CONTROL ANALGICO.

ETAPA 1.

PRESENTADO POR

JUAN GABRIEL NOREA BALLESTEROS. CODIGO 1060647434NEHEMAS BURGOS PULGARN. CDIGO: 10005056 JAVIER BARRAGN GUTIRREZGLEIDY JULIANA ALARCONDANILO LOPEZ

TUTOR: FABIAN BOLIVAR MARIN

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

MARZO DE 2015

Contenido.

Introduccin Resumen del anlisis realizado por el grupo acerca de las tareas de la etapa Listado de conceptos conocidos Listado de conceptos desconocidos Metodologa empleada para la investigacin Resultado de las consultas e informacin obtenida para dar solucin a las tareas de la etapa Diseo del plan de accin para solucionar las tareas de la etapa. Solucin a las tareas de la etapa Conclusiones Referencias bibliogrficas

INTRODUCCION

Este informe que se presenta a continuacin es el producto obtenido de la realizacin del trabajo solicitado de fase 1 del presente curso (unidad 1). Adems de desarrollar las actividades propuestas: caculos matemticos delos diferentes temas como: dinmica del sistema, lugar de las races, controlabilidad y observabilidad, encuentran tambin las grficas obtenidas con el software de simulacin MATLAB que se presentan como evidencia de los resultados obtenidos.En el mbito de la industrializacin, la automatizacin est un paso por delante de la mecanizacin. Mientras que la mecanizacin provee operadores humanos con maquinaria para ayudar a exigencias musculares trabajo, la automatizacin reduce considerablemente la necesidad para exigencias humanas sensoriales mentales. Los procesos y los sistemas tambin pueden ser automatizados. El control automtico desempea una funcin vital en el avance de la Ingeniera y la ciencia, ya que se ha vuelto una parte importante e integral de los Procesos modernos industriales de manufactura.El motor de corriente continua es una mquina que convierte la energa elctrica en movimiento rotatorio con fin de producir un trabajo til. Hoy da los motores de corriente continua han tomado gran auge por sus caractersticas peculiares de admitir regulacin de velocidad aun con grandes diferencias de cargas lo cual representa un gran logro en la tecnologa elctrica.

PROBLEMA PLANTEADO.Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricacin de reproductores DVD y Blu-Ray mont un punto de fbrica en Colombia, cumpliendo con los estndares de calidad necesarios en la produccin de dichos electrodomsticos. Sin embargo, desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos pticos en los reproductores, ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad.Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar mdulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Por tal razn, ha decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniera Electrnica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que disee un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco ptico sea ptima. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas elctricas o seales parsitas en el sistema.

La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la funcin de transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parmetros del diseo propuesto, adems del proceso de diseo detallado descriptiva y matemticamente.

Segn especificaciones tcnicas de los motores, su funcin de transferencia es:Como requisitos de diseo se necesita que la velocidad del motor una vez implementado el mdulo no difiera en ms del 1% del valor requerido; adems, el motor debe alcanzar la velocidad de referencia en mximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del motor pueden daarlo, se requiere un sobrepaso mximo del 5%

Fase 1: Anlisis, lluvia de ideas y listado de conceptos. Cada estudiante deber leer e identificar claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo realizar una lluvia de ideas, de tal forma que se planteen algunas hiptesis sobre cmo solucionar las situaciones planteadas en la etapa, basndose en conocimientos previos y el sentido comn.Basados en esta discusin, los integrantes del grupo debern elaborar un listado de conceptos, trminos y/o aspectos que conocen y un listado de aquello que se desconoce de las situaciones planteadas en la etapa.

1. Listado de conceptos, trminos y/o aspectos que conocen y desconocen

Etapa 1_fase 1_Javier Barragn

listado de conceptos, trminos y/o aspectos que conocen

listado de aquello que se desconoce

Sistemas dinmicos Sistemas de control Estado transitorio Estado estacionario Funcin de trasferencia Transformada de Laplace (s) Respuesta en frecuencia Seales de prueba: (rampa, escaln unitario, Impulso, parablica) Ecuacin caracterstica (denominador del polinomio de la funcin de transferencia). Modelamiento matemtico Diagrama de bloques Sistemas enlazo abierto y cerrado Dinmica de un sistema (Leer conceptos). Sistemas de primer y segundo orden Actuadores, comparadores, planta, perturbacin, error, sensor, realimentacin) LGR. criterio de Routh-Hurwitzz (se debe reforzar conocimiento)

Respuesta en el tiempo . (fortalecer conceptos) Dinmica de un sistema (fortalecer conceptos) Criterios de estabilidad Sistemas de primer y segundo orden LGR (ampliar conocimiento) Matlab (ampliar conceptos e implementacin de funciones y anlisis de respuestas) Funcionamiento de motores en DC Funcionamiento de discos pticos ( en DVD bluy ray) Seales parasitas en DC Estabilidad absoluta, controlabilidad y observabilidad. Sistemas de control analgicos. criterio de Routh-Hurwitzz (ampliar los conceptos)

Para resolver el problema, se ha dividido ste en tres etapas:En la etapa 1, se deber analizar la dinmica del sistema, graficar el lugar geomtrico de las races, determinar su estabilidad absoluta, controlabilidad y observabilidad.

1. Identificar el orden del sistema.

2. Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitzz

3. Analizar con base en la funcin de transferencia y una seal de prueba escaln unitario, la dinmica del sistema. Identificar ganancia, constante de tiempo, tiempo de subida, tiempo de asentamiento o establecimiento, sobreimpulso, atenuacin, frecuencia natural no amortiguada, factor de amortiguamiento relativo, frecuencia natural amortiguada, amortiguamiento real, amortiguamiento crtico, tiempo pico, si el sistema es subamortiguado, crticamente amortiguado o sobreamortiguado, elaborar grficas con la respuesta, etc. Todo depende del orden del sistema, por lo que es importante que el grupo tenga claro este aspecto y la seal de prueba a utilizar. Si el grupo desea, puede agregar a la respuesta escaln, la respuesta a una rampa o impulso.

4. Construir, interpretar y analizar el lugar geomtrico de las races del sistema.

5. Representar el sistema en espacio de estados

6. Analizar controlabilidad y observabilidad del sistema.

PREGUNTAS ORIENTADORAS.

1. Cul es el objetivo de estudiar la dinmica del sistema planteado?El objetivo bsico de la Dinmica de Sistemas es llegar a comprender las causas estructurales que provocan el comportamiento del sistema. Esto implica aumentar el conocimiento sobre el papel de cada elemento del sistema, y ver como diferentes acciones, efectuadas sobre partes del sistema, acentan o atenan las tendencias de comportamiento implcitas en el mismo. Para ello podemos usar un software especfico como vensim.

2. Cmo funciona internamente un motor de DC?Conozco su estructura?

Elmotorelctrico permite la transformacin de energa elctrica en energamecnica, esto se logra mediante la rotacin de un campo magntico alrededor de una espira o bobinado que toma diferentes formas.Al pasar la corriente elctrica por la bobina sta se comporta como un imn cuyos polos se rechazan o atraen con el imn que se encuentra en la parte inferior; al dar media vuelta el paso de corriente se interrumpe y la bobina deja de comportarse como imn pero por inercia se sigue moviendo hasta que da otra media vuelta y la corriente pasa nuevamente repitindose el ciclo haciendo que el motor rote constantemente.Losmotoresde corriente directa (CD) o corriente continua (CC) se utilizan en casos en los que es importante elpoderregular continuamente lavelocidaddel motor, adems, se utilizan en aquellos casos en los que es imprescindible utilizar corriente directa, como es el caso de motores accionados porpilaso bateras. Este tipo de motores debe de tener en el rotor y el estator el mismo nmero de polos y el mismo nmero de carbones. Los motores de corriente directa pueden ser de tres tipos:

Serie Paralelo Mixto

3. El voltaje de alimentacin del motor debe ser continuo o variable?

El diseo de circuitos electrnicos es una de las bases para la realizacin de cualquier tipo de proyecto y en este caso no es la excepcin ya que a partir del mismo se puede obtener conclusiones tericas sin la necesidad de la construccin de un circuito prototipo el cual puede o no cumplir con los requerimientos del circuito. Por esto es importante conocer los mtodos para obtener los valores cuantitativos tanto de resistores, capacitores, entre otros componentes necesarios de pendiendo del circuito que sea requerido. Por lo general la manera de obtener los antes mencionados valores para cada uno delos componentes vienen dados en las hojas de datos de cada uno de los mismos componentes, es decir, la data sheet de la cual se pueden obtener las frmulas para dichos valores. Dichas formulas ofrecen diferentes ventajas la ms importante de estas es que precisamente nos permiten disear el valor de cada componente electrnico segn las necesidades.

4. Qu significa en la prctica, aplicar una seal escaln unitario al motor?

Una funcin de transferencia est definida por el cociente de dos polinomios, uno que corresponde a la salida del sistema en el numerado y otro correspondiente a la entrada. Las funciones de transferencia se expresan en el dominio de la frecuencia compleja. Cuando se desconocen los parmetros del motor, sean estos fsicos o elctricos, es posible obtener la funcin de transferencia basndose en la respuesta transitoria de un sistema. El procedimiento propuesto para llevar a cabo lo anterior tiene dos consideraciones: se emplea un sistema de segundo orden, y ste tiene dos polos alejados aproximadamente tres veces entre s, correspondientes a las mquinas elctricas.

5. Qu informacin me entrega el criterio de Routh-Hurwitz?

Proporciona un criterio capaz de determinar en cul semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo estn localizadas las races del denominador de la funcin de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos estn en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mnimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.El criterio se refiere a la funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su funcin de transferencia en lazo abierto.

6. Qu informacin me entrega el lugar geomtrico de las races de un sistema?

El mtodo del lugar de races permite determinar la posicin de los polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la funcin de transferencia a lazo abierto.El lugar de races es una herramienta til para analizar sistemas dinmicos lineales tipo SISO y su estabilidad (BIBO stability). un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del planos dentro del crculo unitario del plano z (para sistemas discretos)

7. Cmo se puede representar el espacio de estados de un sistema a partir de la funcin de transferencia?8. Es un modelo matemtico de un sistema fsico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuacin diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del nmero de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial. Provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con mltiples entradas y salidas.

9. Cul o cules son las frmulas para calcular la controlabilidad y observabilidad del sistema?SOLUCION

= vector de estado=vector de control (de orden r)=matriz de orden =matriz de orden

Recopilar un pequeo marco terico para cada uno de los 6 puntos de la gua para la etapa 1, y se resuelven al mismo tiempo.

1. Identificar el orden del sistema.

En el problema que tenemos planteado el enfoque se centra principalmente en el equipo que tiene el problema, es decir el BLU RAY, el cual es el elemento o mecanismo que est actuando mal. En asocio al comportamiento del equipo se encuentran diferentes elementos como son las revoluciones de los motores y los sensores encargados de modificar el mal comportamiento de los mismos, mediante seales elctricas de control.En el estudio de este problema se determina que el sistema debe trabajar con una realimentacin es decir que el sistema debe ser de LAZO CERRADO con el fin de verificar constantemente las revoluciones del motor y tener informacin para tomar acciones de inmediato.

2. Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitzz

Routh (1874) propuso el criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (races positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad slo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de trminos.

Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:

1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 0 n a ; es decir, se elimina cualquier raz cero.2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raz, o races imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condicin necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuacin estn presentes y tengan signo positivo.

3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrn o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1,b2,b3,,c1,c2,c3,.,d1,d2,, etc., se evalan del modo siguiente:

La evaluacin contina hasta que todas las restantes son cero.

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el nmero de races de la ecuacin con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuacin sean positivos y que todos los trminos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

Ejemplo 1:

Considere el polinomio siguiente:

Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sera.

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos races con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier rengln se multiplican por, o se dividen entre, un nmero positivo para simplificar el clculo.

Ejemplo 2:

Aplicacin del criterio de estabilidad de Routh al anlisis de un sistema de control. Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores de K para la estabilidad. La funcin de transferencia en lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica es

Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo tambin

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sera

Cuando K= 14/9, el Coeficiente de la primer columna de la fila 1s se hace cero, esto significa que existen races imaginarias y el sistema se vuelve oscilatorio y, matemticamente, la oscilacin se mantiene en una amplitud constante. Se pueden calcular las races imaginarias, considerando un polinomio auxiliar el cul se obtiene tomando los coeficientes de la fila que se encuentra arriba donde se gener el cero. La ecuacin sera

Qu informacin me entrega el criterio de Routh-Hurwitz? La mayora de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia en lazo cerrado de la forma

Donde las a y las b son constantes y m n. Un criterio simple, conocido como el criterio de estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio. (El polinomio puede incluir parmetros que MATLAB no puede manejar.)Criterio de estabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh dice si existen o no races inestables en una ecuacin de polinomios, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad slo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de trminos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la informacin sobre la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuacin caracterstica. El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente: 1. Se escribe el polinomio en s de la forma siguiente:

donde los coeficientes son cantidades reales. Se supone que an 0; es decir, se elimina cualquier raz cero. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raz o races imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. Si slo interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento. Obsrvese que todos los coeficientes deben ser positivos. Esta es una condicin necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente. Un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadrticos tales como donde a, b y c son nmeros reales. Los factores lineales producen las races reales y los factores cuadrticos producen las races complejas del polinomio. El factor produce las races con partes reales negativas slo si b y c son ambas positivas. Para todas las races que tienen partes reales negativas, las constantes a, b, c, ... deben ser positivas en todos los factores. El producto de cualquier cantidad de factores lineales y cuadrticos que contengan slo coeficientes positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante sealar que la condicin de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad. La condicin necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la Ecuacin estn presentes y tengan un signo positivo. (Si todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la ecuacin por .1.) Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo con el patrn siguiente:

El proceso de formar filas contina hasta que no quedan ms elementos. (El nmero total de filas es n !1.) Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalan del modo siguiente:

La evaluacin de las b contina hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo patrn de multiplicacin cruzada de los coeficientes de las dos filas anteriores al evaluar las c, las d, las e, etc. Es decir,

Este proceso contina hasta que se completa la n-sima fila. El array completo de los coeficientes es triangular. Obsrvese que, al desarrollar el array, una fila completa se divide entre, o se multiplica por, un nmero positivo para simplificar el clculo numrico subsecuente sin alterar la conclusin de la estabilidad. El criterio de estabilidad de Routh plantea que el nmero de races de la Ecuacin (5-61) con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del array. Debe sealarse que no es necesario conocer los valores exactos de los trminos de la primera columna; slo se necesitan los signos. La condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la Ecuacin (5-61) se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que los coeficientes de la Ecuacin (5-61) sean positivos y que todos los trminos de la primera columna del array tengan signo positivo.6. Qu informacin me entrega el lugar geomtrico de las races de un sistema?Evans dise un mtodo sencillo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica, que se usa ampliamente en la ingeniera de control. Este mtodo se denomina mtodo del lugar geomtrico de las races, y en l se grafican las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema. Observe que el parmetro es, por lo general, la ganancia la cual se vara de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la funcin de transferencia en lazo abierto.

Sea el siguiente sistema de control

La funcin de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

La ecuacin caracterstica de lazo cerrado

Las races de la ecuacin caracterstica o polos de lazo cerrado son

7. Cmo se puede representar el espacio de estados de un sistema a partir de la funcin de transferencia?

Considere el siguiente sistema de control, la funcin de transferencia de lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica de este sistema es

El trmino G (s) H (s) es un cociente de polinomios en s. Como G(s) H (s) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ngulo

Condicin de ngulo

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races es una grfica de los puntos del plano complejo que slo satisfacen la condicin de ngulo. Las races de la ecuacin caracterstica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud.Magnitud y ngulo en el plano s.

La magnitud de G (s) H (s) para este sistema es

Con respecto a este punto y de acuerdo a la informacin suministrada, estoy de acuerdo con la compaera juliana en cuanto a que nuestro sistema se debe disear en Lazo cerrado

1. Identificar el orden del sistema.

>>num = [ 25 ];>> den = [ 1 4 25];>>Sys = tf(num,den);>>SysSys = 25 --------------s^2 + 4 s + 25Continuous-time transfer function.Es de segundo Orden

2. Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh Hurwitz

3. Analizar con base en la funcin de transferencia seal de prueba escaln unitario, la dinmica del sistema.

Lugar geomtrico de las races del sistema para la funcin de trasferencia

Grafica de magnitudes

Identificar ganancia constante de tiempo constante de tiempo

Tiempo de subida=

4. Construir, interpretar y analizar el lugar geomtrico de las races del sistema.

Establecer polos y ceros:Polos:

Los polos sern:

La funcin de transferencia no tiene ceros.Ubicamos los polos y ceros en el plano s:

Tenemos dos lugares geomtricos de la raz, que son iguales al nmero de polos.Encontramos lugares geomtricos que terminan en ceros en el infinito, para ello encontramos el punto de partida de las asntotas:

Ahora encontramos los ngulos que son dos:

-Representacin de ceros en el infinito:- Determinar el punto de cruce en el eje imaginario:- Determinar los puntos de partida del eje real-Determinar el ngulo de partida de los polos complejos y el ngulo de llegada de ceros complejos 2

Con los datos obtenidos previamente de la frecuencia natural no amortiguada, coeficiente de amortiguamiento, amortiguamiento relativo etc., se pudo graficar el lugar geomtrico de las races, teniendo como resultado la siguiente grfica:

La grafica nos muestra que las races estn en el semiplano negativo, lo que nos indica que las races existen y que el sistema es estable, ya que la condicin para que un sistema sea estable, es: Para que exista estabilidad, todos los polos de la funcin de transferencia del sistema deben tener parte real negativa. Otro dato que nos arroja la grfica es que el sistema es Sub-Amortiguado.

Utilizamos Matlab para encontrar el lugar geomtrico de las races y encontramos que es el mismo punto dibujado previamente.

Con la grfica generada en matlab del lugar geomtrico de las races del sistema podemos ver que las lneas de variables que se encuentran ubicadas en el eje real de la figura; El programa nos permite modificar las variables y de esta manera ver la respuesta del sistema y como su grafica se modifica por la ecuacin de la funcin de trasferencia.

5. Representar el sistema en espacio de estados

Un sistema se representa en espacio de estados por las siguientes ecuaciones

Tambin se puede representar a partir de una funcin de transferencia dada, lo que se debe hacer es convertir la funcin de transferencia a una ecuacin diferencial y luego con la ecuacin diferencial podemos sacar las ecuaciones de estado del sistema as:

Tenemos la funcin de transferencia:

Que es de la forma:

Ahora la convertimos a una ecuacin diferencial de segundo orden ya que nuestra funcin de transferencia es de segundo orden, as:

Entonces la ecuacin de estado, puede escribirse como:

Matricialmente es:

Como tenemos una ecuacin diferencial de segundo orden, entonces n=2, es decir:

Donde:

; ; ;

Entonces esta es nuestra ecuacion diferencial de segundo orden del problema propuesto, a partir de esta ecuacion, sacaremos las escuaciones de estado del sistema:

Entonces:

Siendo estas las ecuaciones de estado del problema propuesto:

Ahora matricialmente es:

Reemplazamos los valores de k, m y b para obtener las matrices del sistema.

Quedando finalmente, las ecuaciones de espacios de estado matricialmente, as:

Donde:

6. Analizar Controlabilidad y Observabilidad del sistema.

La Controlabilidad del sistema se puede calcular con las matrices del sistema previamente mostradas, las cuales son:

Ahora para determinar la Controlabilidad y Observabilidad de nuestro sistema tenemos:

Ya que se trata de un sistema de segundo orden, la matriz de Controlabilidad queda:

Vemos que la matriz es de rango dos, igual que n=2, por lo tanto, el sistema es controlable.

La Observabilidad es:

Tambin la matriz resultante es de rango dos, n=2, esto quiere decir que el sistema es totalmente observable.

Se hizo la simulacin en Matlab, para determinar la Controlabilidad y la Observabilidad del sistema, obteniendo lo siguiente:

Se puede apreciar que en Matlab, se obtiene la misma respuesta, por lo tantose comprueba y se concluye que el sistema es totalmente controlable y observable.

ESTABILIDAD DEL SISTEMA.

Es un sistema estable ya que no hay ceros en la columna principal.Respuesta a la seal escaln de un sistema abierto en MatlabTeniendo la funcin de transferencia

Se ingresan los siguientes datos a Matlab>> num=25num =

25>> den=[4 25];>> step(num,den)

Suponemos que tenemos un valor de estado estable igual a 1, este sistema va a alcanzar en el tiempo este valor de estado estable pero con la caracterstica de que no tiene oscilaciones alrededor del valor de estado estable. Los sistemas de primer orden no tienen error de estado estacionario.El sistema de primer orden crece desde que conmuta hasta llegar a su valor de estado estacionario.Como podemos caracterizarlo.Un sistema de orden n, est caracterizado por n parmetros.Los sistemas de primer orden estn caracterizados por un parmetro de tiempo.La respuesta de primer orden es la respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escaln de la siguiente forma:

El parmetro de tiempo es un solo parmetro para el sistema de primer orden

Parmetro del sistema- parmetro de la ecuacin diferencial de 1er orden

Es el tiempo que y(t) tarda en alcanzar el 63% de su valor de rgimen permanente.

Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz: El criterio de estabilidad de Routh Hurwitz es un criterio de estabilidad absoluta. Se basa en la determinacin del nmero de races de un polinomio que se encuentran en el semiplano derecho del plano s. Para su aplicacin deben verificarse dos condiciones:

Condicin necesaria: Dada la funcin de transferencia,

>> roots([1 4 25])ans = -2.0000 + 4.5826i -2.0000 - 4.5826i

(Polos)

CONCLUSIONES Se experimenta la respuesta al sistema mediante grficos fciles de interpretar y con la velocidad de un click. Se implement el uso de herramientas computacionales como por ejemplo el software Matlab con el que se pudo apreciar la respuesta propuesta para este sistema. Se logr interactuar con los compaeros del grupo colaborativo, mediante el foro dispuesto para este fin.

BIBLIOGRAFIA.

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