Download - Unidad 4 anualidades y gradientes
Matemáticas FinancierasUnidad 4 Anualidades y Gradientes
Carlos Mario Morales C
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Concepto de anualidad
Tipos de anualidad
Anualidad - valor presente
Anualidad – pagos a partir del valor presente
Anualidad - valor futuro
Anualidad – pagos a partir del valor Futuro
Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor Presente
Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor futuro
Anualidad - Tasa de interés a partir del VP o VF
Anualidades anticipadas
Anualidades anticipadas – Valor presente
Anualidades anticipadas – Valor futuro
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidad diferidas – valor presente
Anualidad diferida – valor futuro
Anualidad perpetua – valor presente
Gradiente: definición
Gradiente aritmético – Valor presente
Gradiente aritmético – valor futuro
Gradiente aritmético infinito
Gradiente geométrico – Valor presente
Gradiente geométrico – Valor futuro
Gradiente geométrico infinito.
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de
calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se
hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o
decrecientes
Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor
actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de
operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Serie de pagos de una operación financiera que cumple
con las siguientes condiciones:
1. Pagos de igual valor
2. Intervalos de pago iguales
3. La misma tasa de Interés para todos los pagos
4. Número de pagos igual número de periodos
AnualidadesConcepto
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n0
VP = ¿?
A
AnualidadesModelo: Valor presente de una serie de pagos
𝑉𝑃 = 𝐴 1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n0
VP
A = ¿?
AnualidadesModelo: Pagos a partir del Valor Presente
De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴.
𝐴 = 𝑉𝑃𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n0
VF = ¿?
A
AnualidadesModelo: Valor Futuro a partir de una serie de pagos
Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo.
𝑉𝐹 = 𝐴(1 + 𝑖 𝑛−1
𝑖𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n0
VF
A = ¿?
AnualidadesModelo: Pagos a partir del Valor Futuro
𝐴 = 𝑉𝐹𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n = ¿?0
VP
A
AnualidadesModelo: Número de Pagos a partir del Valor Presente
𝑛 = log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃
log 1 + 𝑖
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n = ¿?0
VF
A
AnualidadesModelo: Número de Pagos a partir del Valor Futuro
𝑛 =𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
AnualidadesModelo: Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro
1 2 …. n0
VP
A
𝑖 = ¿?
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir:
el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de
pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a
partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de
ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución
analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de
tanteo y error
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la
ecuación.
2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se
disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se
aumenta la tasa y se vuelve a calcular
3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro
menor, suficientemente aproximados a los valores de la
igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por
interpolación
𝑉𝑃 = 𝐴1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
𝑉𝐹 = 𝐴(1 + 𝑖 𝑛−1
𝑖
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Anticipadas
En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de
cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de
seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades
anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que
se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se
comparan las anualidades vencidas y anticipadas
0
1 2 3 n-2 n-1 n
Anualidad Vencida
2 31 n-1 n
Anualidad Anticipada
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades AnticipadasModelo: Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados
𝑉𝑃 = 𝐴 1 + 1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1
𝑖
0
𝑉𝑃 = ¿?
2 31 n-1 n
A
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades AnticipadasModelo: Valor futuro de una serie de pagos anticipados
𝑉𝐹 = 𝐴1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖1 + 𝑖
0
𝑉𝐹 = ¿?
2 31 n-1 n
A
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente
después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los
pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en
estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este
tipo de actividades.
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de
la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando
para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor presente
en el periodo 0.
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la
anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para
ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor futuro en el
periodo n.
Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑭 = ?
𝒊
0
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades PerpetuasModelo: Valor Presente de una serie de pagos perpetuo
1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞
A
𝑽𝑷
i
0
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con
exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos
matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de
una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito
𝑉𝑃 =𝐴
𝑖; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradientes Definición
Serie de pagos que cumplen con las siguientes
condiciones:
Los pagos cumplen con una ley de formación
Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
tiempo
Todos los pagos se calculan a la misma tasa
de interés
El número de pagos es igual al número de
periodos
0 1 2 3 n…
A
𝑉𝑃
𝑖
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradientes Ley de formación
La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un
sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas
son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar
cuotas crecientes o decrecientes
Creciente
Decreciente
Aritmético
Creciente
Decreciente
Geométrico
Creciente
Decreciente
Otros
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente Aritmético
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,
más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,
negativa lo cual genera cuotas decrecientes
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
………………………
𝐴𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente aritmético Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente
𝑉𝑃 = 𝐴1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖+
𝐾
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente aritmético Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes aritméticamente
𝑉𝐹 = 𝐴1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖+
𝐾
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖− 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente aritmético Modelo: Valor presente de una serie de pagos infinitos crecientes aritméticamente
𝑉𝑃 =𝐴
𝑖+
𝐾
𝑖2
Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor
presente, como equivalente de dichos pagos.
∞0 1 2 3 n-2 n-1 …
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente Geométrico
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟑 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
………………………
𝐴𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una
constante, así como se indica
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente Geométrico Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes geométricamente
𝐕𝐏
=𝑨
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
1 + 𝑖 𝑛− 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=𝑛𝐴
1 + 𝑖𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente Geométrico Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes geométricamente
𝑽𝑭
=𝐀
𝐺 − 𝑖1 + 𝐺 𝑛 − 1 + 𝑖 𝑛 ; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=𝑛A
1 + 𝑖 −𝑛+1 ; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Gradiente Geométrico Modelo: Valor Presente de una serie de pagos infinito crecientes geométricamente
𝐕𝐏
=𝐴1
𝑖 − 𝐺; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖
= ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖∞0 1 2 3 n-1 n ….
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏