ECUACIONES CUADRÁTICAS Ejemplos

1. Resuelva la ecuación 1x254 2 .

Solución

Ecuación 1x254 2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

03x25 2

25a

0b

3c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

325402

3000

300

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por despeje:

03x25 2

3x25 2

25

3

25

3x2

5

3

25

3x1

5

3

25

3x2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

5

3,

5

3S

Recuerde que hay distintos métodos para resolver una ecuación cuadrática, entre ellos, factorización, inspección y fórmula general.

2. Resuelva la ecuación 0x3x6 2 .

Solución

Ecuación 0x3x6 2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

0x6x3 2

3a

6b

0c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

03462

036

36

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por factorización:

02xx3

0x6x3 2

Entonces los valores que satisfacen la ecuación son:

0x1

2x2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

0,2S

3. Resuelva la ecuación x44x2 .

Solución

Ecuación x44x2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

04x4x2

1a

4b

4c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

41442

1616

0

Como el discriminante es cero, la ecuación solo tiene una solución real.

Se determinan las soluciones.

Por factorización:

04x4x2 02x

2

Entonces el valor que satisface la

ecuación es: 2x .

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

2S

Fórmula notable

4. Resuelva la ecuación 3x10x3 2 .

Solución

Ecuación 3x10x3 2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

03x10x3 2

3a

10b

3c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

334102

36100

64

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

3

1

6

810

6

6410

a2

bx1

36

810

6

6410

a2

bx2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

3,3

1S

5. Resuelva la ecuación 2m68m5 .

Solución

Ecuación 2m68m5

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

08m5m6 2 6a

5b

8c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

86452

19225 167

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

S

6. Resuelva la ecuación x8

51

4

5

4

x2

.

Solución

Ecuación x8

51

4

5

4

x2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

04

1x

8

5

4

x2

4

1a

8

5b

4

1c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

4

1

4

14

8

52

4

1

64

25

64

9

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general:

2

1

4

12

64

9

8

5

a2

bx

2

4

12

64

9

8

5

a2

bx

2

1

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

2,2

1S

7. Escriba la ecuación cuadrática que representa la situación y resolverla.

Solución

Se representan el ancho y el largo del rectángulo en términos de x:

Ancho: x

Largo: x + 4

Como el área del rectángulo es 40 cm2, entonces: x x 4 40 .

Se resuelve la ecuación cuadrática:

Ecuación 404xx

Se escribe la ecuación en la

forma 2ax bx c 0 y

se identifican los términos

a, b y c.

040x4x2

1a

4b

40c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

401442

16016

176

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene

dos soluciones reales diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

x

x + 4

A = 40 cm2

El largo de un rectángulo mide 4 cm más que el ancho.

El área del rectángulo es 40 cm2.

¿Cuánto miden el ancho y el largo del rectángulo?

11222

1144

2

1764

a2

bx1

11222

1144

2

1764

a2

bx2

Se escribe la respuesta:

El ancho del rectángulo mide 1122 cm y el largo, 1122 cm.

Se escoge la solución 1122

porque se trata de una distancia y

1122 es negativo.

112241122

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 0x12x2

b) m1m251m8 2

c) 72x24x2 2

d) x65x2

e) 2x1x2x2 22

f) 22x123x

g) 21x2x38

2. Determine el valor de k para que la ecuación 064kxx2 cumpla cada condición.

a) La ecuación tiene una única solución en IR.

b) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

c) La ecuación no tiene soluciones en IR.

3. Resolver las siguiente situación:

El doble del producto de dos números enteros consecutivos

equivale a la suma de 143 y el cuadrado del segundo número. ¿De qué números se trata?

Soluciones

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 0x12x2

Ecuación 0x12x2

Se escribe la ecuación en la

forma 2ax bx c 0 y se

identifican los términos a, b y c.

0x12x2

1a

12b

0c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

014122

0144

144

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por factorización:

0x12x2

012xx

Entonces:

0x1

12x2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

S 0, 12

b) m1m251m8 2

Ecuación m1m251m8 2

Se escribe la ecuación en la forma

2ax bx c 0 y

se identifican los

términos a, b y c.

06m2m6 2

6a

2b

6c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

66422

1444

148

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene

dos soluciones reales diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

6

371

12

3722

12

1482

a2

bx1

6

371

12

3722

12

1482

a2

bx2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

6

371,

6

371S

c) 72x24x2 2

Ecuación 72x24x2 2

Se escribe la ecuación en la

forma 2ax bx c 0 y se

identifican los términos a, b y c.

072x24x2 2

2a

24b

72c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

7224242

576576

0

Como el discriminante es 0, la ecuación tiene una solución real.

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

64

24

4

024

a2

bx

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

6S

d) x65x2

Ecuación x65x2

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

05x6x2

1a

6b

5c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

51462

2036

16

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

12

46

2

166

a2

bx1

52

46

2

166

a2

bx2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

S 1, 5

e) 2x1x2x2 22

Ecuación 2x1x2x2 22

Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los

términos a, b y c.

03x2x2 1a

2b

3c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

31422 124 8

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones en IR.

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

S

f) 22x123x

Ecuación 22x123x

Se escribe la ecuación en la forma

2ax bx c 0 y se

identifican los términos

a, b y c.

03x6x2 2

2a

6b

3c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

32462

2436

60

Como el discriminante es positivo, la ecuación

tiene dos soluciones reales diferentes 1

x y 2

x .

Se determinan las soluciones.

Por fórmula general,

2

153

4

1526

4

606

a2

bx1

2

153

4

1526

4

606

a2

bx2

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

2

153,

2

153S

g) 21x2x38

Ecuación 21x2x38

Se escribe la ecuación en la

forma 2ax bx c 0 y se

identifican los términos a, b y c.

010x7x2 2

2a

7b

10c

Se determina el valor del discriminante.

ac4b2

102472

8049

31

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Se escribe el conjunto solución de la ecuación.

S

2. Determine el valor de k para que la ecuación 064kxx2 cumpla cada condición. a) La ecuación tiene una única solución en IR.

Para que la ecuación tenga una única solución, el discriminante debe ser igual a 0.

ac4b2

6414k2

256k2

Hay que resolver la ecuación 0256k2 :

0256k2

256k2 16k1 16k2

Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 tiene una

única solución son 16 y 16 .

b) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Para que la ecuación tenga dos soluciones reales distintas, el discriminante debe ser mayor que 0.

ac4b2

6414k2 256k2

Hay que resolver 0256k2 :

0256k2 256k2 16k

Por lo tanto, k puede ser mayor que 16 o menor que 16 .

Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 tiene dos

soluciones reales distintas son k , 16 o k 16, .

c) La ecuación no tiene soluciones en IR.

Para que la ecuación no tenga soluciones reales, el discriminante debe

ser menor que 0.

ac4b2

6414k2

256k2

Hay que resolver 0256k2 :

0256k2 256k2 16k

Por lo tanto, k debe estar comprendido entre 16 y 16.

Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 no tiene

soluciones reales son k 16, 16 .

3. Resuelva las siguiente situación:

Se representan los números consecutivos con lenguaje algebraico:

Si x representa el menor de los números enteros consecutivos, el número

mayor corresponde a x + 1. Por lo tanto:

21x1431xx2

Se resuelve la ecuación anterior:

21x1431xx2 1x2x143x2x2 22

144x2 12x1 12x2

Note que hay dos respuestas para este ejercicio.

Si 1

x 12 entonces los números son 12 y 13. Observe que en este caso

tanto el doble producto de los números como la suma de 143 y el cuadrado

del segundo número es 312.

Si 2

x 12 entonces los números son –12 y –11 [el número y su

consecutivo]. Observe que en este caso tanto el doble producto de los

números como la suma de 143 y el cuadrado del segundo número es 264.

El doble del producto de los números

La suma de 143 y el cuadrado del segundo número.

El doble del producto de dos números enteros consecutivos

equivale a la suma de 143 y el cuadrado del segundo número. ¿De qué números se trata?