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Ecuaciones de Maxwell

1. Introducción En el capítulo anterior nos hemos ocupado de los problemas de electricidad y magnetismo en estado estacionario. Aunque las técnicas matemáticas utilizadas eran análogas, los fenómenos eléctricos y magnéticos fueron tratados como si fueran independientes: el único enlace entre ellos era el hecho de que las corrientes que producen los campos magnéticos tienen un carácter esencialmente eléctrico, ya que son cargas en movimiento. Cuando consideramos problemas dependientes del tiempo, la aparente independencia entre fenómenos eléctricos y magnéticos desaparece. Los campos magnéticos que varían con el tiempo originan campos eléctricos y viceversa. Deberemos hablar, pues, en términos de campos electromagnéticos más que de campos eléctricos o magnéticos. No obstante, el significado pleno de la interconexión entre los campos eléctricos y magnéticos y su identidad esencial solamente se alcanza en el marco de la relatividad especial. El conjunto fundamental de ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos clásicos es conocido como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones están en la base de la teoría especial de la relatividad ya que son incompatibles con las transformaciones de Galileo (transformaciones de coordenadas en el ámbito de la mecánica clásica que relacionan dos sistemas en movimiento relativo uniforme) y, sin embargo, sí son compatibles con las transformaciones de la teoría de la relatividad, es decir, con las transformaciones de Lorentz. En este capítulo se emprenderán las oportunas modificaciones de las leyes de la electrostática y la magnetostática, que se suponen ya conocidas, con el fin de dar cabida a campos que pueden variar con el tiempo.

2. La ley de inducción de Faraday Las primeras observaciones cuantitativas que relacionan los campos eléctricos y magnéticos variables con el tiempo fueron hechas por Faraday (1831) en sus experimentos sobre corrientes en circuitos colocados en campos magnéticos variables con el tiempo. Faraday observó que en un circuito A se induce una corriente transitoria, a) si se inicia o se detiene una corriente estacionaria en otro circuito cercano B; b) si el circuito B por el que circula la corriente estacionaria se mueve con respecto al circuito A; c) si introducimos o sacamos un imán en el circuito A. Faraday interpretó que el paso de corriente transitoria en el circuito A era debido a la variación temporal de flujo magnético que atraviesa dicho circuito. Para interpretar de forma cuantitativa las observaciones de Faraday debemos precisar en primer lugar qué entendemos por flujo magnético. Así, definimos el flujo de campo magnético F que atraviesa un circuito C como

∫ ⋅=S

dSnBF rr

(2.1) donde S es una superficie arbitraria delimitada por la curva C y nr es el vector unitario normal a S, tal como se muestra en la Figura 1.

2

Figura 1.

La definición anterior es independiente de la superficie S elegida. Esto se puede comprobar aplicando el teorema de la divergencia a la superficie cerrada 21 SSS ∪= construida a partir de dos superficies cualesquiera, 1S y 2S , delimitadas por el circuito C (ver Figura 2).

Figura 2

De esta manera, teniendo en cuenta que 0=⋅∇ Br

, se deduce que

∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∇=21

0SSSV

dSnBdSnBdSnBdVB rrrrrrr

(2.2) y en consecuencia

∫∫∫ ′⋅=⋅−=⋅221 SSS

dSnBdSnBdSnB rrrrrr

(2.3) Por otra parte, la fuerza electromotriz (f.e.m.) se define como la integral de línea del campo eléctrico recorrida a lo largo del circuito C en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj).

∫ ⋅′=C

ldErr

f.e.m

(2.4) donde E

r′ es el campo eléctrico en el elemento de circuito ld

r. En realidad podemos imaginar

el circuito C como una trayectoria geométrica cerrada en el espacio sin que tenga que coincidir necesariamente con un circuito eléctrico. Las observaciones de Faraday se resumen en la expresión matemática:

ldr

2S

n′r

nr

nr

C

Br

Snr

C

1S

3

dtdFkldE

C−=⋅′∫

rr

(2.5) La fuerza electromotriz inducida en el circuito es proporcional a la velocidad con que cambia el flujo de campo magnético a través del mismo. El signo menos de la expresión (2.5) hace referencia al sentido de la f.e.m. inducida en C. Éste es determinado por la ley de Lenz, según la cual la f.e.m. inducida en C debe oponerse al cambio de flujo magnético que la produce. Así, si suponemos que el flujo que atraviesa S se va incrementando a medida que transcurre el tiempo, 0>dtdF , la fuerza electromotriz inducida será negativa y, por tanto, la corriente (que lleva la dirección del campo eléctrico) girará en sentido horario o negativo para que el campo magnético inducido se oponga al inductor (Figura 3.). Lo contrario ocurre si,

0<dtdF .

Figura 3.

Como se verá más adelante, la constante de proporcionalidad k depende exclusivamente de la elección de unidades para las magnitudes eléctricas y magnéticas. No se trata, como podría pensarse en un principio, de una constante empírica independiente a determinar experimentalmente. Las variaciones de flujo magnético pueden ser debidas no sólo a un cambio temporal en la intensidad del campo magnético sino que también pueden estar producidas por un movimiento del circuito C en el seno de un campo magnético no uniforme y/o por una alteración del la forma del circuito que modifique la superficie S encerrada por él. Para un circuito estacionario C, esto es, un circuito que no cambia en forma ni se desplaza, la variación temporal del flujo sólo puede ocurrir a través de la variación de B

r con

el tiempo. En ese caso la ley expresión (2.5) se puede escribir como

∫∫ ⋅∂∂

−=⋅′SC

dSntBkldE rr

rr

(2.6) Consideremos ahora que C se desplaza a una velocidad constante vr dentro de un campo magnético ( )trB ,r

r que puede depender de la posición y del tiempo. Por simplicidad

supondremos que la forma del circuito permanece inalterada, aunque el resultado que obtendremos será también válido cuando se admite esta posibilidad (ver, por ejemplo, Choudhury). En ese caso, la variación del flujo magnético que atraviesa el circuito en movimiento está dada por

I

0>dtdF

nr

0fem <

B inductor en el instante t

Br

B inductor en el instante tt ∆+

B inducido en el instante t

B inducido en el instante tt ∆+

4

∫∫ ⋅=⋅SS

dSndtBddSnB

dtd r

rrr

(2.7) Aplicando la regla de la cadena a ( )( )ttrB ,rr se obtiene

( )BvtB

tz

zB

ty

yB

tx

xB

tB

dtBd rr

rrrrrr

∇⋅+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

(2.8) Aplicando la identidad vectorial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GFFGFGGFGF

rrrrrrrrrr∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇ en

(2.8) y teniendo en cuenta que 0=⋅∇ Br

, 0=⋅∇ vr y ( ) 0=∇⋅ vB rr (estas dos últimas

igualdades son debidas a que estamos considerando que vr es constante) se deduce que

( )vBtB

dtBd rr

rr

××∇+∂∂

=

(2.9) y, por tanto, la derivada total del flujo con respecto al tiempo se transforma en

( )∫∫∫ ⋅××∇+⋅∂∂

=⋅SSS

dSnvBdSntBdSnB

dtd rrrr

rrr

(2.10) Utilizando el teorema de Stokes podemos transformar la última integral de superficie en una integral de línea a lo largo del circuito C, con lo que (2.10) quedaría de la forma

( )∫∫∫ ⋅×+⋅∂∂

=⋅CSS

ldvBdSntBdSnB

dtd rrrr

rrr

(2.11) Pasando el último sumando de (2.11) al primer miembro de (2.5) obtenemos una expresión equivalente a la ley de Faraday para un circuito en movimiento.

( )[ ] ∫∫ ⋅∂∂

−=⋅×−′SC

dSntBkldBvkE rr

rrrr

(2.12) Vemos que la expresión anterior tiene la misma forma que la ley de Faraday para circuitos estacionarios, expresión (2.6), si admitimos que el campo eléctrico sobre el elemento de circuito ld

rque se ve desde el sistema de referencia "estático" o de laboratorio, E

r, está

relacionado con el campo eléctrico, E ′r

, visto desde un sistema solidario con el circuito por la expresión

( )BvkEErrrr

×−′=

(2.13) Lo que acabamos de establecer aquí forma parte de un principio general de la física, conocido como principio de equivalencia, según el cual todas las leyes de la física deben tener la misma forma (deben ser covariantes en forma) en todos los sistemas de referencia que se trasladen con velocidad relativa constante.

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Para determinar el valor de la constante k podemos pensar que una carga q en reposo respecto al sistema solidario con el circuito móvil estará sometida a una fuerza Eq ′

r. Desde el

punto de vista del observador en el sistema de laboratorio una carga q que se mueve a una velocidad vr en el seno de un campo eléctrico E

r y otro magnético B

r es, en aproximación no

relativista y en el sistema MKSA, es igual a ( )BvEqrrr

×+ . Como la fuerza que actúa sobre la carga debe ser la misma en ambos sistemas de referencia, se tiene ( )BvEqEq

rrrr×+=′ y

comparando con (2.13) vemos que la constante k en dicho sistema de unidades debe ser igual a la unidad (en el sistema gaussiano la expresión de la fuerza sería ( )cBvEq

rrr×+ y de ahí

que la constante k sea igual a 1−c ). Así, pues, la ley de Faraday (en el sistema MKSA) queda expresada como

∫∫ ⋅−=⋅′SC

dSnBdtdldE rrrr

(2.14) donde E ′

r es el campo eléctrico en ld

rrespecto de un sistema de coordenadas solidario con el

circuito. La derivada con respecto al tiempo del segundo miembro es la derivada total dada por (2.8). Como subproducto de la demostración hemos encontrado que el campo eléctrico en un sistema de coordenadas que se mueve a una velocidad vr con respecto al laboratorio es:

BvEErrrr

×+=′

(2.15) Al haber considerado la aproximación no relativista para la ley de fuerzas experimentada por una carga en movimiento, la relación (2.15) es sólo una aproximación válida para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Sin embargo, la ley de Faraday no es una aproximación; es perfectamente compatible con las transformaciones de Lorentz de la teoría especial de la relatividad. La ley de Faraday (2.14) se puede escribir también en forma diferencial. Así, supongamos que el circuito se mantiene fijo respecto del sistema de referencia elegido (para que E

r y B

r estén expresados en el mismo sistema de referencia) de manera que la única

variación temporal del flujo magnético sea la debida a la variación de Br

con el tiempo. Entonces, aplicando el teorema de Stokes a la ley de Faraday (2.6) con k igual a la unidad, obtenemos

∫ =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+×∇S

dSntBE 0rr

r

(2.16) donde hemos reescrito el campo eléctrico simplemente como E

r en vez de escribir E ′

r. Por

ser, tanto el circuito C como la superficie S, arbitrarios, el integrando debe ser nulo en todos los puntos del espacio. Por tanto, la ley de Faraday en forma diferencial es

0=∂∂

+×∇tBEr

r

(2.17)

6

En el caso general, cuando hay campos variables con el tiempo, el campo eléctrico no es un campo conservativo. Hay que señalar que (2.17) constituye una generalización de la conocida ley de la electrostática 0=×∇ E

r.

3. Corriente de desplazamiento de Maxwell Todo lo visto hasta el presente en electricidad y magnetismo se puede resumir en las cuatro ecuaciones diferenciales siguientes: Ley de Coulomb: ρ=⋅∇ D

r

Ley de Ampere: JHrr

=×∇

Ley de Faraday: 0=∂∂

+×∇tBEr

r

Ausencia de monopolos magnéticos: 0=⋅∇ Br

(3.1) Además debemos considerar la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la carga eléctrica

0=∂∂

+⋅∇t

J ρr

(3.2) El significado de esta ecuación es más claro cuando se escribe en forma integral. Así, integrando (3.2) sobre un volumen V limitado por una superficie S y aplicando el teorema se la divergencia al primer sumando, obtenemos

∫∫ ∂∂

−=∂∂

−=⋅VS t

QdVt

dSJ ρr

(3.3) donde Q es la carga neta encerrada en el volumen V. La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la carga total que abandona el volumen V a través de la superficie S es igual a la disminución de carga neta contenida en dicho volumen. Todas las ecuaciones anteriores se han escrito en forma macroscópica y en el sistema MKSA. Recordemos que todas ellas, salvo la ley de Faraday, se dedujeron a partir de observaciones estáticas o estacionarias. Por ello, no es de extrañar que algunas de ellas no sean aplicables en situaciones en las que los campos dependan del tiempo. Fue J. C. Maxwell el primero en darse cuenta de la incompatibilidad de las ecuaciones (3.1). En particular, vio que la ley de Ampere, deducida para corrientes estacionarias, resulta incompatible con la ecuación de continuidad. En efecto, tomando la divergencia en ambos miembros la ley de Ampere se deduce que ( ) 0=×∇⋅∇=⋅∇ HJ

rr por ser nula la divergencia

de cualquier rotacional. Esto es sólo un caso particular de la ecuación de continuidad (3.2), correspondiente a la situación estacionaria en que no hay acumulaciones de carga variables con el tiempo, es decir, cuando 0=∂∂ tρ . Maxwell se dio cuenta de que, haciendo uso de la ley de Coulomb, la ecuación de continuidad se podía expresar como

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0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅∇=∂∂

+⋅∇tDJ

tJ

rrr ρ

(3.4) y, por tanto, si reemplazaba el vector J

r por su generalización, tDJ ∂∂+

rr, las ecuaciones de

continuidad y Ampere serían compatibles. De esta manera, la ecuación de Ampere, denominada ahora de Ampere-Maxwell, se transforma en

tDJH∂∂

+=×∇r

rr

(3.5) que para fenómenos estacionarios coincide con la ley original de Ampere. A la corriente

tD ∂∂r

introducida por Maxwell se la denomina corriente de desplazamiento. Ésta juega un papel fundamental cuando los campos varían rápidamente con el tiempo, como ocurre en los fenómenos de radiación electromagnética. De hecho, sin esta corriente no se podría explicar la existencia de ondas electromagnéticas. La predicción hecha por Maxwell de que la luz era un fenómeno ondulatorio electromagnético pudo confirmarse mediante el análisis de las ecuaciones que llevan su nombre y que reproducimos a continuación.

ρ=⋅∇ Dr

tDJH∂∂

+=×∇r

rr

0=⋅∇ Br

0=∂∂

+×∇tBEr

r

(3.6) Las ecuaciones de Maxwell constituyen la base de todos los fenómenos electromagnéticos clásicos. En algunos casos resulta más útil tener una representación integral de las ecuaciones anteriores. Para ello, basta aplicar el teorema de la divergencia a las dos ecuaciones de la izquierda integrando sobre un volumen arbitrario V delimitado por la superficie S y, por otro lado, aplicar el teorema de Stokes a las dos ecuaciones de la derecha integrando sobre una superficie S delimitada por la curva cerrada C. De esta manera se obtiene:

∫∫ =⋅VS

dVSdD ρrr

∫∫∫ ⋅∂∂

+⋅=⋅SSC

SdDt

SdJldHrrrrrr

0=⋅∫S SdBrr

∫∫ ⋅∂∂

−=⋅SC

SdBt

ldErrrr

(3.7) En los puntos donde los campos presentan algún tipo de discontinuidad, como por ejemplo, en la entrecara entre dos dieléctricos o un dieléctrico y un conductor, las ecuaciones (3.6) carecen de sentido y no podrán ser aplicadas, ya que no existen las derivadas parciales de algunas de las componentes del campo. Sin embargo, el conjunto de ecuaciones (3.7), que es más general que el (3.6) por no contener derivadas espaciales, sí podrá ser aplicado. Precisamente, este hecho es utilizado para deducir las condiciones de contorno para los campos al pasar de un medio a otro. Así, si denominamos nr al vector unitario normal a la superficie que limita los medios "1" y "2" y que apunta en la dirección de "1" a "2", las condiciones de contorno para los campos son:

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( ) σ=⋅− nDD rrr12 ( ) 012 =⋅− nBB rrr

( ) 012 =−× EEn

rrr ( ) KHHnrrrr

=−× 12

(3.8) donde σ y K

r son las densidad de carga y corriente superficiales macroscópicas,

respectivamente. En el caso en que uno de los medios, por ejemplo el "1", sea un conductor perfecto, los campos en su interior son nulos y, en consecuencia, las condiciones de contorno anteriores se reducen a σ=⋅ nD rr

0=⋅ nB rr

0=× Enrr KHn

rrr=×

(3.9) donde se ha omitido el subíndice "2", ya que es el único medio presente en el que los campos no son nulos. Se ha prescindido de las demostraciones de (3.8) y (3.9), aunque éstas se pude encontrar en la mayoría de textos de nivel intermedio o avanzado (ver, por ejemplo, los libros de Jackson o Choudhury).

4. Las ecuaciones de onda para el campo eléctrico y magnético

Las ecuaciones de Maxwell constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales entre las componentes del campo eléctrico y magnético. Generalmente, cuando los campos varían con el tiempo, resulta de especial interés obtener ecuaciones desacopladas en las que sólo aparezca el campo eléctrico o el magnético. Para llegar a estas ecuaciones es necesario suponer alguna relación constitutiva que relacione los campos derivados D

r y H

r con los fundamentales E

r y B

r. Para nuestra deducción supondremos el

caso más sencillo en que el medio es lineal, homogéneo y sin pérdidas, de manera que EDrr

ε= y BHrr

1−= µ , siendo ε y µ constantes (no dependen de la posición). Esta situación será estudiada con más detalle en el apartado 11 de este tema.

Para eliminar Br

tomamos el rotacional de 0=∂∂

+×∇tBEr

r, obteniéndose

( )

tBE

∂×∇∂

−=×∇×∇r

r

(4.1) Sustituyendo B

r×∇ por su expresión en función de E

r proporcionada por la ecuación de

Ampere-Maxwell ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=×∇tEJBr

rrεµ , obtenemos la ecuación de onda vectorial

inhomogénea

tJ

tEE

∂∂

−=∂∂

+×∇×∇rr

rµµε 2

2

(4.2)

9

Para el vector inducción magnética Br

se puede obtener una ecuación similar a (4.2) eliminando el campo eléctrico de las ecuaciones de Ampere-Maxwell y Faraday. De esta manera se llegaría a la ecuación

JtBB

rr

r×∇=

∂∂

+×∇×∇ µµε 2

2

(4.3) Si en el medio está libre de carga, de manera que 0=⋅∇ E

r (puede haber cargas de

polarización pero la densidad de carga macroscópica ρ debe ser nula.), entonces, el término EEErrr

2∇−⋅∇∇=×∇×∇ se simplifica a Er

2∇− , con lo que la ecuación de onda para regiones libres de carga queda de la forma

tJ

tEE

∂∂

=∂∂

−∇rr

rµµε 2

22

(4.4) De manera similar, teniendo en cuenta que 0=⋅∇ B

r, se obtiene la ecuación

JtBB

rr

v×∇−=

∂∂

−∇ µµε 2

22

(4.5) En muchas situaciones de interés el medio en que se va a resolver la ecuación de onda está libre de fuentes. Esto quiere decir que tanto ρ como J

r son nulos; en ese caso las ecuaciones

anteriores se reducen a las ecuaciones de onda homogéneas, dadas por

02

22 =

∂∂

−∇tEEr

rµε

02

22 =

∂∂

−∇tBBr

vµε

(4.6) Entre las características más notables de estas ecuaciones está el hecho de que sus soluciones,

como veremos en el apartado 6, se propagan a una velocidad finita dada por εµ1 , que en el

caso de que el medio sea el vacío coincide con la velocidad de propagación de la luz en ese medio, 81099792.2 ×≈c m/s. Esto hecho tuvo gran transcendencia histórica y contribuyo a ratificar que la hipótesis de Maxwell, según la cual la luz era un fenómeno ondulatorio electromagnético, era cierta.

5. Los potenciales electromagnéticos Aunque en casos sencillos es posible resolver las ecuaciones de Maxwell directamente, tal como aparecen en (3.6), a menudo resulta conveniente introducir unos potenciales con objeto de obtener un número menor de ecuaciones de segundo orden que satisfagan idénticamente algunas de las ecuaciones de Maxwell. Estos conceptos ya nos son conocidos

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de electrostática y magnetostática, donde se ha empleado el potencial escalar Φ y el potencial vector A

r.

Dado que la ecuación 0=⋅∇ Br

todavía sigue siendo válida, podemos definir Br

en función de un potencial vector A

r de manera que:

ABrr

×∇=

(5.1) Entonces, sustituyendo esta expresión en la ley de Faraday, obtenemos

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+×∇tAEr

r

(5.2) El vector que hay dentro del paréntesis tiene un rotacional nulo, lo que significa que puede ser expresado como el gradiente de un potencial escalar Φ . Así, tenemos

Φ−∇=∂∂

+tAEr

r

(5.3) o lo que es lo mismo

tAE∂∂

−Φ−∇=r

r

(5.4) Las expresiones de E

r y B

r en función e los potenciales A

r y Φ han sido deducidas a partir de

las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell y, por tanto, las satisfacen idénticamente. Para establecer las ecuaciones que verifican estos potenciales y poderlos así relacionar con las fuentes, será necesario utilizar las otras dos ecuaciones de Maxwell, las inhomogéneas. Por simplicidad lo haremos considerando que el medio es lineal homogéneo y sin pérdidas, esto es, teniendo en cuenta que ED

rrε= y BH

rr1−= µ , siendo ε y µ constantes.

Si sustituimos los campos Er

y Br

dados por (5.4) y (5.1) en las ecuaciones ρε =⋅∇ Er

y JtEB

rr

rµµε =

∂∂

−×∇ y tenemos en cuenta la relación vectorial AAAvrr

2∇−⋅∇∇=×∇×∇ ,

obtenemos

ερ

=∂⋅∂∇

+Φ∇t

Ar

2

Jt

AtAA

rrr

rµεµεµ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Φ∂

+⋅∇∇−∂∂

−∇ 2

22

(5.5) Hemos conseguido reducir el conjunto de cuatro ecuaciones de Maxwell a sólo dos, pero todavía están acopladas. Para desacoplar el sistema podemos aprovechar la arbitrariedad implícita en la definición de los potenciales. De la misma manera que el potencial Φ en electrostática era arbitrario en tanto que podíamos sumarle una constante cualquiera quedando inalterado el campo, ahora podemos sumarle al potencial vectorial A

r el gradiente de una

11

función escalar Λ cualquiera sin que Br

se altere en la transformación. Podemos representar esquemáticamente la transformación para A

r de la manera:

Λ∇+=′→ AAA

rrr

(5.6) Es inmediato comprobar que el rotacional de A

r es igual al de A′

r ya que el rotacional de un

gradiente es siempre nulo. Ahora bien, a este cambio en el potencial magnético debe sucederle otro cambio en el potencial escalar, de manera que el campo eléctrico quede inalterado. Si denominamos Φ′ al nuevo potencial escalar, se debe cumplir que

tAE∂′∂

−Φ′−∇=r

r

(5.7)

y, por tanto, tA

tA

∂∂

+Φ∇=∂′∂

+Φ′∇rr

. Sustituyendo A′r

por Λ∇+Ar

en esta ecuación,

obtenemos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Λ∂

−Φ∇=Φ′∇t

(5.8) de donde se deduce que la transformación simultánea a (5.6) que se debe realizar en el potencial escalar es

t∂Λ∂

−Φ=Φ′→Φ

(5.9) Las transformaciones (5.6) y (5.7) reciben el nombre de transformaciones de contraste. El margen de libertad que introducen estas transformaciones a la hora de escoger una pareja de potenciales puede ser utilizado para desacoplar las ecuaciones (5.5). Así, como demostraremos más adelante, siempre será posible encontrar unos potenciales A

r y Φ que

satisfagan la conocida como condición de contraste de Lorentz, definida por la ecuación

0=∂Φ∂

+⋅∇t

A εµr

(5.10) Introduciendo esta condición en las ecuaciones (5.5) obtenemos ecuaciones de onda independientes para cada uno de los potenciales

ερεµ −=

∂Φ∂

−Φ∇ 2

22

t

JtAA

rr

rµεµ −=

∂∂

−∇ 2

22

(5.11) A estos potenciales se suele denominar potenciales de Lorentz por haber sido obtenidos por imposición de la condición de contraste de Lorentz.

12

Para demostrar que siempre es posible encontrar una pareja de potenciales que cumplan la condición de contraste de Lorentz con una elección apropiada de Λ , consideremos que A

r

y Φ son unos potenciales cualesquiera que pueden o no satisfacer (5.10). Si utilizamos las transformaciones de contraste (5.6) y (5.9) para llegar a unos potenciales A′

r y Φ′ , a los que

les exigimos que cumplan la condición (5.10), obtenemos

( ) 0=∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Λ∂

−Φ∂+Λ∇+⋅∇=

∂Φ′∂

+′⋅∇t

tAt

A εµεµrr

(5.12) La ecuación anterior se cumple si Λ verifica la ecuación de onda inhomogénea

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Φ∂

+⋅∇−=∂Λ∂

−Λ∇t

At

εµεµr

2

22

(5.13) Dado que el segundo miembro de esta ecuación es conocido siempre será posible hallar una solución para Λ . Existe arbitrariedad incluso en la elección de potenciales que cumplen la condición de contraste de Lorentz. Así, si los potenciales de partida A

r y Φ verificasen (5.10), la ecuación

(5.13) se convertirá en homogénea

02

22 =

∂Λ∂

−Λ∇t

εµ

(5.14) y, en consecuencia, introduciendo en (5.6) y (5.9) una solución Λ de (5.14) se establecerá una transformación entre parejas de potenciales de Lorentz. Existen otras transformaciones de contraste alternativas a la de Lorentz que no hemos tratado aquí, como por ejemplo la condición de Coulomb. Estas condiciones conducen a potenciales diferentes a los de Lorentz que pueden tener utilidad ciertas circunstancias.

6. Función de Green para la ecuación de ondas Las ecuaciones para los potenciales de Lorentz (5.11) tienen la estructura básica de la ecuación

( )trftc

,12

2

22 r

=−∇∂ψ∂ψ

(6.1) donde ( )f x tr, representa la distribución de carga o corriente, que supondremos conocida en todo el espacio. Para hallar una solución explícita a esta ecuación supondremos que el medio

es no dispersivo, de manera que la velocidad de la luz εµ1

=c es independiente de la

frecuencia. La ecuación (6.1) puede ser resuelta por medio de la función de Green siguiendo un procedimiento similar al empleado en electrostática. Consideremos el problema

13

( ) ( ) ( ) ( )ttrrt

trtrGc

trtrG ′−′−=∂

′′∂−′′∇ δδ rr

rrrr

222 ,,,1,,,

(6.2)

Las soluciones de esta ecuación nos proporcionan una manera de obtener la solución de (6.1). Así, la función ψ dada por

( ) ( ) ( ) tdVdtxtrGtrftrR

′′′′′′= ∫ ∫+∞

∞− 3,,,,, rrrrψ

(6.3) constituye una solución de (6.1). Teniendo en cuenta (6.2) comprobamos

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )trftdVdttrrtrf

tdVdtxtrGtc

trftc

R

R

,,

,,,1,1

3

3 2

2

22

2

2

22

rrrr

rrr

=′′′−′−′′=

=′′′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇′′=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

δδ

∂∂ψ

∂∂

(6.3) es decir, verifica la ecuación de onda inhomogénea. Por tanto, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la función de Green ( )trtrG ′′,,, rr , cuyo significado es el de un potencial en rr en el instante t creado por una fuente puntual ( ) ( )ttrr ′−′− δδ rr situada en el punto r ′r en el instante ′t . En un medio que es no dispersivo, ilimitado, es decir, no tiene superficies límite y, además, es homogéneo e isótropo, la dependencia de la función de Green con las coordenadas rr y r ′r sólo puede ser a través de la distancia rrR ′−=

rr entre el punto fuente y el punto campo y del tiempo tt ′−=τ transcurrido desde la colocación de la fuente. La ecuación (6.2), en función de las variables R y τ , queda de la forma

( ) ( ) ( ) ( )τδδτ

τ∂τ RRGc

RG =∂

−∇ 2

2

22 ,1,

(6.4) Podemos eliminar la dependencia temporal en esta ecuación aplicando transformada de Fourier. Así, si denominamos ( )ω,Rg a la transformada de Fourier de ( )τ,RG tenemos:

( ) [ ] ( )∫+∞

∞−

−== ττω ωτ deRGGRg j,,

( ) [ ] ( )∫+∞

∞−

− == ωωπ

τ ωτdeRggRG j,21, 1

(6.5) La transformada de Fourier de la ecuación (6.2) es la ecuación de Helmholtz no homogénea

( ) ( ) ( )RRgkRg δωω =+∇ ,, 22

(6.6) siendo k c=ω y donde se ha tenido en cuenta que Φ[ ( )τδ ] 1= . Consideremos ahora el siguiente resultado

jkRjkRjkR

eRk

Re

Re ±±±

−∇=∇2

22 1

(6.7)

14

el cual puede ser obtenido fácilmente sabiendo que el laplaciano de una función que sólo

depende de R es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dRdR

dRd

R 2

1 . Reordenando los términos de la ecuación anterior llegamos a

Re

Rek

Re jkR

jkRjkR 1222 ∇=+∇ ±±±

(6.8) El segundo término de (6.8) se puede relacionar con la "función" delta de Dirac. Así, según se

vio en electrostática ( )RR

πδ412 −=∇ , y como ( )Rδ es diferente de cero sólo en 0=R , en

donde la función jkRe± vale la unidad, podemos escribir ( ) ( )RRe jkR δδ =± . De esto se deduce que la ecuación (6.8) queda finalmente como

( )RR

ekR

e jkRjkR

πδ422 −=+∇±±

(6.9) Ahora bien, comparando esta ecuación con (6.6) deducimos que las dos soluciones de (6.9) deben ser

( )R

eRgjkR±

−=π

ω41,

(6.10) La función de Green se obtiene haciendo la transformada inversa de Fourier de (6.10).

( ) =τ,RG Φ–1[g ( )ω,R ] = ( )R

cRmτδπ41−

(6.11) Nótese que la dependencia de g con ω es a través del número de ondas k c=ω . Para poder escribir (6.11) de la manera en que se ha hecho se ha tenido en cuenta que c es independiente de ω . Cada una de las funciones de Green da lugar a un potencial con un significado físico diferente como veremos más adelente. Si escribimos la función de Green en términos de las variables originales rr , rr′ , t y ′t , se obtiene:

( )rr

tc

rrt

ttrrG′−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−

′−

−=′′ rr

rr

mrr

δ

π41,,,

(6.12) Sustituyendo ( )ttrrG ′′ ,,, rr en (6.3) llegamos a la solución de la ecuación de ondas

( ) ( ) ∫∫ ∫ ′′−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−′

−=′′

′−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−

′−

′′−=

∞+

∞− 33

,

41,

41,

RRVd

rrc

rrtrf

Vdtdrr

tc

rrt

trftr rr

rr

mr

rr

rr

mrr

π

δ

πψ

(6.13)

15

El significado del doble signo es el siguiente: el potencial ψ en el punto rr y en el instante t

depende de la fuente f en cada punto r ′r del espacio y del instante c

rrt

′−rr

m . Por tanto,

cuando el signo es negativo el efecto, ψ , es posterior a la causa, f , (potenciales retardados), mientras que cuando el signo es positivo el efecto precede a la causa (potenciales avanzados). Si se admite una relación de causalidad entre los potenciales y las fuentes que los producen, únicamente tienen significado físico los potenciales retardados; no obstante, desde el punto de vista especulativo, pueden utilizarse ambos tipos de potenciales. Por simplicidad utilizaremos el símbolo [ ] ret para referirnos a los potenciales retardados. De esta forma, los potenciales escalar y vector retardados están representados por:

( ) ( )[ ]∫ ′

′−′′

=Φ3

ret,4

1,R

Vdrrtr

tr rr

rr ρ

πε

( ) ( )[ ]∫ ′

′−′

=3

ret,4

,R

Vdrr

trJtrA rr

rrrr

πµ

(6.14) Aunque las integrales están extendidas a todo el espacio, sólo es significativo el dominio en el que están distribuidas las fuentes.

7. Las ecuaciones de Maxwell en los medios materiales En principio cabe pensar que el conocimiento exacto de las fuentes ρ y J

r basta para

determinar completamente el campo electromagnético. Sin embargo, tal conocimiento es imposible cuando existen agregados macroscópicos de materia, ya que el número de fuentes individuales, las partículas cargadas de cada átomo, es enorme y, además, las fluctuaciones temporales de los campos que éstos producen son extraordinariamente rápidas y sus variaciones espaciales sumamente bruscas. Además, desde un punto de vista macroscópico, resulta irrelevante el conocimiento puntual e instantáneo de los campos dado que cualquier dispositivo de medida efectúa un promedio tanto espacial como temporal de los campos microscópicos. Por tanto, lo que sí resulta importante es la media del campo o la fuente en un volumen grande comparado con el volumen que ocupa un átomo o una molécula y en un tiempo, también grande, comparado con el periodo orbital de los electrones alrededor del núcleo o con el periodo de oscilación asociado al movimiento térmico de los átomos y moléculas. Para dar cuenta de estos promedios se introdujeron los vectores macroscópicos que aparecen en las ecuaciones de Maxwell (3.6), cuyo significado exacto se adquiere cuando se efectúan promedios adecuados en las ecuaciones microscópicas de Maxwell

0εη

=⋅∇ er jteb

rrr000 µµε =

∂∂

−×∇

0=⋅∇ br

0=∂∂

+×∇tber

r

(7.1) Estas ecuaciones no son otras que las ecuaciones de Maxwell para el vacío, en donde se suponen perfectamente conocidas todas las fuentes microscópicas de carga, η , y corriente, j

r,

16

que originan los campos y que, para distinguirlos de los campos macroscópicos, se escriben en minúsculas. No hay campos d

r y h

r debido a que todas las fuentes están incluidas en η y

jr

. Cuando se pretende llegar a un conjunto de ecuaciones macroscópicas se hace necesario distinguir entre las contribuciones a los campos producidas por las cargas y corrientes macroscópicas, detectables experimentalmente, y las debidas a la redistribución de las cargas y corrientes dentro de las moléculas. Además, mediante la introducción de los vectores D

r y

Hr

se consigue que las ecuaciones macroscópicas tengan una apariencia similar a las microscópicas, haciendo que en los segundos miembros de las dos ecuaciones no homogéneas aparezcan exclusivamente las densidades de carga y corriente macroscópicas. Para delimitar claramente el dominio en el que podemos esperar que sirva una descripción macroscópica de los fenómenos electromagnéticos, observamos que la reflexión y refracción de la luz visible se describen de modo adecuado mediante las ecuaciones de Maxwell con una constante dieléctrica continua, en tanto que la difracción de rayos X pone de manifiesto la naturaleza atómica de la materia. Es razonable, por consiguiente, tomar la longitud mL 8

0 10−= (el orden de magnitud de la longitud de onda de los rayos X) como límite inferior absoluto del dominio macroscópico. En un volumen de 3243

0 10 mL −= existen todavía, en la materia ordinaria, del orden de 106 átomos. Así pues, en cualquier región de interés macroscópico con 0LL >> existen tantos átomos que las fluctuaciones quedarán completamente difuminadas cuando se haga un promedio. Debe examinarse con cuidado la cuestión de cuál es el tipo de promedio apropiado. A primera vista podría pensarse que son necesarias medias tanto en el tiempo como en el espacio. Sin embargo, en ausencia de correlación en las variaciones temporales de los campos a distancias del orden de 0L o mayores, sólo será necesario un promedio espacial ya que éste difuminará las variaciones temporales que ocurren a escala microscópica. Es usual definir el promedio espacial de una función ( )trF ,r con respecto a una función prueba ( )rf r como

( ) ( ) ( ) VdtrrFrftrF ′′−′= ∫ ,, rrrr

(7.2) donde ( )rf r es una función real, no nula en cierto entorno de 0=rr que está normalizada a la unidad en todo el espacio, esto es

( ) 1=′′∫ Vdrf r

(7.3) La región en donde ( ) 0≠rf r es grande en comparación con las dimensiones moleculares. Además, es lógico pensar que la influencia de las moléculas cercanas al punto en consideración debe ser mayor que las que están alejadas de éste. Por tanto, ( )rf r debe alcanzar un máximo en el origen e ir decreciendo de forma suave hacia los extremos. Sin especificar ninguna función peso concreta podemos pensar que la forma aproximada de ésta debe ser similar a la que se muestra en la figura 4.

17

Figura 4.

Las dimensiones moleculares, representadas por a, son mucho menores que el intervalo en el que la función es claramente diferente de cero. Es sencillo comprobar que las operaciones de diferenciación respecto del espacio o del tiempo conmutan con la operación de promediado. Así, tenemos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trFVdtrrFrfVdrftrrFtrF ,,,, rrrrrrrr∇=′′−∇′=′′′−∇=∇ ∫∫

(7.4) y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trFt

VdtrrFt

rfVdrftrrFt

trFt

,,,, rrrrrrrr

∂∂

=′′−∂∂′=′′′−

∂∂

=∂∂

∫∫

(7.5) Ahora ya estamos en condiciones de deducir las ecuaciones macroscópicas de Maxwell a partir de la microscópicas. En primer lugar definiremos los campos eléctrico y magnético macroscópicos como los promedios espaciales de los microscópicos

( ) ( )tretrE ,, rrrr= y ( ) ( )trbtrB ,, rrrr

=

(7.6) Teniendo en cuenta las relaciones de conmutabilidad y poromediando en las ecuaciones (7.1), obtenemos

0εη

=⋅∇ Er

jtEB

rr

r000 µµε =

∂∂

−×∇

0=⋅∇ Br

0=∂∂

+×∇tBEr

r

(7.7) Si comparamos estas ecuaciones con las macroscópicas de Maxwell (3.6), es claro que los campos D

r y H

r provienen de extraer ciertas contribuciones de las densidades medias de

carga y corriente y añadírselas a los campos Er

y Br

. En lo que sigue vamos a analizar de forma detallada la deducción de la ley de Gauss macroscópica a partir de la primera de las ecuaciones (7.7). Supongamos que el medio, formado por átomos o moléculas, consta de cargas libres (normalmente electrones) y cargas ligadas (núcleos y electrones sujetos a sus movimientos orbitales). Si aceptamos que tanto unas como otras pueden ser consideradas como cargas puntuales la densidad microscópica de carga será

a

f

18

( ) ( )( )∑ −=i

ii trrqtr rrr δη ,

(7.8) donde ( )tri

r es el vector de posición de la carga i-ésima en el instante t. Separando η en una densidad de carga debida a las cargas libres, Fη , y otra debida a las cargas ligadas, Bη , escribimos BF ηηη += , donde ( ) ( )( )∑ −=

libre ,

,i

iiF trrqtr rrr δη

(7.9) y ( ) ( )∑=

moléculas ,,,

nnB trtr rr ηη

(7.10) Aquí, nη representa la densidad de carga de la molécula n-ésima que, a su vez, puede expresarse como

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )∑∑ −−=−=

njjnnj

njjjn trtrrqtrrqtr rrrrrr δδη ,

(7.11) donde se ha tenido en cuenta que el vector de posición de la carga j-ésima, jrr , perteneciente a la molécula n-ésima está dado por

jnnj rrr rrr+=

(7.12) siendo nr

r y jnrr los vectores de posición del centro de masas de la molécula n-ésima y de la carga j-ésima, respectivamente, tal como se muestra en la figura 5.

Figura 5.

El promedio de la densidad de carga de la molécula n-ésima es

jqmolécula n-ésima

jnrr

nrr

jrr

z

x

y

z´

y´

x´

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )∑

∑ ∫∫−−=

=′′−−−′=′′−′=

njjnnj

njjnnjnn

rrrfq

VdrrrrrfqVdtrrrftr

rrr

rrrrrrrrr

,, δηη

(7.13) Dado que jnrr es del orden de las dimensiones moleculares, podemos hacer un desarrollo en serie de Taylor de la función peso centrado en nrr rr

− , obteniéndose

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−∇⋅+−∇⋅−−=

njnjnnjnnjn rrfrrrfrrrfqtr Krrrrrrrrr 2

21,η

(7.14) Escribiendo

∑=

=3

1rrruxr rr , ∑

=

=3

1rr

nrn uxr rr , ∑

=

=3

1rr

jnrjn uxr rr

(7.15) de manera que

∑= ∂

∂=∇⋅

3

1r r

jnrjn x

xrr , ( ) ∑= ∂∂

∂=∇⋅

3

1,

22

sr sr

jns

jnrjn xx

xxrr

(7.16) e introduciendo los momentos multipolares moleculares de carga

( )

( )∑=

njj

n qQ , (tensor de orden cero)

( )

( )∑=

nj

jnrj

nr xqp , o en forma vectorial, ( )

( )∑=

njjnj

nr rqp rr , (tensor de orden uno)

( )

( )∑=

nj

jns

jnrj

nrs xxqQ 3ˆ , (tensor de orden dos)

(7.17)encontramos que el promedio molecular de carga se puede escribir como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K

rrrrrrrr

+∂∂−∂

+−∇⋅−−= ∑=

3

1,

2ˆ

61,

sr sr

nnrsn

nn

nn xx

rrfQrrfprrfQtrη

(7.18) Ahora bien, el primer sumando de (7.18) se puede escribir como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn

nn

nn rrQVdrrrrfQrrfQ rrrrrrrr

−=′′−−′=− ∫ δδ

(7.19) que es el promedio de una carga puntual de valor ( )nQ situada en el centro de la molécula n-ésima. De manera similar escribimos

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )nn

nn

nn

nn

rrp

Vdrrrrfprrfprrfprrr

rrrrrrrrrrr

−⋅∇=

=′′−−′⋅∇=−⋅∇=−∇⋅ ∫δ

δ

(7.20)

20

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )nn

rssr sr

nn

rssr srsr sr

nnrs

rrQxx

VdrrrrfQxxxx

rrfQ

rr

rrrrrr

−∂∂∂

=

=′′−−′∂∂∂

=∂∂−∂

∑

∫∑∑

=

==

δ

δ

ˆ

ˆˆ

3

1,

2

3

1,

23

1,

2

(7.21) Los últimos términos de (7.20) y (7.21) son las divergencias de los promedios del momento dipolar y cuadrupolar de un dipolo y un cuadrupolo, respectivamente, situados en el centro de la molécula. Así, el promedio de la densidad de carga molecular se puede interpretar como una suma de contribuciones debidas a multipolos puntuales situados en el centro de la molécula. La distribución en detalle de la carga molecular es importante al nivel microscópico, pero queda reemplazada, en sus efectos para fenómenos macroscópicos, por una suma de multipolos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Krrrrrrrr

+−∂∂∂

+−⋅∇−−= ∑=

nn

rssr sr

nn

nn

n rrQxx

rrprrQtr δδδη ˆ61,

3

1,

2

(7.22) Teniendo en cuenta (7.9) y (7.10) encontramos que el promedio de la densidad de carga total es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )K

rrK

rr

rrrrrrr

rrrrr

+∂∂

∂+⋅∇−=+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∂∂∂

+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅∇−−+−=

=+=+=

∑∑∑

∑∑∑

∑

==

3

1,

2

moléculas

3

1,

2

moléculas moléculas libre ,

moléculas

,ˆ,,ˆ

61

, ,,,,

sr sr

rs

nn

nrs

sr sr

nn

n

nn

n

iii

nnFBF

xxtrQtrPtrrrQ

xx

rrprrQrrq

trtrtrtrtr

ρδ

δδδ

ηηηηη

(7.23) En (7.23) se han introducido las magnitudes ( )tr ,rρ , ( )trP ,r

r y ( )trQrs ,r , su interpretación es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ −+−=−+−=moléculas libre ,moléculas libre ,

,n

nn

iii

nn

n

iii rrQrrqrrQrrqtr rrrrrrrrr δδδδρ

(7.24) La cantidad ( )tr ,rρ representa la densidad de carga macroscópica. Ésta tiene en consideración tanto a las carga libres como a las cargas netas de las moléculas. Debido a la operación de promediado que aparece en su definición, la contribución a la densidad de carga en un punto dado, rr , de las cargas circundantes, es mayor cuanto más próximas a rr estén dichas cargas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −=−=moléculas moléculas

,n

nn

nn

n rrprrptrP rrrrrrrδδ

(7.25)

21

El vector ( )trP ,

r es la polarización macroscópica, su valor en un punto está influido por todos

los dipolos puntuales circundantes. Por último, el tensor de orden 2, cuyas componentes son

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −=−=moléculas moléculas

ˆ61ˆ

61,ˆ

nn

nrs

nn

nrsrs rrQrrQtrQ rrrr δδ

(7.26) es el momento cuadrupolar macroscópico. De forma similar se podrían definir los momentos n-polares macroscópicos de orden superior, no obstante, al igual que sucede con el momento cuadrupolar, su contribución al campo es prácticamente despreciable en la mayoría de las situaciones prácticas. Si introducimos la expresión obtenida en (7.23) para la densidad de carga total en la ecuación de Gauss (7.7), obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂∂

+⋅∇−==⋅∇ ∑=

Krrrr 3

1,

2

00

,ˆ,,1,

sr sr

rs

xxtrQ

trPtrtrE ρεε

η

(7.27) Esta ecuación se puede escribir también como

ρε =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−+∂∂∑ ∑

= =

3

1

3

10

ˆ

r s s

rsrr

s xQ

PEx

K

(7.28) Ello sugiere que definamos un nuevo vector, denominado desplazamiento, cuyas componentes están dadas por

K+∂∂

−+= ∑=

3

10

ˆ

s s

rsrrr x

QPED ε

(7.29) Los dos primeros términos del desplazamiento resultan familiares. El tercero y los superiores están presentes en principio, pero resultan despreciables casi siempre. De hecho, si no los tenemos en cuenta, podremos escribir el desplazamiento en forma vectorial como

PEDrrr

+= 0ε

(7.30) Con la definición dada para el vector desplazamiento la ecuación de Coulomb macroscópica se escribe de la forma

ρρ =⋅∇⇔=∂∂∑

=

DxD

r s

rr3

1

(7.31) El vector D

r se ha definido para conseguir una ecuación similar a la ecuación microscópica

0εη

=⋅∇ er pero en la que sólo aparezca la densidad de carga macroscópica en el segundo

miembro.

22

Un tratamiento similar al que hemos empleado para llegar a la ecuación macroscópica de Coulomb, aunque más complejo debido a la naturaleza vectorial de la densidad de corriente j

r, se puede llevar a cabo para establecer la ecuación macroscópica de Ampere-

Maxwell tDJB∂∂

+=×∇r

rr. Una deducción detallada de ello se puede encontrar en el libro de

Choudhury.

8. Ley de conservación de la energía. Teorema de Poynting

La forma concreta que adquiere el principio de conservación de la energía en presencia de campos electromagnéticos se conoce como teorema de Poynting. Para empezar, consideremos el trabajo por unidad de tiempo que ejerce el campo electromagnético sobre una carga puntual q. Según la expresión de Lorentz, la fuerza que ejerce el campo electromagnético sobre una carga puntual q que se mueve con una velocidad vr es

)( BvqEqFrrrr

×+= . El trabajo realizado por unidad de tiempo por esta fuerza, es decir, la potencia absorbida por la carga es vEqvBvqvEqvF rrrrrrrrr

⋅=⋅×+⋅=⋅ )( , ya que 0)( =⋅× vBv rrr . Si en vez de una carga puntual tuviéramos una distribución continua de carga de densidad ρ , la potencia absorbida por la carga dVρ sería dVEJdVvE

rrrr⋅=⋅ ρ , y la potencia absorbida

por las cargas contenidas en un volumen V sería

dVEJPV∫ ⋅=

rr

(8.1) Esta potencia representa la conversión de energía electromagnética en energía mecánica. Según el principio de conservación de la energía, a esta conversión debería corresponder un decrecimiento de la energía electromagnética almacenada en el volumen V, un aporte externo de energía o ambas cosas a la vez. Para analizar este balance escribiremos (8.1) en función de los campos exclusivamente. Eliminando la densidad de corriente J

r mediante la ley de

Ampere-Maxwell tDJH∂∂

+=×∇r

rr, obtenemos

dVtDEHEdVEJ

VV ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅−×∇⋅=⋅r

rrrrr

(8.2) Utilizando la identidad vectorial ( ) HEEHHE

rrrrrr×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ y la ley de Faraday

tBE∂∂

−=×∇r

r escribimos (8.2) de la forma

( ) dVtBH

tDEHEdVEJ

VV ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅+×⋅∇−=⋅

rr

rrrrrr

(8.3) Por último, aplicando el teorema de la divergencia a la primera integral del segundo miembro de (8.3), llegamos a la expresión

23

dVtBH

tDEdanHEdVEJ

VSV ∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅−⋅×−=⋅

rr

rrrrrrr

(8.4) en donde nr es el vector normal unitario dirigido hacia el exterior de V. Esta ecuación recibe el nombre de teorema de Poynting; su interpretación, como veremos seguidamente, se fundamenta en el principio de conservación de la energía.

En primer lugar, para analizar el significado del término dVtBH

tDE

V∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅

rr

rr

vamos a considerar la situación en que el volumen V está cerrado por una superficie S infinita. En ese caso, dado que los campos se propagan a una velocidad finita, tanto E

r como H

r son

nulos sobre S y, en consecuencia, también lo es la integral de superficie ∫ ⋅×S

danHE rrr. El

teorema de Poynting queda de la forma

dVtBH

tDEdVEJ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅−=⋅

rr

rrrr

(8.5) donde las integrales están extendidas a todo el espacio. Si, tal como se dijo al comienzo de este apartado, el primer término de (8.5) representa el trabajo por unidad de tiempo efectuado por los campos sobre las cargas, el segundo término deberá interpretarse como la disminución, por unidad de tiempo, de la energía almacenada en los campos. Podemos llegar a esta misma interpretación partiendo desde un punto de vista diferente. Consideremos que los medios son lineales en sus propiedades eléctricas y magnéticas. En ese caso, se tiene:

tH

tE

tHH

tEE

tBH

tDE

∂∂

+∂∂

=∂∂

⋅+∂∂

⋅=∂∂⋅+

∂∂⋅

22

21

21

rrrr

rr

rr

rr

µεµε

(8.6) con lo que

dVHEt

dVtBH

tDE

VV ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅ 22

21

21 rr

rr

rr

µε

(8.7)

Sabemos que los términos dVEV∫

2

21 r

ε y dVHV∫

2

21 r

µ representan las energías

electrostática y magnetostática, respectivamente, contenidas en el volumen V. Por tanto, si admitimos que esta interpretación es también válida para campos variables con el tiempo, el segundo miembro de (8.7) indicará con qué velocidad varía la energía contenida en V. Esta variación será negativa si, como en (8.4), la integral de volumen está precedida de un signo menos. Finalmente, en concordancia con el principio de conservación de la energía, debemos interpretar que ∫ ⋅×−

SdanHE rrr

es flujo de energía que por unidad de tiempo atraviesa la

superficie límite S en dirección hacia V para compensar las pérdidas en las cargas y la disminución de la energía contenida en los campos.

Al vector

24

HESrrr

×=

(8.8) se le denomina vector de Poynting. En principio, cabría interpretar S

r como el flujo de

energía por unidad de tiempo y superficie transportado por los campos. Sin embargo, tal interpretación resulta arbitraria debido a que siempre será posible construir un nuevo vector

FSSrrr

×∇+=′ , en donde Fr

es un campo vectorial cualquiera, de manera que

( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅=×∇⋅∇+⋅=⋅×∇+⋅=⋅′SVSSSS

danSdVFdanSdanFdanSdanS rrrrrrrrrrr

(8.9) ya que ( ) 0=×∇⋅∇ F

r cualquiera que sea F

r. En vista de que tanto S

r como S ′

r contribuyen

de igual manera al flujo total cabría preguntarse cuál de ellos debe interpretarse como flujo de energía por unidad de tiempo y superficie. En realidad no hay una respuesta a esta cuestión, cualquiera de los dos sería un candidato aceptable para tal interpretación. De hecho, lo único que tiene un significado claro es el flujo total a través de S, no su densidad. No obstante, por convenio, se suele admitir que HES

rrr×= representa el flujo de potencia por unidad de

superficie.

9. Teorema de unicidad para las ecuaciones de Maxwell El teorema de Poynting nos permite establecer de forma muy simple las condiciones que han de satisfacerse para que los campos ( )trE ,r

r y ( )trH ,r

r sean soluciones únicas a las

ecuaciones de Maxwell dentro de una región V delimitada por la superficie S. Consideraremos que la densidad de corriente total proviene de la densidad de corriente de conducción,

EJrr

σ= , y de la posible existencia de fuentes interiores a V, cuyo aporte a la densidad de corriente, ( )trJ i ,r

r, está prescrito en el problema. Por simplicidad supondremos que el medio

es isótropo y lineal, y está caracterizado por las constantes dieléctricas ε y µ que, en general, serán funciones del punto. En realidad, las conclusiones a las que lleguemos serán también válidas para medios más generales que los descritos anteriormente. Sean ( )trE ,1

rr,

( )trH ,1rr

y ( )trE ,2rr

, ( )trH ,2rr

dos soluciones a las ecuaciones de Maxwell que son idénticas en todos los puntos de V en el instante 0=t . Deseamos encontrar el mínimo número de condiciones a imponer sobre la superficie S que nos aseguren que las dos soluciones permanecen siendo idénticas para todo instante 0>t . En virtud de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell (excluimos todo tipo de materiales no lineales, como los ferromagnéticos...) el campo obtenido por la diferencia entre los anteriores, 12 EEE

rrr−= y 12 HHH

rrv−= satisface las ecuaciones

0=⋅∇ Dr

EtDH

rr

rσ=

∂∂

−×∇

0=⋅∇ Br

0r

rr

=∂∂

+×∇tBE

(9.1) La expresión del teorema de Poynting para estos campos es

25

( )∫∫∫ ⋅×−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

SVVdanHEdVEdVHE

trrrr

rr2

22

22σµε

(9.2) Podemos conseguir que la integral de superficie se anule si exigimos que 0

rrr=× nE , o bien,

0rrr

=× nH (no necesariamente las dos). De esa manera el vector de Poynting HErr

× no tendrá componente normal sobre la superficie S. En ese caso tendremos

∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

VVdVEdVHE

t2

22

22r

rr

σµε

(9.3) El miembro de la derecha de la ecuación (9.3) es siempre negativo y, por tanto, la integral de volumen de la izquierda define una función decreciente en el tiempo. Como en 0=t habíamos exigido que 0

rrr== HE , debe ocurrir que

∫ >≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

VtdVHE 0para ,0

22

22rr

µε

(9.4) Evidentemente, dado que el integrando es siempre positivo o nulo, la única posibilidad es que

0rrr

== HE para todo instante 0>t , es decir, ( ) ( )trEtrE ,, 21rrrr

= y ( ) ( )trHtrH ,, 21rrrr

= . En resumen, los campos eléctrico y magnético están unívocamente determinados en un recinto, si se conocen sus valores iniciales en todo el recinto y el valor de la componente tangencial del campo eléctrico o del campo magnético en toda la superficie que limita al recinto. El recinto V podría ser el exterior a un conjunto de superficies iS aisladas, dado que para cerrar V siempre sería posible tomar una superficie esférica suficientemente alejada de las fuentes como para que los campos fueran nulos por no haber llegado a ella en cualquier instante finito de tiempo. En ese caso, la condición de conocer los campos eléctrico y magnético en todo el recinto V en 0=t y las componentes tangenciales sobre S de uno de ellos, es excesiva; para conocer el campo en el instante t en un punto rr bastaría con conocer los campos en 0=t en todos los puntos de V que están dentro de la esfera de centro en rr y radio ct .

10. Dependencia armónica con el tiempo. El teorema de Poynting complejo.

Una situación muy frecuente se presenta cuando la variación de los campos con el tiempo es de tipo armónico. En ese caso resulta útil expresar esta dependencia haciendo uso de la exponencial compleja tje ω , de manera que la derivada de cualquier magnitud con este tipo de variación temporal resulta equivalente a multiplicar a ésta por ωj . Los campos eléctrico y magnético reales se pueden escribir en función de tje ω como

26

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )tjtjtj

tjtjtj

erHerHerHtr

erEerEerEtr

ωωω

ωωω

−∗

−∗

+==

+==

rrrrrrrr

rrrrrrrr

21Re,

21Re,

(10.1) A fin de evitar confusión se ha adoptado la notación ( )tr ,r

r, ( )tr ,rr

, ( )tr ,rr

etc. para las magnitudes reales, dependientes de la posición y del tiempo, y ( )rE rr , ( )rH rr

, ( )rJ rr , etc. para las complejas, que sólo dependen de la posición. Esta diferenciación sólo se tendrá en cuenta cuando en el mismo contexto coexistan ambos tipos de magnitudes. Para las expresiones en forma de producto, tales como ( ) ( )trtr ,, rrrr

⋅ se tiene

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tj

tjtjtjtj

erErJrErJ

erEerEerJerJtrtr

ω

ωωωω

2Re21

41,,

rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

⋅+⋅=

=+⋅+=⋅

∗

−∗−∗

(10.2) El promedio temporal de esta cantidad es

( ) ( ) ( ) ( )[ ]rErJtrtrt

rrrrrrrr⋅=⋅ ∗Re

21,,

(10.3) ya que 02 =

t

tje ω .

Introduciendo las expresiones de los campos y las fuentes con dependencia temporal armónica en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (3.6) y eliminando el factor común

tje ω (o tje ω− para las ecuaciones que relacionan los campos conjugados), se llega a las ecuaciones Maxwell en el dominio de la frecuencia ρ=⋅∇ D

r JDjH

rrr=−×∇ ω

0=⋅∇ Br

0=+×∇ BjErr

ω

(10.4) En estas expresiones, tanto los campos como las fuentes son funciones complejas que dependen de la posición, pero no del tiempo. A continuación vamos a analizar el principio de conservación de la energía (teorema de Poynting) para campos de tipo armónico. En primer lugar consideraremos la cantidad

dVEJV∫ ⋅∗

rr

21

(10.5) cuya parte real es el promedio temporal de la potencia absorbida por las cargas. Sustituyendo

∗Jr

por su expresión en función de los campos a través de la ecuación de Ampere-Maxwell y teniendo en cuenta la relación vectorial ( ) ∗∗∗ ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ HEEHHE

rrrrrr y la ecuación

de Faraday, 0=+×∇ BjErr

ω , llegamos a la ecuación

( ) ( )dVDEHBjdVHEdVEJVVV ∫∫∫ ∗∗∗∗ ⋅−⋅−×⋅∇−=⋅

rrrrrrrr

221

21 ω

(10.6)

27

Aplicando el teorema de la divergencia a la expresión anterior obtenemos

( ) dVDEHBjdanHEdVEJVSV ∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

⋅−⋅×−=⋅

∗∗∗∗

442

21

21

rrrrrrrrr

ω

(10.7) Esta expresión es conocida como teorema de Poynting complejo. Debido a la aparición de términos imaginarios, su interpretación es algo más complicada que la del teorema de Poynting real. Para analizar su significado supondremos que el medio es lineal. En primer lugar, las partes reales de las integrales

dVHBV∫

∗⋅4

rr

dVDEV∫

∗⋅4

rr

(10.8) son las energías eléctrica y magnética almacenadas en el volumen V. Para convencernos de ello consideraremos el caso especial en el que el medio sea lineal no tenga pérdidas. En esa situación, según veremos en detalle en el apartado 11, las constantes dieléctricas son reales, de manera que ED

rrε= y HB

rrµ= . Entonces, las partes reales de las integrales de (10.8)

quedan de la forma

( ) ( )

( ) ( )t

VVVe

tVVVm

dVtrtrdVEEdVDEW

dVtrtrdVHHdVHBW

∫∫∫

∫∫∫

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

∗∗

∗∗

,,22

Re21

4Re

,,22

Re21

4Re

rrrrrrrr

rrrrrrrr

εε

µµ

(10.9) donde se ha tenido en cuenta que el promedio temporal de un producto de campos que varían armónicamente con el tiempo es igual a la mitad de la parte real del producto del campo por su conjugado (expresión (10.3)). Según vimos en el apartado 6, los términos de la derecha de (10.9) representan las energías magnética y eléctrica almacenadas en los campos con una dependencia arbitraria con el tiempo que, en particular, puede ser armónica, lo que confirma la suposición que hicimos anteriormente. Esta interpretación sigue siendo válida incluso cuando el medio presenta pérdidas, en cuyo caso las constantes dieléctricas ε y µ de (10.9), que ahora serían cantidades complejas de la forma εεε ′′−′= j y µµµ ′′−′= j , deben ser reemplazadas por sus partes reales ε ′ y µ′ . Supondremos, además, que existe una relación lineal entre la corriente y el campo eléctrico dada por la ley de Ohm EJ

rrσ= , donde σ es la

conductividad del medio. Desdoblemos ahora la ecuación (10.7) en sus partes real e imaginaria. Para la parte real tenemos

( ) ( ) dVEEdVEEHHdanHEVVS ∫∫∫ ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅′′+⋅′′=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅× ∗

∗∗∗

rrrrrr

rrrσεµω

21

44221Re

(10.10) y para la parte imaginaria

28

( ) ( ) dVEEHHdanHEVS ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅′−⋅′=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅×

∗∗∗

442

21Im

rrrrrrr

εµω

(10.11) La ecuación (10.10) establece que el promedio de la potencia electromagnética transmitida a través de una superficie cerrada S hacia V es igual al promedio de las pérdidas de potencia debidas a las fuerzas de "fricción" (introducidas fenomenológicamente para dar cuenta de efectos como la radiación, colisiones entre átomos, etc.) que se oponen al movimiento de las cargas cuando se establece una polarización alterna de los átomos o moléculas, más el promedio de las pérdidas producidas por la corriente EJ

rrσ= , que se traducen en un

calentamiento del medio por efecto Joule. Nótese que la segunda integral de volumen en (10.10) podría quedar integrada en la primera si considerásemos una permitividad compleja

de la forma ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +′′−′=

ωσεεε j . Esta ecuación muestra que para preservar el principio de

conservación de la energía ε ′′ y µ ′′ deben ser positivas, esto es, que las partes imaginarias de ε µ deben ser negativas. Por su parte, la ecuación (10.11) establece un balance instantáneo de energía para que no se viole el principio de conservación de la misma en ningún instante de tiempo. Esta ecuación muestra que la parte imaginaria del flujo de energía es igual a dos veces la energía reactiva em WW − almacenada en los campos eléctrico y magnético en V. Al

vector ∗×= HESrr

se le denomina vector de Poynting complejo. Según lo visto anteriormente, podemos interpretar que ( ) [ ]S

rRe21 es el promedio temporal de la potencia

por unidad de superficie que transportan los campos electromagnéticos. Para concluir este apartado mencionaremos que es frecuente referirse a (10.4) como las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. La justificación de esta denominación está en que éstas son las ecuaciones que se deducen de aplicar la transformada de Fourier a las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. Esto se puede comprobar fácilmente teniendo en cuenta que la operación t∂∂ en el dominio del tiempo equivale a una multiplicación por ωj en el dominio de la frecuencia. Las fuentes y campos complejos que aparecen en (10.4) deben ser considerados ahora como las transformadas de Fourier de las fuentes y campos verdaderos.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) dtetrrJ

dtetrr

dtetrrH

dtetrrE

tj

tj

tj

tj

ω

ω

ω

ω

ω

ωρ

ω

ω

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−+∞

∞−

∫∫∫∫

=

=

=

=

,,

,ρ,

,,

,,

rrrr

rr

rrrr

rrrr

(10.12) Normalmente, la eliminación de la dependencia temporal simplifica notablemente la resolución de las ecuaciones de Maxwell, por ello suele ser preferible trabajar en el dominio de la frecuencia y posteriormente, si fuera necesario, hallar los campos en el dominio del tiempo mediante la transformada de Fourier inversa, dada por

29

( ) ( )

( ) ( ) ωωπ

ωωπ

ω

ω

derHtr

derEtr

tj

tj

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

=

=

,21,

,21,

rrrr

rrrr

(10.13) Las expresiones (10.13) muestran cómo una solución arbitraria de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo puede ser considerada como una suma continua de soluciones con dependencia temporal armónica ( ) tjerE ωω,r

r y ( ) tjerH ωω,r

r, cuyos campos complejos

dependen de la posición y de la frecuencia. Ésta es una de las razones de la importancia que tiene el estudio de las soluciones con este tipo de dependencia temporal.

11. Relaciones constitutivas El tratamiento de los fenómenos electromagnéticos analizados hasta el momento está basado en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (3.6). Éstas constituyen un conjunto de ocho ecuaciones que relacionan las componentes de los cuatro campos,

r, r

, r

y r

. Para poder resolver estas ecuaciones hace falta conocer las relaciones existentes entre los campos derivados

r y

r y los campos fundamentales

r y

r. Estas relaciones, conocidas con el

nombre de relaciones constitutivas, deben tener en cuenta la posibilidad de que los campos derivados, en un instante t, dependan del los campos fundamentales en t y en instantes anteriores a t, es decir, que estén influidos por la historia anterior (dispersión temporal), como ocurre en la histéresis. Y no sólo eso, puede ocurrir también que el campo derivado, digamos, en un punto rr , dependa de los valores de los campos fundamentales en rr y en puntos adyacentes a rr (dispersión espacial). Por todo ello, las relaciones constitutivas, en el caso más general, no podrán ser simples funciones que liguen

r y

r con

r y

r, sino que

deberán ser funcionales. Así, escribiremos

[ ]rrrr,= y [ ]rrrr

,=

(11.1) donde se han utilizado corchetes para denotar las relaciones funcionales entre las magnitudes derivadas y las fundamentales. Además, para medios conductores debe considerarse la ley de Ohm generalizada:

[ ]rrrr,=

(11.2) Si los campos aplicados no son muy intensos muchos materiales exhiben un comportamiento lineal, es decir, la relación que liga el efecto (la polarización, la magnetización o la corriente) a la causa (los campos eléctrico y magnético) es lineal. Una relación lineal entre, por ejemplo, la polarización y el campo eléctrico (admitiendo que, en primera aproximación,

rrr+= 0ε ), establece una relación lineal entre el desplazamiento y éste último. Los

medios lineales en los que el vector asociado al efecto siempre tiene la misma dirección que el campo aplicado se dice que son isótropos, en caso contrario, se dirá que el material es anisótropo. Muchos materiales, sobre todo cristales, manifiestan un comportamiento claramente anisotrópico.

30

En general, salvo para sistemas con variación espacial del campo muy rápidas, los efectos de la dispersión espacial son de mucha menor importancia que los de la dispersión temporal. Por ello, analizaremos a continuación el fenómeno de la dispersión temporal para el campo eléctrico en medios lineales. Podemos suponer que la relación entre la componente α -ésima (x, y o z) del desplazamiento y el campo eléctrico para un medio lineal genérico está dada por

( ) ( ) ( )∑∫+∞

∞−−=

ββα τττ drtrεtr αβ ,,, rrrrr

(11.3) donde αβε son las componentes del tensor permitividad. Si el medio es isótropo el tensor permitividad es diagonal con todas sus componentes iguales a cierto valor ε . En ese caso escribiremos

( ) ( ) ( ) ( )trdrtrtr ,,,, rrrrrrr∗=−= ∫

+∞

∞−ετττε

(11.4) Si tenemos en cuenta el principio de causalidad, según el cual el efecto en un instante t nunca puede depender de la causa en instantes posteriores a t, el vector desplazamiento ( )tr ,r

r sólo

puede depender de la causa, el campo eléctrico, en instantes t≤τ . De aquí se desprende que ( ) 0, =trrε para 0<t y, en consecuencia, (11.4) se reduce a

( ) ( ) ( )∫ ∞−

−=t

drtrtr τττε ,,, rrrrr

(11.5) En el dominio de la frecuencia la relación anterior queda de la forma

( ) ( ) ( )ωωεω ,,, rErrD rrrrr=

(11.6) donde ( )ω,rD rr , ( )ω,rE rr y ( )ωε ,rr son las transformadas de Fourier de ( )tr ,r

r, ( )tr ,rr

y ( )tr ,rε , respectivamente. La forma en que ( )ωε ,rr varía con la frecuencia depende de las

características propias del medio, sin embargo, el principio de causalidad impone ciertas restricciones sobre esta dependencia. En concreto, se puede demostrar (ver, por ejemplo, Jackson) las partes real e imaginaria de la permitividad compleja relativa, rrr jεεε ′′−′= , no son independientes, sino que están ligadas por lo que se conoce como relaciones de Kramers-Krönig

( ) ( )( )∫

∞′

−′′′′′

+=′0 22

,21, ωωωωεω

πωε d

rr r

r

rr

(11.7)

( ) ( )( )∫

∞′

−′′′−

=′′0 22

,12, ωωωωε

πωωε drr r

r

rr

(11.8) De la relación (11.8) se deduce que rε ′′ es nula si y sólo si ( ) 1=′ ωε r para todo valor de ω . Ahora bien, la transformada de Fourier inversa de la función constante ( ) 1=′ ωε r es ( ) ( )ttr δε = y, en ese caso, la relación (11.4) queda reducida a ( ) ( )trtr ,, 0

rrrrε= , que es la

que se obtendría en ausencia de polarización, es decir, en ausencia de medio material alguno.

31

Vemos que, como cabría esperar, el único medio que carece totalmente de pérdidas es el vacío. Un modelo sencillo que permite analizar las propiedades más importantes de la permitividad compleja supone que las moléculas o átomos que constituyen la materia forman pequeños dipolos cuando se les aplica un campo eléctrico. Como la masa del núcleo del átomo es mucho mayor que la de los electrones, podemos suponer que éste permanece estático y que son los electrones los que se desplazan por efecto del campo local. En general, el campo local, mE

r, no coincide con el campo aplicado, E

r, debido a la influencia que ejercen

las moléculas cercanas al punto en consideración. No obstante, podemos suponer que el campo local está relacionado con el campo aplicado a través de una relación de la forma

PvEEm

rrr

0ε+=

(11.9) donde v es una constante que depende del tipo de dieléctrico que se considere. Así, el modelo de Lorentz (véase, por ejemplo, Fundamentos de la teoría electromagnética de Reitz, Milford y Christy) establece que en el caso de un dieléctrico no polar e isótropo 31=v . Para un metal, 0=v . Sin embargo, para nuestro modelo cualitativo no importa demasiado cuál sea el valor concreto que tome esta constante. Supongamos que uno de estos electrones es sometido a un campo armónico local de la forma ( ) tj

m eEtE ω0

rr= experimentando un desplazamiento rr respecto de su posición de

equilibrio. Como consecuencia de este desplazamiento aparece una fuerza restauradora que atrae al electrón hacia su posición original y que supondremos es lineal de la forma rm r

0ω− , donde m es la masa del electrón y πω 20 su frecuencia natural de oscilación. Además, desde un punto de vista fenomenológico, debemos introducir una fuerza de “fricción” dtrdm rγ− que dé cuenta de la pérdida de energía por efecto de las colisiones, la radiación, etc. La ecuación del movimiento de un electrón de carga q sometido a todas estas fuerzas es

tjeEqrdtrd

dtrdm ωωγ 0

202

2 rrrr

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(11.10) La solución estacionaria de esta ecuación es

( )γωωω jmEq

r m

+−−

= 220

rr

(11.11) La contribución al momento dipolar debida al desplazamiento de este electrón es

( )γωωω jmEq

rqp m

+−=−= 22

0

2r

rr

(11.12) Supongamos ahora que hay Z electrones en una molécula. Si, en vez de una única frecuencia de oscilación 0ω y una única constante de amortiguamiento γ , hay if electrones con frecuencias de oscilación iω y constantes de amortiguamiento iγ , entonces el momento dipolar molecular será

32

( )∑ +−=

i ii

im

jf

mEq

pωγωω 22

2r

r

(11.13) donde Zf

ii =∑ .

Consideremos ahora que N representa el número de moléculas por unidad de volumen, entonces, si todas ellas están igualmente polarizadas, el vector macroscópico pNP rr

= estará dado por

( )∑ +−=

i ii

im

jf

mEq

NPωγωω 22

2r

r

(11.14) Admitamos ahora que existe una relación lineal entre el campo eléctrico aplicado E

r y la

polarización Pr

de la forma

EPrr

χ=

(11.15) Sabiendo que ( )EPED

rrrrχεε +=+= 00 , deducimos que permitividad compleja relativa estará

dada por 01 εχε +=r . Comparando la expresión (11.14) con (11.15) se deduce que

( )∑ +−=

i ii

im

jf

mEq

NEωγωω

χ 22

2r

r

(11.16) y, teniendo en cuenta (11.9) se establece la relación

( )∑ +−=

+ i ii

i

jf

mqN

v ωγωωεχχ

22

2

01

(11.17) Sustituyendo ( )10 −= rεεχ en la expresión anterior, obtenemos

( ) ( )∑ +−=

−+−

i ii

i

r

r

jf

mNq

v ωγωωεεε

220

2

111

(11.18) Escribiendo mNqp 0

22 εω = y despejando rε de la ecuación anterior, obtenemos

( )

( )∑

∑

+−−

+−+=

i ii

ip

i ii

ip

r

jfv

jf

ωγωωω

ωγωωω

ε22

2

222

11

(11.19)

33

Esta expresión resulta bastante complicada, sin embargo, para materiales con permitividades relativas cercanas a la unidad el denominador de (11.19) es casi la unidad y rε queda de la forma

( )∑ +−+=′′−′=

i ii

iprrr j

fjωγωω

ωεεε 2221

(11.20) La parte real de esta expresión es

( )( ) ( )∑

+−

−+=′

i ii

iipr

f2222

2221

ωγωω

ωωωε

(11.21) y la parte imaginaria

( ) ( )∑+−

=′′i ii

iipr

f2222

2

ωγωω

ωγωε

(11.22) En líneas generales podemos decir que las constantes de amortiguamiento iγ suelen ser pequeñas en comparación con las frecuencias de resonancia iω . Esto significa que

ii ωγωω >>− 22 y, en consecuencia, rr εε ′′>>′ a frecuencias no demasiado cercanas a las frecuencias de resonancia. El comportamiento típico de las partes real e imaginaria de la permitividad en función de la frecuencia se muestra en la figura 4.

1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

Figura 4

Las regiones en las que la inclinación de la curva representativa de rε ′ es positiva se denominan de dispersión normal, mientras que las de inclinación negativa son las llamadas de dispersión anómala. En general, vemos que la parte imaginaria de la permitividad, rε ′′ , es muy pequeña excepto para las frecuencias cercanas a las de resonancia, en donde alcanza valores comparables a los de rε ′ . Es en esos intervalos de frecuencia, llamados de absorción resonante, en donde se produce una absorción importante de la energía contenida en el campo y disipada en el medio en forma de calor.

rε ′′

rε ′