ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON RADICALES

Son

Ecuaciones que tienen raíces y se las resuelve según el número de radicales que tenga

SI TIENEN UN RADICAL SI TIENEN 2 RADICALES SI TIENEN 3 RADICALES

2 x – 2 + 1 = 5 √X+1−√X−4 = 5 2√X−3 =√X+2+√X−6

2 x – 2 = 5-1 √X+1= 5 - √X−4 (2√ X – 3)2 = (√X+2+√ x−6¿2

(2 x – 2 )2 = (4)2 ¿= (5 −√X−4¿2 4(X-3)= X+2+2 √ X2-4X-12 +X-6

4(x -2) = 16 X +1= 25-10 √X−4 +√¿¿ 4 X -12= √2X -4 +2 X2 -4X -12

X – 2 = 4 10√ X-4 = 20 2X – 8=2 √X2 – 4X -12

X = 6 √ X- 4 =2 (X – 4)2 = (√ X2 -4X -12)2

√(X – 4) = (2)2 X2 -8X +16 =X2 -4X -12

X – 4 = 4 -4X = -28

X = 8 X = 7

Ecuaciones de segundo grado

Se llaman así a todas las ecuaciones de la forma a x2 + b x +c = 0

INCOMPLETAS COMPLETAS

a x2 + bx = 0 a x2 + b x + c =0

a x2 + c = 0

a x2 = 0

ECUACIONES INCOMPLETAS

Se llaman ecuaciones incompletas cuando les falta b c o ambas

Ejemplos:

3x2 + 5 = 0 X2 + 6 x = 0

Ejemplo:

Primer caso de la forma: a x2 + c = 0 X2 = - c

√ x2 = ±√ca

x = ± √ca

Ejemplo

Segundo caso de la forma: a x2 + bx = 0 4 y2 + 3 y =0

y (4y + 3) = 0

y = 0 y= - 3/4

CASOS

Ejemplo:

Tercer caso de la forma: a x2 = 0 x2 = 0 /0

X2 = 0

√ x2 = √0

X= 0 X1 = X2 = 0

1.- por descomposición de factores

2.-completar RESOLUCIÓN DE 3.- formula general

el trinomio ECUACIONES COMPLETAS

4.-graficamente

2.-Por descomposición de factores

Expresamos la ecuación igualada en la forma a a x2 + b x + c =0; factoramos e igualamos cada factor a cero

EJEMPLOS

6y2 -6 = 5y x2 - 7x + 1 =06y2 – 6 -5y=0 12b2 12ab ab 36

6y2 -5y -6 =0 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0

(6y – 9) (6y + 4) 12a 2b2

3 2 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0

(2y -3) (3y + 2)=0 (ax -4b) (ax -3b) = 0

y = 32

; y = −23

ax= 4b ax= 3b

x = 4b x = 3b a a

2.-MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO

Para aplicar este método e valor de a debe ser 1 Consiste en dividir el coeficiente del 2 do término para (2), el resultado elevo al cuadrado y es el término que me falta para completar el trinomio cuadrado perfecto.

Este resultado lo sumamos a los dos lados, en el primer miembro factoramos el trinomio cuadrado perfecto y en el segundo miembro sumamos algebraicamente, sacamos la raíz cuadrada a ambos miembros y despejamos la incógnita.

J Si a es diferente de 1 primero dividimos para a y

luego completamos el trinomio

EJEMPLOS:

x2 +x + 1 = 0

x2 + x + 1 = - 1 + 1 4 4

1÷ 2 = (12)2 =

x + 1 2 = - 3 4 4

x + 1 2 = ± - 3 4 4

X - -14=±√3 i

2

X= - 12±√3 i

2

X = - 1 ±√3 i

2

3.-POR LA FÓRMULA GENERAL

Toda ecuación a x2 + bx + c= 0 podemos resolverla por la fórmula:

x=−b±√b2−4ac2a

EJEMPLO:

( X + 1) (X+ 2) (X + 3) = x (x+4) (x +5)

(x2 +3x +2= ( x -3) = x ( x2 +9x +20)

X2 +3 x2 +3x2 +9x +2x +6= x2 + 9 x2 +20x

3x2 +9x -6 =0

X2 + 3x -2 =0

a= 1

b = 3

c= -2

x=−b±√b2−4ac2a

X =−3± (3)2 -4 (1) ( -2)

2a

X = -3±√9+8 2a

X= - 3 ±√17 2a

4.- Gráficamente

Para resolver una ecuación de segundo grado la transformamos en función de segundo grado quitándole el cero y poniéndole y.

a x2 + bx + c= 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

y = a x2 + bx + c FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

1.- primero calculamos el vértice es decir el punto máximo o mínimo para lo cual utilizaremos la siguiente fórmula.

U (X, Y)

X= −b2a

Y= 4 ac−b2

4 a

U= ¿ ); f (−b2a

)

fx = ax2 +bx +c

2. Graficamos el valor de x si es exacto o medimos los 2 valores de x el valor de y es el mismo, contamos desde el valor de x la misma distancia y formamos una tabla de valores reemplazándolos los valores de x en la función de segundo grado.

Si no es exacta contamos de igual manera pero reemplazamos cada valor correctamente directamente para interpolar es decir para buscar los juntos que le faltan medimos desde el eje de simetría para el lado contrario

EJEMPLO:

X2 -3x + 7 = 0

Y= X2 -3x + 7

a= 1 ; b= 3 c= 7

x= ¿ ) = −(−3)

2(1)=3

2

y= f 32

2 -3(

32¿+7

= 94−9

2+7

=9−18+28

4=19

4 U (

32;

194

)

X Y

1

0

-1

2

4

3

5

5

7

7

11

11

ECUACIONES FRACCIONARIAS

Son ecuaciones que tienen denominador

Para resolver una ecuación fraccionaria factorizamos los denominadores damos un mínimo común denominador y resolvemos la ecuación restante.

EJEMPLO:

5x−22x+2

+ 3x−24 x−4

= 5 x

x2−1+15

7

5 x−22(x+1)

+ 3 x+24(x−1)

= 5 x( x+1 ) ( x−1 )

+157

14 (5 x−2 ) (x−1 )+7 (3x+2 ) ( x+1 )=140 x+60(x+1)(x−1)28(x+1)(x−1)

14 (5 x2−x+2 )+7 (3 x2+5x+2 )=140 x+60(x2−1)

70 x2−98 x+28+21 x2+35 x+14=140x+60 x2−60

31 x2−203x+102

x=−b ±√b2−4ac2a

x=203±√−2032−4 (31)(102)

2(31)

x=203±√41209−1264862

x=203±√2856162

x=203±16962

x1=203+16962

=37262;x 2=203−169

62=34

62

x1=6 ; x2=1731

ECUACIONES LITERALES

Son aquellas que tienen como valores (a, b,c)

Para resolver estas ecuaciones expresamos en la forma a x2 + bx + c= 0, es decir igualamos a cero y resolvemos por factoreo o por la fórmula general.

EJEMPLO:

pq x2+( p2−q2) x=pq

pq x2+( p2−q2) x−pq=0

( pqx+ p2)( pqx−q2)pq

qx+ p¿ (px−q )=0

x1=−pqx2= q

p

ECUACIONES DE 2DO GRADO CON RADICALES

Se procede de acuerdo al número de radicales que tenga y se resuelve la ecuación de segundo grado por cualquier método.

EJEMPLOS

3√ x2+20 x – 5 =0

(3√ x2+20 x ¿3 = 53

x2+20x=15

X2 +20x -125=0

(x +25) (x-5) =0

X= -25 ; x= 5

√2+√ x−4 = √12−x

(√2+√ x−4 ¿2 = ( √12−x ¿2

2+√ x−4 = 12- x

( √ x−4 ¿2 = (10 - x¿2

X-4 = 100-20x + x2

x2 -21x +104 =0

(x-13) (x-6) =0

X= 13 ; x= 6

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Son ecuaciones cuyo exponente es mayor que 2 o fraccionaria también pueden ser negativas.Las ecuaciones de grado superior se resuelve según su forma y el número de raíces o soluciones es igual al máximo exponente de la incógnita.A estas ecuaciones también se las llama ecuaciones reducible a segundo grado

1.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:Los resolvemos utilizando ecuaciones de segundo grado podemos hacerla directa o utilizando una variable.Ejemplo:

9 x4−46 x2+5=0

(9 x2−45)(9 x2−1)91

(x2−5 ) ( 9x2−5 )=0

x2=5 ; x2=19

x=±√5; x=± 13

2.-Ecuaciones bicuadradasLa ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado y es de la forma a x4 + bx2 +c =0;Para resolverlos utilizamos factoreo e igualamos cada factor a cero.Ejemplos:

x4−24 x2−25=0

(x2−25 ) (x2+1 )=0

x2=25 x2=−1

x=±√ 25; x=±√−1

x=±5 ; x=±i

√ x2+9= 21 –x2

x2+9√x2+9 -21 -9= 0

(x2+9 )+√x2+9 -30= 0

¿+6) (√ x2+9 -5 ) =0

¿ = (-6)2 ; ¿ = (5)2

x2+9=36 x2+9=25

x2=27 x2=25−9

x=±√27 x2=±√16

X=±3√3 x=±4

3.-Ecuaciones binomias.-

Son ecuaciones de la forma xn± A=0 para resolverlas se puede resolver por factoreo cuando al factorizar se obtienen las raíces es decir se puede factorar completamente.EJEMPLOS:

X3 =27

X3 -27=0

(X- 3)( x2+3 X+9¿=0

X= 3 x=−b±√b2−4ac2a

x=−3±√9−362

x=−3±√−272a

x=−3±3√3 i2

x=−3+3√3i2

; x=−3−3 √3 i2

x4-256=0

(x2 +16) (x2-16)=0

X2=-16 ; x2=16

X=±4 i ; x=±4

4.-Ecuaciones binómicas no factorables:

Cuando no se pueden factorar completamente utilizamos el teorema de MOIVRE

x1n=r

1n cis(∅+k .3600

n)

EJEMPLO:

X5+32=0

X5=32 BUSCAMOS LAS 5 RAÍCES DE -32

-32=-32+0i

a=-32 O= arc tan ba

b=0 O= arc tan 0

−32

r=√a2+b2 O = 1800

r=√¿¿

r=32

X=32 cis 1800; n= 5

x1n=32

15 cis( 1800+k .3600

5)

X=5√32cis¿)

X= 2cis (360 +k .720)

K=0

X1= 2cis (360 +k .720)

X1= 2(cos 360 + I sen 360)

X1= 161+1,18i

K=1

X2= 2cis(360 +1 .720)

X2= 2(cos108 + isen 108)

X2= -0,62+1,90i

K=2

X3= 2cis (360 +2 .720)

X3= 2(cos180 +isen 180)

X3=-2

K=3

X4= 2cis (360 +3 .720)

X4= 2 (cos252 + isen252)

X4= -0,62-1,90i

K=4

X5=2cis (360 +5 .720)

X5= 2(cos324 + isen 324)

X5= 1,61 – 1,18i

5.-ECUACIONES TRINOMIAS:

Tienen 3 términos y son de exponente 6 u 8 y se resuelven por factoreo

EJEMPLO:

X8-97 X4+1296= 0

( X4-81) ( X4-16) =0

(X2+9) ( X2-9) (X2+4) ( X2-4)= 0

X2 = -9 ; X2= 9 ; X2= -4 ; X2 = 4

X=±3 i ; x=±3 ; x=±2 i ;x=±2

ECUACIONES RECÍPROCAS:

Se llaman así aquellas ecuaciones que no alteran si se reemplaza x por 1X

J También podemos darnos cuenta que es recíproca cuando los términos

equidistantes de la ecuación ordenada son iguales, el valor absoluto

4x4 -17x3 +17x -4= 0

RESOLUCIÓN: las ecuaciones recíprocas se reducen según el número de términos que tenga. Si el número de términos es impar agrupamos los términos equidistantes, factoramos factor común solo el número dividimos para x2 y utilizamos una variable auxiliar de paso u= x +1/x

4x4 -17x3 +17x -4= 0

X 1x

¿

4

x4 −17

x3+ 17x

−4=0

4−17 x+17 x3−4 x4=0x4

4x4 -17x3 +17x -4= 0

ECUACIONES BINÓMICAS QUE TIENEN UN NÚMERO PARA DE TÉRMINOS:

Agrupamos los términos equidistantes y factoramos todo lo que haya, resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el resultado.

EJEMPLO:

4x4 -17x3 +17x -4= 0

4(X4- 1) -17X( X2 -1) = 0

4(X4+1) ( X2 -1) -17X( X2-1)=0

(X2-1) (4X2 +4 -17X)=0

X2=1 4X2 -17X+4=0

X¿±1 (4 X−16 ) (4 X−1 )=0

4 1

(X-4) (4X -1)=0

X=4 ; X=14

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:

Se forma una ecuación ax2n +b xn + c= 0

au2n + bun + c =0

EJEMPLO:

¿

au2n + bun + c =0

¿ ¿= 0

(x2+x+1+3x ) (x2−x+1−3 x ) (x2−x+1+x ) (x2−x+1−x )=0

(x2+2x+1 ) (x2−4 x+1 ) ( x2+1 ) (x2−2 x+1 )=0

¿

x=4±√16−42

x2=−1¿

x=4±√122

x=± i x=1doble

x=4±2√32

x=2±√3

ECUACIONES IRRACIONALES:

Son las ecuaciones con radicales que estudiamos anteriormente y se lo resuelve según el número de radicales que tenga

EJEMPLO:

√X+5+√2 X+8= 7

¿ = (7 –√2 X+8¿2

X+5=49−14√2 X+8+2 X+8

¿ = (X+52)2

196(2X+8) =X2 +104X +2704

X2-288X+1136=0

(X-284) (X- 4)

X=284 ; X=4X