París bien vale una misaCuando su primo Enrique III, el último de la dinastía Valois, lo nombró su sucesor, Enrique IV ya sabía que el camino al trono se hallaba sembrado de espinas.

Las guerras de religión habían dividido no solo a Francia sino a toda Europa, y aunque él, había sido bautizado católicamente, fue educado en la doctrina de Calvino, y las sufrió en sus propias carnes. Todavía recordaba cómo, después de llevar cuatro años reinando en Francia, tuvo que abjurar de su fe y abrazar nuevamente la doctrina católica para que la Santa Liga de París lo aceptara como rey.

Las disputas de poder contra el católico Felipe II continuaban años después y, mientras leía la misiva que su secretario le había traído, Enrique IV se asombraba por el talento de François Viète para interpretar los mensajes cifrados que los españoles utilizaban para comunicarse entre ellos.

Cerró los ojos e intentó recordar alguna de las nociones de Álgebra que Viète logró hacerle comprender. Recordó así que usaba las consonantes, B, C, D…, para suplir las cantidades conocidas y las vocales, A, E, I…, para las desconocidas.

¿Cómo escribiría Viète una ecuación de segundo grado?

6En esta unidadaprenderás a…

• Distinguir entreecuación e identidad.

• Reconocer losdistintos elementosde una ecuación.

• Resolver ecuaciones de primer grado.

• Clasificar y solucionar ecuaciones de segundo grado.

PLAN DE TRABAJO

Ecuaciones de primer y segundo grado

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Identidad y ecuación1

APLICA

Comprueba si se cumplen las igualdades.

a) 13 + x = 18, para x = 6.b) 3 ⋅ x = −12, para x = −4.

REFLEXIONA

Calcula a para que la ecuación x2 − 3x + a = 0 se cumpla para x = 2.

3

2

EJERCICIOSPRACTICA

Clasifica estas igualdades algebraicas en identidades y ecuaciones.

a) 2x + 1 = 11 e) 6x = 18b) x + x = 2x f) a7 = a2 ⋅ a5

c) g) x − 2 = 2x

d) 4x + 5 = 5 + 4x h) y + 1 = 1 + y

x2

8= −

1

112

Determina cuáles de estas igualdades son algebraicas.

a) x2 − 5x − 2 = 17x + 7 → Igualdad algebraica b) x − 2 = 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Igualdad algebraicac) 10 − 3 = 7 ⎯⎯⎯⎯⎯→ Igualdad numérica

Clasifica estas igualdades algebraicas en identidades o ecuaciones.

a) 5x = 4x + x → Identidad. Es cierta para cualquier valor de x. 5x = 4x + x 5x = 4x + x 5x = 4x + x

5 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 + 2 5 ⋅ (−1) = 4 ⋅ (−1) + (−1) 5 ⋅ 0 = 4 ⋅ 0 + 010 = 10 −5 = −5 0 = 0

Esta igualdad se cumple para cualquier valor de x.

b) x + 7 = 5 → Ecuación. No es cierta para todos los valores de x. x + 7 = 5 x + 7 = 5 x + 7 = 5

1 + 7 ! 5 0 + 7 ! 5 −2 + 7 = 5 Esta igualdad solo se cumple para x = −2.

c) x2 − x − 6 = 0 → Ecuación. No es cierta para todos los valores de x. x2 − x − 6 = 0 x2 − x − 6 = 0 x2 − x − 6 = 0

12 − 1 − 6 ! 0 32 − 3 − 6 = 0 (−2)2 − (−2) − 6 = 0 Esta igualdad solo se cumple para x = 3 y x = −2.

F x = −2F x = 3F x = 1

F x = −2F x = 0F x = 1

F

x = 0

F

x = −1

F

x = 2

2

1

EJEMPLOS

Una igualdad compuesta solo por

números se denomina igualdad numérica.

4 + 3 = 779

39

49

- =

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicasseparadas por un signo igual (=).

Una igualdad algebraica es:• Una identidad cuando es cierta para cualquier valor de las letras.• Una ecuación si solo es cierta para algunos valores de las letras.

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113

Elementosde una ecuación

• Miembro. En toda ecuación hay dos expresiones separadas por un signoigual. La expresión situada a la izquierda se denomina primer miembro,y la situada a la derecha, segundo miembro.

• Término. Es cada uno de los sumandos de los miembros. Si está for-mado por un solo número se denomina término independiente.

• Incógnitas. Son las letras cuyos valores son desconocidos. • Grado. Es el mayor de los exponentes con los que figura la incógnita,

después de realizar las operaciones que se indican en la ecuación.

2

1.er miembro 2.º miembro 1.er miembro 2.º miembro

14 y2 − 3x = 4 + x → Incógnitas: x, y 3x − 1 = 0 → Incógnita: x

Términos Términos

Determina el grado de estas ecuaciones.a) 7x − 3 = 4 → Ecuación de grado 1 o de primer grado b) (x − 1)(x − 2) = 0 → x2 − 2x − x + 2 = 0 → x2 − 3x + 2 = 0 →

→ Ecuación de grado 2 o de segundo grado

4

3

EJEMPLOS

Determina si los valores 2 y 4 son solución de la ecuación x + 3 = 5.

x + 3 = 5 2 + 3 = 5 → 5 = 5. El valor x = 2 es solución.

x + 3 = 5 4 + 3 ! 5 → 7 ! 5. El valor x = 4 no es solución.x = 4⎯⎯⎯→

x = 2⎯⎯⎯→

5

EJEMPLO

Solución. Ecuaciones equivalentes • Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad

sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus solu-ciones.

• Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuandotienen las mismas soluciones.

APLICA

¿Cuáles de estos valores son solución de la ecuación x(x + 1) = 6?

a) x = 2 b) x = −2 c) x = 3 d) x = −3

REFLEXIONA

Calcula, probando valores, la solución.

a) x − 5 = 20 b) −4 + x = −12

6

5

EJERCICIOSPRACTICA

Determina los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones.

a) x + 3 = 10b) 4x − x = x + 8c) x(x − 2) = 3 − 4(x + 2)d) x − x2 + 3 = 8 + x(5 − x)e) x2(x − 3) + 5x2 = x(1 + x2)

4

Antes de calcular el grado de una ecuación tenemos que reducir los términos

semejantes:

x2 - 3x + 1 - x2 = 0

-3x + 1 = 0

Grado 1

FF

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114

APLICA

Halla el valor de la incógnita.

a) −10 = −x + 3 b) c)

REFLEXIONA

Calcula el valor de a para que la solución de x + a = 10 sea 7.

9

x−

=5

3x4

8= −

8

EJERCICIOSPRACTICA

Resuelve estas ecuaciones utlizando la transposición de términos.

a) x + 4 = 12 e) 2x = 16b) 1 − x = 12 f) 7x = 49c) x − 3 = 8 g) 5x = 25d) −5 + x = −3 h) 2x = 5

7

Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les suma o se les resta el mismo número, o la misma expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Si en los dos miembros de una ecuación de primer grado se multiplicao se divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene otraecuación equivalente a la dada.

Transposición de términos3

Demuestra que la ecuación x − 4 = 10 tiene como única solución x = 14.Si sumamos 4 a los dos miembros, obtenemos una ecuación equivalente:

x − 4 + 4 = 10 + 4 → x = 14

Resuelve la ecuación x + 6 = 9.Restamos 6 a los dos miembros de la ecuación:

x + 6 − 6 = 9 − 6 → x = 3La solución de la ecuación x + 6 = 9 es x = 3.

7

6

EJEMPLOS

Resuelve la ecuación .

Multiplicamos los dos miembros por 3:

La solución de esta ecuación es x = 27.

33

9 3 27x x= ⋅ =→

x3

9=8

Para abreviar este proceso podemos hacer que cualquier término aparezcaen el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:

• Si estaba sumando, aparece restando; y si estaba restando, sumando. • Si estaba multiplicando, aparece dividiendo; y si estaba dividiendo,

multiplicando.

Esta técnica se denomina transposición de términos.

EJEMPLO

DATE CUENTA

Si en la ecuación:x + 3 = 5

restamos 3 a ambosmiembros:

x + 3 − 3 = 5 − 3 → x = 2

Esto es lo mismo que afirmar:«El 3 que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundomiembro».x + 3 = 5 → x = 5 − 3 → x = 2

DATE CUENTA

Si en la ecuación:3x = 6

dividimos entre 3 ambosmiembros:

Esto es lo mismo queafirmar: «El 3 que estámultiplicando en el primermiembro, pasa dividiendo al segundo miembro».

3 6 63

2x x x= = =→ →

33

63

2x x= =→

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115

Resolución de ecuaciones de primer grado4

APLICA

Resuelve. a) 3(3x + 1) − (x − 1) = 6(x + 10) b) 5(x − 2) − (3 + x) = 3(x − 4)

REFLEXIONA

Despeja x en x(a − 3) = a(8 − x) − 5(x + a).12

11

EJERCICIOSPRACTICA

Resuelve estas ecuaciones.a) 2x + 4 = 16 e) 5x − 5 = 25b) 7x + 8 = 57 f) 3x + 4 = 2(x + 4)c) x + 2 = 16 − 6x g) 5(x − 1) − 6x = 3x − 9d) x − 1 = 9 − x h) 4(x − 2) + 1 + 3x = 5(x + 1)

10

Resuelve la ecuación 3x − 2 = 4 + x.

3x − 2 = 4 + x 3x = 4 + x + 2 →

Pasa como +2 Pasa como −x

3x − x = 4 + 2 2 x = 6

Pasa dividiendo

→ x = =62

3Operamos⎯⎯⎯⎯⎯→Agrupamos las xen el 1.er miembro ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Agrupamos los números en el 2.º miembro ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

9

EJEMPLO

Resuelve la ecuación 2(x − 4) − (6 + x) = 3x − 4.

1.º Eliminar paréntesis. 2x − 8 − 6 − x = 3x − 42.º Agrupar términos:

• Agrupamos los términos con x −8 − 6 = 3x− 4 − 2x + xen el segundo miembro.

• Agrupamos los términos numéricos −8 − 6 + 4 = 3x− 2x + xen el primer miembro.

3.º Reducir términos semejantes. −10 = 2x

4.º Despejar x y hallar la solución. x x= − = −102

5→

10

EJEMPLO

Recuerda que si el paréntesis viene precedidopor el signo -, al suprimirlo se transforman los signos

de los sumandos del interioren sus opuestos. -(6 + x) = -6 - x

4.1 Resolución de ecuaciones sencillas Para resolver una ecuación de primer grado debemos agrupar los tér-minos con x en uno de los miembros, y los números, en el otro. Esto loconseguimos aplicando las reglas anteriores.

4.2 Resolución de ecuaciones con paréntesis Los pasos que debemos seguir en la resolución de ecuaciones con parén-tesis son:

1.º Eliminar paréntesis. 2.º Agrupar las x en un miembro y los números en el otro. 3.º Reducir términos semejantes, si los hubiera. 4.º Despejar x y hallar la solución.

F

F

F

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APLICA

Resuelve estas ecuaciones.

a) b)

REFLEXIONA

Despeja x en la ecuación.

a x a x( ) ( )− = −312

83

15

x x− = −312

3 910

2 15

9x − =

14

EJERCICIOSPRACTICA

Resuelve estas ecuaciones con denominadores.

a)

b)

c) − + + = −( )x x x43

83

x x+ − = −640

14

43

x x x+ = + + +34

12

45

13

116

4.3 Resolución de ecuaciones con denominadores Los pasos para resolver ecuaciones con denominadores son:

1.º Eliminar denominadores. Para ello multiplicamos los dos miem-bros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

2.º Eliminar paréntesis. 3.º Agrupar los términos con x en un miembro, y los números, en el

otro. 4.º Reducir términos semejantes, si los hubiera. 5.º Despejar x y hallar la solución.

Para hallar el mínimo común múltiplo:

• Descomponemos los números en factores primos. 2 = 2 3 = 3 6 = 2 · 3

• Tomamos los factorescomunes y no comunes con el mayor exponente. m.c.m. (2, 3, 6) = 2 · 3 = 6

Resuelve la ecuación .

1.º Eliminar denominadores. m.c.m. (3, 2, 6) = 2 ⋅ 3 = 6

2(x + 4) − 3(x −1) = x + 1

2.º Eliminar paréntesis. 2x + 8 − 3x + 3 = x + 1

3.º Agrupar términos: • Agrupamos los términos con x 8 + 3 = x + 1 − 2x + 3x

en el segundo miembro. • Agrupamos los términos numéricos 8 + 3 − 1 = x − 2x + 3x

en el primer miembro.

4.º Reducir términos semejantes. 10 = 2x

5.º Despejar x y hallar la solución. → x = 5 Comprobamos la solución.

→

Luego x = 5 es solución de la ecuación.

93

42

66

3 2 1 1 1− = − = =→ →

5 43

5 12

5 16

+ − − = + →x = 5⎯⎯→x x x+ − − = +43

12

16

x = =102

5

6 16

x +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟6 4

36 1

2x x+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x x x+ − − = +43

12

16

11

EJEMPLO

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Antonio tiene 4 € de paga semanal y se gasta2,50 € cada semana. Si quiere comprarse un teléfono móvil que vale 54 €, ¿cuánto tardará en ahorrar lo suficiente?

REFLEXIONA

Por cada día de retraso en el pago de una multade tráfico se aumenta su coste en 3 €. Juan tiene una multa por aparcar en doble fila.¿Cuántos días se ha retrasado en pagar si ha abonado 156 € en vez de 105 €?

20

19

EJERCICIOSPRACTICA

La suma de un número y el doble de ese númeroes 120. ¿De qué números se trata?

El perímetro de un rectángulo es 400 m. Halla la longitud de sus lados, sabiendo que la base es 2 m mayor que la altura.

APLICA

El perímetro de un cuadrado es 60 cm. Calcula la longitud de cada lado.

18

17

16

117

Si al dinero que tengo ahora le añadiera el doble y, además, otros 5 €,tendría 59 €. ¿Cuánto dinero tengo?

1.º Identificar la incógnita. Para ello debemos saber cuáles son los datosque conocemos y los que no.

Incógnita (x) → Dinero que tengo

2.º Plantear la ecuación. El dinero que tengo ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xEl doble del dinero que tengo ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2xEl dinero que tengo más el doble más 5 € ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x + 2x + 5El dinero que tengo más el doble más 5 € son 59 € ⎯⎯→ x + 2x + 5 = 59

3.º Resolver la ecuación.

x + 2x + 5 = 59 → 3x = 59 − 5 → 3x = 54 →

4.º Comprobar e interpretar la solución.

COMPROBACIÓN:

x + 2x + 5 = 59 18 + 2 ⋅ 18 + 5 = 59 → 18 + 36 + 5 = 59 →→ 59 = 59

La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN: Tengo 18 €.

x = 18⎯⎯→

x = =543

18

12

EJEMPLO

Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado

Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos.1.º Leer atentamente el enunciado e identificar la incógnita. 2.º Plantear la ecuación. 3.º Resolver la ecuación. 4.º Comprobar que la solución es válida e interpretarla.

5

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

El dinero que tengo más el doble más 5 € son 59 €

Dinero que tengo

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118

Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su anchura es cuatro veces su altura y que su perímetro mide 120 m.

1.º Identificar la incógnita.

Incógnita (x) → Altura del rectángulo

2.º Plantear la ecuación.Altura ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xAnchura = 4 veces su altura ⎯⎯⎯⎯→ 4xPerímetro = 2 ⋅ Anchura + 2 ⋅ Altura → 2 ⋅ x + 2 ⋅ 4xPerímetro = 120 m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ x + 2 ⋅ 4x = 120

3.º Resolver la ecuación.

2 ⋅ x + 2 ⋅ 4x = 120 → 2x + 8x = 120 → 10x = 120 →

4.º Comprobar e interpretar la solución.

COMPROBACIÓN: 2 ⋅ x + 2 ⋅ 4x = 120 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 ⋅ 12 = 120 →

→ 24 + 96 = 120 → 120 = 120La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN: La altura mide 12 m.

La anchura mide 4 ⋅ 12 = 48 m.

x = 12⎯⎯→

x = =12010

12

13

EJEMPLO

En una clase de 33 alumnos hay doble númerode chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay?

REFLEXIONA

La suma de dos números consecutivos impareses 156. ¿Qué números son?

25

24

EJERCICIOSPRACTICA

En un rectángulo de base x y altura 5 m,sabemos que su perímetro es 16 m. Calcula la longitud de la base.

Halla la base x de un rectángulo de altura 3 cm y perímetro 22 cm.

APLICA

En un zoológico hay el doble número de chimpancés que de gorilas. Si en total son 171 animales, ¿cuántos habrá de cadaespecie?

23

22

21

Al resolver un problema es importante seguir

ordenadamente los pasos que hemos marcado.

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

Anchura = 4 veces su alturaPerímetro = 120 m

Dimensiones: anchura y altura

También hay numerosos problemas geométricos que se pueden resolverutilizando ecuaciones.

120 m

Altura

Anchura = 4 Altura

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APLICA

Escribe una ecuación de segundo grado cuyoscoeficientes sean:

a) a = 4, b = −3, c = −2 c) a = −1, b = 2, c = 0 b) a = 6, b = 0, c = −3 d) a = −1, b = 0, c = 0

REFLEXIONA

Determina si estas ecuaciones son de segundogrado.

a) 3x2 − 5x + 2 = 3x2 + 2x c) (x − 2)(x + 1) = 0 b) 3x2 − 2x2 = 2x2 + x d) x(x + 1) = x2 + 2x

28

27

EJERCICIOSPRACTICA

Escribe la expresión general de estasecuaciones de segundo grado, y determina sus coeficientes.

a) (x − 1)(x + 4) = 1b) x2 − 5x + 2 = −x2

c) 3x2 − 5 = −2x2 + x − 4d) x(4x + 2) = 0e) 3x2 − 5x = 0f) −x2 − x − 1 = 0g) (x − 2)3x = 4

26

119

Determina cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado con una incógnita.

No son ecuaciones de segundo gradocon una incógnita.

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−x2 + 2y = 47x − x = 0

x2 = x3

Son ecuaciones de segundo gradocon una incógnita.

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−x2 + 2x = 4 7x2 − x = 0

x2 = 0

14

EJEMPLO

Expresa estas ecuaciones en forma general, y determina el valor de sus coeficientes.

ECUACIÓN FORMA GENERAL COEFICIENTES

x2 + 2x − 1 = 0 x2 + 2x − 1 = 0 a = 1− b = 2− c = −1 3x2 − 2x = 5 3x2 − 2x − 5 = 0 a = 3− b = −2 c = −5 x2 = 25 x2 − 25 = 0 a = 1− b = 0− c = −25 7x2 = 0 7 x2 = 0 a = 7 − b = 0− c = 0 −3x(x + 2) = 0 −3x2 − 6x = 0 a = −3 b = −6 c = 0

15

EJEMPLO

Si en una ecuación de segundo grado a es 0:

ax2 + bx + c = 0 → bx + c = 0

En realidad es una ecuación de primer grado.

a = 0⎯⎯→

Ecuaciones de segundo grado6

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdadalgebraica con las siguientes características:

• Tiene una única incógnita.• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de

grado mayor que 2.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresarutilizando su forma general:

ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a ! 0.

Expresión general

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120

Resolución de ecuaciones de segundo grado

CASO 2. Si c = 0. Ecuaciones del tipo ax 2 + bx = 0.

En las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0:

• Si > 0, hay dos soluciones: y .

• Si < 0, no hay solución.− c

a

xc

a2 = − −x

c

a1 = + −− c

a

Las soluciones de ax2 + bx = 0 son: x1 = 0 y .xb

a2 = −

Resuelve la ecuación 5x2 − 20 = 0.

5 20 0 5 20 205

4 44 2

42 2 2 1

2

x x x xx

x− = = = = = ± =

= + =

= − =→ → →

−−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪ 2

16

EJEMPLO

Resuelve la ecuación 5x2 − 2x = 0.

5x2 − 2x = 0 x(5x − 2) = 0Para que un producto de dos factores valga cero, uno de los factores ha de ser cero. La ecuación inicial es equivalente a las siguientes:

x xx

x x x( )5 2 00

5 2 0 5 2 25

− ==

− = = =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪→ → →⎭⎭⎪⎪⎪

=

=

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→x

x

1

2

025

Factor común = x⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

17

EJEMPLO

7La raíz cuadrada de

un número positivo (distintode 0) siempre tiene

dos soluciones: una positiva y otra negativa.

= +3, ya que 32 = 9-3, ya que (-3)2 = 9

9

APLICA

Resuelve estas ecuaciones.

a) 2x2 = 72 c) −2x2 = 72xb) 3x2 = −27 d) −3x2 = −27x

REFLEXIONA

Escribe una ecuación cuyas soluciones sean:

a) x1 = 5, x2 = −5 b) x1 = 0, x2 = −2

31

30

EJERCICIOSPRACTICA

Resuelve estas ecuaciones.

a) x2 −36 = 0 b) x2 + 16 = 0 c) 5x2 − 320 = 0 d) x2 − 2x = 0 e) 7x2 + 21x = 0 f) x(x − 4) = 0

29

Hemos visto que cualquier ecuación de segundo grado con una incógnitase puede escribir de la forma:

ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a ! 0.

Estudiamos cómo se resuelven los distintos tipos de ecuaciones.

CASO 1. Si b = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0.

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121

Las soluciones de una ecuación del tipo ax 2 + bx + c = 0 se obtienenaplicando la fórmula:

La ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna.

xb b ac

a

xb b ac

a

xb b ac

a

= − ± − == − + −

= − − −

⎧2 1

2

2

2

42

42

42

⎨⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Resuelve estas ecuaciones.

a) x2 + 2x − 3 = 0 → a = 1, b = 2, c = −3

Esta ecuación tiene dos soluciones: 1 y −3.

b) 4x2 + 4x + 1 = 0 → a = 4, b = 4, c = 1

Esta ecuación tiene una única solución: x = .

c) 2x2 + 3x + 3 = 0 → a = 2, b = 3, c = 3

Esta ecuación no tiene solución.

No existe solución

No existe solución

xx

x= − ± − ⋅ ⋅

⋅=

= − + −

= − − −

⎧

⎨

⎪⎪3 3 4 2 3

2 2

3 134

3 134

2 1

2

→

→

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

− 12

x b b aca

x

= − ± − = − ± − ⋅ ⋅⋅

=

== − + − =

2 2

1

42

4 4 4 4 12 4

4 16 168

−− = −

= − − − = − = −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

48

12

4 16 168

48

12

2x

x b b aca

x= − ± − = − ± − ⋅ ⋅ −

⋅=

= − + =2 2 142

2 2 4 1 32 1

2 162

1( )

xx22 16

23= − − = −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

18

EJEMPLO

CASO 3. Caso general: ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0.

Una ecuación de segundo grado

puede tener una, dos o ninguna solución.

APLICA

Calcula la solución de estas ecuaciones.

a) (x − 2)(x + 1) = 0 b) x2 + 2x = 15

REFLEXIONA

En la ecuación x2 + 3x + c = 0, obtén el valor de c sabiendo que sus soluciones son −1 y −2.

34

33

EJERCICIOSPRACTICA

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 6x + 8 = 0b) 2x2 − x − 1 = 0c) 3x2 + 4x + 1 = 0d) −x2 + 4x − 3 = 0e) −4x2 + 4x − 1 = 0

32

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122

Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS

Igualdad algebraicax + x = 2x → Identidadx + 1 = 2 ⎯→ Ecuación

EcuaciónPrimer miembro Segundo miembro

3xy + 4 = 12 →

Términos

Ecuación de primer grado con una incógnita

ax + b = 0 x ba

= −Solución⎯⎯⎯⎯→

Incógnitas: x, yGrado: 1 + 1 = 2{

Ecuación de segundo grado con una incógnita

CASO 1. ax2 + c = 0

CASO 2. ax2 + bx = 0

CASO 3. ax2 + bx + c = 0

→ x b b aca

= − ± −2 42

Solución⎯⎯⎯⎯→

x

x ba

1

2

0=

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

Solución⎯⎯⎯⎯⎯→

x ca

= ± −Solución⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resuelve la ecuación .

PRIMERO. Eliminamos denominadores y operamos. m.c.m. (3, 5, 6) = 30Para ello, multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. − = + 30 ⋅ 2x

10(x − 2) − 6 ⋅ 2(x + 1) = −5 ⋅ 3(x − 1) + 30 ⋅ 2xSEGUNDO. Eliminamos paréntesis. 10x − 20 − 12x − 12 = −15x + 15 + 60xTERCERO. Agrupamos términos. −20 − 12 − 15 = −15x + 60x −10x + 12xCUARTO. Reducimos términos semejantes. −47 = 47x

QUINTO. Despejamos x. x =− = −4747

1

30 3 16

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

( )x30 2 15

( )x +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟30 2

3x −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x x xx

− − + = − − +23

2 15

3 16

2( ) ( )

Resuelve estas ecuaciones. a) 2x2 − 2x + 3 = 0 b) 2x2 − 50 = 0 c) 2x2 − 5x = 0PRIMERO. Identificamos los coeficientes de la ecuación.a) a = 2 b = −2 c = 3b) a = 2 b = 0 c = −50c) a = 2 b = −5 c = 0

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula:

x b b aca

= − ± −2 42

a) → No tiene solución

b)

c) x x

x= − − ± − − ⋅ ⋅

⋅= ± = =

=

⎧⎨⎪⎪⎪( ) ( )5 5 4 2 0

2 25 25

4

520

21

2⎩⎩⎪⎪⎪

x xx

= ± − ⋅ ⋅ −⋅

= ± = == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 0 4 2 502 2

0 4004

55

21

2

( )

x = − − ± − − ⋅ ⋅⋅

= ± −( ) ( )2 2 4 2 32 2

2 204

2

HAZLO DE ESTA MANERA

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123

3. COMPROBAR LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Comprueba si los valores de la incógnita que se dan son o no soluciones de las ecuaciones.

a) . Solución: x = −2.

b) 2x2 − 7x + 3 = 0. Solución: x = 1.

PRIMERO. Sustituimos la incógnita por su valory operamos.

a)

→ →

→

→ 0 = 0

b) 2x2 − 7x + 3 = 0 2 ⋅ 12 − 7 ⋅ 1 + 3 = 0 →→ 2 − 7 + 3 = 0 → −2 ! 0

SEGUNDO. El valor es solución si se obtiene el mismo resultado en ambos miembros.a) Se obtiene una igualdad (0 = 0), luego

−2 es solución de la ecuación.b) Se obtiene una desigualdad (−2 ! 0);

por tanto, 1 no es solución de la ecuación.

x = 1⎯⎯⎯→

→ →− − − = − − − =1 55

0 1 1 0( )

− − − − = − +22

2 35

2 2

x = −2⎯⎯⎯→x x x2

35

2− − = +

x xx

23

52− − = +

Resolver ecuaciones de primer grado

1. La solución de la ecuación

es:a) x = −6 b) x = 6 c) x = −2

Resolver ecuaciones de segundo grado

2. La ecuación x2 − 100 = 0 tiene por soluciones:a) x1 = 0, x2 = 10 c) x1 = 10, x2 = −10b) x1 = 10, x2 = 1 d) x1 = 1, x2 = 100

3. La solución de x2 − 4x − 12 = 0 es: a) x1 = 2, x2 = −6 c) x1 = 2, x2 = 6 b) x1 = −2, x2 = −6 d) x1 = −2, x2 = 6

x x x2

3 65

6− = − + −

Comprobar la solución de una ecuación

4. Los valores x1 = −2 y x2 = 5 son soluciones de la ecuación:a) x2 + 2x − 5 = 0b) x2 − 3x − 10 = 0c) x2 − 2x + 5 = 0d) x2 + 3x − 10 = 0

Resolver un problema mediante una ecuación

5. La suma de tres números consecutivos es 18.La ecuación con la que se resuelve esteproblema es: a) x + 3 = 18 c) 2x + 2 = 18 b) 3x + 3 = 18 d) 2x − 3 = 18

Y AHORA… PRACTICA

4. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTEUNA ECUACIÓN

Una madre tiene 40 años y su hijo 10 años.¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre triplique la del hijo?

PRIMERO. Identificamos la incógnita.

Incógnita (x) → Años que han de transcurrir

SEGUNDO. Planteamos la ecuación.Años transcurridos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xEdad madre transcurridos los años → 40 + xEdad hijo transcurridos los años ⎯⎯→ 10 + xEdad madre es triple que hijo ⎯⎯⎯→ 40 + x = 3(10 + x)

TERCERO. Resolvemos la ecuación.40 + x = 3(10 + x) → 40 + x = 30 + 3x →

→ 10 = 2x → x = 5

CUARTO. Interpretamos la solución y la comprobamos.Dentro de 5 años:

MADRE: 40 + 5 = 45 años45 = 3 ⋅ 15

HIJO: 10 + 5 = 15 añosLa solución es válida.

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

Madre: 40 añosHijo: 10 años

Años que han de transcurrir

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124

ActividadesIDENTIDADES Y ECUACIONES

35. ● Indica si estas igualdades algebraicas sonciertas para x = 2.

a) 5x2 − 3x + 7 = 21 d) 3x(2x − 4) − 1 = −1 b) (x + 1)(x − 2) = 0 e) (7x − 3)(−2) + x = 0

c) f)

36. ● ¿Cuál de los siguientes valores hace cierta

la igualdad ?

a) x = −1 b) x = 2 c) x = −10 d) x = 12

37. ● Di cuáles de las igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones.

a) −3(2 − 5x) = 15x − 6 d) 2x = 10

b) e)

c) 7x = 6x + x f) 5(x − 2) = 5 − 2x

38. ●● Escribe dos igualdades algebraicas que seanidentidades y otras dos que sean ecuaciones.

39. ●● Halla tres igualdades algebraicas que seanciertas para estos valores.

a) x = 5 b) c) x = −4 d)

¿Podrías escribir una igualdad algebraica que se verifique únicamente para los cuatrovalores a la vez? ¿Qué nombre recibe?

40. ●● Encuentra el error y corrígelo.

a) La ecuación 4x = 3 se cumple para x = −1porque 4 − 1 = 3.

b) La ecuación 4 − x = 3 se cumple para x = −1porque 4 − 1 = 3.

c) La ecuación es cierta para

porque .

41. ●● Indica si la igualdad x2 = −4 se verifica para los siguientes valores de x.

a) x = 2 c) x = 1 e) x = 3 b) x = −2 d) x = −1 f) x = −3 ¿Puede existir algún valor de x que cumpla la ecuación?

1/ 44

1 1 1 2+ = + =

x = 14

x4

1 2+ =

x = −43

x = 32

2 42

2x x− = −83

1 23

x x x− = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x x+ = −32 4

1

x x+ − + = −13

42

24 32

12

x − =

ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

42. ● Identifica los elementos de las ecuaciones.

43. ●● Escribe una ecuación para estos enunciados.

a) El doble de un número es 8. b) El triple de un número es 12. c) La mitad de un número es 10. d) La tercera parte de un número es 2. e) El doble de un número más 3 es 8. f) La mitad de un número menos 5 es 120. g) La cuarta parte de un número menos 6 es 7. h) El doble de un número más 7 es 18. i) La diferencia entre el cuádruple de un número

menos 10 es 24.

44. ●● Asigna una ecuación a cada enunciado.

a) El cuadrado de un número es 100. b) El cubo de un número es 125. c) La suma del cuadrado de un número más 2

es 82. d) La diferencia del cubo de un número menos 3

es 124. e) La mitad del cuadrado de un número es 8. f) La quinta parte del cubo de un número es 310.

45. ●● Escribe los enunciados correspondientes a estas ecuaciones.

a) 2x + 5 = 3 e) x2 − 1 = 8 b) 7 − x = 2 f) 3(x − 2) = 9

c) 2(x + 1) = 10 g)

d) h)x + =6

32x2

23=

x − =42

1

Ecuación 1.er

miembro2.º

miembro Incógnita Grado

4x − 3 = 5

4(x − 3) = 5x

8 23

y y y− = +

35

a b a− =

z2 − 4z + 3 = 0

x(x + 1) = x2 + 9

x(3 − x) = x − 1

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125

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

46. ● Simplifica estas ecuaciones reduciendo términos semejantes, tal como se indica en el ejemplo.

a) 5(x − 6) + 2(−3x −7) = 2(3x + 5) b) 4x + 5 − x = 10x + 7 − xc) 7 − 10x + 3(x2 − 9x) = x − 8

d)

e) − 2(2x + 4) − x(x + 3) = 5 − 3x

47. ●● Corrige los errores cometidos al reducir términos semejantes de estas ecuaciones.

a) 7x − (2 − x) = 3x + 17x − 2 − x = 3x + 1

7x − x − 3x − 2 + 1 = 0 3x − 1 = 0

b) 8(2 − x) − x = x16 − 8x − x = x

8x − x − x + 16 = 06x + 16 = 0

c) 5 − (x − 3) = x − (−7)5 + 7 − x − 3 − x = 0

−2x + 9 = 0

48. ● Averigua cuáles de las ecuaciones sonequivalentes a la ecuación x = 4.

a) 2x = 8 c) 4x = 12 e) −2x = 8b) 3x = 9 d) −x = −4 f) −3x = −12

49. ● Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 2 = 7 i) 4x = 20b) x − 3 = 15 j) 13x = 91c) x + 13 = 21 k)d) x − 7 = 2

l) −x = 3e) x + 11 = 3m) −7x = 21f) x − 17 = 17n) −12x = 60

g) ñ) 6x = 18h) x − 9 = −16 o) −3x = 21

x + =62

11

x4

5=

8 73

3 54

2+ − − + =( )x x x

50. ● Resuelve estas ecuaciones.

a) c)

b) d)

51. ● Halla la solución de las ecuaciones.

a) −5x = 45b) 6x = −36c) 3x = 2d) 8x = 48e) −12x = −72

f)

g)

52. ● Resuelve las siguientes ecuaciones de primergrado.

a) 2x − 10 = 0 b) 5x + 4 = x − 8 c) x + 2(x − 1) = 4 d) 2(3x − 5) − x − (2x − 3) = 1 − (2x − 5) e) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 f) 3(x − 3) − 4(2 − 3x) = 2(1 − 2x)

53. ●● Obtén la solución de estas ecuaciones de primer grado.

a) 4x + 1 + 3x − 5 = 2(x − 2) + 30b) 3(x + 8) = 6(x − 2) + 24c) 3(x + 8) − (x − 4) = 12d) 2(4 − x) + 3(4x + 16) = 3e) 6(x + 8) − 2(x − 4) = 24f) 6(x − 2) = 3(x + 8) − 24

54. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones de primergrado.

a)

b)

c)

d)4 8

22x −

−=

x + =56

4

x − =86

3

57

1− =x

x4

14

=

x−

=3

8

36

9x =96

27x =

42

82x =220

5x =

h)

i)

j) x + 4 + x = 18 + 3k) x + 3x + 4x = 8l) 5x − 2 + 2x = 6x + 8m) 4x + 3x − 2x = 45n) −x + 4x − 3 = 5 − 2x

x4

12

=

x15

1=

e)

f)

g)

h)35

9 26

7x x− = −

x x x+ − = −45

12

32

25 20x x− = −

3 84

x x+ =

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126

55. ●● Halla la solución de las ecuaciones.

a) c)

b) d)

56. ●● Resuelve las ecuaciones.

a)

b)

c)

d)

57. ●● Obtén la solución de las siguientes ecuaciones.

a)

b)

c)

d)

58. ●● Resuelve estas ecuaciones.

a) y + 2 = 3y − 4

b)

c) 3u = u + 4

59. ●●● Corrige los errores cometidos en la resolución de la ecuación.

z z2

1 43

2+ = −

x x x− − − = −23

32

4 25

x x x− − = − +23

32

13

13 26

5 24

1 112

− + − = − +x x x

4 35

24

2 36

x x x+ − − = − +

− − = − − −3 124

1 2 103

x x

x x x− − = − + −102

5 204

303

x x x− + − = − −55

82

3 2 102

x x+ = − +82

46

2

x x3

7 35

9− = −x x x2

45

1− = + −

3 44

3x x− = −25 10 15

13x x x+ = +

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

60. ● Identifica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado.

a) x(x + 2) = 0 b) x2 − 3(x − 5) = 3x − 4 c) 5 + x + x2 = −30 + x2

d)

e) (x + 1)2 + x2 = 5xf) (x + 2)2 − (x − 3)2 = 8

61. ● Expresa estas ecuaciones de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, e identifica los términos a, b y c.

a)

b) 5(x − 3)2 = 2 c) x2 − x(2x + 4) + 7 = 6 d) 3x(2x − 6) − x(x − 5) = 9

62. ● Expresa la forma general de las siguientesecuaciones de segundo grado.

a) (x + 3)(x − 5) = 3b) 2x2 − 5x = −4x2 − x + 8c) −5x2 − 3x + 9 = −x2 − 7x + 11d) −4x(7 − 3x) = 0

63. ● Escribe las ecuaciones de segundo gradocuyos coeficientes son:

a) a = −1 b = 2 c = −3 b) a = 3 b = 0 c = 9 c) a = 4 b = 2 c = 0

d) a = b = c =

64. ● Halla la solución de las ecuaciones.

a) 4x2 − 16 = 0 e) 8x2 − 8 = 0 b) 5x2 = 45 f) 9x2 = 900 c) 3x2 − 75 = 0 g) 16x2 = 9

d) 4x2 = 64 h)

65. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2 − x = 0 e) 9x = 18x2

b) 5x2 + 10x = 0 f) 6x − 10x2 = 0 c) 7x − 21x2 = 0 g) 4x2 = 9xd) 2x2 = 16x h) 5x2 + 3x = 0

x2 254

=

−15

23

12

x x2

23 1

30− + =

x x x2 8

3 42+ = +( )

d) 6 + 5t = (7 − t)(−2)

e)

f) 1 − (4w − 7) = (1 − w)(−1)

v v+ − =32 3

4

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127

66. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo gradocompletas, aplicando la fórmula general.

a) 7x2 + 21x − 28 = 0b) 2x2 − 3x − 5 = 0c) x2 + 4x + 3 = 0d) x2 + x − 20 = 0

67. ●● Obtén la solución de las ecuaciones.

a) x2 − 3x = x − 2 e) 2x2 − 7x + 3 = 0b) x2 − 2x = −1 f) 6x2 = 5x − 1c) x2 + 5 = 6x g) 3x2 − 1 = −2xd) x − 12 = −x2 h) 5x = 3 − 2x2

69. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x(x − 3) = 0b) (x − 5)(3x + 9) = 0 c) (7x + 1)(4x − 3) + 3 = 3 d) (x + 4)(x − 5) = −14

e)

f) (x + 3)(x + 3) = 0

g)

71. ●● Halla la solución de las ecuaciones.

a) (3x + 4)2 = 0 d) (5x − 8)2 = 0

b) e) (4x − 2)2 = 4

c) (x + 3)2 = 64 f) (3x − 2)2 = 8

72. ●● Escribe una ecuación de segundo grado con estas soluciones.

a) 0 y −3 b) 5 y −5 c) 0 y 2 d) 8 y 3

73. ●●● Resuelve las ecuaciones.

a) c)

b)3 33

52 60

736

2 2x x− − − =( )

( )( )x x+ − =4 2 17

0x x2 213

12

− = −( )

9 37

02

x +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x x−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1

212

14

5 3 15

2 3x x+( ) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A UN NÚMERO?

68. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (3x − 1)(4x + 2) = 0b) (x − 1)(x + 2) = −2

a) Cuando el número es 0.

PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores.

SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado. Estas serán las soluciones de la ecuación de segundo grado.

b) Cuando el producto es igual a un número distinto de 0.

PRIMERO. Se realiza el producto y se agrupan los términos en el mismo miembro.

(x − 1) ⋅ (x + 2) = −2x2 + 2x − x − 2 = −2

x2 + x = 0

SEGUNDO. Se resuelve la ecuación de segundogrado resultante.

x x x x xx x

2 1

20 1 0 0

1 0 1+ = + = =

+ = = −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →→

( )

3 1 0 13

4 2 0 24

12

x x

x x

− = =

+ = = − = −

→

→

( )( ) ( )( )

3 1 4 2 0 3 1 04 2 0

x x xx

− + = − =+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→

HAZLO ASÍ¿CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DEL TIPO (ax ! b)2 " n?

70. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x − 2)2 = −9 b) (x − 2)2 = 9

a) Cuando el término de la derecha es negativo, la ecuación no tiene solución. No existe ningúnnúmero que elevado al cuadrado sea un número negativo.

b) Cuando el término de la derecha es mayor o igual que 0 se procede de esta manera: PRIMERO. Se calcula la raíz cuadrada en los dosmiembros, teniendo en cuenta el signo positivoy negativo de su resultado.

SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado que resultan.

x − 2 = 3 ⎯→ x1 = 5x − 2 = −3 → x2 = −1

x − = ±⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 →

( ) ( )x x x− = − = − = ±2 9 2 9 2 32 2→ →

HAZLO ASÍ

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128

PROBLEMAS CON ECUACIONES

74. ● Calcula el número tal que si le sumamos 2 nosda 10.

75. ● Obtén el número cuyo doble más su triplesuma 35.

76. ● Determina un número, de forma que la suma desu triple y cuatro veces el número sea 21.

77. ●● Escribe en lenguaje algebraico los enunciados y resuélvelos.

a) La suma de dos números consecutivos es 63.b) La suma de dos números pares consecutivos

es 126.c) El doble de un número y su mitad suman 10.d) El doble de la suma de un número más 7 es 18.e) El triple de un número menos 8 es 40.f) Un número menos su quinta parte es 80.

78. ●● La suma de dos números es 55 y uno de elloses la cuarta parte del otro. Halla los números.

79. ●● Encuentra dos números sabiendo que su suma es 20 y se diferencian en 6 unidades.

80. ●● La suma de tres números es 330. El primero es el doble del segundo y el segundo es el triple del tercero. Calcula dichos números.

81. ●● Un trayecto en taxi cuesta 2,50 € de bajada de bandera y 1,50 € por cada kilómetro. Sipagamos 13 €, ¿qué distancia hemos recorrido?

82. ●● En el zoológico hay el doble de tigres que de panteras, y sabemos que en total son171 animales. Determina cuántos hay de cada especie.

83. ●● Carlos, David y Sergio han ganado 3.200 €que van a repartir así: Carlos tendrá 200 € menosque Sergio, y David 200 € menos que Carlos.Calcula el dinero de cada uno.

84. ●● En una clase hay partes de chicos y las

chicas son 16. ¿Cuántos chicos hay en la clase?

37

85. ●● Juan realiza la cuarta parte de un viaje enautobús, la sexta parte en moto, tres octavaspartes en bicicleta, y los últimos 40 km andando.

a) ¿Qué distancia recorrió en total?b) ¿Qué distancia ha recorrido en cada medio

de transporte?

86. ●● Luis tiene 92 monedas de 1, 2 y 5 céntimos.Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si las monedas de 1 céntimo son la tercera parte de las de 5 céntimos, y estas son el quíntuplo delas monedas de 2 céntimos.

87. ●● María se entrena aumentando el recorrido del día anterior en 1 km. Al cabo de siete días, el recorrido total que ha hecho es de 42 km. ¿Cuánto ha entrenado el último día?

88. ●● Un bebé gana durante su primer mes de vidala quinta parte de su peso, y en el segundo mesaumenta las cuatro quintas partes del peso que aumentó en el mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa 5.450 g, ¿cuánto pesó al nacer?

89. ●●● Preguntamos la hora y nos contestan de la siguiente manera: «Lo que queda de día es igual a 7 veces la quinta parte de las horas que han transcurrido». ¿Qué hora es?

90. ●●● Averigua mi edad si tengo el triple de la edad que tenía hace 8 años.

91. ●●● Una madre tiene 36 años y las edades de sus tres hijos suman 18 años.

a) ¿Cuántos años tienen que pasar para quesumen la edad de la madre?

b) ¿Y para que sumen el doble de su edad?

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92. ●●● Lola tiene ahorradas monedas de50 céntimos y las cambia por monedas de 1 euro.Tras el cambio, tiene 80 monedas menos.

a) ¿Cuánto dinero tiene Lola?b) Si tuviese 120 monedas

menos que al principio, ¿cuánto dinero tendría que cambiar?

c) ¿Y si las monedas fuesen de 20 céntimos y al cambiarlas obtuviese 60 monedas menos?

94. ●● Halla las dimensiones de un rectángulo deárea 30 cm2, siendo la base la mitad de la altura.

95. ●● Calcula las dimensiones de un rectángulo de 80 cm2 cuyo largo es 2 cm mayor que el ancho.

96. ●●● Halla la longitud del lado de una parcela cuadrada si su área, más cinco veces su lado,menos 18, es igual a 482.

INVESTIGA

97. ●●● La solución de esta ecuación es x = 9.

Investiga a qué número equivale el triángulo.

98. ●●● Investiga qué relación debe existir entre by c para que las soluciones de la ecuación x2 + bx + c = 0 sean iguales.

Basándote en tus investigaciones, escribe una ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones sean 7.¿Es posible que si b y c son números enteros y b es impar sean las dos soluciones iguales?

99. ●●● Encuentra el error y recuerda que «2 no es igual a 1».

x = y x2 = xy x2 − y2 = xy − y2 →→ (x + y)(x − y) = y(x − y) →

x + y = y y + y = y →

→ 2y = y 2 = 1

100. ●●● Calcula el tiempo que necesitas pararesolver este problema si empleas:

partes del tiempo total en leerlo

partes del tiempo total en plantearlo

partes del tiempo total en resolverlo

y minuto y medio en comprobarlo.

41100

14

125

: y⎯→

Como x = y⎯⎯⎯⎯⎯→: (x − y)⎯⎯⎯→

−y2

⎯→⋅ x⎯→

Factorcomún y!"#

Diferencia de cuadrados!"#

¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTEECUACIONES DE SEGUNDO GRADO?

93. El área de una parcela que tiene formarectangular es 450 m2. Si mide el doble de largoque de ancho, ¿cuánto medirá su ancho?

PRIMERO. Identificar la incógnita.

Incógnita (x) → Medida del ancho

SEGUNDO. Plantear la ecuación. Ancho ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xLargo = Doble que ancho ⎯⎯⎯→ 2x

Área = 450 m2 x ⋅ 2x = 450

TERCERO. Resolver la ecuación.

→

→

CUARTO. Comprobar e interpretar la solución.COMPROBACIÓN:

x ⋅ 2x = 450 15 ⋅ 2 ⋅ 15 = 450 → 450 = 450

x ⋅ 2x = 450 (−15) ⋅ 2 ⋅ (−15) = 450 →→ 450 = 450

Ambos valores son soluciones de la ecuación.

INTERPRETACIÓN: Descartamos la solución −15porque no existen longitudes negativas. Por tanto, el ancho de la parcela es 15 m.

x = −15⎯⎯⎯⎯→

x = 15⎯⎯⎯⎯→

x x

x= ± = = + =

= − = −

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪225 225 15

225 151

2

x x x x⋅ = = = =2 450 2 450 4502

2252 2→ →

Área = largo ⋅ ancho⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

HAZLO ASÍ

Lo que sé… Lo que no sé…

Parcela rectangularÁrea = 450 m2

El doble de largo que de ancho

Medida del ancho

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En la vida cotidiana101. ●●● La familia Alcubilla quiere construir

una piscina en su jardín. Han estado tomandomedidas y se han reunido para ponerse de acuerdo sobre sus dimensiones y suubicación.

Siguiendo estas indicaciones, Alberto hadibujado el siguiente croquis de la piscina.

El único aspecto que quedaría por determinarsería el ancho de la piscina, que por las

características del terreno en el que se construirá no puede ser superior a 9 m.

Además, Celia haencontrado en unosalmacenes una oferta interesante debaldosas para cubrir la piscina, perode cantidad limitada.

¿Tendrán suficientes baldosas para cubrir la piscina?

102. ●●● La fórmula para calcular el espaciorecorrido por un móvil, S, que parte con una velocidad inicial, v 0, y que lleva una aceleración, a, durante un tiempo t, es:

S = v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2

¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 1.000 metros una moto que circula a 25 m/s, con unaaceleración de 1,5 m/s2?

103. ●●● Los vientos han sido tan fuertes que han partido una torre eléctrica de alta tensión situada en el Cerro de los Mochuelos.

La torre medía 32 m de altura y se ha quebrado de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo, a una distancia de 16 m de la base.

Los técnicos de la empresa encargada del mantenimiento dicen que colocarán unosrefuerzos que irán desde la base de la torrehasta la zona donde se ha partido.

¿Qué altura deberían tener estos refuerzos?

Debería tener una parte con una

profundidad de 2,5 m para que podamos

tirarnos de cabeza.

Sí, pero también necesitamos una zona con poca profundidad,

no mayor de mediometro…

Por las medidas del jardín, el largo

de la piscina no puede pasar

de 8 m…

50 baldosas30 cm x 25 cm

OFERTA

24 cajas

máximo

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