Ecuaciones de la recta 1 Representa las rectas dadas por las ecuaciones:

a) 23xy +−=

b)

+=−=

t1y

tx

c) 13y

21x

−+=−

d) 3y

2x =

Solución: Obteniendo dos puntos de paso, para cada una de las rectas dadas, se obtienen las gráficas de la figura adjunta.

2 Pasa a forma explícita las siguientes rectas y calcu la sus pendientes:

a) 15y

23x

−+=−

b) 063y5x =++

c)

−=+=

3t5y

t2x

Solución:

a) 21

m27

x21

y07y2x10y23x15y

23x −=⇒−−=⇒=++⇒+=+−⇒

−+=−

b) 35

m2x35

y06y3x5 −=⇒−−=⇒=++

c)

3m11x3y011yx35y6x335y

12x

t35y

t2x−=⇒+−=⇒=−+⇒−=+−⇒

−−=−

⇒

−=+=

3

Halla la ecuación de la recta r que pasa por el pun to A(3,5) y lleva la dirección del vector 4)(2,u −=

→

en todas sus formas posibles. Solución:

El vector 2)2(1,4)(2,u −=−=

→

tiene la misma dirección que el vector (1,-2), se tiene:

- Ecuación continua: 25y

13x

−−=−

- Ecuación general: 011yx25y3)2(x =−+⇒−=−−

- Ecuación segmentaria:

111y

211/x =+

- Ecuación explícita: 11x2y +−=

- Ecuaciones paramétricas:

−=+=

t25y

t3x

El módulo del vector direccional es 52)(1, =−

por tanto:

- Ecuación normal:

05

11y

5

1x

5

2 =−+

4 Halla la ecuación de la recta que pasa por los punt os A(3,2) y B(1,-4), de todas las formas posibles. Solución: El vector direccional es:

2(1,3)6)2,(ABABu −=−−=−==→→

de la misma dirección que el vector (1,3), se tiene:

- Ecuación continua: 3

2y1

3x −=−

- Ecuación general: 07yx32y3)3(x =−−⇒−=−

- Ecuación segmentaria:

17y

3/7x =−

- Ecuación explícita: 7x3y −=

- Ecuaciones paramétricas:

+=+=

t32y

t3x

El módulo del vector direccional es 10(1,3) =

por tanto:

Ecuación normal:

010

7y

10

1x

10

3 =−−

5 Dadas las rectas: r: 3x + by -8 = 0; s: ax -3y +12 = 0:

a) Determina a y b para que dichas rectas se corten en el punto P(2,-3)

b) Determina para qué valor de a, la recta s, deter mina con los ejes un triángulo de 36 unidades de superficie. Solución: a) Por pasar la recta r por el punto P, se cumple: 3⋅2 + b⋅(-3) - 8 = 0 ⇒ b = -2/3

Por pasar la recta s por el punto P, se cumple: a⋅2 - 3⋅(-3) + 12 = 0 ⇒ a = -21/2

b) El punto de corte de la recta s con los ejes:

−⇒−=⇒=+⋅−⋅⇒=⇒=+−⋅

/a,0)12B(/a12x01203xa:OX

A(0,4)4y012y30a:OY

El triángulo OAB, rectángulo en O, tiene como área:

32

3624

aa24

36a48

21

36OBOA21

S ±=±=⇒±=⇒−=⇒⋅=

6 Calcula la ecuación de la recta que pasa por el pun to A(-2,1) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4) Solución: Calculemos el vector:

(1,3)(2,1)(3,4)PQPQ =−=−=→

La recta que queremos calcular tiene como dirección a dicho vector, su ecuación es:

7x3y1y6x33

1y1

2x +=⇒−=+⇒−=+

que tiene como pendiente m = 3

7 Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo q ue tiene por vértices los puntos A(3,1), B(0,2) y C (1,-2) Solución: - Ecuación del lado AB:

06y3x3y33x1

1y33x

:AB3,1)((3,1)(0,2)ABAB =−+⇒+−=−⇒−=

−−

⇒−=−=−=→

- Ecuación del lado AC:

07y2x32y29x331y

23x

:AC3)2,((3,1)2)(1,ACAC =−−⇒+−=+−⇒−−=

−−

⇒−−=−−=−=→

- Ecuación del lado BC:

02yx42yx442y

1x

:BC4)(1,(0,2)2)(1,BCBC =−+⇒−=−⇒−−=⇒−=−−=−=

→

8 Calcula la ecuación de la recta que pasa por el pun to A(2,1) y forma un ángulo de 120º con la parte po sitiva del eje OX. Determina los puntos de corte de dicha r ecta con los ejes, así como su ordenada en el orige n. Solución: La pendiente de la recta es:

3)tg(60º)tg(120ºm −=−==

La ecuación de la recta es:

0321yx32)(x31y =−−+⇒−−=−

El punto de corte con OX, es:

+⇒

+=⇒=−−⇒= ,03

321P

3

321x0321x30y

El punto de corte con OY, es:

( )320,1Q321y0321y0x +⇒+=⇒=−−⇒=

La ordenada en el origen es:

321b +=

9 Determina el área del círculo circunscrito al trián gulo que con los ejes determina la recta 4x + 3y - 24 = 0.

Solución: Los puntos de corte de la recta con los ejes son:

Con OY: x = 0 ⇒ 3y - 24 = 0 ⇒ y = 8 ⇒ A(0,8)

Con OX: y = 0 ⇒ 4x - 24 = 0 ⇒ x = 6 ⇒ B(6,0)

Como el triángulo OAB es rectángulo en O, AB es la hipotenusa, de valor:

círculo del diámetro el es que 1068AB 22 =+=

Por tanto el área del círculo es:

π252

ABπS

2__

=

⋅=

10 Un paralelogramo tiene por vértices A(-1,-3), B(6,0 ) y C(8,2). Determina el cuarto vértice D, sabiendo que hay tres soluciones posibles. Solución:

Solución 1: 1)(1,D1)(1,BCABCOAADOAOD −=⇒−=−+=+=+=

→→→→→

Solución 2: 5)3,(D5)3,(CBACBOAADOAOD −−=⇒−−=−+=+=+=

→→→→→

Solución 3: (15,5)D(15,5)ACBACOBBDOBOD =⇒=−+=+=+=

→→→→→

11 Halla las ecuaciones de las medianas de un triángul o que tiene por vértices los puntos A(3,1), B(0,2) y C(1,-

2). Determina las coordenadas del baricentro G del triángulo y comprueba que dicho punto pertenece a cualquiera de las tres medianas. Solución: - Sea M el punto medio del lado AB, entonces:

( ) (1,7)21

27

,21

CMCM23

,23

BA21

M =

=−=⇒

=+=→

Ecuación de la mediana CM:

09yx77

2y1

1x =−−⇒+=−

- Sea N el punto medio del lado AC, entonces:

( ) 5)(4,21

25

2,BNBN21

2,CA21

N −=

−=−=⇒

−=+=→

Ecuación de la mediana BN:

08y4x552y

4x =−+⇒

−−=

- Sea P el punto medio del lado BC, entonces:

( ) (5,2)21

1,25

APAP,021

CB21

P −=

−−=−=⇒

=+=→

Ecuación de la mediana AP:

01y5x22

1y

5

3x=−−⇒

−=

−

El baricentro G es:

( )

=++=31

,34

CBA31

G

G es un punto de (por ejemplo) AP ya que:

013

15

3

42 =−−

12 Determina si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) est án alineados. Utiliza para ello:

a) Cálculo vectorial.

b) La ecuación de la recta. Solución:

Vectorialmente, los puntos A, B y C están alineados si los vectores

→→AC y AB

son proporcionales

→→

→

→

−=⇒

−−=−=−=

=−=−=ACAB

1)2,((3,1)(1,0)ACAC

(2,1)(3,1)(5,2)ABAB

por lo tanto los puntos están alineados.

b) Calculamos la recta que pasa por A y B, que tiene como dirección al vector (2,1)AB =

→

01y2x2y23x1

1y2

3x =−−⇒−=−⇒−=−

Substituyendo en la ecuación las coordenadas de C(1,0): 01021 =−⋅−

se obtiene una identidad luego el punto C pertenece a la recta AB, así que dichos puntos están alineados.

13 Dado el triángulo de vértices A(2,5), B(3,1) y C(2, -1).

a) Calcula las coordenadas del baricentro G del tri ángulo.

b) Calcula las coordenadas de los puntos medios M, N y P de los lados del triángulo ABC.

c) Calcula las coordenadas del baricentro G' del tr iángulo MNP.

d) Compara G con G'. Solución:

a) El baricentro G del triángulo ABC es el punto:

( )

=++=35

,37

CBA31

G

b) Los puntos medios de los lados del triángulo ABC son los puntos:

( )

( ) ( )

( )

=+=

=+=

=+=

,025

CB21

P :BC lado del

2,2CA21

N : AClado del

,325

BA21

M : ABlado del

c) El baricentro G' del triángulo MNP es el punto:

( )

=++=35

,37

PNM31

G'

d) Los dos baricentros coinciden.

14 Halla el área limitada por la recta de ecuación 5x + y - 5 =0, el eje de abscisas y el eje de ordenada s.

Solución: Calculamos los puntos de corte de la recta con los ejes:

Para x = 0: y - 5 = 0 ⇒ y = 5 ⇒ A(0,5)

Para y = 0: 5x - 5 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ B(1,0)

El área pedida es: 25

5121

OAOB21

S =⋅=⋅=

unidades cuadradas

15 Una empresa de alquiler de coches ofrece dos contra tos diferentes:

Contrato A: 50 Euros/día y kilometraje ilimitado.

Contrato B: 10 Euros/día y 0,10 euro por kilómetro.

Un turista quiere hacer un viaje de 10 días, pero n o sabe exactamente cuántos kilómetros va a recorrer .

a) Determina cuál de los dos contratos es más econó mico en función de los kilómetros recorridos.

b) Calcula cuántos kilómetros ha de recorrer el via jero para que los dos contratos sean igual de económicos. Solución: a) Las funciones que definen los costes “y” en euros en función del número “d” de días y el número “x” de

kilómetros recorridos son:

Contrato A: yA = 50d

Contrato B: yB = 10d + 0,10x

Para este turista d = 10, por tanto: Contrato A: yA = 500 euros

Contrato B: yB = 100 + 0,10x euros

b) Los dos contratos son igual de económicos, cuando yA = yB ⇒ 500 = 100 + 0,10x ⇒ x = 4000 km.

El punto de equilibrio es (4000 km,500 euros)

Si x < 4000 es más beneficioso el contrato B.

Si x > 4000 es más beneficioso el contrato A.

16 Comprueba si las diagonales del cuadrilátero de vér tices A(2,1), B(4,2), C(4,-3) y D(-2,-4) se cortan en su punto medio. Solución: Calculamos las ecuaciones de las diagonales del cuadrilátero (ver figura)

- Diagonal AC:

05yx213

1y242x =−+⇒

−−−=

−−

- Diagonal BD:

02yx4)(2

4y2)(4

2x =−−⇒−−

+=−−

+

Si M(x,y) es el punto de corte de las dos diagonales, sus coordenadas, verifican

las ecuaciones de las dos rectas AC y BD, por tanto son solución del sistema:

⇒==⇒

=−−=−+

31

,37

M31

y;37

x02yx

05yx2

El punto medio del segmento

( )

( )

−=+=

−=+=

11,D)(B21

P es BD

13,C)(A21

N es AC

ninguno de ellos coincide con el punto M.

17 Dado el cuadrilátero de vértices A(0,4), B(2,7), C( 7,6) y D(6,0), halla los puntos medios de los lados que llamaremos M, N, P y Q. Demuestra que el cuadriláter o MNPQ es un paralelogramo. Solución:

El punto medio del lado AB es:

( )

=+=211

1,BA21

M

El punto medio del lado BC es:

( )

=+=2

13,

29

CB21

N

El punto medio del lado CD es:

( )

=+= ,32

13DC

21

P

El punto medio del lado DA es:

( ) ( )3,2AD21

Q =+=

El cuadrilátero MNPQ es un paralelogramo sí:

→→→→=↔−=−⇔−−=−↔−= QMPNQMPNP)(QMNPQMN

Siendo:

→→

→

→

−=⇒

=+−=−

=−=PQMN

,127

PQPQ

,127

MNMN

Situación relativa de rectas 1 Dadas las rectas r: 3x + my - 7 =0; r': 4x + y - 14 =0; r": 7x + 2y - 28 =0, determina m para que las tres rectas

sean rayos del mismo haz. Solución: Calculamos el punto P(x,y) de intersección de las rectas r' y r" cuyas coordenadas verifican:

P(0,14)14y0;x028y2x7

014yx4⇒==⇒

=−+=−+

Por lo tanto P(0,14) es el punto común al haz de rectas, tiene que pertenecer a la recta r, se tiene que verificar:

3⋅0 + m⋅14 -7 = 0 ⇒ m = 1/2

2 Dadas las rectas r: mx + (2m-1)y + 3 =0 y s: (4m-7) x -(m+2)y - 8 = 0:

a) Calcula m para que la recta r sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

b) Calcula m para que la recta s sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.

c) Calcula m para que las rectas r y s sean paralel as. ¿Pueden ser coincidentes? Solución: a) Como la bisectriz del primer cuadrante es la recta x - y = 0, r es paralela a esa recta si verifica:

31

m1m2m1

1m21m =⇒−=−⇒

−−=

b) Como la bisectriz del segundo cuadrante es la recta x + y = 0, s es paralela a esa recta si verifica:

1m2m7m41

2)(m1

7m4 =⇒−−=−⇒+−=−

c) Para que r y s sean paralelas debe cumplirse:

9/7m1;m07m16m97)m1)(4m(22)m(m2)(m1m2

7m4m 2 ==⇒=+−⇒−−=+−⇒

+−−=

−

Para m = 1 las ecuaciones de las rectas son:

83

31

31

que tales 08y3x3:s

03yx:r

−≠

−=

−

=−−−=++

Para m = 7/9 las ecuaciones de las rectas son:

83

9/259/5

9/359/7

que tales 08y

925

x935

:s

03y95

x97

:r

−≠

−=

−

=−−−

=++

De modo que en ninguno de los casos las rectas coinciden.

3 Dadas las rectas de ecuaciones: a) y = 5x - 3 b) y = -x + 2 c) y = 2x - 1 d) y = 3x - 2 e) y = 2x + 13 f) y = -x - 3 ¿Cuáles son coincidentes? ¿Cuáles son paralelas? Solución: De entre las rectas dadas, ninguna coincide con otra. En cambio, son paralelas: b) y f) pues tienen la misma pendiente m = -1 c) y e) pues tienen la misma pendiente m = 2

4 Determina si los siguientes pares de rectas son par alelas, coincidentes o secantes. Caso de ser secant es, determina las coordenadas de su punto de corte:

a)

=−+=−−

0132y3x

0202y8x

b)

=−−=−−

014yx

030yx

Solución: a) Las rectas no son paralelas, ya que:

22

38 −≠

por tanto se cortan.

Las coordenadas del punto P(x,y) de corte de ambas rectas verifican:

P(3,2)2y3;x013y2x3

020y2x8⇒==⇒

=−+=−−

b) Las rectas son paralelas en sentido estricto, ya que:

1430

11

11

−−≠

−−=

5 Halla la ecuación de una recta que pasa por el punt o P(2,3) y es: a) Paralela al eje OX. b) Paralela al eje OY. c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante. d) Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. e) Paralela a la recta 5x + 2y = 0 Solución: a) Paralela al eje OX: y = 3 b) Paralela al eje OY: x = 2

c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante (pendiente m = 1): y - 3 = 1(x-2) ⇒ y = x + 1

d) Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante (pendiente m = -1): y - 3 = -1(x-2) ⇒ y = -x + 5 e) Paralela a la recta 5x + 2y = 0 (pendiente m = -5/2), mediante la ecuación punto-pendiente, se tiene:

016y2x52)(x25

3y =−+⇒−−=−

6 Comprueba si las rectas son secantes, paralelas o c oincidentes:

a)

=++=−+

072y3x

052y3x

b)

=−+=−+

052yx

043yx

c)

=−+=−+

062y2x

03yx

Solución: a) Las rectas son paralelas dado que:

75

22

33 −≠=

b) Las rectas son secantes dado que:

2

3

1

1 ≠

c) Las rectas son coincidentes dado que:

6

3

2

1

2

1

−−==

7 La ecuación (a-1)x - 2ay - 5 = 0 representa un conj unto de rectas, ya que para cada valor de a se obti ene una recta distinta. Análogamente, considera la ecuación ax - (2a-1) = 0. Halla las coordenadas genéricas o lugar geométrico de los puntos de intersección de ambas r ectas. Solución: Calculemos el punto de corte de ambas familias de rectas:

2

2

a2

1a8a2 ytiene se operando 5;ay2

a1)a1)(2(a

a1a2

x1a2 ax

5 ay2x1)(a +−==−−−⇒

−=⇒

−==−−

Por tanto las coordenadas genéricas del punto de intersección son:

+−−2

2

a2

1a8a2,

a1a2

P

8 La recta OA de ecuación x - 2y =0, la recta OC de e cuación 3x + y = 0, y el punto B(3,5), determinan u n paralelogramo OABC. Determina los vértices del para lelogramo, sabiendo que O es el origen de coordenadas. Solución: Verdaderamente tenemos que calcular las coordenadas de los vértices opuestos A y C.

Sean A(a,b) y C(c,d), para su cálculo impondremos las siguientes condiciones:

- Como A es un punto de la recta OA, se tiene: a - 2b = 0

- Como C es un punto de la recta OC, se tiene: 3c + d =0

- Como en un paralelogramo d5bc;3ad)c,5(3b)(a,CBOA −=−=⇒−−=⇒=

→→

Resolviendo el sistema

3d1;c2;b4;a

d5b

c3a

0dc3

0b2a

=−===⇒

−=−==+=−

Por tanto los vértices desconocidos son: A(4,2) y C(-1,3)

9 Halla la ecuación de una recta que pasa por el punt o A(4,5) y forma con los semiejes positivos un triá ngulo de 40 unidades de superficie. Solución: La ecuación de la radiación de rectas que pasa por el punto A es: y - 5 = m(x - 4)

que corta a los ejes en los puntos

( )

−⇒

−=⇒=

−⇒−=⇒=

,0m

5m4N

m5m4

x0y

m40,5Mm45y0x

el área del triángulo es:

025m40m1625m40m16m80m

5m4m)4(5

21

40 22 =++⇒−+−=⇒−−=

La ecuación anterior tiene una única solución m = -5/4, por tanto la ecuación de la recta es:

040y4x54)(x45

5y =−+⇒−−=−

10 Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo A BC isósceles, sabiendo que su lado desigual es el segmento que tiene como extremos los puntos B(5,0) y C(1,1) y que su tercer vértice A, es un punto de la bisectriz del primer cuadrante Solución: Las ecuaciones de los lados del triángulo las podremos hallar calculando las coordenadas

del vértice A del triángulo, para lo cual disponemos de dos condiciones:

- El punto A(a,b) es un punto de la recta y = x ⇒ b = a

- Los lados AB y BC tienen la misma medida y por tanto

→→= ACAB

Como a)a,1(1ACAC y a)a,(5ABAB −−=−=−−=−=

→→

se tiene:

⇒==⇒−+=+

623

,623

Ab623

aa)(1a)-(1aa)-(5 2222

Con estos datos las ecuaciones de los lados son:

Lado AB:

0115y7x236/23

y56)/(23

5x =−+⇒=−

−

Lado AC, como A y C son puntos de la bisectriz del primer cuadrante: y = x

11 Dadas las rectas r: 2x + 4y - 5 = 0; s: x + y - 1 = 0: a) Halla la ecuación del haz de rectas que pasa po r el punto de intersección de las dos. b) Averigua si hay alguna recta del haz que pase po r el origen de coordenadas. Solución: a) Si P(x,y) es un punto del haz, sus coordenadas han de satisfacer las ecuaciones de las dos rectas.

Si λ es un parámetro real arbitrario, la ecuación del haz es:

2x + 4y - 5 + λ(x + y - 1) = 0

b) Como para cada valor de λ, la ecuación del haz de rectas, describe una y sólo una recta, tenemos que calcular

λ con la condición de que el origen O(0,0) verifique la ecuación del haz, se tiene

2⋅0 + 4⋅0 - 5 + λ(0 + 0 - 1) = 0 ⇒ -5 - λ = 0 ⇒ λ = -5 Con ese valor el haz de rectas tiene por ecuación:

2x + 4y - 5 - 5(x + y - 1) = 0 ⇒ -3x -y = 0 La ecuación de la recta del haz es: y = -3x

12 Las rectas r: 3x + 4y - 12 =0; s: 5x +6y -30 = 0, f orman junto con los ejes de coordenadas un cuadrilá tero.

Calcula:

a) Las ecuaciones de sus diagonales.

b) El punto donde se cortan.

c) El área del cuadrilátero. Solución: Los puntos de corte de la recta r: 3x + 4y - 12 = 0 con los ejes son:

⇒=⇒=−⇒=⇒=⇒=−⇒=

B(0,3)3y012y40x

A(4,0)4x012x30y

Análogamente, la recta s: 5x + 6y - 30 = 0, corta a los ejes en los puntos:

⇒=⇒=−⇒=⇒=⇒=−⇒=

D(0,5)5y030y60x

C(6,0)6x030x50y

Los vértices del cuadrilátero son los puntos A, B, C y D, por tanto:

a) Diagonal AD:

20y4x515y

4x =+⇒=+

Diagonal BC:

6y2x13y

6x =+⇒=+

b) Punto M de corte de las diagonales:

⇒==⇒

=+=+

35

,38

M35

y;38

x6y2x

20y4x5

c) El área del cuadrilátero la obtenemos como diferencia de las áreas de los triángulos rectángulos OCD y OAB

unidades 9615234

256

SSS OABOCD =−=⋅−⋅=−=

13 Pilar tenía escrito en su cuaderno los vértices de u n paralelogramo, pero le ha caído un borrón de tint a y se

le ha tapado uno de los vértices.

a) Calcula las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2,2), B(12,8) y D(6,1)

b) Halla las ecuaciones de sus diagonales.

c) Halla el punto de corte de las diagonales.

d) Comprueba que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Solución: a) Las coordenadas del vértice C se calculan de la condición de paralelogramo:

C(16,7)ABDCABDCABDC ⇒−+=⇒−=−⇒=→→

b) Las ecuaciones de las diagonales son:

=−−⇒−=−

=+−⇒−=−

036y6x77

8y612x

:BD

018y14x55

2y14

2x:AC

c) Las coordenadas del punto M(x,y) de corte de las diagonales, se obtienen resolviendo el sistema:

⇒====⇒

=−−=+−

29

9,M29

34153

y9;17153

x036y6x7

018y14x5

d) El punto medio de las diagonales es:

( )

( )

⇒

++=+=

⇒

++=+=

29

9,M2

81,

2126

DB21

M:BD de

29

9,M2

27,

2216

CA21

M: ACde

Distancias 1 Dadas las rectas r y s de ecuaciones:

01yx ;t2y

t3x=−+

−=+=

Determina su posición relativa. Si son paralelas det ermina la distancia que las separa, en caso contrar io, determina las coordenadas de su punto de contacto. Solución: La ecuación general de la recta r es:

5yx12y

13x

t2y

t3x=+⇒

−−=−

⇒

−=+=

Las rectas:

=+=+

1yx:s

5yx:r

son paralelas dado que:

11

11 =

La distancia entre ambas es:

222

4

11

15s)d(r,

22==

+

−=

2 Dados los puntos A(1,2), B(-1,4) y C(3,-1), halla:

a) Las distancias entre A y B, y entre A y C.

b) El ángulo formado por las rectas AB y AC. Solución: a) La distancia entre los puntos A y B, es:

→= ABB)d(A,

Como:

822)(B)d(A,2,2)((1,2)1,4)(ABAB 22 =+−=⇒−=−−=−=→

Análogamente, como:

133)(2B)d(A,3)(2,(1,2)1)(3,ACAC 22 =−+=⇒−=−−=−=→

b) El ángulo α determinado por las rectas AB y AC, es:

11º18'35"α0,98138

64

ACAB

ACAB

cos(αo =⇒=−−

=⋅

⋅=

→→

→→

En realidad las dos rectas determinan dos ángulos α y β suplementarios, dichos ángulos son:

α = 11º 18' 35” y β = 180º - 11º 18' 35” = 168º 41' 25”

3 Determina la ecuación de una recta r que pasa por e l punto P(-4,3), cuya dirección es perpendicular a l a del

vector 2)(3,n −=

→

y la distancia que la separa del origen de coorden adas. Solución:

- El vector 2)(3,n −=

→

es perpendicular al vector (2,3)u =

→

dado que 0un =⋅⋅

→→

.

Por tanto podemos tomar a ese vector como dirección de la recta r, cuya ecuación es:

018y2x33

3y2

4x =+−⇒−=+

- La distancia entre el origen O(0,0) y la recta r es:

13

18

2)(3

182(0)3(0)r)d(O,

22=

−+

+−=

4

Dados los vectores 3,2)(v y(2,3)u −

→→

halla

a) Sus módulos

b) Su producto escalar.

c) Los ángulos que determinan sus direcciones. Solución: a) Los módulos de los vectores son:

1323)(v y 1332u 2222 =+−==+=→→

b) El producto escalar de dichos vectores es:

0663,2)((2,3)v u =+−=−⋅=⋅→→

c) El ángulo α que determinan los vectores dados es:

90ºα01313

0

vu

v ucos(αo =⇒==

⋅

⋅=→→

→→

5 Dada la recta r de ecuación:

−=+=

t3y

2t5x

Averigua la posición que ocupan respecto a ella los puntos A(3,4) y B(-3,-4), calculando además la dis tancia entre cada uno de los puntos dados y la recta r. Solución: La ecuación general de la recta r es:

011y2x13y

25x

t3y

t25x=−+⇒

−−=−

⇒

−=+=

- El punto A(3,4) es un punto de la recta dado que:

0112(4)3 =−+

Por ser A un punto de r, la distancia entre ambos es cero

- El punto B(-3,-4) no es un punto de la recta r dado que:

0114)2(3 ≠−−+−

La distancia entre el punto B y la recta r es:

5

22

21

114)2(3r).d(B

22=

+

−−+−=

6 Dada la recta r de ecuación:

34y

21x +=−

Averigua la posición que ocupan respecto a ella los puntos A(-1,3) y B(0,1), calculando además la dist ancia entre cada uno de los puntos dados y la recta r. Solución: La ecuación general de la recta r es:

011y2x3 =−−

- El punto A(-1,3) no es un punto de la recta dado que:

0112(3)1)3( ≠−−−

sus coordenadas no verifican la ecuación de r.

La distancia entre A y r, es:

13

20

2)(3

112(3)1)3(r)d(A,

22=

−+

−−−=

- El punto B(0,1) no es un punto de la recta dado que:

0111203 ≠−⋅−⋅

sus coordenadas no verifican la ecuación de r.

La distancia entre B y r, es:

1313

13

2)(3

112(1)3(0)r)d(A,

22==

−+

−−=

7

Dados los vectores (6,9)v y(2,3)u

→→

halla:

a) Sus módulos.

b) Su producto escalar.

c) Los ángulos que determinan sus direcciones. Solución: d) Los módulos de los vectores son:

11796v y 1332u 2222 =+==+=→→

e) El producto escalar de dichos vectores es:

392712(6,9)(2,3)v u =+=⋅=⋅→→

f) El ángulo α que determinan los vectores dados es:

0ºα111713

39

vu

v ucos(αo =⇒==

⋅

⋅=→→

→→

8 Halla las distancias entre los siguientes pares de puntos:

a) A(5,4) y B(-2,3) b) C(0,4) y D(0,-7) c) E(3,0) y F(-2,0) Solución:

a) Como

501)(7)(ABB)d(A,1)7,(ABAB 22 =−+−==⇒−−=−=→→

b) Como

1111)(0CDD)d(C,11)(0,CDCD 22 =−+==⇒−=−=→→

Como

505)(EFF)d(E,5,0)(EFEF 22 =+−==⇒−=−=→→

9 Halla las coordenadas del punto simétrico del orige n respecto de la recta r: 4x + 3y = 50 Solución: La ecuación de la recta s que pasa por el origen y es perpendicular a la recta r, es:

s: 3x - 4 y = 0

Las coordenadas del punto M(x,y) de corte de r y s verifican el sistema:

M(8,6)6y8;x0y4x3

50y3x4⇒==⇒

=−=+

Si O' es el simétrico del punto origen O, entonces M es el punto medio del segmento OO':

(16,12)O'(0,0)(16,12)OM2O')O'(O21

M =⇒−=−=⇒+=

10 Dadas las rectas r: ax + (a-1)y - 2(a+2) = 0; s: 3a x - (3a+1)y - (5a+4) = 0, se pide:

a) Calcula a para que sean paralelas y determina la distancia entre ambas.

b) Calcula a para que sean perpendiculares y determ ina en qué punto se cortan. Solución: a) r y s son paralelas si se verifica:

31/a0;a01)aa(31)a(a31)a3a(1a3

1aa3

a ==⇒=−⇒−=−−⇒−−

−=

Para a = 0, se tiene:

0s)d(r,sr04y:s

04y:r=⇒=⇒

=−−=−−

Para a = 1/3, se tiene:

355

53

25

2)(1

317

14s)d(r,

03

17y2x:s

014y2x:r

22==

−+

+−=⇒

=−−

=−−

b) Para que r y s sean perpendiculares, se ha de verificar:

21/a01a201)a31)((aa)(3a −=⇒=+⇒=−−−+⋅

Para dicho valor las ecuaciones de r y s son:

=+−−=+

3yx3:s

6y3x:r

dichas rectas se cortan en un punto P(x,y) cuyas coordenadas verifican el sistema:

−−⇒−==⇒

=+−−=+

23

,23

P23

yx3yx3

6y3x

11 Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice A está en la recta de ecuación x + 2y - 15 = 0, siendo AB y AC los lad os iguales. Calcula las coordenadas de A, la ecuaci ón de la altura correspondiente a dicho vértice y el área del triángulo. Solución:

Sea M el punto medio del segmento BC, se tiene:

(1,0)C)(B21

M =+=

- La altura h, correspondiente al vértice A, es mediatriz del segmento BC, de modo que su

dirección es perpendicular al vector 6)(4,BCBC −=−=

→

sea (3,2)u =

→

la dirección de h, su

ecuación es por tanto

02y3x22y

31x

:h =−−⇒=−

- Las coordenadas de A son solución del sistema

A(7,4)4y7;x015y2x

02y3x2⇒==⇒

=−+=−−

Para el área del triángulo tomaremos

unidades 26S525221

S

521636MAh Altura

523616BC BC Base

=⇒⋅=⇒

=+==

=+==

→

→

12 Dados los puntos A(1,2) y B(4,-3), halla un punto C de la bisectriz del primer cuadrante que junto con los otros dos formen un triángulo rectángulo en A. ¿Cuá nto valen los ángulos agudos B y C? Solución: - Como C es un punto de la recta y = x, sus coordenadas son C(x,x)

- Como los vectores:

2)x1,(xACAC y 5)(3,ABAB −−=−=−=−=

→→

son ortogonales, se tiene:

⇒=⇒=−−−⇒=⋅

→→

27

,27

C27

x02)5(x1)3(x0ACAB

:tiene se 2

13,

21

BCBC y 3,5)(BABA siendo

BCBA

BCBAcos(B)

−=−=−=−=⋅

⋅=→→

→→

→→

63º26'6"26º33'54"90ºC26º33'54"B0,89

4169

41

259

265

23

cos(B) =−=⇒=⇒=++

+=

13 Se considera la recta r: ax + by = 1, determina a y b para que dicha recta sea paralela a la recta s: 3 x + 4y = 11 y diste 2 unidades del origen de coordenadas. Solución: Para que r sea paralela a s, debe cumplirse:

0k/k4bk;3a4b

3a ≠==⇒=

La ecuación de la recta r es: 3kx + 4ky - 1 = 0

Para que dicha recta diste 2 unidades del origen, debe cumplir:

101/k2k5

12

k)(4k)(3

12r)d(O,

22±=⇒±=⇒=

+

−⇒=

Tenemos pues dos soluciones para la recta r: 3x + 4y - 10 =0; 3x + 4y + 10 = 0

14 Calcula el ángulo formado por los siguientes pares de rectas:

a)

32x y:r' ;2

1y4

3x :r +=−=−

b)

01-y2x:r' ;t2y

t3x :r =+

+=−=

Solución: a) Los vectores direccionales de las rectas son respectivamente:

De la recta r: (4,2)u =

→

y de la recta r': (1.2)v =

→

Por tanto el ángulo α determinado por r y r´es:

36º52'12"α108

520

44

vu

vu

cos(αo =⇒=+

=⋅

⋅=

→→

→→

b) Los vectores direccionales de las rectas son respectivamente:

De la recta r: 1,1)(u −=

→

y de la recta r': 1,2)(v −=

→

Por tanto el ángulo α determinado por r y r´es:

18º26'6"α

10

3

52

21

vu

vu

cos(αo =⇒=+

=⋅

⋅=

→→

→→

15 Dada la recta r: 4x - 3y + 6 = 0, calcula las ecuac iones de las rectas que disten 3 unidades de la rec ta r. Calcula la distancia que separa esas dos rectas. Solución: Sea s la recta cuya distancia a la recta r: 4x - 3y + 6 = 0, sea de 3 unidades. Resulta evidente que r y s han de ser

paralelas, por tanto la ecuación de s, es s: 4x - 3y + k = 0, se tiene que verificar:

=−=

⇒±=−⇒=

−+

−⇒=

21k

9k3

5k6

33)(4

k63s)d(r,

22

Tenemos dos rectas solución del problema:

=+−⇒==−−⇒−=

021y3x4:s21k

09y3x4:s9k

2

1

La distancia entre dichas rectas es:

)sd(r,2)sd(r,265

30

3)(4

219)s,d(s 21

2221 ====

−+

−−=

16 La recta de ecuación 5x + 12y - 60 = 0, corta a los ejes de coordenadas en dos puntos A y B, que junto con el origen, determinan un triángulo OAB. Halla la lo ngitud de la altura correspondiente al vértice O, a sí como la ecuación de dicha altura. Solución: Los puntos de corte de la recta r con los ejes de coordenadas son:

B(0,5)5y060y120 x:OY Con

A(12,0)12x060x50 y:OX Con

⇒=⇒=−⇒=⇒=⇒=−⇒=

El triángulo OAB es rectángulo en O, si h es la longitud de la altura correspondiente al vértice O, la podemos

calcular de dos formas:

- Sabiendo que

1360

0)(512)(0

512AB

OBOAhABh

21

OBOA21

S22

OAB =−+−

⋅=⋅=⇒⋅=⋅=

- Sabiendo que

1360

512

60r)d(O,h

22=

+

−==

La altura h es una recta que pasa por el origen y es perpendicular a la base AB, por tanto su ecuación es: h: -12x + 5y = 0

Lugares geométricos 1 Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB c on A (-1,4) y B (3, 8).

Solución: x + y - 7 = 0

2 Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB c on A (-1 ,-3) y B (5, 7). Solución: 3x + 5y - 16 = 0

3 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que determinan las rectas 5x - 12y + 1 = 0 y 3y - 4x + 3 = 0 Solución: 7x + 4y + 17 = 0; 16x - 28y + 11 = 0

4 Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB c on A (3,5) y B (7, - 1). Solución: 2x - 3y - 4 = 0

5 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que determinan los ejes cartesianos. Solución: y = x; y = -x

6 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que determinan las rectas 3x - 4y + 5 = 0 y 6 x + 8y + 1 = 0 Solución:

1011

x;169

y −==

7 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que forma la recta 3x + 4y - 12 = 0 con el eje de ordenadas. Solución: x - 2y + 6 = 0; 2x + y - 3 = 0

8 Dados A (4, -2) y B (10,0), hallar el punto de la b isectriz del segundo y cuarto cuadrante que equidis ta de ambos. Solución: (5, -5)

9 Sean A (0,6), B (8,0), C (-1,-1) los vértices de un triángulo. Halla las ecuaciones de las medianas.

Solución: 13x + 7y - 42 = 0; 5x + 17y - 40 = 0; 4x - 5y - 1 = 0

10 Dados A (4, -2) y B (10,0), hallar el punto de la b isectriz del primer y tercer cuadrante que equidist a de ambos. Solución: (10, 10)

11 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que forman las rectas x - y = -5 y x + y - 2 = 0. Solución:

23

x;27

y −==

12 Sean A (1,5), B (-1,3), C (4,2) los vértices de un t riángulo. Halla las ecuaciones de las medianas. Solución: 10x + 2y - 20 = 0; x - 7y + 22 = 0; x + 2y - 8 = 0

13 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los que forman las rectas 3x - 4y + 1 = 0 y 5x + 12y - 7 = 0. Solución: 7x - 56y + 24 = 0; 32x + 4y - 11 = 0

14 La recta 4x - 3y = 12 es la mediatriz del segmento AB. Sabiendo que A (1, 0), halla B. Solución:

−2548

,2589

15 La recta 2x - y = 5 es la mediatriz del segmento AB . Sabiendo que A (3, -1), halla B. Solución:

−51

,57