ecuación de euler de las turbomáquinas

LA ECUACIÓN DE EULER DE LAS TURBOMÁQUINAS

1. Ecuación de Euler de las turbomáquinas

Hipótesis

• Conviene elegir un volumen de control fijo que encierre al rotor para evaluar el

momento de torsión en el eje. El marco de referencia fijo XYZ se elige con el eje Z

alineado al eje de rotación de la máquina.

• Los momentos de torsión debidos a las fuerzas de superficie se desprecian.

• La contribución de la fuerza másica puede despreciarse por simetría.

• Flujo estacionario o permanente.

• Flujo uniforme en cada sección donde el fluido cruza la superficie de control.

• Los momentos se calculan respecto a un polo genérico, para el cual se puede tomar

un punto del eje giratorio.

En la figura 1 se muestra el esquema de una bomba centrifuga para la deducción de

la ecuación de Euler de las turbomáquinas. Los números 1 y 2 representan las secciones

de entrada y salida del impulsor de la bomba, respectivamente.

En la figura 2 se muestra un esquema del impulsor de una turbomáquina para la

deducción de la ecuación de Euler

En la figura 2 se muestra el esquema del impulsor de la bomba de la figura 1 para la

deducción de la ecuación de Euler de las turbomáquinas.

Figura 1 Esquema de una bomba centrifuga

La ecuación de Euler para las turbomáquinas – 2015

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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 2

La ecuación de conservación del momento de la cantidad de movimiento o del

momento cinético para un volumen de control respecto del marco de referencia xyz se

expresa como:

/ .VC VC SC

s B flecha xyz xyz f SC

dd d d

dt

r F r f T r V r V V n (1.1)

donde sr F representa el momento de torsión de las fuerzas de superficie,

VCB d

r f representa el momento de torsión de las fuerzas másicas, flechaT

representa el momento de torsión en el eje y xyzV es la velocidad del fluido respecto al

marco de referencia xyz. Se recuerda que el volumen de control es fijo con relación al

marco de referencia xyz. Dado que el volumen de control es inercial, los marcos de

referencia XYZ y xyz coinciden, por lo tanto:

.VC VC SC

s eje XYZ XYZ XYZ

dd d d

dt

r F r g T r V r V V n (1.2)

donde XYZV es la velocidad del fluido respecto al marco de referencia inercial o fijo

XYZ. Reemplazando las hipótesis simplificativas se tiene:

.SC

eje XYZ XYZ d

T r V V n

1 21 1 1 1 2 2 2 2eje d d

T r C C n r C C n

1 21 1 1 1 2 2 2 2eje d d

T r C C n r C C n

Figura 2 Esquema del impulsor de una bomba centrífuga


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1 1 1 2 2 2eje m m T r C r C 1 2m m m

1 1 2 2eje U UT rC r C m k k k

2 2 1 1eje U UT r C rC m k k N m (1.3)

La forma escalar de la ecuación de Euler para las turbomáquinas se expresa como:

2 2 1 1

eje U U

Momento de torsión Cambio en el momentoen el eje cinético del fluido

T r C rC m N m (1.4)

La ecuación de Euler de las turbomáquinas establece que el momento de torsión en el

eje es igual al cambio en el momento de la cantidad de movimiento o el cambio en el

momento cinético del fluido.

2. Potencia mecánica mecánicaW

mecánica eje eje ejeW T T T k k

2 2 1 1mecánica U UW r C rC m

2 2 1 1mecánica U UW r C rC m

2 2 1 1mecánica U UW U C U C m W (2.1)

3. Ecuación de trabajo de Euler ew

El trabajo de Euler es el trabajo intercambiado por unidad de masa y se define como:

2 2 1 1mecánica

e U U

Ww U C U C

m /J kg (3.1)

La forma vectorial del trabajo de Euler se expresa como:

2 2 1 1ew U C U C /J kg (3.2)

La convención de signos de esta expresión son los de la Mecánica Clásica. Por lo

tanto, para tener la convención de signos de la termodinámica, se debe cambiar el signo.

Magnitudes Termodinámica Mecánica clásica

entradaQ

salidaQ

entradaW

salidaW

, ,e termodinámica e mecánicaw w


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1 1 2 2ew U C U C /J kg

1 1 2 2e U Uw U C U C /J kg (3.3)

Según la convención de signos de la Termodinámica se tiene:

0ew es el trabajo por unidad de masa cedido al fluido.

0ew es el trabajo por unidad de masa cedido por el fluido.

Hay una tercera forma de escribir la ecuación del trabajo de Euler en función de la

velocidad absoluta, relativa y periférica.

2 22W Csen U Ccos

donde es el ángulo formado por los vectores velocidad absoluta y periférica.

2 2 2 2 2 22W C sen U UCcos C cos

2 2 2 2 2 2W C sen cos U UCcos

2 2 2 2W C U UCcos 2 2 2

2 2 2

C U WUCcos

2 2 2

2 2 2

C U W U C

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2e

C U W C U Ww

2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1

2 2 2e

C C U U W Ww

/J kg (3.4)

Convención de signos de la

Termodinámica

Criterio de utilización de subíndices para

indicar la dirección del calor y trabajo

1 1 2 2ew U C U C , 2 2 1 1e entradaw U C U C

, 1 1 2 2e salidaw U C U C

1 1 2 2e U Uw U C U C , 2 2 1 1e entrada U Uw U C U C

, 1 1 2 2e salida U Uw U C U C

2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1

2 2 2e

C C U U W Ww

2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2

,2 2 2

e entrada

C C U U W Ww

2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1

,2 2 2

e salida

C C U U W Ww


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Dado que la ecuación del trabajo de Euler se ha deducido a partir de la ecuación de

conservación del momento de la cantidad de movimiento o momento cinético aplicada a

un impulsor o parte móvil de la etapa de una turbomáquina se cumple que:

e rotor o impulsor etapaw w w

Si la turbomáquina está formada por una sola etapa se cumple que:

e rotor o impulsor etapa turbomáquinaw w w w

ecuación de euler de las turbomáquinas

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