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VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 CSemestre 99-00 C
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoEl concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido
con punto inicial P y punto final Q
PQ
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoLa dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoVectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
OEje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
u=(a,b)
Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:
u
a
bP(a,b)
Eje Y
OEje X
Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de
números reales
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoPunto P
en el plano
(a,b)2
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano Magnitud o norma de un
vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de u
Angulo positivo que forma con el eje X
22 bau ab
tag
u
a
b(a,b)
Eje Y
OEje X
Un vector de norma uno se llama unitario
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar u como
u=(x, y).
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que
u+v=(x+a,y+b)
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
u+v=(x+a,y+b)
a
y
O
Eje Y
Eje X
u+ v u
v
a x
y
b b
b x
x
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoInvestiga por tu cuenta
¿Hay alguna relación entre las normas de u, v y la de u+v?
¿Hay alguna relación entre la direcciones de u, v y la de u+v?
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=(x, y)
Eje Y
OEje X
u
u
>0
u <0
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
u=(x, y)
u
u
O
Eje Y
Eje X x
y
Triángulos semejantes
y¿
x?
u
u
y
x
?
¿
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoEjercicio 1
¿Cuál es la relación entre las normas de u y la de u?
¿Hay alguna relación entre la direcciones de u y la de u?
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoEjercicio 2
Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (4,-3)
Encuentre el vector unitario con dirección /4.
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoLos vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
i
j xi
yj
Alg
eb
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ineal Vectores en el
planoProducto escalar
Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1
i.j=j.i=0
ybxav.u
j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaiv
yjxiu
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoPropiedades del producto escalar
Prueba: Ejercicio
Teorema: Sean u,v vectores en 2 y un número real, entonces:
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
2uu.u
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Interpretación geométrica:
Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u
v
u
ucos
w= vv
v.u2
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Teorema del coseno:
cosvuv.u
Prueba:
v
uv-u
cosvu2vuuv222
cosvu2vu)uv).(uv(22
cosvu2vuuv.u2v2222
cosvu2v.u2
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoTeorema:
v
u
Proyvu
Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que
es un vector ortogonal a vvv
v.uu
2w=
w=u-proyvuw
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoPrueba del Teorema:
Por lo tanto wv
0vv
v.uv.u
v.vv
v.uv.uv.v
v
v.uu
22
22
w.v=
w.v=
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoEjercicio Propuesto
Pruebe que u y v son ortogonales si y solo si u.v=0
Pruebe que u y v son paralelos si y solo si u es múltiplo escalar de v, es decir si u= v
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoSolución Nº1
uu
yx)y()x(u
22222
1)
o tgxy
xy
tg
u)dirección( )u(dirección2)
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoSolución Nº1
2) Eje Y
OEje X
u
u
>0
u
<0
+
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Sea la dirección del vector u, entonces
2)
0
0
si
siDirección de u=
Solución Nº1
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoSolución Nº2
5916 u por lo tanto
(4,-3) es el vector buscado
544 u
u
a) Queremos encontrar tal que:
44 uu 04 ,u
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoSolución Nº2
1u),y,x(u
)22
,22
(u
b) Eje Y
OEje X
uSen
cos
Sen
)sen,(cosu44
yxxy
4tg1
22
xx2u1 22
1sencosu 22
De otra manera: