Matemáticas

ANÁLISIS LINEALTRANSFORMADA DE FOURIER

Ejercicios Resueltos

CONCEPTOS BÁSICOS

La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:

En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:

La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen relacionar mediante la simbología:

En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por

SOLUCIÓN

Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:

2) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:

SOLUCIÓN

En las tablas encontramos que . Por lo tanto estamos tratando de

encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en , sería la transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t) F(), entonces F(t) 2f(–).

En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y

la propiedad de linealidad: . Por lo tanto por la propiedad de

simetría podemos escribir . Veamos que u(–) es la

imagen especular de u(), y se puede expresar como u(–) = 1- u(). Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:

3) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y graficar el espectro de amplitud de la función f(t) = 6[u(t – 3) – u(t – 7)].

SOLUCIÓN

La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la transformada de Fourier es GT() = Tsinc(T/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aquí el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que equivale a 6g4(t – 5).

Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t) F(),

entonces . De esa manera, en nuestro caso particular

tenemos:

Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un número imaginario puro tiene módulo igual a 1, según se deduce de la expresión de Euler. Tenemos así:

Y la gráfica será:

4) Convolución. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la función de respuesta en frecuencia H() = 1/(3 + i). Para una cierta entrada x(t), se observa que la salida es y(t) = e-3tu(t) – e-4tu(t). Calcular la entrada.

SOLUCIÓN

La propiedad de convolución establece que:

Nuestra estrategia será, entonces, encontrar la transformada de la entrada X(), y luego antitransformarla para encontrar la función de entrada x(t). Para eso debemos conocer Y() y H(). Esta última ya la tenemos; por lo tanto calcularemos la primera:

Si ahora dividimos este resultado por H() para obtener X(), tendremos:

Luego, antitransformando según tabla, se obtiene:

x(t) = e-4tu(t)

Nótese que de no haber hecho este proceso nos habríamos visto en figurillas para determinar la entrada.

5) Propiedades varias. (i) Sabiendo que , usar propiedades de la

Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes señales:

(ii) La función g(t) está definida por

Calcular la Transformada de Fourier de .

SOLUCIÓN

(i) Usamos la propiedad de diferenciación en frecuencia, que establece:

Aplicando esto a nuestra función x(t) tendremos:

Para determinar la transformación de y(t), usemos la propiedad de simetría. Observemos que, despejando de la ecuación anterior:

(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc(/2). Aplicaremos las

propiedades de retardo, que expresa , y de corrimiento, que

establece . Tenemos entonces:

Usando ahora transformaciones de tablas para la función constante y para el seno, podemos afirmar:

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