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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

Trabajo Nº 1 Estudio de 8 Conceptos Matemáticos de la Unidad N ° 5 de

Segundo año Medio Formación General

ECUACIÓN DE LA RECTA Y OTRAS FUNCIONES MODELO DE SITUACIONES DIARIAS

Carrera : Licenciatura en Educación Matemática y Computación.

Código : 4.500. Asignatura : Metodología de la Enseñanza de la Matemática II

Código : 1827. Profesor : Sr. Hernán González Guajardo Autor : Cristian Alberto Maureira González. Fecha : Viernes 14 de Septiembre de 2007.

Trabajo N ° 1 “Estudio de 8 Conceptos Matemáticos” Unidad 5 Ecuación de la Recta Segundo año Medio Autor: Cristian Maureira González Página 2 de 88

Indice Introducción................................................................................................................................................. 3

Coeficiente de Posición................................................................................................................................ 4

Ecuación de la Recta ................................................................................................................................. 11

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella ............................................... 24

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente......................... 33

Gráfica de una Recta................................................................................................................................. 41

Pendiente de una Recta............................................................................................................................. 53

Rectas Paralelas......................................................................................................................................... 63

Rectas Perpendiculares............................................................................................................................. 72

Pauta de Corrección.................................................................................................................................. 81

Conclusión.................................................................................................................................................. 87

Bibliografía ................................................................................................................................................ 88


Introducción El presente trabajo tiene como propósito último diseñar y elaborar un análisis escrito completo de 8 CONCEPTOS MATEMATICOS de la Unidad N ° 5 de Segundo año Medio Formación General “Ecuación de la Recta y otras Funciones”, pensando en que este escrito pueda ser usado por alumnos que buscan profundizar más el conocimiento de algún determinado concepto matemático presente en esta unidad. Bajo esta premisa se ha considerado plantear una lista de conceptos pertinentes al estudio de la recta y sus características más relevantes, para de este modo facilitar su entendimiento. Este trabajo esta hecho con la idea de cumplir con la recopilación de información y generar un material de consulta para todo alumno interesado en temas relacionados con la recta. El esfuerzo entonces se orientara en desarrollar exhaustivamente conceptos relevantes en el estudio de la recta y por ende establecer definiciones pertinentes, aunque no absolutas de cada concepto, mostrar brevemente su simbología, citar algunas de sus características y analogías con otros conceptos más generales o particulares, plantear breves análisis someros frente a situaciones particulares en que se ve aplicado el concepto en estudio y en fin un entramado de propuestas que se conjugan para el buen cumplimiento del propósito planteado. Es importante destacar que además se incluye una colección reducida de ítemes que pretenden recoger información respecto a competencias asociadas a aprendizajes esperados de la unidad en estudio que en su desarrollo se citan adecuadamente.

Coeficiente de Posición Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra dos palabras Coeficiente De co y eficiente. Según la Real Academia de la Lengua Española (R.A.E.), coeficiente es el factor constante que multiplica una expresión, situado generalmente a su izquierda Posición Del lat. positĭo, -ōnis . Según la Real Academia de la Lengua Española (R.A.E.), posición es la postura, actitud o modo en que alguien o algo está puesto. A partir de lo anterior, podemos señalar que Coeficiente de Posición es un factor constante perteneciente a una expresión que indica la postura del objeto que representa dicha expresión, para nuestro caso la recta. Formalizando el concepto de Coeficiente de Posición, se puede definir de la siguiente manera:

Definición Coeficiente de posición: Se llama coeficiente de posición al número real asociado a una recta, que corresponde al valor de la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje Y.

Simbología del Coeficiente de Posición La representación usual de la ecuación de la recta en su forma principal es ℜ∈+= nmnmxy , , a partir de lo cual, el Coeficiente de Posición de ella se simboliza con la letra “n”.


Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son:

CN1: Ser un número real asociado a una recta. CN2: Corresponder al valor de la ordenada del punto de intersección de la recta Con el eje Y.

Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser un número real asociado a una recta y corresponder al valor de la ordenada del punto de intersección de dicha recta con el eje Y es condición suficiente para ser considerado “Coeficiente de Posición”.

Ejemplos de Coeficientes de Posición de rectas 1. El número 4 es Coeficiente de posición de la recta L: 43 += xy . En efecto:

a) Es un número real asociado a una recta, entonces cumple condición necesaria 1 (CN1). b) Corresponde a la ordenada del punto de intersección de la recta L y el eje Y, ya que si 0=x

entonces , esto implica que el punto de intersección de L y el eje Y es (0,4), Por lo anterior, el número real 4 cumple condición necesaria 2 (CN2)

4=y

2. El número 23

− es Coeficiente de posición de la recta L: 232 −= xy .

En efecto:


entonces 23

−=y , esto implica que el punto de intersección de L y el eje Y es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23,0 , Por lo

anterior, el número real 23

− cumple condición necesaria 2 (CN2)


3. El número 35

es Coeficiente de posición de la recta L: 352 +−= xy .

En efecto:


entonces 35

=y , esto implica que el punto de intersección de L y el eje Y es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

35,0 , Por lo

anterior, el número real 35

cumple condición necesaria 2 (CN2)

No son Coeficientes de posición de rectas 1. El número real (- 4) no es coeficiente de posición de la expresión 47 −− yx . En efecto:

La expresión 47 −− yx no cumple con ser la representación analítica de una recta o ecuación de la recta, luego (-4) no esta asociado a ninguna recta, entonces no cumple condición necesaria 1 (CN1).

2. El número real 3 no es coeficiente de posición de la recta L: 352 += xy En efecto:

El punto de intersección de la recta L y el eje X es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23,0 , luego 3 no corresponde a la ordenada del

punto de intersección anterior, entonces no cumple la condición necesaria 2 (CN2). Algunas características del concepto Coeficiente de Posición Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes del “Coeficiente de Posición”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

La ecuación ℜ∈+= nmnmxy , , corresponde a la representación gráfica de la recta conformada por la ubicación de todos los puntos ),( yxP = en el Plano, tal que

nmxy += De aquí se desprende la siguiente característica:


Si el coeficiente de posición se define como el número real que corresponde a la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y o el punto (0,…..), entonces se puede determinar rápidamente bajo el siguiente razonamiento: Si reemplazamos en 0=x nmxy += se tiene,

nxy +•= 0 , luego , así el punto de intersección de la recta de ecuación ny = nmxy += con el eje Y es por lo que en definitiva determina el coeficiente de posición como: ),0( n Sea la recta L: ℜ∈+= nmnmxy , , entonces el coeficiente de posición asociado a L es “ ” n

Como el modelo lineal que representa la recta en el plano modela situaciones problemáticas habituales, es importante señalar que el coeficiente de posición refleja el estado de la variable dependiente en el “instante cero”, es decir, cuando la variable independiente adopta el valor 0 (cero). Te invito a profundizar el estudio de esta característica.

El coeficiente de posición tiene la característica de proveer de valiosa información a priori de la

recta que representa, ya que de manera muy sencilla se puede determinar, a partir de él, un punto perteneciente a la misma, y con ello sólo quedará la tarea de determinar un segundo punto perteneciente para determinarla totalmente.

Para el caso de tener acceso directo a la forma general de la ecuación de la recta

, es fácilmente demostrable que el coeficiente de posición será determinado por 0=++ CByAx

BCn −= , . 0≠Bcon

Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre una particularidad de su influencia en la posición de la recta que representa, cuyo hecho pasamos a describir brevemente:

Sean las rectas L1: y L2: 1nmy += 2nmy += , 21 nn = entonces se dice que estas rectas son paralelas (concepto que se profundiza en un siguiente apartado). Frente a esta situación en particular es relevante destacar que geométricamente esta particular relación se interpreta como una traslación de la recta, gráficamente se puede representar de la siguiente forma considerando el caso en que , , 1=m 11 −=n 12 =n en la figura 9.



Figura 9. Representación de dos Rectas L1 y L2

Aprendizaje Esperado Asociado De acuerdo al Programa de estudio de segundo año medio formación general, en su unidad 5 “Ecuación de la recta y otras funciones, modelos de situaciones diarias”, el aprendizaje esperado asociado al concepto “Ecuación de la Recta” a continuación se cita:

5. Identifican e interpretan los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma nmxy += como en 0=++ cbyax de la ecuación de la recta. Reconocen estos parámetros en las respectivas gráficas.

Programa de estudio de Segundo año Medio Formación General, Mineduc 1999. Página 97 Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican el coeficiente de posición de una recta dada su ecuación principal”.

Sea la recta L: xy 235−= , el cuadrado de su coeficiente de posición es:

a) 2 b) 2

c) 35

d) 95

e) 310

−


2. Competencia: “Interpretan el coeficiente de posición de una recta dada”

Sea la recta L: 0435 =+ yx , entonces Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

I. La recta L intercepta a ambos ejes en el origen, es decir, el punto (0,0). II. La recta L es paralela al eje Y. III. La recta L tiene pendiente 0 (cero). a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I, II y III 3. Competencia: “Determinan el coeficiente de posición de una recta dada” Al encontrar el coeficiente de posición de la recta L cuya ecuación principal es 0266 =+− yx , se obtiene:

a) 21

b) 21

−

c) 31

d) 3 e) 3−


Ecuación de la Recta Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra dos palabras: Ecuación Palabra proveniente del latín. aequatĭo, -ōnis. Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En otras palabras, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Recta: Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. Nota: La Recta, al igual que el Punto o el Plano, es un concepto primitivo, que no se puede definir si no es recurriendo a otros conceptos que, a su vez, para ser definidos requieren de la recta. A partir de lo anterior, podemos señalar que Ecuación de la Recta es una igualdad de expresiones algebraicas que representa, de forma analítica, a una línea infinita como un rayo de luz. Formalizando el concepto de ecuación de la recta, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Ecuación de la Recta: Es una igualdad en dos incógnitas en primer grado x e que puede ser llevada a la forma , donde A, B, C son números reales y A o B no nulos.

y0=++ CByAx

Simbología de la Ecuación de la Recta La ecuación de la recta usualmente se escribe de la forma baxy += , donde x recibe el nombre de variable independiente e y se denomina variable dependiente, es decir, dando un valor para x , el valor correspondiente para y queda determinado.


La ecuación siempre se puede escribir en la forma , por lo tanto, también representa siempre una recta en el plano.

00 ≠=++ BconCByAx baxy +=

Verifiquémoslo En BCByAx :/0=++

BCx

BA

BCy

BBx

BA

−−=++ /0

BCx

BAy −−= (*)

Llamando BAa −= y

BCb −= y sustituyendo en (*) tenemos:

baxy += Observaciones:

La expresión se denomina Ecuación General de la Recta o ecuación de primer grado con dos incógnitas.

0=++ CByAx

Finalmente:

Simbología: Ecuación General de la Recta: 0=++ CByAx Ecuación Principal de la Recta: baxy +=

Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser una ecuación con dos incógnitas en primer grado CN2: Pueda ser llevada a la forma 0=++ CByAx


Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser una ecuación con dos incógnitas en primer grado que pueda ser llevada a la forma es condición suficiente para ser considerada “ecuación de una recta”. 0=++ CByAx

Ejemplos de ecuaciones de rectas: 1. La expresión , es la ecuación de una recta. 0532 =−+ yx En efecto:

a) Es una ecuación con dos incógnitas en primer grado (x e y), entonces cumple condición necesaria 1 (CN1).

b) Ya tiene la forma 0=++ CByAx , donde A = 2; B = 3; C = (- 5), entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

2. La expresión es la ecuación de una recta. yx 435 =− En efecto:


b) Pueda ser llevada a la forma 0=++ CByAx , siguiendo el siguiente razonamiento:

0345443454/435

=−−−=−−−=−

yxyyyxyyx

/ reduciendo

Así, comparando la ecuación 0345 =−− yx con la ecuación general 0=++ CByAx vemos que A = 5; B = (- 4); C = (- 3); entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)


3. La expresión 35

32

+−= xy , es la ecuación de una recta.

En efecto:


b) Pueda ser llevada a la forma 0=++ CByAx , siguiendo el siguiente razonamiento:

35

32

+−= xy x32/+

xxxy32

35

32

32

++−=+ / reduciendo

35

32

=+ xy 35/−

35

35

35

32

−=−+ xy / reduciendo

035

32

=−+ xy

Así, comparando la ecuación 035

32

=−+ xy con la ecuación general 0=++ CByAx vemos

que A = 1; B = 32

; C = 35

− ; entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

No son ecuaciones de rectas 1. La expresión 45 +− yx no es la ecuación de una recta. En efecto:

La expresión tiene dos incógnitas en primer grado (x e y), pero no es una ecuación (no es una igualdad), entonces no cumple condición necesaria 1 (CN1).

45 +− yx

2. La expresión no es la ecuación de una recta. 75 2 =+ yx


En efecto:

La expresión tiene dos incógnitas (x e y), pero no en primer grado ( en segundo grado), entonces no cumple condición necesaria 1 (CN1).

75 2 =+ yx 2y

3. La expresión 22)1()3( −−=−++− yxyxx no es la ecuación de una recta. En efecto:


b) No pueda ser llevada a la forma 0=++ CByAx , A o B no nulos. Esto es desarrollando la

ecuación (aplicando reglas elementales del álgebra), tenemos:

22)1()3( −−=−++− yxyxx 2213 −−=−++− yxyxx 2213 −−=−+−+ yxyxx 2213 −−=+−−+ yxyxx 2222 −−=−− yxyx

00 =

Lo que claramente indica que la expresión o tiene la forma 0=++ CByAx A o B no nulos. Entonces no cumple condición necesaria 2 (CN2)


Algunas características del concepto Ecuación de la Recta Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de la “Ecuación de la Recta”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

La ecuación ℜ∈=++ CBACByAx ,,0 , corresponde a la representación gráfica de la recta conformada por la ubicación de todos los puntos ),( yxP = en el Plano, tal que

0=++ CByAx

Esto es, considerando la ecuación de una recta L1: 012 =−− xy , esta representa gráficamente a la recta L1 de la Figura 10.

Figura 10. Representación gráfica de la recta L1 cuya ecuación es 012 =−− xy

Por lo tanto se puede concluir que la ecuación de la recta es una “fotografía” de un objeto susceptible de ser ubicado en el Plano.


Un desafío constante de la humanidad es modelar matemáticamente situaciones problemáticas para solucionarlas o plantear conjeturas que faciliten su comprensión, es aquí donde la ecuación de la recta viene a jugar un papel primordial. Modela situaciones de crecimiento o decrecimiento constante. Si consideramos la siguiente construcción con palos de fósforo (Figura 11) donde se pretende modelar la cantidad total de fósforos a utilizar, la ecuación , donde y representa el total de fósforos necesarios para el total de la construcción y x el total de triángulos a construir, tal ecuación modela matemáticamente esta situación de crecimiento constante.

12 += xy

Figura 11: Representa la simulación de secuencia de construcción de triángulos equiláteros con fósforos de igual medida.

Nota: Esta situación de crecimiento se modela con la ecuación del punto anterior ( 012 =−− xy ). Esto refleja la versatilidad del concepto ecuación de la recta.

Como se señaló la ecuación de la recta es susceptible de ser representada bajo dos simbologías, esto es: Ecuación General de la Recta: 0=++ CByAx

Ecuación Principal de la Recta: baxy += A partir de esto, una característica relevante de la ecuación de la recta es la posibilidad de pasar indistintamente de un tipo de ecuación a otra indistintamente sin mayores problemas, esto es siguiendo el siguiente razonamiento: A partir de su representación General 0,0 ≠=++ BCByAx podemos construir la representación Principal. En efecto: 0=++ CByAx Ax−/

AxAxCByAx −=−++ 0 Luego,

AxCBy −=+ C−/ CAxCCBy −−=−+

CAxBy −−= B:/

BCAxy

BB −−

=

Así,

BCx

BAy −−=

Por lo tanto,


0=++ CByAx equivale a baxy += si BAa −= y

BCb −=

En la ecuación general de la recta 0=++ CByAx , los números reales representados por A, B, C reciben el nombre de coeficientes de la ecuación donde C se denomina coeficiente libre porque no está acompañado de ninguna variable.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios anteriores, es así como frente al concepto “ecuación”, la ecuación de la recta representa un caso particular, donde intervienen las dos condiciones necesarias que hemos mencionado. Pues bien, una analogía importante en este caso es la presencia de una relación de equivalencia entre términos algebraicos, que tanto en el concepto ecuación, como en el concepto ecuación de la recta está presente, pero una clara diferencia, es en la amplitud de cada concepto lo que hace mucho más acotado el nuevo concepto ecuación de la recta, ya que sólo trata casos de primer grado. Otra analogía importante se puede realizar con el concepto de proporcionalidad, ya que si bien parecen ser bastante alejados, no es tal su lejanía, ya que de acuerdo a la mirada de la proporcionalidad, dos variables crecen (decrecen) de manera directamente proporcional cuando se produce la situación siguiente: Si una aumenta (disminuye) la otra también aumenta (disminuye) proporcionalmente, por lo que es posible determinar dicha proporción representada por la llamada constante de proporcionalidad que para el caso de la ecuación de la recta en forma principal esta viene a ser el coeficiente que acompaña a la variable independiente (x), que en términos de este concepto es la pendiente de la recta, que más adelante profundizaremos. Clasificación Muchos son los criterios para clasificar la ecuación de la recta, de ellos consideremos el siguiente: De acuerdo a su representación simbólica: La ecuación de la recta se clasifica en:

1. Ecuación General de la Recta: De la forma ℜ∈=++ CBACByAx ,,,0 , A o B no nulos. 2. Ecuación Principal de la Recta: De la forma baxy += ; ℜ∈ba,


Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre dos casos particulares que puede adoptar la ecuación de la recta que pasamos a describir brevemente: Caso 1 Si se considera la ecuación de la recta dada en forma General ℜ∈=++ CBACByAx ,,,0 , A o B no nulos, entonces permite la forma 0,,,0 ≠ℜ∈=+ BCBCBy , cuando A = 0, en cuyo caso y adquiere

el valor constate BC−

para cualquier valor de x con lo que su representación gráfica constituye una recta

paralela (concepto aclarado más adelante) al eje X, como muestra la siguiente Figura 12 para el caso de B=1 y C=3, esto es la recta L2: . 03 =+y

Figura 12: Representación Gráfica de la Recta 03 =+y .

También se dice que su pendiente es cero (concepto aclarado más adelante) o recta horizontal.


Caso 2 Si se considera la ecuación de la recta dada en forma General ℜ∈=++ CBACByAx ,,,0 , A o B no nulos, entonces permite la forma 0,,,0 ≠ℜ∈=+ ACACAx , cuando B = 0, en cuyo caso x adquiere

el valor constate AC−

para cualquier valor de y con lo que su representación gráfica constituye una recta

paralela (concepto aclarado más adelante) al eje Y, como muestra la siguiente Figura 13 para el caso de A=2 y C=(- 5), esto es la recta L3: 052 =−x .

Figura 13: Representación Gráfica de la Recta L3: 052 =−y .

También se dice que su pendiente es infinita (concepto aclarado más adelante) o recta vertical Observación

En tus estudios conocerás el concepto de función, en cuyo contexto el concepto de ecuación de la recta viene a ser parte de conceptos mayores como función lineal y función a fin, con lo que podrás comprender que sus alcances y aplicación transgrede las fronteras de la ciencia matemática, modelando situaciones tanto cotidianas, como físicas, estadísticas, etc.


Aspectos Históricos Relevantes La recta ha sido un concepto importantísimo desde los comienzos de la geometría, profundizando su valor modelador con la geometría analítica. Es esta última, la Geometría Analítica o Geometría Cartesiana es un enfoque propuesto por el matemático francés René Descartes en el siglo XVII y consiste esencialmente en construir modelos algebraicos para resolver problemas geométricos. En la geometría analítica los puntos son parejas de números reales y las figuras geométricas son relaciones algebraicas. Es en este tipo de trabajos donde surge con fuerza una excelente forma de expresar la condición a cumplir por los puntos que forman una recta, ahora en el Plano Cartesiano. Esa forma es la ecuación de la recta que hemos analizado. En su génesis el concepto de recta no es posible definirlo, pero forma parte de la base de la llamada Geometría Euclidiana o Geometría Plana que has estudiado hasta ahora. Es más, constituye una parte fundamental de los “Postulados” de esta forma de concebir la geometría. Aprendizaje Esperado Asociado De acuerdo al Programa de estudio de segundo año medio formación general, en su unidad 5 “Ecuación de la recta y otras funciones, modelos de situaciones diarias”, el aprendizaje esperado asociado al concepto “Ecuación de la Recta” a continuación se cita:

3. “Conocen la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineal y afín; traducen de un registro a otro”.

Programa de estudio de Segundo año Medio Formación General, Mineduc 1999. Página 97


Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican la ecuación general de la recta dadas ciertas expresiones algebraicas”. Cual de las siguientes expresiones representa la ecuación general de la recta: I. 01653 =+− yx II. ℜ∈=+++++ fedcbagfydcxba ,,,,,,0)()()( 2

III. 143

−−= xy

a) Sólo I b) Sólo III c) I y II d) I y III e) I, II y III 2. Competencia: “Identifican la ecuación principal de la recta dadas ciertas expresiones algebraicas” Dada la ecuación ℜ∈+−= kkxy ,123 , para que valores de “ ” la expresión es reducible a la kecuación principal de la recta: a) Para = 0 kb) Para cualquier valor positivo de kc) Para cualquier valor negativo de k d) Para todo valor de k e) No existe información suficiente


3. Competencia: “Identifican los coeficientes de la ecuación principal de la recta”

Dada la ecuación xy 354+−= , el doble del coeficiente libre “b” de la ecuación principal de la recta es:

a) 54

−

b) 58

c) 58

−

d) 6 e) 3−


Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra tres palabras: Ecuación Palabra proveniente del latín. aequatĭo, -ōnis. Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En otras palabras, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Recta: Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. Coordenada (de un Punto) Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.), coordenada se dice de las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y de los ejes o planos a que se refieren aquellas líneas. A partir de lo anterior, podemos señalar que Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella, es una igualdad de expresiones algebraicas que representa, de forma analítica, a una línea infinita como un rayo de luz a partir de la posición de dos puntos de esta en el sistema cartesiano. Formalizando el concepto de ecuación de la recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella: Es toda expresión analítica asociada a una recta que pueda ser llevada a la forma

2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , , donde son las coordenadas de dos

puntos distintos de ella.

21 xx ≠ ),(),( 2211 yxyyx


Simbología de la Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella Para simbolizar este concepto habitualmente se plantea la siguiente expresión:

2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

Donde , , son las coordenadas de dos puntos distintos de ella. ),(),( 2211 yxyyx 21 xx ≠ Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser una expresión analítica asociada a una recta.

CN2: Pueda ser llevada a la forma 2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , 21 xx ≠ donde ),(),( 2211 yxyyx

son las coordenadas de dos puntos distintos de ella. Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser una expresión analítica asociada a una recta que puede ser llevada a la

forma2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , donde , son las coordenadas de dos

puntos distintos de ella; es condición suficiente para ser considerada “ecuación de una recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella”.

21 xx ≠ ),(),( 2211 yxyyx

Ejemplos de ecuaciones de rectas conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella

1. La ecuación de la recta L: 22

11

+−

=−−

xy

xy

, es la ecuación de una recta conocido los puntos P = (1,1) y

Q = ( - 2, 2). En efecto:


a) Es una expresión analítica asociada a la recta L, entonces cumple condición necesaria 1

(CN1).

b) Ya se encuentra en la forma 2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , 21 xx ≠ ; conocidos P y Q puntos distintos

de L, así 2,2,1,1 2211 =−=== yxyx , entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

2. La ecuación de la recta L: )2(311 −

−+

=− xxyy , es la ecuación de una recta conocido los puntos P =

(2,1) y Q = ( 3, - 1). En efecto:

a) Es una expresión analítica asociada a la recta L, entonces cumple condición necesaria 1 (CN1).

b) Puede ser llevada a la forma 2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , esto siguiendo el siguiente razonamiento:

)2(311 −

−+

=− xxyy /: )2( −x

)2()2(

31

)2()1(

−−

•−+

=−−

xx

xy

xy

31

21

−+

=−−

xy

xy

Así, conocidos P y Q puntos distintos de L, luego 1,3,1,2 2211 −==== yxyx , entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

3. La ecuación de la recta L: )2)(5()3)(7( +−=++ xyyx , es la ecuación de una recta conocido los

puntos P = (-2,-3) y Q = ( -7, 5). En efecto:



b) Puede ser llevada a la forma 2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− , esto siguiendo el siguiente razonamiento:

/:)2)(5()3)(7( +−=++ xyyx )2( +x

)2(

)2)(5()2(

)3)(7(−

−−=

+++

xxy

xyx

)5()2(

)3)(7(−=

+++ y

xyx /: )7( +x

)7()5(

)2)(7()3)(7(

+−

=++++

xy

xxyx

Así,

75

23

+−

=++

xy

xy

Así, conocidos P y Q puntos distintos de L, luego 5,7,3,2 2211 =−=−=−= yxyx , entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

No son ecuaciones de rectas conocidas las coordenadas de dos puntos de ella

1. La expresión 31

325

−−

++−

xy

yx

dado los puntos P = (1,-5) y Q = (2,3), no es la ecuación de una recta

conocidas las coordenadas de dos puntos de ella. En efecto:

La expresión 31

325

−−

++−

xy

yx

no es una ecuación de una recta (no es una igualdad), entonces la

expresión no está asociada a una recta, luego, no cumple condición necesaria 1 (CN1).


2. La ecuación 17

23

2 −−

=+−

xy

xy

dado los puntos P = ( - 2,3) y Q = (1,7), no es la ecuación de una recta

conocidas las coordenadas de dos puntos de ella. En efecto:

La expresión 17

23

2 −−

=+−

xy

xy

no es una ecuación de una recta (x presenta grado 2), entonces la

expresión no está asociada a una recta, luego, no cumple condición necesaria 1 (CN1). 3. La ecuación de la recta L: 9653 ++=+ xyxy dado el punto P = ( 1,5), no es la ecuación de una

recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella. En efecto:

A pesar que la expresión 9653 ++=+ xyxy se asocia a una recta L y P satisface la condición impuesta, no se conoce un segundo punto de ella, entonces no cumple condición necesaria 2 (CN2).

Algunas características del concepto Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella. Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de la “Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

Es conocido el afán del ser humano por acopiar la mayor cantidad de información posible respecto a los más diversos fenómenos, pese a ello es común encontrarnos ante la situación de tener acceso sólo a ciertas partes de la información total. Es por ello que tener la herramienta de conocer la expresión analítica de un modelo lineal a partir del conocimiento de dos casos particulares del mismo resulta francamente importante. Esta es una característica relevante del concepto que abordamos, ya que por su estructura permite, a partir del conocimiento de dos puntos de una recta, formular correctamente una expresión analítica que la representa logrando satisfacer esta importante necesidad de información.

En apartados posteriores se ahonda en el concepto de pendiente, pero por ahora es posible aceptar que dado dos puntos distintos de una recta, pues su pendiente es constante. Valiéndonos de esto y de la formula analítica de la pendiente respaldada por la geometría analítica es posible construir una expresión analítica para la recta conocido dos puntos distintos de la misma. Es por esto que una característica importante de este concepto es su estrecha vinculación con el concepto de pendiente de la recta.



Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios precedentes, es así como frente al concepto “ecuación de la recta”, la ecuación de la recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella, representa un caso particular, donde intervienen las dos condiciones necesarias que hemos mencionado. Pues bien, una analogía importante en este caso es que ambas persiguen caracterizar analíticamente el objeto matemático “recta”, pero una clara diferencia, es en la amplitud de cada concepto lo que hace mucho más acotado el nuevo concepto ecuación de la recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella, ya que sólo trata casos en que se conocen tales coordenadas. Otra analogía importante se puede realizar con el concepto de ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente, esto en rigor corresponde a una equivalencia, debido a que se tienen ambos antecedentes en el caso del concepto estudiado, es decir, con dos puntos es posible conocer la pendiente de la recta. Pese a ello, la gran diferencia está en el conocimiento o no de la pendiente de la recta. Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre la determinación de esta ecuación de la recta, que pasamos a describir brevemente: Si se considera la propiedad de toda recta que plantea la condición: “Dado dos puntos distintos de una recta su pendiente es constante”, entonces podemos realizar el siguiente análisis gráfico:

Si consideramos la recta genérica (cualquiera) L y trabajamos con los puntos y y el punto genérico (cualquier) de la recta

),( 11 yxS =),( 22 yxT = ),( yxP = , donde , tenemos la

situación que representa la figura 14. TSP ≠≠

Figura 14. Representación gráfica de la recta L

Luego se tiene la igualdad xxyy

xxyy

−−

=−−

2

2

1

1 , así )()(

2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−−−

=−−

, por lo tanto

2

2

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

Que representa la ecuación de la recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella.



3. Conocen la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineal y afín; traducen de un registro a otro.

Programa de estudio de Segundo año Medio Formación General, Mineduc 1999. Página 97 Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican las coordenadas de dos puntos distintos P y Q de una recta L dada su ecuación”.

Para que par de puntos P y Q la ecuación kxky

kxky

−+

=−− 52

, 0≠k es la ecuación de la recta L conocido

dos puntos distintos de ella: a) y )2,( kkP = ),5( kkQ =b) y )2,( kkP = ),5( kkQ −=c) y ),2( kkP = )5,( kkQ −=d) y ),2( kkP = )5,( kkQ =e) y )2,( kkQ = ),5( kkP =


2. Competencia: “Determinar la ecuación de la recta conocidos dos puntos de ella P y Q” Si se sabe que los puntos y )1,4( −=P )3,5( −=Q pertenecen a L, su ecuación dado esta información es:

a) 35

41

+−

=−+

yy

xy

b) 35

41

+−

=−−

yy

xx

c) 35

41

2 +−

=−−

xy

xy

d) 35

41

+−

=−−

xy

xy

e) 35

41

+−

=−−

xx

xx

3. Competencia: “Determinar un segundo punto Q dada la ecuación de la recta y un punto de ella P”

Si se tiene la siguiente ecuación de la recta L: 49

76

−−

=−+

xy

xy

y el punto )7,6(−=P que pertenece a L,

que coordenadas debe tener el punto Q que pertenece a L para que la ecuación sea inmediatamente verificada: a) )4,9(−b) )9,4(c) )4,9(d) )6,9(−e) )9,4(



Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra cuatro palabras: Ecuación Palabra proveniente del latín. aequatĭo, -ōnis. Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En otras palabras, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Recta: Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. Coordenada (de un Punto) Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.), coordenada se dice de las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y de los ejes o planos a que se refieren aquellas líneas. Pendiente Del lat. pendens, -entis. Según la Real Academia de la Lengua Española pendiente: Que pende. Inclinado, en declive. Que está por resolverse o terminarse. Sumamente atento, preocupado por algo que se espera o sucede. Arete con adorno colgante o sin él. Medida de la inclinación de una recta o de un plano A partir de lo anterior, podemos señalar que Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente, es una igualdad de expresiones algebraicas que representa, de forma analítica, a una línea infinita como un rayo de luz a partir de la posición de un punto de esta en el sistema cartesiano y conocida su inclinación en el mimo sistema. Formalizando el concepto de ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente: Es toda expresión analítica asociada a una recta que pueda ser llevada a la forma

, donde son las coordenadas de cualquier punto de ella y

su

)( 11 xxmyy −=− ),( 11 yx

m pendiente.

Simbología de la Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente Para simbolizar este concepto habitualmente se plantea la siguiente expresión:

)( 11 xxmyy −=−

Donde son las coordenadas de cualquier punto de ella y su pendiente. ),( 11 yx m Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser una expresión analítica asociada a una recta.

CN2: Pueda ser llevada a la forma )( 11 xxmyy −=− , donde son ),( 11 yx las coordenadas de cualquier punto de ella y su pendiente. m

Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser una expresión analítica asociada a una recta que puede ser llevada a la forma , donde son las coordenadas de cualquier punto de ella y

su pendiente; es condición suficiente para ser considerada “ecuación de una recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente”.

)( 11 xxmyy −=− ),( 11 yxm


Ejemplos de ecuaciones de rectas conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente: 1. La ecuación de la recta L:, )6(34 −=− xy es la ecuación de una recta conocido el punto P = (6,4) y

su pendiente . 3=m En efecto:


b) Ya se encuentra en la forma )( 11 xxmyy −=− ; conocido P y de L, así , entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

m3,4,6 11 === myx

2. La ecuación de la recta L: 59

8−=

− xy, es la ecuación de una recta conocido el puntos P = (5,8) y

su pendiente . 9=m En efecto:


b) Puede ser llevada a la forma )( 11 xxmyy −=− , esto siguiendo el siguiente razonamiento:

59

8−=

− xy / 9•

)5(99

)8(9−=

− xy

)5(98 −=− xy

Así, conocidos P punto perteneciente a la recta L y su pendiente, luego

, entonces cumple condición necesaria 2 (CN2) m

9,8,5 11 === myx

3. La ecuación de la recta L: 1719=

+−

xy

, es la ecuación de una recta conocido el punto P = (-1,9)

y su pendiente . 17=m En efecto:



b) Puede ser llevada a la forma )( 11 xxmyy −=− , esto siguiendo el siguiente razonamiento:

1719=

+−

xy

/• )1( +x

)1(17)1(

)9)(1(+=

+−+ x

xyx

Así, )1(179 +=− xy

Luego, conocidos P y punto y pendiente de L, luego m 17,9,1 11 ==−= myx , entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

No son ecuaciones de rectas conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. 1. La expresión dado el punto P = (-15, 5) y la pendiente , no es la

ecuación de una recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. )15(235 ++− xy 23=m

En efecto:

La expresión no es una ecuación de una recta (no es una igualdad), entonces la expresión no está asociada a una recta, luego, no cumple condición necesaria 1 (CN1).

)15(235 ++− xy

2. La ecuación dado el punto P = (1, 9) y la pendiente ,, no es la ecuación

de una recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. )1(149 3 −=− xy 14=m

En efecto:

La ecuación no es la ecuación de una recta (x presenta grado 3), entonces la expresión no está asociada a una recta, luego, no cumple condición necesaria 1 (CN1).

)1(149 3 −=− xy

3. La expresión dado el punto P = ( -5,6) de la recta y la pendiente de la recta L

, no es la ecuación de una recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. )5(163 +=− xy

7=m En efecto:

A pesar que la expresión )5(163 +=− xy representa una recta L1, P no satisface la condición impuesta, y por otro lado la pendiente de L1 es 16 y no 7, entonces no cumple condición necesaria 2 (CN2).



Algunas características del concepto Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de la “Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

Hay situaciones donde no es posible conocer toda la información respecto a un fenómeno que se pretende modelar, pero es posible aproximar una tendencia de comportamiento (m) y la condición inicial que presenta dicho fenómeno. Si se puede aceptar que este fenómeno hipotético sigue un comportamiento lineal, proporcional o constante durante el tiempo, pues es menester de los investigadores poder predecir futuras situaciones susceptibles de ser modeladas a priori. Es aquí donde una de las características más relevantes del concepto viene a satisfacer esta necesidad, ya que conociendo la constante de proporcionalidad m y el punto de inicio P se puede establecer una relación que permite predecir y modelar el comportamiento lineal del fenómeno (ecuación de la recta). Te invitamos a investigar y profundizar este concepto.

En apartados posteriores se ahonda en el concepto de pendiente, pero por ahora es posible aceptar que dado dos puntos distintos de una recta, pues su pendiente es constante. Valiéndonos de esto y de la formula analítica de la pendiente respaldada por la geometría analítica es posible construir una expresión analítica para la recta conocido un punto de la misma y su pendiente. Es por esto que una característica importante de este concepto es su estrecha vinculación con el concepto de pendiente de la recta.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios precedentes, es así como frente al concepto “ecuación de la recta”, la ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente, representa un caso particular, donde intervienen las dos condiciones necesarias que hemos mencionado. Pues bien, una analogía importante en este caso es que ambas persiguen caracterizar analíticamente el objeto matemático “recta”, pero una clara diferencia, es en la amplitud de cada concepto lo que hace mucho más acotado el nuevo concepto ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente, ya que sólo trata casos en que se cuenta con tal información. Otra analogía importante se puede realizar con el concepto de ecuación de la recta conocidas las coordenadas de dos puntos de ella, esto en rigor corresponde a una equivalencia, debido a que se tienen lo necesario para general cambios entre un registro y otro, sólo tomando un segundo punto y general la nueva ecuación equivalente. La deferencia notable es lo manejable de esta representación más que la análoga.

Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre la determinación de esta ecuación de la recta, que pasamos a describir brevemente: Si se considera la propiedad de toda recta que plantea la condición: “Dado dos puntos distintos de una recta su pendiente es constante”, entonces podemos realizar el siguiente análisis gráfico: Si consideramos la recta genérica (cualquiera) L de pendiente y trabajamos con el punto de la recta

y el punto genérico (cualquier) de la recta m

),( 11 yxS = ),( yxP = , donde SP ≠ , tenemos la situación que representa la figura 15.


Luego se tiene la igualdad mxxyy

=−−

1

1 , por lo tanto

)( 11 xxmyy −=−

Que representa la ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. Trabajo N ° 1 “Estudio de 8 Conceptos Matemáticos” Unidad 5 Ecuación de la Recta Segundo año Medio Autor: Cristian Maureira González Página 38 de 88




Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican las coordenadas de un punto P de una recta L dada su ecuación y su pendiente m”. Qué punto P satisface la ecuación, )7(162 −=+ xy de modo que sea la ecuación de la recta L conocida las coordenadas de un punto de ella y su pendiente: a) )7,2(=P

b) )7,2( −−=P

c) )7,2(−=P d) )49,2(=Pe) )2,7( −=P


2. Competencia: “Identifican la ecuación de la recta conocidas las coordenadas de un punto P de ella y su pendiente m”

Sea el punto y pendiente )3,5( −=P 3 de la recta L. Consideremos la expresión )5(3 −=+ xky . Para qué valor de k expresión es la ecuación de la recta L. a) Para = 0 kb) Para cualquier valor negativo de k c) Para 3=k d) Para ningún valor de k e) Para 3=k 3. Competencia: “Determinar la ecuación de la recta conocidos un punto de ella P y su pendiente m” Si se sabe que el punto pertenecen a L de pendiente )3,1(=P 2=m , su ecuación dado esta información es: a) )1(23 −=+ xyb) )1(23 +=− xyc) xy 21−=d) 12 −= xye) 12 += xy


Gráfica de una Recta Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra dos palabras Gráfica Del lat. graphĭcus, y este del gr. γραφικς. Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.), gráfica es la representación de datos numéricos por medio de una o varias líneas que hacen visible la relación que esos datos guardan entre sí. Recta: Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. A partir de lo anterior, podemos señalar que Gráfica de una Recta, es la representación de datos numéricos por medio de una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz, haciendo visible la relación que esos datos guardan entre sí Formalizando el concepto Gráfica de una Recta, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Gráfica de una Recta: Es la representación gráfica de la recta ℜ∈=++ CBACByAx ,,0 , conformada por la ubicación de todos los puntos punto ),( yxP = en el Plano, tal que

0=++ CByAx


Simbología de la Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente Para simbolizar este concepto se utiliza la siguiente imagen, considerada perteneciente la Plano Cartesiano:

Que simboliza el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación 0=++ CByAx . Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son:

CN1: Ser un conjunto de puntos del plano cartesiano asociados a la ecuación de una recta. CN2: Sus coordenadas satisfacen la ecuación ),( yx 0=++ CByAx de la recta.

Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser un conjunto de puntos del plano cartesiano asociados a la ecuación de una recta y que sus coordenadas satisfacen la ecuación ),( yx 0=++ CByAx de la recta; es condición suficiente para ser considerada “Gráfica de una recta”.


Ejemplos de Gráfica de rectas: 1. La gráfica de la figura 16 es la gráfica de una recta L: 032 =− yx .



En efecto:

a) Es una un conjunto de puntos del plano cartesiano asociados a la ecuación de una recta, entonces cumple condición necesaria 1 (CN1).

b) Sus coordenadas satisfacen la ecuación ),( yx 0=++ CByAx de la recta, entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

2. La gráfica de la figura 17 es la gráfica de una recta L: 014 =−+ yx .

Figura 17. Representación gráfica de la recta L En efecto:


b) Sus coordenadas satisfacen la ecuación ),( yx 0=++ CByAx de la recta, entonces

cumple condición necesaria 2 (CN2)


3. La gráfica de la figura 18 es la gráfica de una recta L: 0105 =+− yy .



b) Sus coordenadas satisfacen la ecuación ),( yx 0=++ CByAx de la recta, entonces cumple condición necesaria 2 (CN2)

No son Gráficas de rectas. 1. La gráfica asociada a la ecuación , no es la grafica de una recta 0742 2 =+− yx En efecto La ecuación no es la ecuación de una recta, entonces no cumple la condición necesaria 1 (CN1).

0742 2 =+− yx


Particularmente, la gráfica es la que muestra la figura 19.

Figura 19. Representación gráfica de la ecuación 0742 2 =+− yx


2. La figura 20 no es la gráfica de la recta L: 0123 =−− xy

Figura 20. Representación gráfica de la recta L: 0123 =−− xy

En efecto Las coordenadas del punto P de la gráfica no satisfacen la ecuación de la recta , por lo tanto la gráfica no cumple con la condición necesaria 2 (CN2).

0123 =−− xy


3. La figura 21 no es la gráfica de la recta L: 01 =−− xy


Ya que si consideramos el punto A = (2, 1) de la gráfica en la figura no pertenece a la Recta L considerada, ya que reemplazando la abscisa de A en la ecuación de L se tiene,

012 =−−y

03 =−y

3=y Entonces no cumple condición necesaria 2 (CN2).


Algunas características del concepto Gráfica de una Recta Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de la “Gráfica de una Recta”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

En general el uso de gráficas representativas para objetos matemáticos susceptibles de ser representados de esta forma constituyen una herramienta fundamental para modelar ciertas situaciones. Dado lo anterior una característica importante de este concepto matemático es ser el vínculo entre el ámbito analítico de expresiones algebraicas y el ámbito gráfico íntimamente relacionado con la geometría en el plano cartesiano.

Otra característica de la gráfica de una recta es que a partir de ella se puede aproximar con

bastante exactitud valores de una variable que depende de otra de forma lineal.

Una última característica de la gráfica de una función es que permite representar esquemáticamente el comportamiento de variables susceptibles de ser modeladas con la ecuación de la recta, con todo, es importante señalar que en la mayoría de las exposiciones se utilizan gráficas para representar situaciones y comunicar resultados, es aquí donde el carácter simplificador de esta representación permite explicar situaciones problemáticas y darle un cariz muchísimos más amigable a la explicación que se expone.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios anteriores, es así como frente al concepto “de punto en el plano cartesiano”, la gráfica de una recta representa una ampliación de este concepto, ya que los reúne bajo una condición única, la llamada ecuación de la recta. Pues bien, una analogía importante en este caso es que para ambos conceptos es necesario el manejo de coordenadas en el plano cartesiano y además como diferencia se observa claramente que la gráfica de una recta es un conjunto de puntos en el plano cartesiano. Otra analogía importante se puede realizar con el concepto de rayo en geometría plana donde este objeto de igual forma representa una forma de representar un has de luz o una cuerda tensa, con la diferencia en su extensión, ya que gráficamente el rayo se extiende infinitamente hacia una dirección, al contrario de la recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Rayo Recta Trabajo N ° 1 “Estudio de 8 Conceptos Matemáticos” Unidad 5 Ecuación de la Recta Segundo año Medio Autor: Cristian Maureira González Página 49 de 88

Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre aspectos relevantes de su construcción, que pasamos a describir brevemente:

Hemos estudiado que la ecuación nulosnoBoAconCByAx 0=++ representa una recta en el plano cartesiano. Si encontramos dos puntos que la satisfacen (soluciones) y los ubicamos en el plano cartesiano, al unirlos y proyectar la construcción infinitamente estamos dibujando todos los puntos que satisfacen dicha ecuación, es decir, estamos graficando la recta representada por esta ecuación.





Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican la gráfica de una recta dada una tabla de valores (x, y)”. Considerando la siguiente tabla, cual es la gráfica de la asociada a la recta.


X Y 0 0 1 2 6 3

I II III a) Sólo I b) Sólo III c) I y II d) I y III e) I, II y III 2. Competencia: “Determinan la gráfica de una recta dada su ecuación general” Dada la ecuación de una recta L1: 02 =−− xy , un punto P de su gráfica es: a) )2,0( −=Pb) )3,1( −=Pc) )2,0(=Pd) )2,2(=Pe) )7,1(−=P

3. Competencia: “Conjeturan respecto a la pendiente de una recta dada su gráfica” Dada la siguiente figura , se puede conjeturar que su pendiente es:


a) Mayor a cero b) Menor a cero c) Igual a cero d) Indefinida e) Igual a 1

Pendiente de una Recta Busquemos en el diccionario Este concepto se compone de la palabra: Pendiente Del lat. pendens, -entis. Según la Real Academia de la Lengua Española pendiente: Que pende. Inclinado, en declive. Que está por resolverse o terminarse. Sumamente atento, preocupado por algo que se espera o sucede. Arete con adorno colgante o sin él. Medida de la inclinación de una recta o de un plano. En particular nos interesa destacar la última acepción “Medida de la inclinación de una recta o de un plano”, que conlleva a la definición formal de pendiente.


Definición de Pendiente de una Recta: Sean y dos puntos cualquiera de una recta. Se llama pendiente de la recta que pasa por los puntos P

),( 111 yxP = ),( 222 yxP =1 y P2 al valor constante:

xy

xxyy

ΔΔ

=−−

12

12

Simbología de la Pendiente de una Recta La ecuación de la recta usualmente se escribe de la forma nmxy += , donde x recibe el nombre de variable independiente e y se denomina variable dependiente, es decir, dando un valor para x , el valor correspondiente para y queda determinado. Así, la pendiente de una recta se designa por la letra m, quedando:

xy

xxyy

mΔΔ

=−−

=12

12

De modo tal que de la ecuación escrita de la forma nmxy += , m representa el valor de la pendiente.

Simbología: En la ecuación de la recta escrita de la forma nmxy += , “m” simboliza la pendiente de la misma.

Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser un número real asociado a una recta del plano cartesiano

CN2: Corresponder a la razón constante entre diferencias de ordenadas ( ) y yΔ diferencias de abscisas ( xΔ ) de dos puntos distintos de la recta

Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser un número real asociado a una recta correspondiente a la constante entre las diferencias de ordenadas y de abscisas de dos puntos es condición suficiente para ser considerada “Pendiente de una recta”.

Ejemplos de pendientes de rectas: 1. El número real 3 es la pendiente de la recta L1, cuya ecuación es L1: 73 −= xy . En efecto:

a) Es un número real asociado a una recta L1 del plano cartesiano, entonces cumple condición necesaria 1 (CN1).

b) Sean los puntos P = (1,- 4) y Q = (2,- 1) de la recta L1, luego la razón constante entre diferencias de ordenadas ( yΔ ) y diferencias de abscisas ( xΔ ) de estos dos puntos distintos de la recta es:

313

12)4()1(

12

12 ==−−−−

=ΔΔ

=−−

=xy

xxyy

m

Entonces el número real 3 cumple la condición necesaria 2 (CN2)


2. El número real 78

es la pendiente de la recta L2, cuya ecuación es L2: 578

+= xy .

En efecto:


b) Sean los puntos R = (7,13) y S = (-1,727

) de la recta L2, luego la razón constante entre

diferencias de ordenadas ( ) y diferencias de abcisas (yΔ xΔ ) de estos dos puntos distintos de la recta es:

78

8764

7)1(

13727

12

12 =−

−=

−−

−=

ΔΔ

=−−

=xy

xxyy

m

Entonces el número real 78

cumple la condición necesaria 2 (CN2)

3. El número real (- 4) es la pendiente de la recta L3, cuya ecuación es L3: xy 45 −= . En efecto:


b) Sean los puntos T = (1,1) y U = (2,-3) de la recta L3, luego la razón constante entre diferencias

de ordenadas ( ) y diferencias de abcisas (yΔ xΔ ) de estos dos puntos distintos de la recta es:

)4(1

)4(12

)1()3(

12

12 −=−

=−−−

=ΔΔ

=−−

=xy

xxyym

Entonces el número real (- 4) cumple la condición necesaria 2 (CN2)


No son Pendientes de rectas 1. En número (-8) asociado a la expresión 633 +− yx no es la pendiente de una recta. En efecto:

El número (-8) asociado a la expresión 633 +− yx es un número real, pero la expresión 633 +− yx no es la ecuación de recta alguna, entonces no cumple condición necesaria 1 (CN1).

2. En número 3 asociado a la ecuación 53 2 += xy no es la pendiente de una recta. En efecto:

El número 3 asociado a la ecuación 53 2 += xy es un número real, pero la expresión

53 2 += xy no es la ecuación de recta alguna, entonces no cumple condición necesaria 1 (CN1).

3. En número 23

asociado a la ecuación de la recta L1: xy232 −= no es la pendiente de una recta.

En efecto:

El número 23

asociado a la expresión xy232 −= , no cumple con ser la razón constante entre

diferencias de ordenadas ( ) y diferencias de abscisas (yΔ xΔ ) de dos puntos distintos de la

recta L1: xy232 −= , ya que esta constante es

23

− , entonces no cumple condición necesaria 2

(CN2).


Algunas características del concepto Pendiente de una Recta Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de la “Pendiente de una Recta”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

La Pendiente de una recta se denomina también coeficiente angular de la recta asociada. Este nombre se debe a que el valor de la pendiente permite calcular la medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje horizontal (eje X)(aclaraciones a este concepto se tratará en apartados siguientes).

Dada la ecuación de la recta ℜ∈+= nmnmxy , se puede representar gráficamente la

pendiente como lo muestra la Figura 22 en el caso en que m = 5 y n = 5 dados los puntos A = (1,7) y B = (-2,1) que pertenecen a la misma.

Figura 22: Representación Gráfica de la Recta L1: 52 += xy

Cuando la pendiente de una recta es 0 (Cero) se dice que la recta es horizontal (paralela al eje X) y cuando es infinita se dice que la recta es vertical (paralela al eje Y) casos que se trataron en el apartado (ecuación de la recta).



Durante el transcurso de la historia existen diversas problemáticas que han apasionado a estudiosos de la matemática, pero en particular el concepto de pendiente de una recta tangente a una curva dada resulta ser uno de los más relevantes, ya que a partir de este esfuerzo es que surge un concepto poderosísimo denominado “Derivada”. Te invitamos a profundizar en este interesante tema, aunque te aconsejamos tomarlo con calma.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios anteriores, es así como frente al concepto de constante de proporcionalidad posee la analogía siguiente: Si una variable incrementa o disminuye proporcionalmente en relación a otra, se dice que estas variables son directamente proporcionales, por lo que es posible determinar un valor constante que refleje tal relación, para todo caso posible. La analogía de este término constante con la pendiente de una recta es evidente, ya que en su definición pendiente exige ser la razón constante de variación de ordenadas versus abscisas dado dos puntos cualquiera de la recta. Es por ello que la analogía es evidente, aunque las diferencias son notorias (una actúa en el modelamiento de situaciones y otra sobre un objeto en el plano) y es importante que ahondes en el estudio de esta relación. Clasificación Muchos son los criterios para clasificar la Pendiente de una recta, de ellos consideremos el siguiente: De acuerdo a su signo: La Pendiente de una recta se clasifica en:

1. Pendiente Positiva o Rectas con Pendiente Positiva: Son aquellas rectas cuya pendiente es mayor a cero, se dice que la recta es creciente ( / ).

2. Pendiente Negativa o Rectas con Pendiente Negativa: Son aquellas rectas cuya pendiente es menor a cero, se dice que la recta es decreciente ( \ ).

Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre dos casos particulares que puede adoptar la pendiente de algunas rectas, que pasamos a describir brevemente: Caso 1 Si consideramos el caso en que dos rectas distintas poseen la misma pendiente, entonces nos encontramos ante una situación particularmente interesante. Si las rectas L1: 11 nxmy += y L2: 22 nxmy += cumplen con las hipótesis anteriores, es decir, 21 mm = y entonces se puede verificar que estas rectas no se interceptan ya que gráficamente tienen la misma inclinación, se dice entonces que son paralelas concepto que se ampliará en otro apartado. La Figura 23 muestra un caso particular de esta situación donde m

21 nn ≠

1 = m2 = 1 ; n1 = (- 2) y n2 = 2.

Figura 23: Representación Gráfica de las Rectas L1: 2−= xy y L2: 2−= xy


Caso 2 Si consideramos el caso en que dos rectas distintas poseen distintas pendientes, entonces nos encontramos ante una situación contraria al caso anterior. Si las rectas L1: 11 nxmy += y L2: 22 nxmy += cumplen con las hipótesis anteriores, es decir, 21 mm ≠ y entonces se puede verificar que estas rectas se interceptan ya que gráficamente tienen distinta inclinación, se dice entonces que no son paralelas. La Figura 24 muestra un caso particular de esta situación donde m1 = -1 m2 = 2 ; n1 = 1 y n2 = 3.

Figura 24: Representación Gráfica de las Rectas L1: xy −= 2 y L2: 3+= xy



5. Identifican e interpretan los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma nmxy += como en 0=++ cbyax de la ecuación de la recta. Reconocen estos parámetros en las respectivas gráficas.


Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican la pendiente de una recta dadas ciertas condiciones”.

Cuál de las siguientes ecuaciones de la recta tiene pendiente 53

:

I. 0753 =+− yx

II. 3

53

47 xy +=

III. xy536 −=

a) Sólo I b) Sólo III c) I y II d) I y III e) I, II y III


2. Competencia: “Identifican la pendiente de la recta dada su ecuación general” Si se reduce la ecuación de la recta L1: 1,015)33(3 ≠ℜ∈=−+−+− αααα yx , a su forma general la pendiente resultante para dicha recta es: a) α33− b) )1( −α c) 15 −α

d) α

α33

15−−

e) 1

1−α

3. Competencia: “Determinan la pendiente de una recta dado dos puntos de ella” Si se determina adecuadamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (2, -1) y Q = (5,3) se obtiene:

a) 43

b) 43

−

c) 34

−

d) 34

e) 103

−


Rectas Paralelas Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra dos palabras Recta: Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. Paralela Del lat. parallēlos, y este del gr. Παρλληλος. Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) paralela es el dicho de dos o más líneas o planos: Equidistantes entre sí y que por más que se prolonguen no pueden encontrarse. A partir de lo anterior, podemos señalar que Rectas Paralelas son aquellas líneas infinitas equidistantes entre sí y que por más que se prolonguen no pueden cortarse. Formalizando el concepto de rectas paralelas, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Rectas Paralelas: Las ecuaciones y 11 nxmy += 22 nxmy += corresponden a dos rectas paralelas no coincidentes si y . 21 mm = 21 nn ≠

Simbología para Rectas Paralelas Para denotar que dos rectas son paralelas, se adopta la siguiente simbología: Si entonces se denota: . 21 LaparalelaesL 21 // LL


Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser dos ecuaciones de rectas de la forma 11 nxmy += y 22 nxmy += CN2: 21 mm = CN3: 21 nn ≠ Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser dos ecuaciones de rectas de la forma 11 nxmy += y 22 nxmy += , tales que y ; es condición suficiente para ser consideradas “rectas paralelas”. 21 mm = 21 nn ≠

Ejemplos de rectas paralelas: 1. Las Rectas L1: y L2:12 += xy 12 −= xy son rectas paralelas. En efecto:

a) Claramente L1 y L2 presentan sus ecuaciones en la forma principal 11 nxmy += y , entonces cumplen condición necesaria 1 (CN1) 22 nxmy +=

b) Como , esto es 2 = 2, entonces cumplen condición necesaria 2 (CN2). 21 mm = c) Como , esto es , entonces cumplen condición necesaria 3 (CN3). 21 nn ≠ 11 −≠

2. Las Rectas L1: 7+−= xy y L2: 5−−= xy son rectas paralelas. En efecto:



b) Como , esto es – 1 = – 1, entonces cumplen condición necesaria 2 (CN2). 21 mm =

c) Como , esto es 21 nn ≠ 57 ≠ , entonces cumplen condición necesaria 3 (CN3).

3. Las Rectas L1:87

54

−= xy y L2:78

54

−= xy son rectas paralelas.

En efecto:


b) Como , esto es 21 mm =54 =

54 , entonces cumplen condición necesaria 2 (CN2).

c) Como , esto es 21 nn ≠78

87

−≠− , entonces cumplen condición necesaria 3 (CN3).

No son rectas paralelas 1. Las expresiones y 12 +− xy 32 +− xy no son rectas paralelas. En efecto:

Las expresiones y 12 +− xy 32 +− xy no son ecuaciones de rectas (no son igualdades), entonces no cumplen condición necesaria 1 (CN1).

2. Las Rectas L1: y L2:24 += xy 53 += xy no son rectas paralelas En efecto:

Las rectas L1: y L2:24 += xy 53 += xy no cumplen con la condición , ya que , entonces no cumplen condición necesaria 2 (CN2).

21 mm =34 ≠


3. Las Rectas L1: y L2:57 −−= xy 57 −−= xy no son rectas paralelas En efecto:

Las rectas L1: y L2: 57 −−= xy 57 −−= xy , aunque cumplen con , no cumplen con la condición , ya que – 5 = – 5, entonces no cumplen condición necesaria 3 (CN3).

21 mm =

21 nn ≠ Algunas características del concepto Rectas Paralelas. Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de las “Rectas Paralelas”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

Una característica relevante de dos rectas paralelas es que a pesar que se extiendan infinitamente no se cortan o interceptan. Esto significa que no tienen puntos en común. Gráficamente esto se puede observar el la Figura 25.

Figura 25. Representación Gráfica de dos rectas paralelas L1 y L2



Las rectas paralelas se caracterizan por ser de uso permanente en las más diversas construcciones humanas, están presente en la construcción figuras geométricas muy importantes como es el caso de los Paralelogramos profundamente estudiados por los matemáticos, cuyas características subyacen ante las características peculiares de este tipo de rectas.

Una característica importante de las rectas paralelas es la conmutatividad de la relación, es decir,

que si L1 // L2 (rectas) entonces L2 // L1.

Una última característica importante de señalar es que a partir de este tipo de rectas se generan propiedades importantísimas de la geometría de proporciones que es menester nuestro invitarte a investigar y estudiar.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios anteriores, es así como frente al concepto “traslación” que has conocido en el estudio de las transformaciones isométricas en el plano, la analogía ante este concepto es que estas rectas paralelas vienen a ser un caso particular de una traslación en el plano, ya que al trasladar una recta en el plano, precisamente el resultado es una recta paralela. Pese a ello la diferencia entre estos conceptos es que uno es mucho más genérico (la traslación) ente una característica muy particular de las rectas, el paralelismo (figura 26).

Figura 26. Representación de dos Rectas L1 y L2

Clasificación A partir de este concepto se puede clasificar las rectas en: 1. Rectas Paralelas : Son aquellas rectas cuyas gráficas no se interceptan. 2. Rectas no Paralelas : Son aquellas rectas cuyas gráficas se interceptan. Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre dos casos particulares que puede adoptar las rectas paralelas que pasamos a describir brevemente: Caso 1 Sea la recta L, si L tiene pendiente 0 (cero), es decir es del tipo 0≠= nny , entonces nos encontramos en presencia de una recta paralela al Eje X, es decir, no intercepta ese eje, es más se dice que esa recta es constante o que modela una situación invariante. La Figura 27 muestra tal situación.

Figura 27. Representación gráfica de la Recta L


Caso 2 Sea la recta L, si L tiene pendiente indefinida, es decir es del tipo 0≠= nnx , entonces nos encontramos en presencia de una recta paralela al Eje Y, es decir, no intercepta ese eje. La Figura 28 muestra tal situación.

Figura 28. Representación gráfica de la Recta L Aprendizaje Esperado Asociado De acuerdo al Programa de estudio de segundo año medio formación general, en su unidad 5 “Ecuación de la recta y otras funciones, modelos de situaciones diarias”, el aprendizaje esperado asociado al concepto “Ecuación de la Recta” a continuación se cita:




Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican rectas paralelas dadas 4 ecuaciones de rectas”. Sean las rectas L1: , L2: 65 −= xy 32 +−= xy , L3: 75 += xy y L4: 92 −= xy , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?. I. L1 // L2 II. L1 // L3 III. L2 // L4 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I, II y III 2. Competencia: “Determinan el valor de la pendiente de una recta para ser paralela a otra dada”

Sea la recta L:103

97

−= xy , si se busca una recta paralela a L, su pendiente debe ser:

a) 103

b) 97

c) 97

−

d) 9021

e) 7027


3. Competencia: “Identifican rectas paralelas a partir de su gráfica” En la figura se muestran 4 rectas L1, L2, L3 y L4, suponiendo la figura como base de tu análisis. ¿Cuáles rectas son paralelas?:

a) L1 y L2 b) L1 y L3 c) L1 y L4 d) L2 y L4 e) L3 y L4


Rectas Perpendiculares Busquemos en el diccionario El nombre de este concepto involucra dos palabras Recta Según la Real academia de la Lengua Española (R.A.E.) recta es la más corta que une dos puntos. En geometría se considera recta a una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. Perpendiculares Posición que ocupan dos rectas que, al cortarse, forman cuatro ángulos iguales. A partir de lo anterior, podemos señalar que Rectas Perpendiculares son aquellas líneas infinitas que ocupan una posición en el plano, de tal manera que al cortarse, forman cuatro ángulos iguales. Formalizando el concepto de rectas perpendiculares, se puede definir de la siguiente manera:

Definición de Rectas Perpendiculares: Las ecuaciones y 11 nxmy += 22 nxmy += corresponden a dos rectas perpendiculares si 121 −=•mm

Simbología para Rectas Perpendiculares Para denotar que dos rectas son perpendiculares, se adopta la siguiente simbología: Si entonces se denota: 21 LalarperpendicuesL 21 LL ⊥ .


Condiciones Necesarias Para este concepto las condiciones necesarias (CN) son: CN1: Ser dos ecuaciones de rectas de la forma 11 nxmy += y 22 nxmy += CN2: 121 −=•mm Observación

A partir de la definición y las condiciones necesarias antes expuestas, se puede concluir que la condición de ser dos ecuaciones de rectas de la forma 11 nxmy += y 22 nxmy += , tales que ; es condición suficiente para ser consideradas “rectas perpendiculares”. 121 −=•mm

Ejemplos de rectas perpendiculares: 1. Las Rectas L1: y L2:15 +−= xy 1

5−=

xy son rectas perpendiculares.

En efecto:


b) Como , esto es 121 −=•mm 1515 −=•− , entonces cumplen condición necesaria 2 (CN2).

2. Las Rectas L1: 34

3+=

xy y L2: 23

4−−=

xy son rectas perpendiculares.

En efecto:


b) Como 121 −=•mm , esto es 134

43

−=−• , entonces cumplen condición necesaria 2

(CN2).



−−= xy y L2:76

95

−= xy son rectas perpendiculares.

En efecto:


b) Como , esto es121 −=•mm 195

59

−=•− , entonces cumplen condición necesaria 2 (CN2).

No son rectas perpendiculares 1. Las expresiones 1

72

+− xy y 327

++ xy no son rectas perpendiculares.

En efecto:

Las expresiones 172

+− xy y 327

++ xy no son ecuaciones de rectas (no son igualdades),

entonces no cumplen condición necesaria 1 (CN1). 2. Las Rectas L1: y L2:14 −= xy 54 += xy no son rectas perpendiculares En efecto:

Las rectas L1: y L2: 14 −= xy 54 += xy no cumplen con la condición 121 −=•mm , ya que , entonces no cumplen condición necesaria 2 (CN2). 11644 −≠=•


−= xy y L2: 329

−= xy no son rectas perpendiculares

En efecto:

Las rectas L1: 592

−= xy y L2: 329

−= xy , no cumplen con la condición 121 −=•mm , ya

que 1129

92

−≠=• , entonces no cumplen condición necesaria 2 (CN2).



Algunas características del concepto Rectas Paralelas. Hasta aquí hemos señalado aspectos relevantes de las “Rectas Paralelas”, pero es pertinente citar algunas características relevantes que comprende este concepto:

Una característica relevante de dos rectas perpendiculares es que al cortarse forman cuatro

ángulos congruentes. Gráficamente esto se puede observar el la Figura 29.

Figura 29. Representación Gráfica de dos rectas perpendiculares L1 y L2

Las rectas perpendiculares se caracterizan por ser de uso permanente en las más diversas construcciones humanas, están presente en la construcción de figuras geométricas muy importantes como es el caso de los rectángulos, cuadrados y triángulos rectángulos profundamente estudiados por los matemáticos, cuyas características subyacen ante las características peculiares de este tipo de rectas.

Una característica importante de las rectas perpendiculares es la conmutatividad de la relación, es decir, que si L1 ⊥ L2 (rectas) entonces L2 ⊥ L1.

Una última característica importante de señalar es que a partir de este tipo de rectas se generan

propiedades importantísimas de la geometría de como es el caso del conocidísimo teorema particular de Pitágoras aplicado a la relación existente entre los lados de todo triángulo rectángulo. Te invitamos a explorar esta área del conocimiento matemático.

Algunas analogías y diferencias Este concepto presenta analogías y diferencias frente a conceptos que has abordado en estudios anteriores, es así como frente al concepto de “ángulo recto” que has conocido en el estudio de ángulos en el plano, la analogía ante este concepto es que estas rectas perpendiculares vienen a ser una extensión de aquella idea intuitiva. Pese a ello la diferencia entre estos conceptos es que las rectas perpendiculares generan a partir de su intersección cuatro ángulos congruentes, justamente ángulos rectos (90° sexagesimales) como vimos en la figura 29 (anterior). Clasificación A partir de este concepto se puede clasificar las rectas en: 1. Rectas Perpendiculares : Son aquellas rectas que a partir de su punto de

intersección forman cuatro ángulos congruentes. 2. Rectas no Perpendiculares : Son aquellas rectas cuyas gráficas o bien no se

interceptan o en su defecto se interceptan pero no forman cuatro ángulos congruentes. Análisis Un breve análisis del concepto nos lleva a reflexionar sobre dos casos particulares que puede adoptar las rectas perpendiculares que pasamos a describir brevemente:


Caso 1 Sea la recta L, si L tiene pendiente 0 (cero), es decir es del tipo 0≠= nny , entonces nos encontramos en presencia de una recta perpendicular al Eje Y, es decir, no intercepta al Eje X, es más se dice que esa recta es constante o que modela una situación invariante. La Figura 30 muestra tal situación.

Figura 30. Representación gráfica de la Recta L


Caso 2 Sea la recta L, si L tiene pendiente indefinida, es decir es del tipo 0≠= nnx , entonces nos encontramos con una recta perpendicular al Eje X, es decir, no intercepta ese Eje Y. La Figura 31 muestra tal situación.

Figura 31. Representación gráfica de la Recta L Aprendizaje Esperado Asociado De acuerdo al Programa de estudio de segundo año medio formación general, en su unidad 5 “Ecuación de la recta y otras funciones, modelos de situaciones diarias”, el aprendizaje esperado asociado al concepto “Ecuación de la Recta” a continuación se cita:




Ítemes y Competencias Asociadas 1. Competencia: “Identifican perpendicularidad entre dos rectas dadas”

Sean las rectas L1: 572

+= xy y L2: 57 += kxy , para que valor de k ℜ∈ se tiene L1 L2. ⊥

a) Para = 2 kb) Para cualquier valor positivo de k

c) 21

−=k

d) Para todo valor de k

e) 21

=k

2. Competencia: “Determinan el valor de la pendiente de una recta para ser perpendicular a otra dada”

Sea la recta L: 543

−= xy , si se busca una recta perpendicular a L, su pendiente debe ser:

a) 5

1

b) 5

1−

c) 3

4

d) 3

4−

e) 3−


3. Competencia: “Identifican rectas perpendiculares a partir de su gráfica” En la figura se muestran 4 rectas L1, L2, L3 y L4, suponiendo la figura como base de tu análisis. ¿Cuáles rectas son Perpendiculares?:

a) L1 y L2 b) L1 y L3 c) L1 y L4 d) L2 y L4 e) L3 y L4


Pauta de Corrección Coeficiente de Posición 1. Ítem:

La respuesta correcta es d) 95

.

Los distractores apuntan hacia errores de concepto con pendiente de la recta o errores algebraicos comunes.

2. Ítem:

La respuesta correcta es a) Sólo I. Los distractores II y II apuntan hacia errores de concepto al confundir el efecto del

coeficiente con el de la pendiente de la recta. 3. Ítem:

La respuesta correcta es c) 31

Los distractores apuntan a un error de concepto al considerar la posición como relevante en la individualización del coeficiente de posición y errores algebraicos habituales.

Ecuación de la Recta 1. Ítem:

La respuesta correcta es a) Solo I. El distractor II contiene un error de grado en la variable y. El distractor III representa claramente la ecuación principal de la recta.

2. Ítem:

La respuesta correcta es d) Para todo valor de . k Los distractores a), b) y c) apuntan a razonamientos errados que indicarían que la

ecuación de la forma )( cbaxy ++= no es reductible lo que es un error de concepto, ya que . ℜ∈+ )( cb

El distractor e) indica que el alumno no comprende la simbología empleada y esta abstracción lo descoloca totalmente.


3. Ítem:


− .

Los distractores d) y e) apuntan a un error de concepto al considerar como libre el coeficiente que acompaña a la variable x sólo por su ubicación en la ecuación.

Los distractores a) y b) apuntan a una mala lectura del problema o el olvido del signo que acompaña el coeficiente a encontrar.

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos distintos de ella. 1. Ítem:

La respuesta correcta es b) )2,( kkP = y ),5( kkQ −= . Los distractores contienen errores de concepto que habitualmente se cometen al confundir

las posiciones o signos de las componentes de P y Q. 2. Ítem:


41

+−

=−−

xy

xy

.

Los distractores apuntan hacia errores profundos en el entendimiento del concepto, ya que reflejarían la poca experiencia en la determinación de ecuaciones de rectas dados dos puntos de ella.

3. Ítem:

La respuesta correcta es e) )9,4( Los distractores apuntan a errores de concepto al considerar Puntos que no indicarían el

cumplimiento de la restricción, al menos de forma inmediata.

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de ella y su pendiente. 1. Ítem:

La respuesta correcta es e) )2,7( −=P . Los distractores contienen errores de concepto que habitualmente se cometen al confundir

las posiciones o signos de las componentes de P y la pendiente de L. Trabajo N ° 1 “Estudio de 8 Conceptos Matemáticos” Unidad 5 Ecuación de la Recta Segundo año Medio Autor: Cristian Maureira González Página 82 de 88

2. Ítem:

La respuesta correcta es c) Para 3=k . Los distractores apuntan a razonamientos errados que indicarían que el alumno no

identifica correctamente los elementos de la ecuación L, efecto de k. 3. Ítem:

La respuesta correcta es e) 12 += xy . Los distractores apuntan hacia errores profundos en el entendimiento del concepto, ya que

reflejarían la poca experiencia en la determinación de ecuaciones de rectas dado un punto de ella y su pendiente.

Gráfica de una Recta 1. Ítem:

La respuesta correcta es a) Solo I. Los distractores II y III representa claramente rectas que no incluyen el origen que esta

presente en la tabla que determina la recta a determinar

2. Ítem:

La respuesta correcta es c) )2,0(=P . Los distractores apuntan hacia errores en el aprendizaje de la condición necesaria 2 de

este concepto. 3. Ítem:

La respuesta correcta es b) Menor a cero. Los distractores apuntan hacia errores en el trabajo del alumno, respecto a la poca

ejercitación del concepto gráfica y su relación con la pendiente.


Pendiente de una Recta 1. Ítem:

La respuesta correcta es a) Solo I. El distractor II contiene un error de grado en la variable x. El distractor III representa claramente la ecuación principal de la recta con pendiente

53

− .

2. Ítem:

La respuesta correcta es e)1

1−α

.

Los distractores apuntan hacia errores en el trabajo algebraico del alumno, y la confusión usual con el término libre.

3. Ítem:


.

Los distractores apuntan hacia errores en el trabajo del alumno, respecto al uso de la definición de pendiente.

Rectas Paralelas 1. Ítem:

La respuesta correcta es b) Sólo II. Los distractores representa claramente opciones que reflejan la falta de habilidad del

alumno en identificar la pendiente que indica el paralelismo de las rectas. 2. Ítem:

La respuesta correcta es b) 97

.

Los distractores apuntan hacia un error común, no leer el enunciado que establece que la recta contiene al origen (0,0).

3. Ítem:

La respuesta correcta es c) L1 y L4. Los distractores apuntan hacia errores básicos de identificación de rectas paralelas según

sus gráficas, ya que es evidente no paralelismo de las demás.


Rectas Perpendiculares 1. Ítem:


−=k .

Los distractores representan claramente opciones que reflejan la falta de habilidad del alumno en identificar la pendiente que indica la perpendicularidad de las rectas

2. Ítem:


4− .

Los distractores representan claramente opciones que reflejan la falta de habilidad del alumno en identificar la pendiente que indica la perpendicularidad de las rectas

3. Ítem:

La respuesta correcta es a) L1 y L2. Los distractores apuntan hacia errores básicos de identificación de rectas perpendiculares

a partir de sus gráficas, ya que es evidente la no perpendicularidad de las demás.



Tabla N º 1 RESUMEN PAUTA DE CORRECCIÒN

CONCEPTO ÌTEMES ALTERNATIVA CORRECTA 1 D 2 A Coeficiente de Posición

3 C

1 A 2 D Ecuación de la Recta 3 C

1 B 2 D

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de dos puntos

distintos de ella 3 E

1 E 2 C

Ecuación de la Recta conocidas las coordenadas de un punto de

ella y su pendiente 3 E

1 A 2 C Gráfica de una Recta 3 B

1 A 2 E Pendiente de una Recta 3 D

1 B 2 B Rectas Paralelas 3 C

1 C 2 D

Rectas Perpendiculares

3 A


Conclusión

Una vez terminado el trabajo precedente, mis conclusiones frente a este son:

El programa de formación general de segundo año medio es, en su quinta unidad, presenta un universo de interesantes problemas y temas de trascendencia para quienes nos toca estudiarlos, la recta y sus conceptos asociados en su conjunto conforman un mundo palpable y familiar de formas que para ojos comunes estaría claramente separado del que vivimos a diario, presente sólo para los estudiosos del fenómeno matemático o de índole geométrico; pero sin duda, esta aquí allá, en situaciones tan triviales como un triángulo, un cuadrado, la modelación lineal de fenómenos financieros, en la predicción lineal del tiempo, en la química, la física. Así, resulta enriquecedor degustarlo, e inclusive sentirse un poco parte de él, del mundo de las rectas y sus conceptos. Construir un compendio de 8 conceptos matemáticos desde su justificación semántica hasta la propuesta de ítemes de 5 alternativas cada uno, con el fin de recoger información sobre los aprendizajes esperados, resulta ser uno de los desafíos más difíciles de enfrentar para quienes nos encontramos inmersos en el proceso de formación de la docencia. Es así como tener la oportunidad de profundizar mi conocimiento frente al presente tema resulta ser muy interesante y enriquecedor, es por ello que todo profesor que desea actuar como “jefe de proyectos” ante sus alumnos debería tomar en cuenta los enfoques y criterios que los conceptos desarrollados plantean.


Bibliografía

Matemática Tercer año Medio. Ximena Carreño C. Ximena Cruz Sch. Editorial Arrayán, 1988.

Matemática Texto para el Estudiante Segundo año Medio. Patricio González. Jorge Soto Andrade.

Editorial Marenostrum

Matemática Texto para el Estudiante Segundo año Medio. Eduardo Cid Figueroa. Ediciones Cal y Canto, 2006. Apuntes Álgebra, Álgebra elemental y Superior (Primera versión). Ricardo Santander Baeza. Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Depto. de Matemática y Ciencia de la Computación, 2002

Sitios Web:

www.rae.es

www.geogebra.at

www.sectormatematica.cl

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