ecuaciÓn de naviers-stokes

8/15/2019 ECUACIÓN DE NAVIERS-STOKES

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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

INVESTIGACIÓN DE LA ECUACIÓN DE NAVIERS-STOKES

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George GabrielStokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen elmovimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmsfera terrestre! las corrientes oce"nicas yel flujo alrededor de ve#$culos o proyectiles y! en general! cualquier fenmeno en el que seinvolucren fluidos ne%tonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservacin de la mec"nica y

la termodin"mica a un volumen fluido. &aciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las

ecuaciones.

'ara llegar a su formulacin diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones! principalmenteaquella en la que los esfuer(os tangenciales guardan una relacin lineal con el gradiente de velocidad)ley de viscosidad de Ne%ton*! obteniendo de esta manera la formulacin diferencial que generalmentees m"s +til para la resolucin de los problemas que se plantean en la mec"nica de fluidos.

Como ya se #a dic#o! las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadasparciales no lineales. No se dispone de una solucin general para este conjunto de ecuaciones! y salvociertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible #allar una solucin anal$tica, por lo queen muc#as ocasiones es preciso recurrir al an"lisis numrico para determinar una solucinaproimada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Esta epresin representa el principio de conservacin del momento lineal aplicada a un fluido general/

.

La ley de conservacin de la masa se escribe/

En estas ecuaciones 0 representa la densidad! ui )i 1 2!3!4* las componentes cartesianas de lavelocidad! F i las fuer(as aplicadas sobre el cuerpo! como la gravedad! P lapresin del fluido! y 5la viscosidad din"mica.

6onde 7 1 eii es la divergencia del fluido y 8ij la delta de 9ronecker . 6 : 6t es la derivada total o

derivada material temporal siguiendo el fluido/

La no linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al trmino relacionado con la derivada total.Cuando 5 es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manerasiguiente/

https://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navierhttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtonianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtonianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtonianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento#conservaci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_totalhttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtonianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento#conservaci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_totalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier


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; en forma vectorial/

TEORÍA DE LA LEY DE DARCY

Nació en (Francia !"#$-!"%"&

?! el agua

entubada llega a todos los pisos de todos los edificios de 6ijon! transformando as$ a esta ciudad

en la segunda ciudad europea en lo que se refiere a abastecimiento de agua! despus de @oma.

Se interes en el diseAo de filtros de arena para purificar el agua.

Berificacin eperimental de la ley de 6arcy. El caudal de agua )* es proporcional a la superficie aatravesar )D* y a la diferencia de presin del agua )#L*! e inversamente proporcional a la longitud deltubo )l*! o sea! que es proporcional a la superficie atravesada )D* y al gradiente #idr"ulico )#L:l*.

#L es la diferencia de algura entre los dos manmetros e F! que est"n separados a una distancia l!

medida a lo largo de la direccin del flujo. El nivel # en tiene una componente debida a su elevacin

y otra componente debido a la presin! y lo mismo sucede con # y. Es de destacar que el flujo en la

figura se est" produciendo desde una (ona con una presin menor a otra (ona con una presin mayor.

)'rice! 2H*

RES'EN

La llamada Ley de 6arcy es una generali(acin afortunada sobre las condiciones del flujo de agua en

arenas que #a sido etrapolada a materiales y condiciones que no se siguen necesariamente de su

formulacin original. Esta investigacin tiene por objetivo la identificacin de las condiciones en las

que se cumple la Ley de 6arcy y la verificacin eperimental de las condiciones en que no ocurre

flujo. Los resultados de la investigacin muestran primero! que la ley no es aplicable a los suelos

co#esivos, segundo! que en materiales granulares cuyo di"metro es mayor que el de las arenas! la

proporcionalidad de la velocidad de descarga y el gradiente #idr"ulico se mantiene #asta condiciones

de velocidad muy elevadas! cuya ocurrencia en condiciones naturales es bastante improbable, y

tercero! que la iniciacin del flujo en un medio permeable requiere de una combinacin particular de

espesor del medio permeable! cabe(a #idr"ulica eterna y permeabilidad del material.

)LANTEA*ENTO DEL )RO+LEA

La regla tcnica del Ingeniero


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teor$a del flujo a travs de un medio permeable! no #a sufrido a travs del tiempo modificaciones de

importancia! y #a sido aplicada sin ninguna restriccin en materiales de diferentes granulometr$as y

caracter$sticas f$sicas y mineralgicas! e incluso con diferentes fluidos. D partir de su publicacin!

la

@egla tcnica de 6arcy tuvo una amplia acogida y desde entonces viene siendo utili(ado en

diferentes ramas de la ingenier$a con la +nica restriccin de que el flujo de agua sea laminar! lo que

implica que #ay un dominio de las fuer(as viscosas sobre las fuer(as de inercia. Esta restriccin #a

sido planteada en funcin del n+mero del @eynolds )@e*.

Dlgunos autores #an propuesto restringir la valide( del regla tcnica de 6arcy en funcin del tamaAo

de los granos del material permeable! o del N+mero de @eynolds con aseveraciones del tipo

KLa Ley de Darcy es válida para bajos Números de Reynolds, donde el flujo es laminar y dominan

las fueras viscosas !Re "#$%%%&, )Maldocc#i! 3H*% KLa ley de Darcy no se cumple para materiales

muy finos o muy gruesosO P"rque( )2=4*! Ble( )3>*!

La cuestin central que se plantea en este trabajo es la de los l$mites dentro de los cuales se

cumple la relacin de proporcionalidad entre velocidad del fluido en un medio poroso y el gradiente

#idr"ulico como #a sido propuesta en la llamada Ley de 6arcy. Se busca dilucidar los factores que

determinan de manera efectiva la valide( de la regla tcnica de 6arcy/ en particular pretendemos

eaminar el efecto de la granulometr$a del material permeable! su composicin f$sica y mineralgica y

las condiciones de carga #idr"ulica. Dneja a esta cuestin central est" la verificacin de la condicin

de no flujo del agua en un medio permeable.

)er,eailidad . Conductividad /idr0ulica

El concepto de permeabilidad es un concepto genrico que #ace relacin al paso de un material a

travs de otro. En este trabajo nos limitaremos al eamen del flujo de agua a travs de geomateriales

corrientes. En geomateriales permeables saturados! el flujo unidimensional est" gobernado por la

regla tcnica de 6arcy.

En geotecnia es m"s com+n el uso del concepto de conductividad #idr"ulica o coeficiente de

permeabilidad! el cual puede ser definido como la velocidad de descarga de agua en condiciones de

flujo laminar a travs de un "rea transversal unitaria de un medio permeable bajo un

gradiente #idr"ulico unitario y en condiciones est"ndar de temperatura.

Conviene distinguir entre la permeabilidad primaria! propia de un material! y caracter$stica de los

materiales naturales! y la permeabilidad secundaria! en la que el fluido se despla(a a lo largo de

discontinuidades que es propia de materiales co#esivos y de maci(os rocosos.

La conductividad #idr"ulica! es un par"metro esencial en la determinacin cuantitativa del movimiento

del agua en el suelo para la solucin de problemas que envuelven irrigacin! drenaje! recarga!


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conservacin del suelo! y flujo a travs de presas y de vasos de embalses! entre otros. 'or lo tanto al

citar a @am$re( et al! )3H* se establece KLa conductividad #idr"ulica es afectada por la tetura y

estructura del suelo! siendo mayor en suelos altamente porosos! fracturados o agregados y menor en

suelos densos y compactadosO.


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FORMULAS DE LA LEY DE DARCY

q 1

:seccin

9 1 Conductividad elctrica )permeabilidad*d#:dl 1 gradiente #idr"ulico epresado en incrementos infinitesimales

1ELOC*DAD REAL Y 1ELOC*DAD DE DARCY

Velocidad de Darc!

Velocidad real!

L**TAC*ONES DE LA LEY DE DARCY

9 no depende slo del medio poroso! sino tambin del fluido.

k 1 permeabilidad intr$nseca

Q 1 peso espec$fico del fluido5 1 viscosidad din"mica del fluido

LA RELAC*2N ENTRE EL CA'DAL Y EL 3RAD*ENTE /*DR4'L*CO NO ES L*NEAL5

Si K es muy baja

Este caso ocurre en las arcillas donde Q=0 si el gradiente no es muy alto.

Si el agua circula a una velocidad alta:

)n distinto de 2*

6 7 -8 (dh/dl &

8 7 )er,eailidad 7

Conductividad 9idr0ulica

: 7 Cte5 ; Sección ;


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TEORÍA TER>A3/*

er(ag#i )2>4*!fue el primero en presentar una teor$a para evaluar la capacidad ultima de carga

de cimentaciones superficiales! la cual dice que una cimentacin es superficial si la profundidad 6f

de la cimentacin es menor o igual al anc#o de la misma.

Sin embargo investigaciones posteriores #an sugerido que cimentaciones con 6f igual a 4 a >

veces el anc#o de la cimentacin se definen como cimentaciones superficiales.

8arl Ter?a@9i! #a sido acreditado con no solo acuAar el trmino TPec"nica de SuelosT! sinotambin con el entendimiento de la importancia de entender la geolog$a en la comprensin de laspropiedades f$sicas del suelo. Como dice el refr"n! el resto es #istoria - de la Pec"nica de Suelos.

8arl Ter?a@9i (!""$-!B$& #a sido frecuentemente llamado el T padre de la mecánica de suelosT!pues su contribucin a la materia fue inmensa! a+n cuando otros #ayan contribuido a su formacin.er(ag#i naci en 'raga! entonces parte de Dustria y obtuvo una licenciatura en ingenier$amec"nica. No obstante! descubri que no era lo que le gustaba y as$ comen( su carrera con unafirma de ingenier$a civil en Biena! que se especiali(aba en @CC ) Reinforced )emented )oncrete*.'osteriormente obtuvo un doctorado basado en su trabajo en diseAo en @CC.

6urante este periodo! er(ag#i se interes en la ignorancia de los ingenieros civiles en aspectosrelacionados con los movimientos de tierra y el diseAo de las cimentaciones. Sinti que este tpiconecesitaba un enfoque cient$fico y decidi concentrar su atencin en desarrollar mtodos de6iseAo @acional.

La Clasiicación de Suelos

En la dcada de 23s! er(ag#i y &ogentogler introdujeron un sistema para la clasificacin del

suelo que se convirti en la base para la T)lasificación **+-.T utili(ada en el trabajo de

carreteras. En la dcada de 2>s! Drt#ur Casagrande de la Universidad de &arvard! present una

clasificacin de suelos para uso del Ejrcito de los EE.UU. en la Segunda Guerra Pundial! m"s

tarde llamada la T)lasificación /nificadaT! y a#ora utili(ada por la mayor$a de los ingenieros de

fundaciones.Las Ci,entaciones

6entro de su enfoque de 6iseAo @acional! 9arl er(ag#i )2>4* en T-'eoretical +oil 0ec'anicsTetendi el an"lisis de 'randtl-@eissner de equilibrio l$mite pl"stico en deformacin plana! de unobjeto duro penetrando un material m"s blando, para desarrollar la primera ecuacin racional decapacidad portante )de carga* para (apatas continuas )o corridas* embebidas en los suelos.er(ag#i asumi que el suelo era un material pl"stico r$gido! semi-infinito! istropo y #omogneo!sin peso! material pl"stico r$gido, que la (apata era r$gida, y que la base de la (apata era losuficientemente rugosa para garanti(ar que no #ubiera separacin entre la (apata y el suelosubyacente. ambin asumi que la falla se produce en el modo general de ci(alladura )o corte*.

Ter?a@9i (!$& ue el primero en presentar una teor$a completa para evaluar la capacidad de

carga +ltima de cimentaciones superficiales. 6e acuerdo con sta! una cimentacin es superficial si

la profundidad! 62 )figura 4.J*! de la cimentacin es menor o igual que el anc#o de la misma. Sin

embargo! investigadores posteriores sugieren que cimentaciones con 6f igual a 4> veces el anc#o

de la cimentacin pueden ser definidas como cimentaciones superficiales.

er(ag#i sugiri que para una cimentacin corrida )es decir! cuando la relacin anc#o entre longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Terzaghihttp://es.wikipedia.org/wiki/Terzaghihttp://es.wikipedia.org/wiki/Terzaghi


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de la cimentacin tiende a cero*! la superficie de falla en el suelo bajo carga +ltima puede

suponerse similar a la mostrada en la figura 4.J. )Note que ste es el caso para la falla general por

corte como define la figura 4.la.* El efecto del suelo arriba del fondo de la cimentacin puede

tambin suponerse reempla(ado por una

Sobre carga equivalente efectiva q 1 y6f!)donde y 1 peso espec$fico del suelo*. La (ona de fallabajo la cimentacin puede separarse en tres partes )vase la figura 4.J*/

FIGURA 3.5 Falla por capacidad de carga en suelo bajo una cimentación rígida corrida

Usando el análisis de equilibrio, Terzaghi expresó la capacidad de carga última en la forma


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Las variaciones de los factores de capacidad de carga definidos por las ecuaciones (!"#, (!$# %

(! se dan en la tabla !'!

TABA 3.! Factores de capacidad de carga de Ter"ag#i$ ecuaciones %3&'( %3.5' ) %3.*'

ara estimar la capacidad de carga última de cimentaciones cuadradas o circulares, la ecuación

(!'# puede modificarse a


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)n la ecuación (!*#, + es igual a la dimensión de cada lado de la cimentación en la ecuación

(!-#, + es igual al diámetro de la cimentación!

ara cimentaciones que exhiben falla local por corte en suelos, Terzaghi sugirió modificaciones a

las ecuaciones (!#, (!*# % (!-# como sigue.

Superficies de falla asumidas dentro del suelo durante la falla por capacidad portante (Braja, D., 2011)

Ecuación de la Capacidad Portante de er!a"#i

/ su vez, Terzaghi 0 ec1 ('2&*# (en 3Soil Mechanics in Engineering Practice3#, propusieronel primer m4todo racional para predecir el asentamiento de una fundación superficial en unsuelo granular! )llos correlacionaron el asentamiento de una zapata cuadrada de ancho +(en metros#, con el de una placa metálica cuadrada de 55 mm, obtenido de una prueba decarga de placa, mediante la siguiente expresión.

)l último t4rmino de la ecuación considera la reducción en el asentamiento con elincremento de la profundidad de desplante de la cimentación!
http://books.google.com.co/books?id=4HZMuJ4BBN4C&pg=SA3-PA25&lpg=SA3-PA25&dq=terzaghi+rational+method&source=bl&ots=jfz_GBcZl8&sig=RmcSfGB9qahiLoDBsqMFbTa_Q7A&hl=es&sa=X&ei=oN6iUJuSIoHa8AS8zoDwBw&ved=0CFEQ6AEwBw#v=onepage&q=terzaghi%20rational%20method&f=falsehttp://books.google.com.co/books?id=ng2LAuFlT7kC&pg=PA310&lpg=PA310&dq=terzaghi+rational+method&source=bl&ots=Kg4XYbK0Ou&sig=yosJhm_kfXtrLVtNIFky8qE13zY&hl=es&sa=X&ei=oN6iUJuSIoHa8AS8zoDwBw&ved=0CCoQ6AEwAQ#v=onepage&q=terzaghi%20rational%20method&f=falsehttp://books.google.com.co/books?id=4HZMuJ4BBN4C&pg=SA3-PA25&lpg=SA3-PA25&dq=terzaghi+rational+method&source=bl&ots=jfz_GBcZl8&sig=RmcSfGB9qahiLoDBsqMFbTa_Q7A&hl=es&sa=X&ei=oN6iUJuSIoHa8AS8zoDwBw&ved=0CFEQ6AEwBw#v=onepage&q=terzaghi%20rational%20method&f=falsehttp://books.google.com.co/books?id=ng2LAuFlT7kC&pg=PA310&lpg=PA310&dq=terzaghi+rational+method&source=bl&ots=Kg4XYbK0Ou&sig=yosJhm_kfXtrLVtNIFky8qE13zY&hl=es&sa=X&ei=oN6iUJuSIoHa8AS8zoDwBw&ved=0CCoQ6AEwAQ#v=onepage&q=terzaghi%20rational%20method&f=false

ecuaciÓn de naviers-stokes

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