clase 11 ecuaciones de maxwell

Ecuaciones de MaxwellClase 11

13/MARZO/2015

Ley de Faraday

Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un

campo magnético, entonces un campo magnético debería ser capaz de

producir una corriente.

El concepto de “campo” no existía en ese entonces y el éxito de Faraday

consistió en demostrar que una corriente podía producirse por

“magnetismo”

En términos del campo, ahora se puede decir que un campo magnético

que varía con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de

producir una corriente en un circuito cerrado adecuado.

Ley de Faraday

Una fuerza electromotriz no es otra cosa que un voltaje procedente de los

conductores que se mueven en un campo magnético o de campos

magnéticos variantes, que serán definidos mas adelante. Se acostumbra

expresar la ley de Faraday como

La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no

necesariamente conductora; la trayectoria cerrada, por ejemplo puede

incluir un capacitor o ser solamente una línea imaginaria en el espacio.

𝑓𝑒𝑚 =𝑑∅

𝑑𝑡𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 (𝑉)

Ley de Faraday

El flujo magnético es el flujo que cruza a través de cualquier superficie cuyoperímetro sea una trayectoria cerrada y 𝑑∅/𝑑𝑡 es la razón de cambio de dichoflujo con respecto al tiempo.

Un valor diferente de cero de 𝑑∅/𝑑𝑡 puede ser el resultado de cualquiera de lassiguientes situaciones

1. Un flujo que cambia con el tiempo circundando una trayectoria cerrada fija.

2. El movimiento relativo entre un flujo estable y una trayectoria cerrada.

3. Una combinación de las dos.

𝑓𝑒𝑚 =𝑑∅


Ley de Faraday

El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una

corriente, cuyo flujo si se suma al flujo original, reducirá la magnitud de la

fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para

producir un flujo opuesto se conoce como la ley de Lenz.

Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas,

por lo general es suficientemente preciso considerar las vueltas como

coincidentes y hacer

Donde ∅ se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las

N trayectorias coincidentes.

𝑓𝑒𝑚 = −𝑁𝑑∅


Ley de Faraday

Además también la podemos definir de la siguientes manera a través de

una trayectoria cerrada especifica

𝑓𝑒𝑚 = −𝑁𝑑∅


𝑓𝑒𝑚 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = −𝑑

𝑑𝑡

𝑆

𝐵 ∙ 𝑑𝑆

Ley de Faraday

Ademas consideraremos el concepto de fem de movimiento. La fuerza

sobre una carga 𝑄 que se mueve a la velocidad 𝑣 en el campo

magnético 𝐵 es

Y la fuerza por unidad de carga, se llama intensidad del campo eléctrico

móvil 𝐸𝑚

𝐸𝑚 = 𝑣 × 𝐵

𝐹 = 𝑄𝑣 × 𝐵

Problema

Problema 0

Dado 𝐻 = 300𝑎𝑧𝑐𝑜𝑠 3 × 108𝑡 − 𝑦 𝐴/𝑚 en el espacio libre, encontrar la femdesarrollada en la dirección 𝑎∅ alrededor de la trayectoria cerrada que

tiene sus esquinas en:

𝑎) 0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 𝑦 0,1,0 ; 𝑏) 0,0,0 , 2𝜋, 0,0 , 2𝜋, 2𝜋, 0 , (0,2𝜋, 0)

Problema

Solución Inciso a

El flujo del campo magnético ∅𝑚 a través de una superficie se define:

Pero sabemos que la cantidad de flujo magnético es 𝐵 = 𝜇𝐻

∅𝑚 = 𝑆

𝐻𝑑𝑠

∅𝑚 = 0

1

0

1

300𝜇0𝑐𝑜𝑠 3 × 108𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 300𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡 − 𝑦 1

0

∅𝑚 = 300𝜇𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡 𝑊𝑏

Problema

Solución

Entonces la fem es la siguiente

𝑓𝑒𝑚 = −𝑑∅

𝑑𝑡= 300 3 × 108 4𝜋 × 10−7 𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡

𝑓𝑒𝑚 = −1.13 × 105 𝑐𝑜𝑠 3 × 108𝑡 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 3 × 108𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Problema

Solución Inciso b

Por lo tanto la fem es 0

∅𝑚 = 0

2𝜋

0

2𝜋

300𝜇0𝑐𝑜𝑠 3 × 108𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋 × 300𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 3 × 108𝑡 − 𝑦 2𝜋

0

∅𝑚 = 0 𝑊𝑏

Ecuaciones de Maxwell

El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico 𝐸 y de la

densidad de flujo eléctrico 𝐷 a través de dos materiales se examino que los

campos eran estáticos. Un tratamiento similar se dará ahora a la

intensidad del campo magnético 𝐻 y a la densidad de flujo magnético 𝐵,

de nuevo con campos estáticos.

También se trato el concepto de densidad de corriente de

desplazamiento 𝐽𝐷 y se examino la ley de Faraday. Esas mismas

ecuaciones y otras desarrolladas antes se agrupan para formar un

conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.

Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos

electromagnéticos.


Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético

𝐻. Un condensador con carga estática 𝑄 constituye un ejemplo. De la

misma manera, un conductor con una corriente constante 𝐼 tiene un

campo magnético 𝐻 sin que haya un campo 𝐸. Sin embargo, cuando los

campos son variables con el tiempo 𝐻 no puede existir sin 𝐸 ni 𝐸 puede

existir sin 𝐻.

En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de

campos estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos

solo puede ser demostrada con campos variables en el tiempo.

Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell

involucran todos los campos variables en el tiempo.


Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se

presenta la forma mas general donde tanto cargas como corriente de

conducción pueden estar presentes en la región.

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral

𝛻 × 𝐻 =𝜕𝐷

𝜕𝑡 𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =

𝑆

𝜕𝐷

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑆

𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡 𝐸 ∙ 𝑑𝐼 =

𝑆

−𝜕𝐵

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑆)

𝛻 ∙ 𝐷 = 0 𝑆

𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 0

𝛻 ∙ 𝐵 = 0

𝑆

𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0


Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos

ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la

forma mas puntual e integral de las ultimas dos ecuaciones son

equivalentes bajo el teorema de divergencia.

Para espacio vacío, donde no hay cargas (𝜌 = 0) y no hay corrientes

𝐽𝑐 = 0 , las ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral (sobre una superficie y

aplicando el Teorema de Stoke

𝛻 × 𝐻 = 𝐽𝑐 +𝜕𝐷

𝜕𝑡A través de la ley de ampere

𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =

𝑆

𝐽𝑐 +𝜕𝐷

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒)

𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡A través de la ley de Faraday, esta

ecuación muestra que un campo

variante en el tiempo produce un campo

eléctrico.

𝐸 ∙ 𝑑𝐼

=

𝑆

−𝜕𝐵

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦; 𝑆 𝑓𝑖𝑗𝑜)

𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌Establece que la densidad de carga es

una fuente (o sumidero) de líneas de flujo

eléctrico.

𝑆

𝐷 ∙ 𝑑𝑆 =

𝑣

𝜌𝑑𝑣 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)

𝛻 ∙ 𝐵 = 0Reconoce el hecho de que se

desconoce la existencia de “cargas

magnéticas” o polos.

𝑆

𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0 (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜)

Ecuaciones de Maxwell, conjunto de espacio libre


La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden

usarse para mostrar que los campos 𝐸 y 𝐻 variables con el tiempo no

pueden existir independientemente.

La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas

frecuentemente en los problemas. Sin embargo la forma integral es

importante porque despliega las leyes físicas básicas.


Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en

la frontera de 𝐵, 𝐷, 𝐻 𝑦 𝐸 , las cuales son necesarias para evaluar las

constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de

ecuaciones diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no

cambian en general la forma que tienen para los campos estáticos o

estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlas.


Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética.

Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo

magnético el campo eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes,

cargas y densidades de corriente.

Las ecuaciones auxiliares que relacionan 𝐷 𝑦 𝐸

𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐻

𝐷 = 𝜖𝐸 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

𝐵 = 𝜇𝐻 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎


Que define la densidad de corriente de conducción

Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la

densidad de carga volumétrica 𝜌𝑣

Son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en

las ecuaciones de Maxwell

𝐽 = 𝜌𝑉𝑉

𝐽 = 𝜎𝐸


Problema 1

Dado 𝐸 = 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦 en el espacio vacío, halle 𝐷, 𝐵 𝑦 𝐻. Dibuje 𝐸 y 𝐻

en 𝑡 = 0.


Solución

𝐷(𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜) = 𝜖𝑜𝐸 = 𝜖𝑜𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦

La ecuación de Maxwell 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡 da

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

0 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0

= −𝜕𝐵

𝜕𝑡


Solución

𝑎𝑥𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧

𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0+ 𝑎𝑧

𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦

0 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧= −

𝜕𝐵

𝜕𝑡

𝑎𝑥 −𝜕

𝜕𝑧𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝑎𝑧

𝜕

𝜕𝑥𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −

𝜕𝐵

𝜕𝑡

𝛽𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡


Solución

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido

despreciada. Entonces

−𝜕𝐵

𝜕𝑡= 𝛽𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 ⟹

𝜕𝐵

𝜕𝑡= − 𝛽𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥𝑑𝑥

𝐵 = −𝛽𝐸𝑚

𝜔𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 Densidad de flujo Magnético

𝐻(𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜) = −𝛽𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥


Solución

Obsérvese que 𝐸 𝑦 𝐻 son mutuamente perpendiculares.

En 𝑡 = 0, 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝛽𝑧. La figura muestra que los dos campos a lo

largo del eje 𝑧, suponiendo que 𝐸𝑚 𝑦 𝛽 son positivos.


Problemas 2

Demuestre que los campos 𝐸 𝑦 𝐻 del problema anterior constituyen una

onda que viaja en dirección 𝑧. Verifique que la velocidad de la onda y

𝐸/𝐻 dependen sólo de las propiedades del espacio vacío.

𝐻 = −𝛽𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥

𝐸 = 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦


Solución

𝐸 𝑦 𝐻 varían ambos como 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 . Un estado dado de 𝐸 𝑦 𝐻 se

caracteriza entonces por

Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad

𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜔𝑡 ó 𝑧 =𝜔

𝛽𝑡 − 𝑡𝑜

𝑐 =𝜔

𝛽


Solución

En la dirección de su normal, 𝑎𝑧. Se supone que tanto 𝛽, como 𝜔, son

positivos. Para 𝛽 negativo, la dirección del movimiento seria −𝑎𝑧). De esta

manera el patrón completo de la figura anterior se mueve por el eje 𝑧 con

velocidad 𝑐.

La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da


𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧−𝛽𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0 0

=𝜕

𝜕𝑡𝜖𝑜𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦


Solución

La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da

−𝑎𝑦

𝜕

𝜕𝑦

𝜕


𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0

+ 𝑎𝑧

𝜕

𝜕𝑥

𝜕


𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0

=𝜕

𝜕𝑡𝜖𝑜𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦


Solución

𝛽2𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝐵𝑧 𝑎𝑦 = 𝜖𝑜𝐸𝑚𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦

1

𝜖𝑜𝜇𝑜=

𝜔2

𝛽2

Por lo tanto

𝑐 =1

𝜖𝑜𝜇𝑜=

1

8.8541878176×10−12 4𝜋×10−7 = 3 × 108𝑚/𝑠

Mas aún

𝐸

𝐻=

𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧𝛽𝐸𝑚𝜔𝜇𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧=

𝜔𝜇𝑜

𝛽= 𝑐𝜇0 =

1

𝜖𝑜𝜇𝑜𝜇0 =

𝜇𝑜

𝜖𝑜= 120𝜋

𝑉

𝐴= 120𝜋Ω


Problemas 3

Sean 𝐻 = 𝐻𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧)𝑎𝑥 en el espacio vacío. Halle 𝐸.


Solución

𝛻 × 𝐻 =𝜕𝐷

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐻𝑚𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎𝑦 =

𝜕𝐷

𝜕𝑡


𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝐻𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0

=𝜕𝐷

𝜕𝑡⟹ −𝑎𝑥

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧𝐻𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0

+ 𝑎𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝐻𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0


Solución

𝛻 × 𝐻 =𝜕𝐷

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐻𝑚𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎𝑦 =

𝜕𝐷

𝜕𝑡⟹ 𝑗𝛽𝐻𝑚𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎𝑦 =

𝜕𝐷

𝜕𝑡


𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝐻𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0

=𝜕𝐷

𝜕𝑡


Solución

Integramos

𝑗𝛽𝐻𝑚𝑎𝑦 𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑑𝑡 = 𝜕𝐷

𝜕𝑡⟹

𝐷 =𝛽𝐻𝑚

𝜔𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎𝑦

Y por lo tanto

𝐸 =𝐷

𝜖𝑜⇒ 𝐸 =

𝛽𝐻𝑚𝜔

𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎𝑦

𝜖0


Problemas 4

Dado

E = 30π𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧𝑎𝑥 𝑉/𝑚 𝐻 = 𝐻𝑚𝑒𝑗(108𝑡+𝐵𝑧)𝑎𝑦 𝐴/𝑚

en el espacio vacío. Halle 𝐻𝑚 𝑦 𝐵 𝛽 > 0 .


Problemas 4

Solución

Esta es una onda plana, esencialmente la misma del problema 1 (excepto

que allí 𝐸 estaba en la dirección de 𝐻 en la dirección de 𝑥). El resultado del

problema 2 para cualquier onda como esa en el espacio vacío fue:

𝜔

𝛽=

1

𝜖0𝜇0= 3 × 108 𝑚

𝑠

𝐸

𝐻=

𝜇0

𝜖0= 120𝜋

Por lo tanto dela primera ecuación despejamos 𝛽

𝛽 =𝜔

3×108 =108

3×108 =1

3𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝐻𝑚 = ±

𝐸𝑚

120𝜋= ±

1

4𝐴/𝑚


Problemas 4

Solución

Para fijar el signo de 𝐻𝑚, aplicamos 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡:

𝑖 𝑗 𝑘𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧

30𝜋𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧 0 0

= −𝜕/𝜕𝑡1

4𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧

−𝑗𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧

30𝜋𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧 0+ 𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

30𝜋𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧 0

= −108


𝑗 30𝜋𝛽𝑒𝑗 108𝑡+𝛽𝑧 = −108



Problemas 4

Lo que demuestra que 𝐻𝑚 debe ser negativo.

Potencia y Vector Poyting

Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de

conductividad 𝜎 y luego se toma el producto escalar de 𝐸 con cada

término:

Donde, como es usual, 𝐸2 = 𝐸 ∙ 𝐸. E utiliza la identidad vectorial

𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝛻 × 𝐴 − 𝐴 ∙ 𝛻 × 𝐵 para cambiar el lado izquierdo de la

ecuación.

𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸 + 𝜖𝜕𝐸

𝜕𝑡

𝐸 ∙ 𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸2 + 𝐸 ∙ 𝜖𝜕𝐸

𝜕𝑡


Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos

Similarmente,

𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 − 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻 = 𝜎𝐸2 + 𝐸 ∙ 𝜖𝜕𝐸

𝜕𝑡

𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 = 𝐻 ∙ −𝜇𝜕𝐸

𝜕𝑡= −

𝜇

2

𝜕𝐻2

𝜕𝑡

𝐸 ∙ 𝜖𝜕𝐸

𝜕𝑡=

𝜖

2

𝜕𝐸2

𝜕𝑡


Sustituyendo y reordenando términos,

Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un

volumen general 𝑣 debe ser valida también

Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la

superficie de 𝑣 mediante el teorema de divergencia.

𝜎𝐸2 = −𝜖𝜕𝐸2

𝜕𝑡−

𝜇

2

𝜕𝐻2

𝜕𝑡− 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻

𝑣

𝜎𝐸2 = −

𝑣

𝜖𝜕𝐸2

𝜕𝑡−

𝜇

2

𝜕𝐻2

𝜕𝑡−

𝑆

𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆


La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico

conocido para representar la energía disipada en calor por unidad de

tiempo. Esta energía disipada tiene su fuente en las integrales de la

derecha. Comoϵ𝐸2

2𝑦

𝜇𝐻2

2son las densidades de energía almacenadas

en los campos eléctrico y magnético respectivamente, las derivadas

negativas respecto del tiempo pueden considerarse como una

disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral final

(incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el

volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de

energía que abandona el volumen:

𝑃 𝑡 =

𝑆

𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆 =

𝑆

℘ ∙ 𝑑𝑆


Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de

propagación. De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una

forma útil y libre del sistema de coordenadas de hallar la dirección de

propagación es conocida. Esto puede tener mucho valor cuando se

examinan ondas incidentes, transmitidas y reflejadas.

℘𝑝𝑟𝑜𝑚 =1

2𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗


Donde ℘ = 𝐸 × 𝐻 es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo deenergía por unidad de área en un punto.

En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos sesuponen reales. Pero si, 𝐸 𝑦 𝐻 se expresan en forman compleja y dependenen común del tiempo, 𝑒𝑗𝑤𝑡, entonces el promedio de tiempo de ℘ estadado por

Donde 𝐻∗ es la conjugada compleja de H.

De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, 𝑆 =1

2𝑉𝐼∗, de

la que la potencia es la parte real, 𝑃 =1

2𝑅𝑒𝑉𝐼∗

℘𝑝𝑟𝑜𝑚 =1

2𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗


Problema 5

Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje la onda en

𝑡 = 0 y en 𝑡 = 𝑡1, cuando ha avanzado 𝜆/8, si la velocidad es de 3 × 108𝑚/𝑠y si la frecuencia angular 𝜔 = 2 × 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo tiempo 𝑡1.


Solución

La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto

𝑡1 =𝑇

8=

𝜋

4𝜔

𝜆

8= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋

4 106 = 236𝑚


Solución

La onda se muestra en 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 𝑡1 en la figura a. A una distancia de dosveces la frecuencia, la longitud de onda 𝜆 es la mitad y la constante dede fase 𝛽 es dos veces el valor anterior. En la figura b, en toda 𝑡1 la onda

avanzo también 236 m pero esta distancia es ahora𝜆

4

clase 11 ecuaciones de maxwell

Education