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0
)()()( dttyetyLsY st
La transformada de Laplace
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Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del
universo como el efecto del pasado y
la causa de su futuro.
Se podra definir a un ente o sistemaque en cualquier momento dado
sabra todas las fuerzas que animan la
naturaleza y las posiciones de los
seres que la componen, si este entefuera lo suficientemente amplio para
someter los datos al anlisis, podra
transformar en una simple frmula el
movimiento de los grandes cuerpos
del universo y del tomo ms ligero;para tal ente nada podra ser incierto y
el futuro as como el pasado estaran
frente sus ojos."
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Seaf(t) una funcin definida para t 0, sutransformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace def(t) existe
si la integral impropia converge.
dtetfsFtfL st
0 )()()}({
.iws
La transformada de Laplace
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Se puede observar que la transformada de Laplace
es una integral impropia, ya que uno de sus lmites
es infinito:
0 0
( ) lim ( )
h
s t s t
h
e f t dt e f t dt
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
Notacin:
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Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua en porciones de [0,) y
),0[,|)(| tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim
bt
t etftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existes > a .
dtetfsFtfL
st
0 )()()}({
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00
1111
0
0
sRe,aeeee
se
sdte)s(FL
ibtatt)iba(st
stst
Calcula la transformada de f(t) = 1:
.sRe,
s)s(F)t(f 0
11
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
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0
1
0
0
)(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dt
s
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
1
!)()(
n
n
s
nsFttf
10
1
!
1
n
n
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
0sRe
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1
111
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf
t 1sRe
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asas
Aeas
A
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
,)(
)(
0
0
0
Calcula la transformada de f(t) = Aeat:
a}sRe{,as
A)s(FAe)t(f
at
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dteatsens
a
s
adt
s
eatsena
s
eat
s
a
dts
eata
s
eatsendteatsensFatsenL
ststst
ststst
022
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(
Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
22)()()( as
asFatsentf
222
2
2
2
;1as
aI
s
aI
s
a
0sRe
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Funciones peridicas
Supongamos quef(t) es una funcin peridica de periodo T.
Entonces: )(1
1)()( 1 sF
etfLsF
sT
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la funcinf(t)
sobre el primer periodo y cero fuera.
T
stdttfesF
0
1 )()(
t t
T
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Tabla de transformadas de Laplace
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n at
n
ts
st
s
e ts a
s ae t
s a
nt es a
ase
s
nt
t
s
t
at
n
n
1
!
s
1
11
1
1
2
d
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T f d i d L l
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Al proceso inverso de encontrarf(t) a partir de F(s) se le
conoce como transformada inversa de Laplace y se
obtiene mediante:
conocida tambin como integral de Bromwich o integral
de Fourier-Mellin.
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
21)()}({1
Transformada inversa de Laplace
1
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Re(s)
Im(s)
i
i
sttdsesF
itfsFL
0,)(
2
1)()}({1
determina un contorno vertical
en el plano complejo, tomado de
tal manera que todas las
singularidades de F(s) queden
a su izquierda.
Con condiciones de existencia:
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
P i d d
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1. Linealidad: Si c1
y c2
son constantes,f1(x) y
f2(x) son funciones cuyas transformadas de
Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;
entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
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)()(
)()(
)()(
)()(
2211
022
011
0 2211
2211
tfLctfLc
dtetfcdtetfc
dtetfctfc
tfctfcL
stst
st
Demostracin:
2 D l i l
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2. Desplazamiento temporal
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
l
lll
0
00
0,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({
0
0 sFettutfL
sFtfL
st
3 Desplazamiento en frecuencias
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)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
3. Desplazamiento en frecuencias
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfL
at
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4. Cambio de escala en tiempo
)/()/1(
)(1
)()(
)()(
0
)/(
0
0
asFa
atdfe
a
dtatfesX
dttfesF
as
st
st
llll
a
sF
aatfL
sFtfL1
)}({
)()}({
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5. Derivada de la transformada de Laplace
)(
)(
)()(
)()(
0
0
0
ttfL
dtttfe
dttfeds
d
sFds
d
dttfesF
st
st
st
)()(
)}({)(
ttfLsF
tfLsF
6 Transformada de Laplace de las derivadas de
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6. Transformada de Laplace de las derivadas de
una funcin
La transformada de Laplace de la derivada de unafuncin est dada por:
dondef(0) es el valor def(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada
de una funcin est dada por:
)0()()}('{ fssFtfL
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL
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G i l li lid d d l TL ibl
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Gracias a la linealidad de la TL es posibleconvertir una ec. diferencial como
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
en una ec. algebraica
Resolver para
y(t)
Resolver paraY(s)
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Ec. Diferencial
Transformada deLaplace
Ec. Algebraica
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Si resolvemos la ec. algebraica:
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
y encontramos la transformada inversa de
Laplace de la solucin, Y(s), encontraremosla solucin de la ec. diferencial.
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Ec. Algebraica
Solucin de laEc. Diferencial
Inversa de la
Transformadade Laplace
7 Transformada de Laplace de la integral de una
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7. Transformada de Laplace de la integral de una
funcin
s
sFtfL
sduufL
t )()}({
1)(
0
)(1
)(
11
)(
)()(
)()(
000
00
0
sFs
dttfesesdf
dtdfesX
dttfesF
ststt
tst
st
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p 0,
entonces:
para Re(s) > p.
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
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ssF
duufL
t )(
)(0
s duuFt
tf
L )(
)(
)()(con tfLsF
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
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9. Teorema del valor final
Si existe, entonces:
10. Teorema del valor inicial
El valor inicialf(0) de la funcinf(t) cuya
transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st
11. Integral de convolucin
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Recordemos que
la operacin se conoce
como la convolucin de y y se
denota comoLa transformada de Laplace de esta operacin
est dada por:
dtff )()( 21
)(1 tf ),(2 tf
)}({)}({)}(*)({
)()()}(*)({
2121
2121
tfLtfLtftfL
sFsFtftfL
).(*)( 21 tftf