Ecuaciones de MaxwellI. Ley de Gauss

del campo eléctrico

II. Ley de Gauss del campo magnético

III. Ley de Faraday

IV. Ley de Ampere generalizada por Maxwell

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I. Ley de Gauss del campo eléctrico

• La integral se extiende a una superficie cerrada: número de líneas (flujo) de E que atraviesan dicha superficie.

• El vector diferencial de superficie se considera normal a la superficie cerrada en cada punto y saliente de la misma (dirigido hacia afuera)

• La carga q es la carga neta encerrada en el interior del volumen limitado por la superficie cerrada

o

qE dS

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I. Ley de Gauss del campo eléctrico

• Si el flujo > 0 las líneas de E salen de la superficie. En su interior la carga neta es positiva (“fuente” de las líneas)

• Si el flujo < 0 las líneas de E entran a la superficie. En su interior la carga neta es negativa (“sumideros” de las líneas)

• La líneas de E son discontinuas en los puntos donde hay cargas.

o

qE dS

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II. Ley de Gauss del campo magnético

• La integral se extiende a una superficie cerrada cualquiera.

• El número neto de líneas que atraviesa esa superficie es nulo (flujo).

• El número de líneas que entran al interior de dicha superficie es exactamente igual al número de líneas que salen

• Las líneas de B son continuas y cerradas: No existe un polo magnético aislado

0B dS

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III. Ley de Faraday• La integral del 2do miembro se extiende sobre una superficie

que tiene un contorno . • Es el flujo de B a través de esa superficie (Número de líneas

que la atraviesan)• Si este flujo varía con el tiempo, en el contorno de dicha

superficie se induce un f.e.m.• La integral curvilínea del 1er miembro en un camino cerrado

es distinta de cero si el flujo es variable.• Existe un E inducido en la trayectoria por la variación del

flujo de B en la superficie para la cual es su contorno. Este E inducido está formado por líneas cerradas

• Un campo magnético variable en el tiempo provoca la aparición de un campo eléctrico inducido (No “nace” de cargas eléctricas)

E dl B dSt

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Consecuencia de Ley de Faraday para flujo constante… E dl B dS

t

0E dl

•Si el flujo de B a través de la superficie es constante en el tiempo, entonces el 2do miembro es nulo.•El campo E, si existe, es un campo electrostático, originado por cargas eléctricas en reposo.•La integral curvilínea en un camino cerrado de un campo E electrostático siempre es nula.•El trabajo realizado por un campo electrostático en un camino cerrado es nulo.•El campo electrostático es un campo CONSERVATIVO

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IV. Ley de Ampere generalizada por Maxwell

• El primer miembro es la integral curvilínea sobre una trayectoria cerrada

• El segundo miembro tiene dos términos:

• Corriente neta de conducción que atraviesa cualquier superficie para la cual la trayectoria es su contorno

• “Corriente” de desplazamiento: Existe si hay un campo eléctrico variable en el tiempo cuyas líneas atraviesan una superficie para para la cual la trayectoria es su contorno

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o oB dl i E dSt

Ecuaciones de Maxwell en el vacío. En una región donde no existen cargas ni en reposo ni en movimiento (corrientes)

8

0

0

o o

E dS

B dS

E dl B dSt

B dl E dSt

9

0

0

o o

E dS

B dS

E dl B dSt

B dl E dSt

•Las líneas de E y de B son continuas•En un volumen cualquiera el número de líneas que entran es igual al número de líneas que salen tanto de E como de B•Un B variable en el tiempo produce un E•Un E variable en el tiempo produce un B•Entonces…

ONDAS

• Cualquier función (x,t) que satisface esta ecuación diferencial es una magnitud que varía periódicamente en el tiempo y se propaga en la dirección + x.

• En dicha ecuación v es la velocidad de propagación de la onda.

• La magnitud es la presión del medio para una onda sonora, es el desplazamiento transversal “y” para una cuerda tensa, es el vector óptico para la luz, etc.

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2 2

2 2 2

1

x v t

2 2

( x,t ) ( kx t )

k v

• Hipótesis 1: Suponemos que en una región del espacio donde no hay cargas ni corrientes existe un campo eléctrico que se propaga ondulatoriamente en la dirección + x.

• Elegimos como superficie cerrada gaussiana un cubo cuyas caras sean paralelas a los planos xy, zy y xz.

• Aplicando la ley de Gauss para el campo eléctrico[ecuación (I) de Maxwell] se puede demostrar que Ex = 0.

• Es decir, el campo eléctrico no tiene componente en la dirección de propagación.

• Dicho de otra manera: El campo eléctrico es transversal a la dirección de propagación

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• Hipótesis 2: Suponemos que el campo eléctrico sólo tiene una componente perpendicular a la dirección de propagación + x.

• Consideremos un cuadrado sobre el plano xz como camino cerrado de integración. Aplicando la ecuación III de Maxwell (Ley de Faraday) podemos demostrar que el campo magnético variable que produce el campo eléctrico variable sólo tiene componente Bz.

• Es decir que los campos B y E son perpendiculares.

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yˆE( x,t ) E ( x,t ) j

• Hipótesis 3: Suponemos que el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección +y y que el campo magnético sólo tiene dirección +z.

• Aplicamos la ecuación III de Maxwell (Faraday) a un camino cuadrado cerrado en el plano xy.

• Podemos demostrar que:

• Haciendo un análisis similar al propuesto pero aplicando la ecuación IV de Maxwell, podemos demostrar que:

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y zE B

( A )x t

0 0yz

EB( B )

x t

Entonces…• Si existe un E perpendicular a la dirección de

propagación x, debe existir un B variable en el tiempo.

• B debe ser perpendicular a E

• Si E es variable en el tiempo, entonces existe un B que varía con x

Entonces…

Provoca la aparición de un

…y viceversa…

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yˆE( x,t ) E ( x,t ) j

zˆB( x,t ) B ( x,t )k

Derivamos la ecuación (A) respecto a x.

Derivamos la ecuación (B) respecto a t.

Por transitividad demostramos que el campo eléctrico es solución de la ecuación diferencial

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2 2

2

22

0 0 2

y z

yz

E B( A )

x t x

EB( B )

x t t

2 2

0 02 2

y yE E

x t

• Análogamente se puede demostrar que…

• Tanto B como E satisfacen la ecuación de las ondas.

• En el s XIX, Maxwell pudo predecir teóricamente la posibilidad de que existan ondas electromagnéticas.

• Estas ondas deben tener una velocidad, en el vacío, tal que:

• Hagamos las cuentas…

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2 2

0 02 2z zB B

x t

0 020 0

1 1v

v

• Este resultado coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío.

• ¿Será la luz una onda electromagnética?

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2 20 0 7

2 9

29 7 8

2

1 1

14 10

4 9 10

9 10 10 3 10 300000

vN m CA N

m m kmv

s s s