unidad 5. anualidades con gradientes, amortizaciÓn y...

FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

1

UNIDAD 5. ANUALIDADES CON GRADIENTES, AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN

Amortizaciónycapitalización


2

Tabla de contenido

UNIDAD5.ANUALIDADESCONGRADIENTES,AMORTIZACIÓNYFONDOSDEAMORTIZACIÓN.............................................................................................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral:....................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos:...........................................................................................................................................3

5.1Seriedepagosvariables................................................................................................................45.2Gradientearitméticoolineal.......................................................................................................45.3Gradientegeométrico..................................................................................................................385.4Amortizacióny/ocapitalización.............................................................................................52Resumen.................................................................................................................................................60Bibliografía............................................................................................................................................61


3

Introducción

Existen anualidadesqueno sonuniformes sino variables y estas variacionespueden

ser en forma de una progresión aritmética o geométrica. Esta unidad ofrece la

metodología para resolver problemas en los que se trabaje con este tipo deanualidades; además, trabajará lo relativo a la cantidadquede las cuotas periódicas

que se pagan corresponde a la amortización al capital y cómo elaborar tablas de

amortización.

Objetivos

Objetivo general

Resolver e interpretar problemas que involucran anualidades con gradiente y oamortizacionesdedeudas.

Objetivos específicos

• Entenderquéesunaanualidadcongradienteeidentificarsiesteesaritméticoogeométrico.

• Resolver problemas de valor futuro y valor presente en anualidades congradientearitmético,seaestecrecienteodecreciente.

• Resolver problemas de valor futuro y valor presente en anualidades congradientegeométrico,seaestecrecienteodecreciente.

• Comprenderelconceptodeamortización.

• Resolverproblemasdeamortizacióndedeudas.


4

5.1 Serie de pagos variables

Hastaahorasehantrabajadooperaciones financierasconseriesdepagosuniformes,

sinembargo,existenpagosquedeunperiodoaotrovaríanenunacantidadconstante.

Aestaseriedepagosselesdenominaseriedepagosvariablesogradientes,loscualessepuedenpresentardedosformas:

1. Comoungradientearitméticoolineal.2. Comoungradientegeométrico.

5.2 Gradiente aritmético o lineal

Anualidadcongradientearitméticocreciente SilaseriedepagosperiódicosvencidosAvaaumentandodeunperiodoaotroenuna

cantidad fija G, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente

aritméticocreciente.Gráficamenteserepresentaasí:

AA+GA+2GA+(N-2)G

A+(N-1)G

Dónde:

A=serieuniforme

G=gradientearitmético

Cálculodelvalorfuturo

Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicostienedoscomponentes:porun

lado, el valor futuro del pago que es uniforme A y, por otro, el del valor que vacreciendodeunperiodoaotroG,esdecir:

0123n-1n


5

VF=VFA+VFG, asuvezelvalorfuturodeAesiguala:

YeldeG:

Así,elvalorfuturodeunaseriedepagosperiódicoscongradientearitméticocreciente,secalculadeestaforma: Atasaefectiva

Atasanominal

Ejemplo

Vanessaquiere saberqué cantidaddedineropodrá acumular en5 años, si inicia unfondocondepósitosanualesde$2.793.000y,apartirdelsegundoaño,incrementasus

aportes en $250.000 anuales; la tasa de interés que le reconocen es del 5%efectivaanual.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAVFn

A11

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

ii

iGVF

n

G11

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= n

ii

iG

iiAVF

nn 1111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += nxm

mj

mj

mjG

mj

mj

AVF

nxmnxm

1111


6

Gráficamenteelproblemaseveasí:

Losdatossuministradosson:

A=$2.793.000G=$250.000

i=5%EA

n=5años Utilizandolaecuacióndetasaefectivasetiene:

SiVanessarealizaunplandeinversióniniciandocon$2.793.000y,apartirdelsegundo

añoincrementalosdepósitosanualesen$250.000,conunatasadel5%efectivaanualdurante5años,podráretirar$18.061.244,33.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

33.244.061.1825,156.628.208.088.433.15

)52563125,0000.000.5(52563125.5000.793,2552563125.5000.000.552563125.5000.793.2

505,0

105,0105,0000.250

05,0105,01000.793.2

1111

55

=

+=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

VFVF

XXVFXXVF

VF

nii

iG

iiAVF

nn

012345

Vf=?

2.973.000

2.793.000+250.000

2.793.000+500.000

2.793.000+750.000

2.793.000+1.000.000


7

Ejemplo

Apartirdelsiguientegráficoencontrarelvalorfuturo.

VF=?

STRES

La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradientearitmético creciente, ya que se puede extraer una anualidad uniforme de $500.000

semestral yungradiente aritmético crecientede$25.000 semestrales. La tasa esdel

3%concapitalizaciónsemestralyeltiempo6semestres.

A=$500.000G=$25.000

j=3%CCS

m=2nxm=6semestres

Comolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaestetipoasí:

( ) ( )

( )( )

35,360.397.388.584.28247,775.114.3

)22955093,067,666.666.1(47,775.114.3622955093.667,666.666.122955093.6000.500

6015,0

1015,01015,0000.25

015,01015,01000.500

6

203,0

1203,01

203,0000.25

203,0

1203,01

000.500

1111

66

66

=

+=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

VFVF

XVFXXVF

VF

VF

nxm

mj

mj

mjG

mj

mj

AVF

nxmnxm

0123456

500.000525.000550.000575.000600.000625.000


8

Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoesde$3.397.360,35

Cálculodelacuotaperiódicauniforme(A)

Paracalcularelvalordelacuotaperiódicauniforme,apartirdelvalorfuturo,seutilizaunadelassiguientesecuaciones:

Atasaefectiva:

Atasanominal

Ejemplo

Unapersonadeseasaberconcuántodebeempezarunfondoparaacumular,en8años,$35.000.000 a una tasa del 9% efectivo anual, y si a partir del segundo año

incrementarálacuotaen$80.000.

VF=$35.000.000

G=$80.000i=9%EA

n=8años Dadoquelatasaesefectiva,sereemplazanlosvaloresenlafórmularespectiva,así:

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−

=

ii

nii

iGVF

An

n

11

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

imj

nxm

mj

mj

mjGVF

Anxm

nxm

11

11


9

Lacantidadconlacualdebeiniciarelfondoesde$2.929.509,91

Ejemplo:

Resolver el problema anterior con una tasa del 9% con capitalización bimestral y elgradientebimestralde$8.000. Enestecaso:

VF=$35.000.000

G=$8.000bimestrales

j=9%CCBm=6

n=8años

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−

=

ii

nii

iGVF

An

n

11

11

( )

( )

[ ]{ }

[ ]

.91,509.929.20284738,11

30,023.308.320284738,11

71,976.691.2000.000.350284738,11

0284738,389,888.888000.000.350284738,11

80284738,1189,888.888000.000.35

09,0109,01

809,0

109,0109,0000.80000.000.35

8

8

=

=

−=

−=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−

=

A

A

A

xA

A

A


10

Cálculodelgradiente Elcálculodelgradienteseefectúaapartirdeunadeestasecuaciones: Atasaefectiva

Atasanominal

( )( )[ ]

64,791.3375652193.69

78,549.498.235652193.69

22,450.501.11000.000.35

5652193,69485652193,6933.333.533000.000.35

015,01015,1

48015,0

1015,1015,0000.8000.000.35

609,0609,01

68

609,0

1609,01

609,0000.8000.000.35

11

11

48

48

68

68

=

=−

=

−−=

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=

A

AA

xAA

x

A

mj

mj

nxm

mj

mj

mjG

VF

A x

x

nxm

nxm

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−

=

nii

i

iiAVF

Gn

n

111

11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=

nxm

mj

mj

mj

mj

mj

AVF

Gnxm

nxm

111

11


11

Ejemplo

Fabio inicio un fondo con una cuota mensual de $345.000 para adquirir un carro

dentro de 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual. Si incrementamensualmentesuscuotasenunacantidaddedinero,podráacumular$15.000.000.¿De

cuántodebeserelincremento? Esteesunproblemadecálculodegradienteapartirdevalorfuturodónde:

VF=$15.000.000

A=$345.000

i=0,10%EMn=26meses

Luego:

LacantidadenqueFabiodebeincrementarmensualmentesucuotade$345.000para

conseguir $15.000.000 en 26 meses, a una tasa del 0,10% efectiva mensual, es de$18.060,75.

Ejemplo

Calcular el gradiente aritmético creciente que permitirá ahorrar, en 32 trimestres,

$28.0000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral.Lacuotaconlacualse

iniciaelfondoesde$725.000trimestralesvencidos.

( )

( )

( )

( )

{ }

[ ]

75,060.18

\615016.327

82,972.916.5001,0

327615016,018,027.083.9000.000.15

2632761502.26001,01

32761502.26000.345000.000.15

26001,0

1001,01001,01

001,01001,01000.345000.000.15

111

11

26

26

=

=

−=

−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−

=

G

G

GXG

Gn

ii

i

iiAVF

Gn

n


12

EsteejercicioimplicahallarelvalordeGcontasanominal,dónde:

VF=$28.000.000A=$275.000

j=5,6%CCTm=4

nxm=32trimestres. Utilizandolaecuacióndecálculodegradientecontasanominal,setiene:

El valor del gradiente aritmético que permite que en 32 trimestres se ahorren$28.000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral,iniciandoconunacuota

de$275.000,esde$29.653,33. Cálculodelvalorpresente

Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidadcongradientearitméticocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipode

situaciones.

[ ]

[ ]

33,653.290774405.573

85,651.993.160774405.573

15,348.006.11000.000.28

3202308417.40014,01

02308417.40000.275000.000.28

32014,0

1014,1014,01

014,01014,1000.275000.000,28

32

4056,0

14056,01

4056,01

4056,0

14056,01

000.275000.000.28

111

11

32

32

32

32

=

=−

=

−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=

G

GG

XGG

G

nxm

mj

mj

mj

mj

mj

AVF

Gnxm

nxm


13

Atasaefectiva:

Atasanominal:

Dónde:

VA=valorpresente

A=Cuotaperiódicauniforme

G=gradientearitméticoi=tasaefectiva

j=tasanominaln=tiempo

m=periodosdecapitalizaciónenunaño

nxm=periodosdepagototal

Ejemplo

Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosqueseiniciancon$400.000bimestrales

y,apartirdelsegundobimestre,crecenen$40.000bimestrales.Eltiempodepagoson

5añosylatasadel0,9%efectivabimestral.

( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

n

nn

in

ii

iG

iiAVA

11111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

nxm

nxmnxm

mj

nxm

mjmj

mjG

mjmj

AVA

1

1111


14

Lagráficadeestecasoes:

Elcasoreportalossiguientesdatos:

A=$400.000bimestrales

G=$40.000bimestralesi=0,9%EB

n=5añosX6=30bimestres

Comolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:

El valor presente de pagos que se inician con $400.000 bimestrales y, a partir del

segundo bimestre crecen en $40.000 bimestrales a una tasa del 0,9% efectivabimestral,durante5años,esde$24.962.587,47.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

[ ]

47,587.962.2412,122.487.1435,465.475.10

92906089.2218866337.2644,444.444.418866337,26000.400009,130

009,0009,1144,444.444.4

009,0009,11000.400

009,0165

009,0009,011

009,0000.40

009,0009,011000.400

11111

30

3030

65

6565

=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

−−

−−

VAVA

xxVA

VA

xVA

in

ii

iG

ii

AVA

x

xx

n

nn


15

Ejemplo

¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianenelsegundocuatrimestre

con$938.000cuatrimestralesy,apartirdel3cuatrimestre,seincrementanen$25.000cuatrimestralmente?Eltiemposon2añosy4meses,ylatasadeinterésdel3,6%con

capitalizacióncuatrimestral. Este problema contiene un gradiente aritmético creciente con tasa nominal, el cual

comienzaenelperiododos.Comodebehallarseelvalorpresenteenelmomentocero,esnecesario:

1. Calcularel valorpresentede laanualidadutilizando laecuación respectiva, elcualquedaenelperiodo1.

2. ElVAencontradodebellevarsealmomentocero(0),atravésdelvalorpresentedeunpagoúnico.

A=$398.000

G=$25.000J=3,6%CCC

M=3Nxm=7cuatrimestres2x3=6+(4/4=1)=7

1.

( ) ( )[ ]

99.973.473.755,127.212.144,846.261.6

09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17

012,0012,11

012,0000.25

012,0012,11000.938

3036,01

7

3036,03036,01

3036,0000.25

3036,03036.011

000.938

1

1111

1

1

1

7

77

1

7

77

1

1

=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

−−

−−

VAVA

XVA

VA

VA

mj

nxm

mjmj

mjG

mjmj

AVA nxm

nxmnxm

01234567

VA=?938.000963.000988.0001.013.0001.038.0001.063000

j=3,6%


16

2.

Los $938.000 que se incrementan en $25.000 cuatrimestralmente, durante 7cuatrimestres a una tasa del 3,6% con capitalización cuatrimestral, equivalen hoy a

$7.385.349,79.

Cálculodelacuotaperiódica Cuandoloquesequierehallareslacuotaperiódicaapartirdelvalorpresentedeuna

anualidadcongradientearitméticocreciente,seutilizaunadeestasecuaciones: Atasaefectiva

Atasanominal

( ) ( )[ ]

99.973.473.755,127.212.144,846.261.6

09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17

012,0012,11

012,0000.25

012,0012,11000.938

3036,01

7

3036,03036,01

3036,0000.25

3036,03036.011

000.938

1

1111

1

1

1

7

77

1

7

77

1

1

=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

−−

−−

VAVA

XVA

VA

VA

mj

nxm

mjmj

mjG

mjmj

AVA nxm

nxmnxm

( )

79,349.385.79881422925,099.973.473.7

012,1 11

=

=

= −

VAXVA

VAVA

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−

=−

=

ii

in

ii

iGVA

An

n

n

11

111

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

=−

=

mjmj

mj

nxm

mjmj

mjG

VA

Anxm

nxm

nxm

11

1

11


17

Dónde:

VA=Valorpresente

A=anualidaduniformeGgradientearitméticocreciente

i=tasaefectiva

n=tiempoj=tasanominal

m=periodosdecapitalizaciónenunañonxm=periodostotalesdepago

Ejemplo

Jaimerequiereunpréstamode$40.000.000a5añosdeplazo.Elbancoleofrece:

1. Cuotasanualesquecomenzaráapagarapartirdelprimeraño,lascualesdebe

incrementarapartirdelsegundoañoen$225.000anualesyunatasadeinterés

del7,3%efectivaanual.2. Cuotas semestrales que comenzará a pagar a partir del primer semestre, las

cuales debe incrementar a partir del segundo semestre en $175.000semestrales yuna tasade interésdel7,3%con capitalización semestral. ¿Qué

alternativaleresultamásadecuada?

Aquíserequiereencontrarelvalordelascuotasperiódicasuniformesyvercuálesla

másbaja.Elpunto1escontasaefectivayel2contasanominal.Procediendoaaplicarlaecuaciónpropiadecadacasosetiene:

1.

( )( )

( )

( ){ }

( )

84.065.829.7067471639.4

27.503.844.31067471639.4

73,496.155.8000.000.40067471639.4

645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4

422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40

073,0073,11

073,15

073,0073,11

073,0000.225000.000.40

11

111

5

5

5

=

=−

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−

=

−

−

−

=

A

AA

xA

xA

A

ii

in

ii

iG

VA

An

n

n


18

2.

Conlaopción1lacuotaperiódicaesde$7.829.065,84,mientrasqueconlaopción2la

cuotaquedaen$4.109.619,97,locualindicaquelamejoropciónesla2.

CálculodelgradienteCuandoelrequerimientoeshallarelvalordelgradientearitméticocrecienteapartirdevalorpresente,sedebe:

( )( )

( )

( ){ }

( )

84.065.829.7067471639.4

27.503.844.31067471639.4

73,496.155.8000.000.40067471639.4

645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4

422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40

073,0073,11

073,15

073,0073,11

073,0000.225000.000.40

11

111

5

5

5

=

=−

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−

=

−

−

−

=

A

AA

xA

xA

A

ii

in

ii

iG

VA

An

n

n

( )[ ]

97,619.109.425408097.8

136.921.3325408097.8

.864.078.6000.000.40

25408097.8987260512.625408079.855,520.794.4000.000.40

0365,0

100365,11

100365,1

100365,0

100365,110365,0000.175000.000.40

2073,0

252

073,011

25

2073,01

25

2073,0

252

073,011

2073,0000.175000.000.40

11

1

11

=

=−

=

−−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

−

=

A

AA

xAA

x

xx

x

A

mj

nxm

mj

nxm

mj

nxm

mj

nxm

mj

mjG

VA

A


19

Atasaefectiva

Atasanominal

Dónde:

VA=Valorpresente

A=anualidaduniforme

Ggradientearitméticocrecientei=tasaefectiva



nxm=periodostotalesdepago

Ejemplo:

Santiago inviertehoy$50.000.000con laesperanzadeque leentreguen,apartirdel

primer periodo, una suma que inicie con $3.000.000 y, a partir del segundo año, se

incrementeenunaciertasumaanualqueleseaatractiva.Sieltiempoesde3añosylatasadel10%efectivoanual,¿decuántodebeseresegradiente?

( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−

=−

−

n

n

n

in

ii

i

iiAVA

G

1111

11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

=−

−

nxm

nxm

nxm

mj

nxm

mjmj

mj

mjmj

AVA

G

1

111

11


20

Elproblemaentrega:

VA=$50.000.000A=$3.000.000

i=10%EAn=3años

Comolatasaesefectiva,reemplazandolosvaloresrespectivossetiene:

Lacantidadenquesedebeincrementarlacuotaanualparacumplirlasexpectativasde

Santiagoesde$18.264.516,15. Anualidadcongradientearitméticodecreciente SilaseriedepagosperiódicosvencidosAvadisminuyendodeunperiodoaotroenuna

cantidad fija G, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradientearitméticodecreciente.Gráficamenteserepresentaasí:

( )

( )( )

( )

( )( )

[ ]

[ ]

15,516.264.1832907588.2

97,555.460.7000.000.50

253944403,2486851991.210,01

486851991.2000.000.3000.000.50

10,013

10,010,011

10,01

10,010,011000.000.3000.000.50

1111

11

3

3

3

=

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−

=

−

−

−

−

G

G

XG

G

in

ii

i

iiAVA

G

n

n

n


21

Dónde:

A=serieuniformeG=gradientearitmético

Cálculodelvalorfuturo Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicostienedoscomponentes:porun

lado, el valor futuro del pago que es uniforme A y, por otro, el del valor que vadecreciendodeunperiodoaotroG,esdecir: VF=VFA-VFG, asuvezelvalorfuturodeAesiguala:

YeldeG:

Así, el valor futuro de una serie de pagos periódicos con gradiente aritméticodecreciente,secalculadeestaforma:

Atasaefectiva

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAVFn

A11

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

ii

iGVF

n

G11

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= n

ii

iG

iiAVF

nn 1111


22

Atasanominal

Ejemplo

Taliana quiere saber qué cantidad podrá acumular en 5 años, si inicia un fondo con

depósitosanualesde$2.397.000y,apartirdelsegundoaño,disminuyesusaportesen

$150.000anuales.Latasadeinterésquelereconocenesdel4%efectivaanual.



A=$2.397.000G=$150.000

i=4%EAn=5años

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += nxm

mj

mj

mjG

mj

mj

AVF

nxmnxm

1111

012345

2.397.000

2.397.000+150.000

2.397.000+300.000

2.397.000+450.000

2.397.000+600.000

i=4%VF=?


23

Utilizandolaecuacióndetasaefectivasetiene:

SiTalianarealizaunplandeinversióniniciandocon$2.397.000y,apartirdelsegundo

añodisminuyelosdepósitosanualesen$150.000,conunatasadel4%efectivaanualdurante5años,podráretirar$14.544.134,78.

Ejemplo

Apartirdelsiguientegráficoencuentreelvalorfuturo.

La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradiente

aritméticodecreciente,yaquesepuedeextraerunaanualidaduniformede$500.000semestralesyungradientearitméticodecrecientede$25.000semestrales.Latasaes

del3%concapitalizaciónsemestralyeltiempo6semestres.

A=$500.000

G=$25.000j=3%CCS

m=2nxm=6semestres

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

78,134.544.14)41632256,0000.750.3(41632256.5000.397.2541632256.5000.750.341632256.5000.397.2

504,0

104,0104,0000.150

04,0104,01000.397.2

1111

55

=

−=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

VFXXVFXXVF

VF

nii

iG

iiAVF

nn

0123456

VF=?

500.000475.000450.000425.000400.000375.000


24

Comolatasaesnominalseutilizalafórmulacorrespondienteaestetipo,así:


Cálculodelacuotaperiódicauniforme(A)

Paracalcularelvalordelacuotaperiódicauniformeapartirdelvalorfuturo,seutilizaunadelassiguientesecuaciones:

Atasaefectiva:

( ) ( )

( )( )

59,190.832.288.584.28247,775.114.3

)22955093,067,666.666.1(47,775.114.3622955093.667,666.666.122955093.6000.500

6015,0

1015,01015,0000.25

015,01015,01000.500

6

203,0

1203,01

203,0000.25

203,0

1203,01

000.500

1111

66

66

=

−=

−=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

VFVF

XVFXXVF

VF

VF

nxm

mj

mj

mjG

mj

mj

AVF

nxmnxm

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

=

ii

nii

iGVF

An

n

11

11


25

Atasanominal:

Ejemplo:

Unapersonadeseasaberconcuántodebeempezarunfondoparaacumular,en8años,

$35.000.000aunatasadel9%efectivoanual,siapartirdelsegundoañodisminuyelacuotaen$80.000.

VF=$35.000.000G=$80.000

i=9%EAn=8años

Dadoquelatasaesefectiva,sereemplazanlosvaloresenlafórmularespectiva,así:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

=

imj

nxm

mj

mj

mjG

VF

Anxm

nxm

11

11

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

=

ii

nii

iGVF

An

n

11

11

( )

( )

[ ]{ }

[ ]

54,696.417.30284738,11

71.976.691.370284738,11

71,976.691.2000.000.350284738,11

0284738,389,888.888000.000.350284738,11

80284738,1189,888.888000.000.35

09,0109,01

809,0

109,0109,0000.80000.000.35

8

8

=

=

+=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

=

A

A

A

xA

A

A


26

Lacantidadconlacualdebeiniciarelfondoesde$3.417.696.54

Ejemplo

Resolver elproblemaanterior, conuna tasadel9%con capitalizaciónbimestral y el

gradientebimestralde$8.000. Enestecaso:

VF=$35.000.000G=$8.000bimestrales

j=9%CCB

m=6n=8años

( )

( )

[ ]{ }

[ ]

54,696.417.30284738,11

71.976.691.370284738,11

71,976.691.2000.000.350284738,11

0284738,389,888.888000.000.350284738,11

80284738,1189,888.888000.000.35

09,0109,01

809,0

109,0109,0000.80000.000.35

8

8

=

=

+=

+=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

=

A

A

A

xA

A

A

( )( )[ ]

33,458.6685652193.69

22,450.501.465652193.69

22,450.501.11000.000.35

5652193,69485652193,6933.333.533000.000.35

015,01015,1

48015,0

1015,1015,0000.8000.000.35

609,0609,01

68

609,0

1609,01

609,0000.8000.000.35

11

11

48

48

68

68

=

=+

=

−+=

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

=

A

AA

xAA

x

A

mj

mj

nxm

mj

mj

mjG

VF

A x

x

nxm

nxm


27

Cálculodelgradiente Elcálculodelgradienteseefectúaapartirdeunadeestasecuaciones: Atasaefectiva

Atasanominal

Ejemplo

Fabio inicio un fondo con una cuota mensual de $345.000 para adquirir un carro

dentro de 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual, Si incrementa

mensualmentesuscuotasenunacantidaddedinero,podráacumular$15.000.000,¿Decuántodebeserelincremento?

Esteesunproblemadecálculodegradienteapartirdevalorfuturodonde:

VF=$15.000.000

A=$345.000i=0,10%EM

n=26meses

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

=

nii

i

iiAVF

Gn

n

111

11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

=

nxm

mj

mj

mj

mj

mj

AVF

Gnxm

nxm

111

11


28

Luego:

La cantidad enqueFabiodebedisminuir mensualmente su cuotade $345.000paraconseguir $15.000.000 en 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual, es de

$101.353,14.

Ejemplo

Calcule el gradiente aritmético decreciente que permitirá ahorrar en 32 trimestres$28.0000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral.Lacuotaconlacualse

iniciaelfondoesde$725.000trimestralesvencidos. EsteejercicioimplicahallarelvalordeGcontasanominal,dónde:

VF=$28.000.000

A=$275.000

j=5,6%CCTm=4

nxm=32trimestres

Utilizandolaecuacióndecálculodegradientecontasanominalsetiene:

( )

( )

( )

( )

{ }

[ ]

14.353.101

\615016.327

18,027.083.24001,0

327615016,018,027.083.9000.000.15

2632761502.26001,01

32761502.26000.345000.000.15

26001,0

1001,01001,01

001,01001,01000.345000.000.15

111

11

26

26

=

=

+=

−

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

=

G

G

GXG

Gn

ii

i

iiAVF

Gn

n


29

El valor del gradiente aritmético que permite que en 32 trimestres se ahorren

$28.000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral,iniciandoconunacuotade$275.000,esde$68.064.71.

Cálculo del valor presente

Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidad

congradientearitméticocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipode

situaciones.

[ ]

[ ]

71,064.68$0774405.573

15,348.006.390774405.573

15,006348.11000.000.28

3202308417.40014,01

02308417.40000.275000.000.28

32014,0

1014,1014,01

014,01014,1000.275000.000,28

32

4056,0

14056,01

4056,01

4056,0

14056,01

000.275000.000.28

111

11

32

32

32

32

=

=+

=

−

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

=

G

GG

XGG

G

nxm

mj

mj

mj

mj

mj

AVF

Gnxm

nxm


30

Atasaefectiva:

Atasanominal:

Dónde:

VA=valorpresenteA=cuotaperiódicauniforme


i=tasaefectivaj=tasanominal

n=tiempo

m=periodosdecapitalizaciónenunañonxm=periodosdepagototal

Ejemplo

Hallar el valor presente de una serie de pagos que se inician con $4.000.000,

bimestrales, y a partir del segundo bimestre decrecen en $40.000 bimestrales, el

tiempodepagoson3añosylatasadel0,9%efectivabimestral.


( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

n

nn

in

ii

iG

iiAVA

11111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

nxm

nxmnxm

mj

nxm

mjmj

mjG

mjmj

AVA

1

1111


31


A=$400.000bimestrales

G=$40.000bimestralesi=0,9%EB

n=5añosX6=30bimestres Comolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:

El valor presente de pagos que se inician con $4.000.000 bimestrales y a partir del

segundo bimestre decrecen en $40.000 bimestrales a una tasa del 0,9% efectivabimestral,durante3años,esde$60.729.441,28

Ejemplo

¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianenelsegundocuatrimestre

con $938.000 cuatrimestrales y a partir del 3 cuatrimestre disminuyen en $25.000

( ) ( )( )

( ) ( )( )

[ ]

28,441.729.6044,134.467.572,575.196.66

31903868.1554914393.1644,444.444.454914393.16000.000.4009,118

009,0009,1144,444.444.4

009,0009,11000.000.4

009,0163

009,0009,011

009,0000.40

009,0009,011000.000.4

11111

18

1818

63

6363

=

−=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

−−

−−

VAVA

xxVA

VA

xVA

in

ii

iG

ii

AVA

x

xx

n

nn


32

cuatrimestralmente?Eltiemposon2años4mesesylatasadel3,6%concapitalización

cuatrimestral. Esteproblemacontieneungradientearitméticodecrecientecon tasanominalel cual

comienzaenelperiododos,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomentoceroesnecesario:



A=$398.000

G=$25.000

J=3,6%CCCM=3

Nxm=7cuatrimestres2x3=6+(4/4=1)=7 1.

01234567

VA=?938.000913.000888.000863.000838.000813.000

j=3,6%


33

2.

Los$938.000quedecrecenen$25.000cuatrimestralmente,durante7cuatrimestresa

unatasadel3,6%concapitalizacióncuatrimestralequivalenhoya$4.989.840,80 Cálculo de la Cuota periódica Cuandoloquesequierehallareslacuotaperiódicaapartirdelvalorpresentedeuna

anualidadcongradientearitméticocreciente,seutilizaunadeestasecuaciones: Atasaefectiva:

Atasanominal:

( ) ( )[ ]

89,718.049.555,127.212.144,846.261.6

09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17

012,0012,11

012,0000.25

012,0012,11000.938

3036,01

7

3036,03036,01

3036,0000.25

3036,03036.011

000.938

1

1111

1

1

1

7

77

1

7

77

1

1

=

−=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

−−

−−

VAVA

XVA

VA

VA

mj

nxm

mjmj

mjG

mjmj

AVA nxm

nxmnxm

( )

8,840.989.49881422925,089,718.049.5

012,1 11

=

=

= −

VAXVA

VAVA

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−+

=−

=

ii

in

ii

iGVA

An

n

n

11

111


34

Dónde:

VA=valorpresenteA=anualidaduniforme

Ggradientearitméticocreciente

i=tasaefectivan=tiempo

j=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño


Ejemplo

Jaimerequiereunpréstamode$40.000.000a5añosdeplazo.Elbancoleofrece:

a. Cuotasanualesquecomenzaráapagarapartirdelprimeraño,lascualesdebendisminuirapartirdel segundoañoen$225.000anualesyuna tasade interés

del7,3%efectivaanual.

b. Cuotas semestrales que comenzará a pagar a partir del primer semestre, las

cualesdebendisminuirapartirdelsegundosemestreen$175.000semestralesyunatasadeinterésdel7,3%concapitalizaciónsemestral.

¿Quéalternativaleresultamásadecuada?

Aquíserequiereencontrarelvalordelascuotasperiódicasuniformesyvercuáleslamásbaja.Elpuntoa.escontasaefectivayelb.contasanominal.Procediendoaaplicar

laecuaciónpropiadecadacasosetiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

=−

=

mjmj

mj

nxm

mjmj

mjG

VA

Anxm

nxm

nxm

11

1

11


35

1.

2.

Conlaopcióna.lacuotaperiódicaesde$11.839.172,10,mientrasqueconlaopciónb.

lacuotaquedaen$5.582.555,37,locualindicaquelamejoropcióneslab.

( )( )

( )

( ){ }

( )

10,172.839.11067471639.4

73.496.155.48067471639.4

73,496.155.8000.000.40067471639.4

645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4

422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40

073,0073,11

073,15

073,0073,11

073,0000.225000.000.40

11

111

5

5

5

=

=+

=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−+

=

−

−

−

=

A

AA

xA

xA

A

ii

in

ii

iG

VA

An

n

n

( )[ ]

37.555.582.525408097.8

864.078.4625408097.8

.864.078.6000.000.40

25408097.8987260512.625408079.855,520.794.4000.000.40

0365,0

100365,11

100365,1

100365,0

100365,110365,0000.175000.000.40

2073,0

252

073,011

25

2073,01

25

2073,0

252

073,011

2073,0000.175000.000.40

11

1

11

=

=+

=

−+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

−−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+

=

A

AA

xAA

x

xx

x

A

mj

nxm

mj

nxm

mj

nxm

mj

nxm

mj

mjG

VA

A


36

Cálculodelgradiente

Cuandoelrequerimientoeshallarelvalordelgradientearitméticocrecienteapartirdevalorpresentesedebe:

Atasaefectiva

Atasanominal

Dónde:

VA=valorpresente

A=anualidaduniforme

Ggradientearitméticocrecientei=tasaefectiva




Ejemplo

Santiago inviertehoy $50.000.000 con la esperanzadeque le entreguen apartir del

primer periodo una suma que inicie con $3.000.000 y a partir del segundo año

( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+

=−

−

n

n

n

in

ii

i

iiAVA

G

1111

11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

=−

−

nxm

nxm

nxm

mj

nxm

mjmj

mj

mjmj

AVA

G

1

111

11


37

disminuyaenunaciertasumaanualqueleseaatractiva.Sieltiempoesde3añosyla

tasadel10%efectivoanual,¿decuántodebeseresegradiente?

Elproblemaentrega:

VA=$50.000.000

A=$3.000.000

i=10%EAn=3años

Comolatasaesefectivayreemplazandolosvaloresrespectivossetiene:

Lacantidadenquesedebeincrementarlacuotaanualparacumplirlasexpectativasde

Santiagoesde$2.467.096,93.

( )

( )( )

( )

( )( )

[ ]

[ ]

93,096.467.232907588.2

97,555.460.7000.000.50

253944403,2486851991.210,01

486851991.2000.000.3000.000.50

10,013

10,010,011

10,01

10,010,011000.000.3000.000.50

1111

11

3

3

3

=

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+

=

−

−

−

−

G

G

XG

G

in

ii

i

iiAVA

G

n

n

n


38

5.3 Gradiente geométrico

Anualidadcongradientegeométricocreciente

Si la serie de pagos periódicos vencidos A va aumentando de un periodo a otro enporcentaje w%, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente

geométricocreciente.Gráficamenteserepresentaasí:

A

Dónde:

A=serieuniforme

W=gradientegeométrico Cálculo del valor futuro Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicossecomportacomounafunción

continuadeforma , esdecir,unafunciónexponencialdebase(1+w)ycoeficienteA.Alaplicarelprocesopararesolverestetipodefunciones,setiene:

Esta es la fórmula a aplicar si la tasa es efectiva. Si la tasa esnominal, la fórmula se

convierteen:

Estasfórmulasfuncionansi(i)o(j/m)sondiferentesdew.Paraloscasosenqueseaniguales,lasecuacionesaaplicarserían:

( ) nwAnf )1( +=

( ) ( )[ ]nn wiwiAVF +−+−

= 11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

= nxmnxm

wmj

wmjA

VF 11

0123n-1n

A(1+W)2

A(1+W)2 A(1+W)n-2

A(1+W)n-1

i%oj%


39

Atasaefectiva:

Atasanominal:

Ejemplo

Marcos iniciaun fondoaportando$1.000.000yapartirdel segundoaño incrementasuscuotasenun3%anual.Silatasaquelereconocenesdel8%anualyeltiemposon

9años,¿cuántopodráacumularalcabode9años?



A=$1.000.000

W=3%

i=8%EAn=9años

Comoi≠w,seutilizalaecuacióndetasaefectivaparaestoscasosyseobtiene:

1)1( −+= ninAVF

1

1−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=nxm

mj

nxmAVF

0123……..…………89

1.000.000

1.000.000*(1,03)

1.000.000*1,032 1.000.000*1,032

1.000.000*1,032

VF=?


40

Marcospodráretirardentrode9años$138.846.288,70.

Ejemplo


La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradientegeométrico creciente, ya que se puede extraer una anualidad uniforme de $500.000

semestral yungradientegeométrico crecientedel1,5%semestral; la tasaesdel3%

concapitalizaciónsemestralyeltiempode6semestres.

A=$500.000w=1,5%

j=3%CCS

m=2nxm=6semestres

Enestecasoj=wycomolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaeste

tipoasí:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

[ ]

7.288.846.1386942314433,0000.000.200

304773184.1999004627.105,0000.000.1

03,0108,0103,008,0000.000.1

11

99

=

=

−=

+−+−

=

+−+−

=

VFxVF

VF

VF

wiwiA

VF nn

0123456

500.000507.500515.113522.839530.682538.642

J=3%

VF=?


41


Nota:Enestetipodeanualidadesnosecalculanielvalordelacuotaperiódicaniladelgradiente.

Cálculo del valor presente

Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidad

congradientegeométricocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipodesituaciones.

Atasaefectiva:

Atasanominal:

01,852.231.3077284004,1000.000.3015,1000.000.3

203,01000.5006

1

5

16

1

=

=

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−

−

VFxVFxVF

xVF

mj

nxmAVFnxm

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−

−=

n

iw

wiAVA

111

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−

−=

nxm

mjw

wmjA

VA1

11


42

Dónde:


G=gradientearitméticoi=tasaefectiva

j=tasanominal

n=tiempom=periodosdecapitalizaciónenunaño


Estasfórmulasseaplicansi(i)o(j/m)son≠aw.Encasocontrariolafórmulautilizada

será:

Atasaefectiva Atasanominal:

Ejemplo


y a partir del segundo bimestre crecen en 1%bimestrales. El tiempode pago son 5añosylatasadel1%efectivabimestral.



A=$800.000bimestralesw=1%bimestrales

i=1%EB

n=5añosX6=30bimestres

inAVA+

=1

mj

nxmAVA

+=1


43

Aquíi=wycomolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:

El valor presente de pagos que se inician con $800.000 bimestrales y a partir delsegundo bimestre crecen en un 1% bimestral a una tasa de1% efectiva bimestral,

durante5años,esde$23.762.376.24.

Ejemplo

¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianeneltercercuatrimestre

con$893.000cuatrimestralesyapartirdel4cuatrimestreseincrementanenun0,9%cuatrimestralmente?Eltiemposon4años8mesesylatasadel4,5%concapitalización

cuatrimestral.

Este problema contiene un gradiente geométrico creciente con tasa nominal, el cual

comienzaenelperiodotres,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomento

ceroesnecesario:



24.376.762.2301,1000.000.2401,01000.80030

1

=

=

+=

+=

VA

VA

xVA

inA

VA

0123451314

VA=?893.000901.037890.808898.825

j=4,5%


44

A=$893.000

w=0,9%

j=4,5%CCCj/m=0,045/3=0,015m=3

nxm=14cuatrimestres4x3=12+(8/4=2)

1. Comoj/m≠wylatasaesnominalseutilizalafórmula:

2.

Los $893.000 que se incrementan en un 0,9% cuatrimestralmente durante 14

cuatrimestresaunatasadel4,5%concapitalizacióncuatrimestral,equivalenhoya$11.337.117,86.

Aligualqueconelvalorfuturo,aquínosecalculannilacuotaperiódicauniformeniel

gradientegeométrico.

( )

( )

( )[ ][ ]

98,978.854.110796527143,033,333.833.1489203472847,0133.333.833.148

99408867,01006,0000.893

015,1009,11

009,0015,0000.893

3045,01

009,011009,0

3045,0

000.893

1

11

1

1

1

141

14

1

14

1

1

=

=

−=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−

−=

VAxVA

VA

VA

VA

VA

mjw

wmjA

VA

nxm

( )

.86,117.337.119563169937,098,978.854.11

015,1 31

=

=

= −

VAxVA

VAVA


45

Anualidad con gradiente geométrico decreciente

Si la seriedepagosperiódicosvencidosAvadisminuyendodeunperiodoaotro en

porcentaje w a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente

geométricodecreciente.Gráficamenteserepresentaasí:

Dónde:

A=serieuniformeW=gradientegeométrico

CálculodelvalorfuturoParacalcularelvalorpresentedeunaanualidadcongradientegeométricodecreciente,

seutilizanlassiguientesfórmulas:

Esta es la fórmula a aplicar si la tasa es efectiva. Si la tasa es nominal la fórmula seconvierteen:

Estasfórmulasfuncionansi(i)o(j/m)sondiferentesdew.Paraloscasosenquesean

iguales,sereemplazaioj/mporwoviceversaenlasfórmulasantesexpresadas.

Ejemplo

Marcosiniciaunfondoaportando$1.000.000yapartirdelsegundoañodisminuyesus

cuotasenun3%anual.Si latasaquelereconocenesdel8%anualyeltiemposon9años,¿cuántopodráacumular?

0 1 2 3 n-1 nA(1-w)n-1

A(1-w)n-2

A(1-w)2

A(1-w)A I%o%j

( ) ( )[ ]nn wiwiAVF −−++

= 11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

= nxmnxm

wmj

wmjA

VF 11


46



A=$1.000.000

W=3%i=8%EA

n=9años. Comoi≠wseutilizalaecuacióndetasaefectivaparaestoscasosyseobtiene:

Marcospodráretirardentrode9años,$11.861.574,41

Ejemplo


( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

[ ]

41,574.861.11304773184.110,909.090.9

7602310587,0999004627.111,0000.000.1

03,0108,0103,008,0000.000.1

11

99

=

=

−=

−−++

=

−−++

=

VFxVF

VF

VF

wiwiA

VF nn

0123……..…………..89

1000.000

1000.000*(1,03)

1000.000*(1,03)2 1000.000*(1,03)7

1000.000*(1,03)8


47

La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradiente

geométricodecreciente,yaquesepuedeextraerunaanualidaduniformede$500.000semestralyungradientegeométricodecrecientedel1,5%semestral.Latasaesdel3%

concapitalizaciónsemestralyeltiempode6semestres.

A=$500.000w=1,5%

j=3%CCS=j/m=0,015

m=2nxm=6semestres

Enestecasoj=wycomolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaeste

tipoasí:

Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoes$3.002.250,15

Nota:Enestetipodeanualidades,comoenlasdegradientegeométricocreciente,nosecalculanielvalordelacuotaperiódicaniladelgradiente.

( )

( )

[ ]

15,250.002.31801350091.067,666.666.16

985,0015,1015,0015,0

000.500

015,01203,01

015,0203,0

000.500

11

66

66

=

=

−+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

=

VFxVF

VF

VF

wmj

wmjA

VF nxmnxm


48

Cálculodelvalorpresente

Gráficamenteelvalorpresentedeunaanualidadcongradientegeométricodecrecienteseveasí:

Lasfórmulasautilizarenestecasoson:

Atasaefectiva:

Atasanominal:

Dónde:



i=tasaefectivaj=tasanominal

n=tiempom=periodosdecapitalizaciónenunaño


Estasfórmulasseaplicansi(i)o(j/m)son≠aw.Encasocontrarioenlasfórmulasse

reemplazanioj/mporwoviceversa.

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−

+=

n

iw

wiAVA

111

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−−

+=

nxm

mjw

wmjA

VA1

11

A

A(1-I)

A(1-I)2 A(1-I)n-2A(1-I)n-1

0123 n-1n


49

Ejemplo


yapartirdelsegundobimestredecrecenen1%bimestrales.Eltiempodepagoson5añosylatasadel1%efectivabimestral.



A=$800.000bimestralesw=1%.Bimestrales

i=1%EBn=5añosX6=30bimestres

Aquíi=wycomolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:

( )( )

( )

[ ]( )63,973.047.18

5488006593,01000.000.409801980198,01000.000.40

01,199,01

02,0000.800

01,0101,011

01,001,0000.800

111

30

30

65

=

−=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−

+=

VAxVA

VA

VA

VA

iw

wiA

VA

x

n

0123 2930

800.000

800.000*0,97

800.000*097 800.000*09728800.000*09729

VA=?

I=1%


50

El valor presente de pagos que se inician con $800.000 bimestrales y a partir del

segundobimestredecrecenenun1%bimestralauna tasade1%efectivabimestral,

durante5años,esde$18.047.973,63

Ejemplo

¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianeneltercercuatrimestre

con $893.000 cuatrimestrales y a partir del 4 cuatrimestre disminuyen en un 0,9%cuatrimestralmente?Eltiemposon4años8mesesylatasadel4,5%concapitalización

cuatrimestral.

Este problema contiene un gradiente geométrico creciente con tasa nominal, el cual

comienzaenelperiodotres,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomentoceroesnecesario:



A=$893.000

w=0,9%j=4,5%CCCj/m=0,045/3=0,015

m=3

nxm=14cuatrimestres4x3=12+(8/4=2)

0123451314

VA=?893.000884.963801.190793.979

j=4,5%


51

Comoj/m≠wylatasaesnominal,seutilizalafórmula:

2.

Los $893.000 que disminuyen en un 0,9% cuatrimestralmente, durante 14

cuatrimestres a una tasa del 4,5% con capitalización cuatrimestral, equivalen hoy a$10.129.393,90.

Al igual que con el valor futuro, no se calculan ni la cuota periódica uniforme ni elgradientegeométrico.

( )

( )

( )[ ][ ]

15,088.592.102846697824,033,333.208.377153302176,0133,333.208.37

9763546798,01024,0000.893

015,1991,01

009,0015,0000.893

3045,01

009,011009,0

3045,0

000.893

1

11

1

1

1

141

14

1

14

1

1

=

=

−=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−−

+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−−

+=

VAxVA

VA

VA

VA

VA

mjw

wmjA

VA

nxm

( )

90,393.129.109563169937,015,088.592.10

015,1 31

=

=

= −

VAxVA

VAVA


52

5.4 Amortización y/o capitalización

La amortización se define como el pago que se hace periodo a periodo de una

obligación durante un tiempo dado y a una determinada tasa de interés. La

amortizacióntienesumáximaexpresiónenlatabladeamortización. Enlaamortizaciónsemanejanlossiguientestérminos:

• Periodo:Representaelmomentoenelcualsehaceelpago.• Saldo inicial (SI): Cantidad que se debe del préstamo al inicio de un

determinadoperiodo.

• Intereses(I):Costodelpréstamoporperiododepago.• Cuota(A):Valorquesecancelacadaperiodo.Puedeseruniformeovariabley

su cálculodepende del tipodeanualidadque se trabaje.Equivale al valorde

cuotaapartirdevalorpresente.

• Amortización: Es la cantidad que de la cuota va a cancelar realmente elpréstamo.

• Saldofinal:Eslacantidadadeudadaalfinaldecadaperiodo.

TabladeamortizaciónParasaberquécantidadsevaamortizandoencadaperiododepago,seutilizalatabla

deamortizacióncuyapresentaciónes: Elprocesoparaelaborarlatablaeselsiguiente:

1. Identificarloselementosdelproblema.2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.3. Construirelesquemadelatabla.4. Calcularcadaunodeloselementosquelaconstituyen.

Parahacermásdirectoelaprendizajedecómorealizarunatabladeamortización, la

explicaciónseharábasadaenunejemplo.

SupongaqueelBancoXXXleofreceunpréstamodelibreinversiónpor$2.000.000a

dos años de plazo, con cuotas semestrales vencidas y una tasa del 1,5% concapitalización semestral. Usted quiere saber, paso a paso, cómo será el pago de este

préstamoparadecidirsileconviene. Siguiendoelprocedimientoantesdescritosetiene:


53

1. Identificarloselementosdelproblema:

VA=$2.000.000n=2años

j=1,5%CCSm=2elañotiene2semestres

2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.

Comoescuotavencidaseutilizalafórmula

Parafacilitarlasoperacionessetrabajarácon$509.410.

3. Construirelesquemadelatabla.

4. Calcularcadaunodeloscomponentesdelatabla.

a. El primer paso es colocar el valor de la cuota en su casilla como es uniforme y

vencida,secolocaensuespacioapartirdelperiodo1.

02,410.50992611041.3

000.000.2

2015,02015,01

000.000.2

1

22

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

−

−

A

A

A

mjmj

VAA

x

nxm


54

PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO

FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410

b. El saldo final de un periodo es el inicial del periodo siguiente, por eso los

$2.000.000queaparecenenelaño0comosaldofinal,secolocancomosaldoinicial

enelaño1.


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410

c. Secalculanlosinteresesdelprimerperiodoasí:

Saldo inicial X tasa de interés semestral = 2.000.000 x 0,015/2 =

2.000.000x0,0075=15.000yseubicaensusitio.

PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO FINAL

0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410

d. Secalculalaamortizaciónqueesigualalacuotamenoslosinteresesdelperiodoasí:509410-15.000=394.410yseubicaensupuestoasí:


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410


55

e. Secalculaelsaldofinalqueesigualalsaldoinicialmenoslaamortización,esdecir,2.000.000-394.410=1.605.590yseubicaensucasillaasí:


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 509.510 3 509.410 4 509.410

Serepitenlasoperacionesparaelsegundoperiodoasí:


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.107.473 3 509.410 4 509.410

Ahoraparaelterceroasí:


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.007.473 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 509.410

Yporúltimo,paraelcuartoperiodoasí:


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.108. 222 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 505.619 3.793 509.410 505.617 2

Laideaesqueelsaldofinaldelúltimoperiodoseacero;ladiferenciaestádadaporlos

decimalesconlosquesetrabajó.


56

Paraconfirmarqueloquesehizoestábien,lasumadelasamortizacionesdebeseral

valordelpréstamo,enestecaso$2.000.000,yalsumarlacolumnadeinteresessesabe

cuántosepagódeintereses.


FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.108. 222 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 505.619 3.793 509.410 505.617 2

Total 37.642 1.999,998 Fondodecapitalización Por otro lado, existe la capitalización, es decir, ir ahorrando periodo a periodo unadeterminadacantidadpararetirarenundeterminadotiempoyaunatasade interés

compuestadada,unasumadedineropreestablecida.Al igualqueen laamortización,existeuna tablaparasaberdeantemano, cómosevaalcanzando la sumadeseada.A

estatablaseleconocecomofondodecapitalización. Enestecaso,losconceptostienenelsiguientesignificado:

• Periodo:Representaelmomentoenelcualsehaceeldepósito.• Intereses(I):Cantidaddeinteresesrecibidosenelperiodo.• Cuota(A):Valorquesedepositacadaperiodo.Puedeseruniformeovariabley

su cálculodepende del tipodeanualidadque se trabaje; equivale al valordecuotaapartirdevalorfuturo.

• Valoragregadoalfondo:Eslacantidadenlaquecreceelahorroporperiodo.• Saldofinal:Eslacantidadahorradahastaelperiodorespectivo.

Elprocesoparaelaborarelfondodecapitalizaciónes:

1. Identificarloselementosdelproblema.2. Calcularelvalordelacuotaperiódica3. Construirelesquemadelfondo.4. Calcularcadaunodeloselementosquelaconstituyen.

Parahacermásdirectoelaprendizajedecómorealizarunfondodecapitalización,la

explicaciónseharábasadaenunejemplo.

Suponga que debe pagar una deuda de $2.000.000 dentro de 2 años y para hacerlo

constituye un fondo que le permita pagarlo sin problema. La tasa de interés que le


57

reconocen es del 1,5% con capitalización semestral y los depósitos deben ser

semestrales también. A fin de saber periodo a periodo cómo se comporta el fondo,

ustedquiereconstruirelfondodecapitalización. Siguiendoelprocedimientoantesdescritosetiene:

1. Identificarloselementosdelproblema:

a. VF=$2.000.000b. n=2añosc. j=1,5%CCSd. m=2elañotiene2semestres

2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.

Comoescuotavencidaseutilizalafórmula:

Parafacilitarlasoperacionessetrabajarácon$494.410

3. Construirelesquemadelfondo.

02,410.494045225422.4

000.000.2

2015,02015,01

000.000.2

1

22

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

A

A

A

mjmj

VFA

x

nxm


58

FONDODEAMORTIZACIÓN

PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL

AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

4. Calcularcadaunodeloscomponentesdelatabla.

Elprimerpasoescolocarelvalordelacuotaensucasilla.Comoesuniformey

vencida,secolocaensuespacioapartirdelperiodo1.


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 2 494.410 3 494.410 4 494.410


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3 494.410 4 494.410

Se calcula el valor de los intereses para el segundo año, es decir, =494.410x0,015/2=3.708yeltotalagregadoalfondoqueesigualalacuotamás

losintereses.


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 3 494.410 4 494.410


59

Secalculaelsaldofinalqueseráigualalsaldoinicial+lacapitalización,eneste

caso,0+498.118.


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 00 0 494410 2 494.410 3.708 498.118 992.528

Losinteresesdeltercerperiodoenadelantesonigualesalsaldofinalporlatasadeinterésasí:996.264x0,0075=7.472

Serepitenlasoperacionesparaeltercerperiodoasí:


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 992.528 3 494.410 7.444 501.852 1.494.382

Ahoraparaelcuartoperiodoasí:


AGREGADO AL FONDO

SALDO FINAL

0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 996.264 3 494.410 7.444 501.852 1.494.382 4 494.410 11.208 505.618 2.000.000


60

Resumen

Las series variables son cuotas periódicas que varían, bien sea en forma de una

progresión aritmética o geométrica. Pueden darse en forma creciente o decreciente.

Regularmente se les llama anualidades con gradiente aritmético o anualidades congradientegeométrico.Encadaunadeellas,sepuedecalcularelvalorfuturoyelvalor

presente.

El valor futuro y el valor presente de cualquier tipo de anualidad, tienen como

herramienta de presentación, tanto el fondo de capitalización como la tabla deamortización,quesondegranayudaparairvisualizado,periodoaperiodocómoseva

acomportar,tantoelvalorfuturocomoelvalorpresente.


61

Bibliografía

• Aliaga, C, y Aliaga, C. Matemáticas Financieras, un enfoque práctico. Editorial

PRENTICE.

• DíazA,YAguilera,V.Matemáticas financieras.EditorialMcGrawHill,Tercera

edición.

• García, J.Matemáticas financierasconecuacionesdediferencia finita.Editorial

Pearson.

• Gómez,A.MatemáticasFinancieras.EditorialUniversidaddelQuindío.

• Portus,L.(2003).Matemáticasfinancieras,EditorialMacGrawHill.

unidad 5. anualidades con gradientes, amortizaciÓn y...

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