ecuaciones cuadráticas

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Ecuaciones Cuadrticas FactorizacinPor: Melissa Murrias Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales.

Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 3x2 - 9x -6x 2 + 10 a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula Cuadrtica

Factorizacin Simple: La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin

x2 + 2x 8 = 0 (x ) (x )=0

a=1

b=2

c=-8

[x x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x 2) = 0

4 y 2

4 + -2 = 2

4 -2 = -8

x+4=0

x2=0

x+4=0 x=04 x = -4

x2=0 x=0+2 x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4

x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 x2 + 2x = 8 [Ya est en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) =

x+1= x = -1 3

3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 3 x = -4

x = -1 + 3 x=2

Frmula Cuadrtica: Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:

Ejemplo: X2 + 2x 8=0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 2

6 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4

X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2

ECUACIN CUADRTICAUna ecuacin cuadrtica en una variable x con coeficientes reales es una ecuacin de la forma

ax 2 bx c ! 0, a, b, c y con a { 0. Ejemplos:x 2 ! 36 y2 4y ! 0 x 2 5x 2 ! 0 3n 2 2 n 1 ! 0 5 x 2 x 2 ! 3x 2 2 x 1

Utilizando la siguiente propiedad de los nmeros reales:ab ! 0 a ! 0 b ! 0

la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadrticas. Ejemplo: 3n 2 14 n 5 ! 0

3n 1n 5 ! 0@ n! 1 3

3n 1 ! 0

n5 ! 0

n ! 5

Ejemplo: x 2 3kx 10k 2 ! 0

x 5k x 2k ! 0@ x ! 5k

x 5k ! 0

x 2k ! 0

x ! 2k

Ejemplo:

2 x ! x8

2 x ! x 82

2

4 x ! x 2 16 x 64 x 2 20 x 64 ! 0

x 16 x 4 ! 0@ x ! 16

x 16 ! 0

x4! 0

x!4

Para una ecuacin de la forma x2 = a, con a real podemos proceder como sigue:x2 ! a x2 a ! 0 x2

a ! 02

x a x a ! 0 @ x! a x! a

Ejemplos: ecuacin x2 = 45 x = -9 7 n2 = 122

races 3 5, 3 5 _ 3 i, 3 ia

_

a

(3 n +1)2 = 25

2 21 2 21 , 7 7 4 2, 3

Ejemplo: Una cuerda de 50 metros cuelga desde lo ms alto de una asta bandera con altura h, se sabe que la cuerda queda completamente tensa cuando el extremo libre alcanza los 18 metros desde la base. Determnese la altura h.

Ejemplo: Determinar la longitud x del lado de un tringulo issceles rectngulo que tiene una hipotenusa de 7.5 unidades. Ejercicio. Resolver las siguientes ecuaciones: x 22 ! 9

t 52 ! 1225 x 2 5 ! 25 12 x 2 ! 49 34 x 1 1 ! 172 2

Resolucin de la ecuacin cuadrtica completando el cuadrado. Los siguientes trinomios son cuadrados perfectos 2 2 x 2 8 x 16 ! x 4 , x 2 12 x 36 ! x 6 x 2 14 x 49 ! x 7 , x 2 18 x 81 ! x 9 ntese que en todos ellos el trmino constante es igual al cuadrado de la mitad del coeficiente en x.2 2

Ejemplo: Encontrar las races de la ecuacin x 2 10 x 2 ! 0, x 2 10 x ! 2, x 2 10 x 25 ! 2 25,

x 52 ! 27,@ x ! 5 27 Ejemplo: x ! 5 27

x 2 4 x 7 ! 0, x 2 4 x ! 7, x 2 4 x 4 ! 7 4,

x 2 2

! 3, x ! 2 i 3

x 2 ! s 3 ! s i 3, @ x ! 2 i 3

Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones con este mtodo:x 2 3 x 1 ! 0, respuesta : 3 5 3 5 , 2 2 6 46 6 46 , 2 2

2 x 2 12 x 5 ! 0,

respuesta :

x 2 2 x 8 ! 0,

respuesta :

_ 2, 4a

Y graficar los siguientes polinomios:x 2 4 x 21, 9 x 2 6 x 1, 15 x 2 17 x 4, 2 x 2 6 x 1.

Frmula Cuadrtica. l mtodo de completar el cuadrado puede utilizarse para resolver cualquier ecuacin cuadrtica. Y lo utilizaremos para obtener la llamada Frmula Cuadrtica.

ax 2 bx c ! 0, a { 0 ax 2 bx ! c c b x! a a b2 c b2 b x 2 ! 2 a 4a a 4a2

x2

x2

b b 2 4 ac x ! 2a 4a 2 b !s 2a b 2 4 ac b 2 4 ac !s !s 4a 2 4a 2 b 2 4 ac b s b 2 4 ac ! 2a 2a b 2 4 ac 2a

x

x!

b s 2a

Podemos utilizar esta frmula para encontrar las races de cualquier ecuacin cuadrtica simplemente sustituyendo los valores de los coeficientes a, b, c en ella. Ejemplos: a x2 + b x + c x2 + 5 x + 2 = 0 x2 - 2 x -19 = 0 x -2 x 4 = 02

(a, b, c) (1, 5, 2) (1, -2, -19) (1, -2, -4)

b s b 2 4ac 2a 5s 7 2

_s 3 i 2 a 1 _s 5a 1

Naturaleza de las races. El discriminante de la ecuacin cuadrtica a x2 + b x + c = 0, se define como ( ! b2 4 a c Y en trminos del discriminante la frmula cuadrtica que determina las races x1 y x2 de la ecuacin queda as

x1 !

y por lo tanto si (

b ( 2a

x2 !

b ( 2a

0 x1 y x 2 son complejos conjugados.

( ! 0 x1 ! x 2 slo una solucin real. ( " 0 x1 y x 2 son dos soluciones reales. La suma y el producto de las races de la ecuacin estn dadas por x1 x 2 !! b ( b ( b ! 2a 2a a b ( b ( b2 ( b2 b2 4 a c c v ! ! ! a 2a 2a 4a 2 4a 2

x1 v x 2 !!

FUNCIONES CUADRTICAS

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIN 1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectngulo. Calcula el rea del rectngulo en funcin del lado x del cuadrado.

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino

alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo: La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. Llama x a la anchura constante del camino.Cul ser el rea A del camino?

.

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla. Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A). Si el rea del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la grfica y averigua el ancho x del camino. Para qu valor de x es A = 100? Actividad resuelta 3. El director de un teatro estima que si cobra 30 por localidad, podra contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 le supondra 100 personas ms. Calcula las ganancias obtenidas en funcin del nmero de bajadas del precio. Observa la tabla:euros descuento Precio N espectadores 0 30 500 1 30-1 500+100.1 2 30-2 500+100.2 x 30-x 500+ 100x

Ingresos

30.500

(30-1)(500+100.1)

(30-2)(500+100.2)

(30-x)(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

siendo x el n de euros de descuento, en el precio de la entrada. Una funcin cuadrtica es toda funcin que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son nmeros cualesquiera, con la condicin de que a sea distinto de 0 . Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000 que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadrticas.

Grfica de las funciones cuadrticasLa funcin cuadrtica ms sencilla es f(x) = x2 cuya grfica es: x f(x) = x2 -3 9 -2 4 -1 1 -0'5 0'25 0 0 0'5 0'25 1 1 2 4 3 9

Esta curva simtrica se llama parbola. Funciones cuadrticas ms complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la grfica de f(x) = x2 -2 x - 3. x f(x) -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 4 5

Completando la grfica obtengo:

Actividades resueltas

4. Dada la parbola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisin las coordenadas de los puntos de la figura:

a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parbola, sus coordenadas cumplirn la ecuacin, es decir, y = 3'5 2 - 43'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25). b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parbola, no disponemos de ninguna relacin que nos permita deducir y en funcin de x: no es posible conocer con precisin las coordenadas de B. c. El punto C(x,y) est situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como tambin es un punto de la parbola, verificar y = 02 - 40 + 3 = 3 .Luego C = (0,3). d. D = (x,5) pertenece a la parbola. Sustituyendo y por 5 en la ecuacin de la parbola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la grfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (por qu?). Luego D = (4'45,5). e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas sern de la forma (x,0) y por ser de la parbola verificarn la ecuacin de 2 grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos sern E = (1,0) y F = (3,0). f. Por la forma simtrica de la parbola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuacin de la parbola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g. Calculemos las coordenadas del punto H(x,y) de la parbola que est "justo encima" de H. Como x = 5, entonces y = 52 - 45 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H, por tanto, H = (5,2). h. Calculamos las coordenadas del punto I(x,7) que est en la parbola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parbola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I, es decir, I = (0'63,7).

5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vrtice V y el punto C de la parbola y = x2 - x + 1 .

a. A est situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parbola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1). b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1). c. La 1 coordenada del vrtice est situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2 coordenada se obtiene con la ecuacin 2 y = (0'5) - 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vrtice sern V = (0'5,0'75). d. Utilizando la simetra de la parbola puedo calcular la 1 coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 22-2+1=3. C = (2,3). Este mtodo se puede generalizar a cualquier parbola de ecuacin y = ax2 + bx + c y nos permitir hallar el vrtice de forma inmediata.

Obtencin general del vrtice

Sea la parbola y = ax2 + bx + c Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simtrico resolviendo el sistema . Igualando: a x2 + b x + c = c a x2 + b x = 0 que nos lleva a la solucin x = -b/a. x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ax + b = 0

La primer coordenada del vrtice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a Ejemplo Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces = (2,-1). Actividad y f(2) = -1. Y el vrtice ser V

6. Dada la parbola y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes Observa las parbolas: a. y = - x2 + 2x + 3

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la frmula obtenemos la ecuacin de 2 grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3. Los puntos de corte son (-1,0), (3,0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuacin de la parbola. Por tanto, ser (0,3). b. y = x2 - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X: Resolviendo la ecuacin x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como nica solucin x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0). Punto de corte con el eje Y: (0,4). c. y = x2 - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuacin x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que solucin y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,3) Actividades

. No existe

7. Determina los cortes con los ejes de las parbolas siguientes: a. y = 2x2 -14x + 24 d. y = 3(x - 2)(x + 5) b. y = 5x2 - 10x + 5 e. y = 3(x - 2)2 c. y = 6x2 + 12 f. y = 3(x2 + 4)

8. Determina la ecuacin de una parbola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

9. Determina la ecuacin de la parbola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

10. Determina la ecuacin de una parbola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

Influencia de los parmetros en la grfica de las funciones cuadrticasParbolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

Las parbolas de ecuacin y = ax2 tienen por vrtice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), ms cerrada ser la parbola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Un resultado importante La forma de una parbola depende nica y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parbola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parbola y = ax2.

Por ejemplo: La parbola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parbolas. Al someter la parbola y = 2x2-16x + 35 a una traslacin de vector (4,3), que son las coordenadas de su vrtice, obtenemos la parbola y = 2x2. Las parbolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parbolas del tipo y = ax2. Actividad

11.

Determina mediante qu traslacin llevamos la parbola y = 3x2 sobre la parbola y = 3x2- 9x + 4 .

Parbolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0) La grfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la grfica de f(x) = 2x2 , desplazndola 3 unidades hacia arriba . El vrtice se halla en V(0,3) .

La grfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la grfica de f(x) = x2 , desplazndola 4 unidades hacia abajo. El nuevo vrtice es V(0,-4) . Las parbolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma grfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , segn el signo de c y, por lo tanto, su vrtice es el punto V(0,c). Parbolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)

La grfica de la parbola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1 coordenada del vrtice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2 coordenada del vrtice es -2. Luego el vrtice es V(1,-2). Utilizando la simetra de la parbola podemos obtener el punto (2,0). Si la parbola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta tambin al eje x en el punto (- b, 0) Actividades

12. Halla en cada caso la ecuacin correspondiente a cada una de estas parbolas:

Si la parbola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene informacin de que esto ocurra), su ecuacin se determina a partir de tres puntos dados. Actividad resuelta

13. Halla la ecuacin de la parbola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,12). Como A es un punto de la parbola ha de cumplir su ecuacin, es decir, -5 = a(-4)2 + b(-4) + c = 16a - 4b + c. De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c. Y C(3,-12) : -12 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c.

Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: Para resolverlo, puedes utilizar este mtodo general: Cambia el signo a alguna ecuacin (por ejemplo a la 2) y smala a las otras dos.

Obtenemos as un sistema 2 x 2:

cuyas solucione es a = -1 , b = -2.

Sustituyendo estos valores en cualquier ecuacin del sistema inicial, obtenemos c = 3. La parbola buscada es y = -x2 - 2x + 3. Represntala grficamente. Actividades

14. Obtener la ecuacin de la parbola que pasa por los puntos: A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12). P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0). Representacin grfica de una parbola Actividades resueltas

15. Dibuja la grfica de y = x2 - 2x - 8

Como a = 1 es positivo, la parbola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1 coordenada del vrtice es p = -b/2a = -(-2)/(21) = 1. Y la 2 coordenada q = 1