vectoriales del campo .

C

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫

⇒⋅

∂∂+

=⋅

×∇

⇒

⋅=

⋅∂∂

=⋅

∂∂

⋅×

∇=

⋅

=∂∂

SS

S

S

tS

S

S

Sto

kes

C

Sd

tDJ

Sd

H

Sd

JI

Sd

tDS

dD

t

Sd

Hl

dH

rr

rr

r

rr

rr

rr

rr

rr

0

tDJ

H∂∂

+=

×∇

rr

r

DrJr

Hr

•El térm

ino es la contribución de M

axwell.

•Se puede justificar su necesidad:

–Supongamos que el campo eléctrico es nulo

fuera del condensador y escogamos una

superficie que corte al conductor:

Ley

de

Am

pèr

e(2

)

tD

∂∂r

∫∫∫

⋅=

⋅=

10

SC

Sd

Jl

dH

Ir

rr

r

I 0q+

S1

I 0

C

n̂

Iq+

S2

I 0

C


EyM 2a-20

–Si con el mismo contornose escoge una

superficie que que pase entre las arm

aduras:

–Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación

de carga en el condensador es fácil obtener un térm

ino que conduce al

resultado correcto:

∫∫∫

1S

C

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

⋅∂∂

=⋅

=⇒

=⋅

∂∂+

⋅−

⇒

⇒=

⋅∂∂

+⋅

⇒=

∂∂+

+−

=

+−

=

21

21

0

21

21

0

00

SS

SS

SS

S

SS

S

SS

Sd

Dt

Sd

JI

Sd

Dt

Sd

J

Sd

Dt

Sd

Jtq

I

rr

rr

rr

rr

rr

rr

02

0=

⋅≠

⋅=

∫∫∫

SC

Sd

Jl

dH

Ir

rr

r

I 0q+

I 0

n̂

–trabajando un poco:

–resulta que y varían de form

a que se compensan sus variaciones

desde el punto de vista de cálculo de sus flujos.

–Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de

Ley

de

Am

pèr

e (3

)

00

=

∂∂

+⋅

∇=

⋅∇

∂∂+

⋅∇

⇒

ρ=

⋅∇

=∂ρ∂

+⋅

∇D

tJ

Dt

J

Dt

Jr

rr

r

r

r

tD

∂∂r

Jr


EyM 2a-21

–Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de

Ampère

clásica de esta form

a:

–Esta fue la aportación de M

axwell.

–Esta aportación perm

itió la predicción de la propagación de ondas

electromagnetismo y fue la confirm

ación experimental de la existencia de

éstas (Hertz1886) lo que confirm

ó la validez de este térm

ino.

tDJ

Hct

etD

J

JH

∂∂+

=×

∇⇒

=∂∂

+

=×

∇r

rr

rr

rr

?

Red

undanci

a e

n las

ecuaci

ones

de

Maxw

ell

•Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las

ecuaciones de M

axwell junto a la ecuación de continuidad:

–Calculando la divergencia de la Ley de Faraday:

cte

BB

tB

ttB

E

tBE

=⋅

∇⇒

=⋅

∇∂∂

⇒

⋅∇

∂∂=

∂∂ ⋅∇

=×

∇⋅∇

⇒∂∂

−=

×∇

rr

rr

rr

r0

0


EyM 2a-22

–Calculando la divergencia de la Ley de Ampère:

–La experiencia dice que ambas constantes son nulas.(

)

()

cte

DD

t

Dt

Dt

JtD

J

H

tDJ

HE

c

Cont

+ρ

=⋅

∇⇒

=⋅

∇+

ρ−

∂∂⇒

⇒

⋅∇

+ρ

−∂∂

=⋅

∇∂∂

+⋅

∇=

∂∂+

⋅∇

=×

∇⋅∇

⇒∂∂

+=

×∇

rr

rr

rr

r

rr

rr

0

0.

.

ecuaciones generales modelo de maxwell - upmecuaciones de maxwell. j.l. fernández jambrina eym 2a-1...

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