1 PRÁCTICA ECUACIÓN LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Práctica Ecuación Lineal y Sistemas de Ecuaciones

1.1. Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas

Definición 1.1: Ecuación de la rectaLa ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), viene dadapor:

y = mx + b (1.1)

Donde m se le llama pendiente de la recta. Y corresponde a la inclinación de larecta, esto es:

m = y2 − y1

x2 − x1(1.2)

y, b es la intersección de la recta con el eje Y, y viene dada por:

b = y −mx (1.3)

Rectas ParalelasDos rectas, L1 : y = m1x + b2 y L2 : y = m2x + b2 son paralelas, si y solo si,

m1 = m2 (1.4)

Rectas PerpendicularesDos rectas, L1 : y = m1x + b2 y L2 : y = m2x + b2 son perpendiculares, si y solo si,

m1 ·m2 = −1 (1.5)

o, lo que es lo mismo,m2 = − 1

m1(1.6)

Así, por ejemplo, una recta con pendiente m1 = 35 es perpendicular a una recta con

pendiente m2 = −53 .

Rectas OblicuasDos rectas son oblicuas si no son paralelas ni perpendiculares.

Ejercicio 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−5,−1) yB(2, 6).

Ejercicio 2. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,−5) e intersecael eje Y en −3.

Ejercicio 3. Determine si los si los siguientes pares de ecuaciones son paralelas, perpen-diculares u oblicuas:

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1.2 Sistemas de ecuaciones lineales1 PRÁCTICA ECUACIÓN LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1. L1 : −2x + 4y = 24; L2 : −x + 2y = 9

2. L1 : −x + 6y = 14; L2 : −18x− 3y = −33

3. L1 : 5x + 4y = 19; L2 : y = 14+4x5

4. L1 : y = −x + 8y = 35; L3 : 4x + 7y = 45

5. L1 : −2y + 3y = 10; L2 : 3x + y = 10

6. L1 : −2x + 5y = −3; L2 : 2x + 7y = 15

7. L1 : −x + 3y = 13; L2 : 6y = 14 + 2x

Ejercicio 4. Encuentre una recta paralela a la recta x+8y = 29, y que pase por el punto(11, 7).

Ejercicio 5. Encuentre una recta perpendicular a la recta −3x + 8y = 36, y que pasepor el punto (−4, 6).

Ejercicio 6. Encuentre la recta que pasa por el punto (−8,−6) y es paralela a la rectaque pasa por los puntos (−4, 8) y (14,−4).

Ejercicio 7. Encuentre la recta que pasa por el punto (4, 7) y es perpendicular a la rectaque pasa por los puntos (1, 4) y (8,−2).

1.2. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 PRÁCTICA ECUACIÓN LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES1.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Definición 1.2: Sistemas de ecuaciones lineales con dos variablesUn sistema de ecuaciones con dos incógnitas es de la forma ax + by = c

dx + ey = f

donde a, b, c, d, e, f son constantes, y x y y son variables. Un sistema de ecuacionestrata de encontrar el punto (x, y) donde ambas ecuacines se intersecan.Sistemas incompatiblesSe dice que un sistema es incompatible si no tiene solución. Esto quiere decir, queambas rectas son paralelas. Por ejemplo, x + 2y = 4

2x + 4y = 7

Claramente, ambas rectas tienen igual pendiente, por lo tanto, el sistema es incom-patible.Sistemas indeterminadosUn sistema de ecuaciones es indeterminado si tiene infinitas soluciones. Esto ocurrecuando ambas ecuaciones representan la misma recta. Por ejemplo, x + 3y = 1

2x + 6y = 2

Claramente, la segunda ecuación es el resultado de multiplicar la primera por 2;por lo tanto representa la misma recta, y así el sistema es indeterminado.Sistemas compatibles determinadosSe dice que un sistema es compatible determinado si tiene una solución en R. Paraprobar esto rápidamente, podemos verificar que no exista razón directa entre loscoeficientes que acompañan a x y a y; esto es,

a

d6= b

e(1.7)

Ejercicio 8. Probar si los siguientes sistemas tienen o no solución y porque

1.

4x + 5y = 0

6x− 7y = −14

2.

3x− y = 2

2y − x = 3

3.

5y − 10x = 34

67 + 7y = 14x− 2

7

3

1.2 Sistemas de ecuaciones lineales1 PRÁCTICA ECUACIÓN LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES

4.

x− y = 3

2x + y = 4

5.

y = x4 + 1

y = 16x−54

6.

4x + 2y = 18

y − 9 = −2x

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