Download - U.A.II - Trigonometría
α : ángulo central, debe estar en radianes
INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO
“VÍCTOR ANDRÉS BELAUNDE”
JAÉN
FICHA DE INFORMACION Nº 01
INTRODUCCION
TRIGONOMETRIAEs aquella parte de la matemática elemental que estudia la medida de los tres ángulos de un triángulo en relación con sus lados.
MEDIDA DE ÁNGULOSSistemas de medición de ángulosHay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesimal, Centesimal y Radial.
Sexagesimal: Toma como unidad de medida un arco que es igual a la 360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le llama grado sexagesimal. Se simboliza así: “O”. Ejemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimales.
Centesimal: Toma como unidad de medida un arco que es igual a la 400 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le llama grado centesimal. Se simboliza así: g. Ejemplo: 40 g. Se lee: 40 grados centesimales.
Radial: Toma como unidad de medida un arco de una longitud igual a la de su radio, y a esta longitud de arco se le llama radián. Se simboliza así: rad. Ejemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes.
Equivalencia entre los tres Sistemas
LONGITUD DE UN ARCO:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
1 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2πrad.
1º < > 60’ y 1’ < > 60’’1 g < > 100 min y 1 min < > 100 s S
180 =
C200
= Rπ
→ {S9
= C10
S = 180Rπ
C = 200Rπ
L = r αL
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Ejercicios:1.Convertir agrados centesimales
a) 225° b) 549° c) 72° d) 9°
2.Convertir a radianes
a) 15° b) 120° c) 756° d) 210°
3.Convertir a grados sexagesimales
a) 200g b) 40g c) 80g d) 420g
4.Expresa 12g 43min 25s en minutos centesimales.
5.Convierte 7800’’ a grados y minutos sexagesimales.
6.Convierte 81.41º a grados, minutos y segundos sexagesimales.
7.Halla el ángulo en radianes que genera “el horario”, en un reloj convencional, durante 15 minutos.
8.Hallar el valor de R en
9.Simplificar la expresión
10. Hallar R en:
11. Hallar el valor de R en:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
FICHA DE INFORMACION Nº 02
RAZONES TRIGONOMETRICAS
RAZON TRIGONOMETRICAUna razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.
Hasta ahora conocemos una relación entre los lados del triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras; y otra entre los ángulos de cualquier triángulo: su suma es 180º.
Los ángulos agudos de un triángulo se relacionan con la medida de sus lados mediante unos cocientes llamados razones trigonométricas. En la siguiente tabla te mostramos cuáles son
estas razones trigonométricas:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
EJERCICIO 1: Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α =
1/5, calcula sen α y tg α.Solución:
EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que α es un ángulo agudo:
Solución:
EJERCICIO 3: En el triángulo de la figura calcula:
a) sen α d) sen β b) cos α e) cos β
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
sen
α
cos
α
0.
25
tg
α
0.
6
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
c) tg α f) tg β
EJERCICIO 4: Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la . tg α=3/4.Solución:
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE TRIANGULOS NOTABLES
EJERCICIO 5: Obtén con la calculadora
a) sen 30º = 0,5
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
b) cos 60º = 0,5
c) tg 45º = 1
Ejercicios:1.Halla con la calculadora las siguientes razones redondeando a
centésimas:
a) sen 25º b) cos 67º
c) tg 225º d) tg 150º
2.Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipotenusa.
3.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º. Calcula los catetos.
4.Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, calcula el otro cateto.
5.En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halla los ángulos agudos.
6.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 cm, calcula los ángulos agudos.
7.En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 78º y la altura 28 cm,
8.halla el lado desigual.
9.Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 41 cm y los ángulos iguales 72º, calcula el otro lado.
10. El cos de un ángulo del primer cuadrante es 3/4, calcula el seno del ángulo.
11. La tangente de un ángulo del primer cuadrante es 12/5 calcula el seno.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
12. El sen a = 3/5 y a es un ángulo del segundo cuadrante, calcula la tg a.
13. El cos a = 3/5 y a es un ángulo del cuarto cuadrante, calcula la tg a.
14. La tg a = 3 y a es un ángulo del tercer cuadrante, calcula el cos a.
15. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11m. ¿Cuál es la altura del árbol?
16. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un ángulo de 37º, ¿a qué altura vuela la cometa?
17. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?
18. Dos personas distantes entre sí 840 m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de 60º y 47º, ¿a qué altura vuela el avión?
19. Para medir la altura de una montaña se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 480m y situados a 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 45º y 76º?
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
FICHA DE INFORMACION Nº 03
RAZONES TRIGONOMETRICAS
PROPIEDADES FUNDAMENTALESTeorema:
El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad.
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
Para un mismo ángulo, siempre se cumple:
Sen . Csc = 1
Cos . Sec = 1
Tg . Ctg = 1
Ejemplos:
Sen 10º . Csc10º = 1 Tg A . Ctg A = 1 Cos(x+y).Sec(x+y) = 1 Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1
2. Razones trigonométricas de Ángulos Complementarios
Si: y son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
Es decir: + = 90º
Ejemplos:
Sen20º = Cos 70º
Tg 50º = Ctg 40º
Sec 80º = Csc10º
Ejercicios:
1. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique:Sen5x = Cosx
Solución:
Dada la ecuación: Sen5x = Cosx
Luego los ángulos deben sumar 90º, entonces:
5x + x = 90º
6x = 90º
.x = 15º.
2. Resolver “x” el menor positivo que verifique:Sen3x – Cosy = 0
Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0
Solución:
Nótese que el sistema planteado es equivalente a:
Sen3x = Cosy 3x + y = 90º (R.T. complementarios)
Tg2y . Ctg30º = 1 2y = 30º
(R.T. recíprocas)
.y = 15º.
Reemplazando en la primera igualdad:
3x + 15º = 90º
3x = 75º
.x = 25º.
3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0,
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
c
b
a
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
calcular: P= Tg7x
Ctg6x Solución:
Del Dato: Sen 9x = Cos 4x
9x + 4x = 90º
13x = 90º
Pero: 7x + 6x = 13x
7x + 6x = 90º
Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x)
Luego:
Tg7xCtg6x
=1 P = 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL1. Sistemas de Coordenadas Rectangulares
Donde:
x : Eje de Abscisasy : Eje de OrdenadasIC: Primer CuadranteIIC : Segundo CuadranteIIIC : Tercer CuadranteIVC : Cuarto CuadranteO : Origen del Sistema
Ubicación de un Punto
Donde:
P : Punto del Sistema Bidimensionala : Abscisa del Punto Pb : Ordenada del Punto P(a; b): Coordenadas del Punto P
2. Radio Vector (r)
Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo está representado por “r”.
Donde: r : Longitud del Radio Vector
3. Ángulo en posición normal
Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
P(a; b)b
a x
y
O
x
y
IIC
IC
IIIC
IVC
–
–
+
+
r2 = a2 + b2+r
(a; b)
| a
| b
x
y
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Donde:
, son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.
L.I.: Lado Inicial
L.F.: Lado Final
Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.
4. Regla de Signos
IC IIC IIIC IVCsen + + - -cos + - - +tg + - + -cot + - + -sec + - - +csc + + - -
Ejercicios:
01. Del siguiente gráfico
calcular:
E=√10 senθ−12cot θ
Solución:
a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:
r2 = r2 + (-3)2 r = √10b) Reemplazamos las definiciones:
E=√10 . (−3
√10 )−12 ( 1−3 ) = -3 + 4 E = 1
02. Indicar el signo resultante de la siguiente
operación.
E = sen130º . cos230º . tg330º
Solución
E = sen130º . cos230º . tg330º
E = + . – . – E = +
03. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?
Solución
Si III 180º < < 270º
60º <
θ3 < 90º 120º <
2θ3 < 180º
Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
y
xTambién son llamados ∢s en posición
canónica o estándar.
r
(x; y)
x
ysenθ=OrdenadaM . R .V .
= yr
csc θ= M .T .V .Ordenada
= ry
cosθ= AbscisaM . R .V .
= xr
secθ=M . R .V .Abscisa
= rx
tgθ=OrdenadaAbscisa
= yx
cot θ= AbscisaOrdenada
= xy
S P
T C
encsc
ositivasTodas
gcot
ossec
+
+ +
(1; -3)
y
x
IVCIIICIIC
x
y
)2;3(
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
.II Cuadrante.
04. Indicar el cuadrante al que pertenece la
medida angular “” si:
tg < 0 csc > 0
Solución
tg = - { IIC IVC }
csc = + { IC IIC }
Practica Dirigida
1. Poner V o F según convenga:
a) sen20º = cos70º ( )
b) tg10º . ctg10º = 1 ( )
c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) ( )
d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( )
e) tg20º = ctg20º ( )
2. Señale el valor de “x”. Si: Sen2x . Csc40º = 1
3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1.
Calcular: Cos3x
4. Hallar “x”. Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1
5. Determine “x” en:
Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1
6. Calcular:
E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º)
7. Calcular:E=sen10º
cos80º+2tg20º
ctg70º−3sec40º
csc50º
8. Si: Sec7x = Csc4x
Calcular: E= 2Senx
Cos10x− Tg3x
Ctg8x
9. Si: “x” e “y” son complementarios además:
( tgx )ctg2 y=3√3
Calcular: E=2 sen ( x2 )+sec2 y
10.Calcular: cos(x + y)
Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1
Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)
1. Del siguiente gráfico calcular:
E=√10 senθ−12cot θ
2. Del gráfico calcular:
E=√11 cosθ−6√2 tgθ
3. Si el punto P(-1; 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:
K = Sen.Cos
4. Si el punto Q(– 3; – 4 ) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:
E = Sec + Tg
5. Si el punto Q(– 5; –12) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:
E = Csc - Ctg
6. Del gráfico calcular: E=√5 sec β+4 cot β
7. Calcular: csc + cos
FICHA DE INFORMACION Nº 04
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
IIC
(1; -3)
y
x
(1; -2)
y
x
La división de un número entre 0 (cero) es una operación no
definida.
Ejercicios Resueltos
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
ANGULOS EN POSICION NORMAL
ANGULOS CUADRANTALESTeorema:
Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma:
“nπ2 ”; n Z ó “n. 90º”.
Ejemplos:
Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos:
n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….; n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;
El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.
1. R. T. de Ángulos Cuadrantales
Donde:
COMPROBACIÓN
1.sen90 º = y
r= rr= 1
2.cos 90º = x
r= 0
r= 0
3.tg 90 º = y
r= r
0= ∃ /¿ ¿
3. R. T. de Ángulos Coterminales
Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.
Ejemplos
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
-90º
180º 90º
y
x
0 = Cero1 = UnoN = No definido
r
(0; r)
90º
y
x
(a; b)y
x
R.T. = R.T. Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y
m∢
R.T.
0º, 360º
90º 180º 270º
0; 2 /2 3/2
Sen 0 1 0 -1
Cos 1 0 -1 0
Tg 0 N 0 N
Ctg N 0 N 0
Sec 1 N -1 N
Csc N 1 N -1
Practica Dirigida
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
1. Calcular:
E= (3Sen90º−Cos180º)2+1
(2Sen270º−Cos360º )2+8
Solución:
Reemplazando valores:
E= [3(1)−( -1 )]2+1
[2(-1 )−(1 )]2+8
E= 42+1
(-3 )2+8 E=17
17 E = 1
2. Siendo: Sen = –0,6; Cos = –Cos; calcular:
C = Sec + Tg
Solución:
De los datos:
a. Sen = – { IIIC IVC }b. Cos = –Cos { IIC IIIC }
Luego: IIIC
c. También:
Senα=−0,6=−35
Por Pitágoras:52 = 32 + x2 25 = 9 + x2 4 = x
d. Piden:C = Sec + Tg
C = − 5
4+ 3
4 C = − 2
4 C=−1
2
1. Simplificar:
E=(a+b )sen 90º−( a−b )cos0 º
2abcos360 º
a) a b) b c) a-1
d) b-1 e) ab
2. Simplificar:
E=(a+b )2sec 0 º+(a−b )2sen270 º
2abcsc90 º
a) a b) b c) 1d) 2 e) 4
3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x
Calcular: “f ( π
2)”
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x
Calcular: “f ( π
4)”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
5. Indicar el cuadrante al que pertenece “”Si: |tg| = -tg sec < 0
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
x = 4
53
Practica Dirigida
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC IIC
6. Si: son medidas de ángulos coter-minales y se cumple:
|sec| = sec |cot| = -cotIndicar el cuadrante al que pertenece “”
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC IVC
7. Calcular: E=√senx+√cos x−1a) 0 b) 1 c) 2
d) √2 e) 2√2
8. Calcular: E=√1+3 senx+√senx−1a) 0 b) 1 c) 2
d) √2 e) 2√2
.
9. Si: IVC, determinar el signo de:
E=tg α (1−cos α)sen α−cosα
a) + b) - c) + ó -
d) + - e) Todas son correctas
10. Si: IIIC, determinar el signo de:
E=cos β (3+sen β )tg β−csc β
a) + b) - c) + ó -
d) + - e) Todas con correctas
11. Una raíz de la ecuación: x2 – 2x – 3 = 0 es un valor de “tg”; si IIIC.
Calcular: E=√10 (sen α+cos α )
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12. Si: √sen α=–√cos β−1
3
Calcular: E = tg2 + sec
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
1. Calcular:
E=( a+b)2 sec360º + ( a-b)2cos180º
2abcsc270ºa) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2
2. Calcular:
E=(a+b )3 sen90 º+( a−b )3 cos 360º
a2 sec0 º+3b2 csc 90 º
a) a b) b c) 2ad) 2b e) ab
3. Si: f ( x )=sen x
2+cos
x3+tg x
4
Calcular: “f()”
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
Calcular: “f ( π
2)”
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
5. Si: |cos| =
√32 IIC
Calcular: E=cot θ+√3 senθ
a) √3 b) −√3 c)
√32
d) −√3
2 e) −√3
3
6. Si: x e y son medidas de ángulos coterminales
tal que: cos x=− √10 cosy < 0 además
cot y= a+5a−1 ; calcular “a”.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
7. Si: 270º < x < 360º indicar el signo de la expresión:
E=cot
x3
. sec3x4
cosx5
a) + b) - c) + ó -
d) + - e) Todas con correctas
8. Si: son medidas de ángulos coterminales
y tg α=2
5; cos < 0.
Calcular: E=√29 sen α+tg αθ
secθ . cos α
a) −4
5 b) −8
5 c)
45
d)
85 e)
−125
9. Si: IIC, IIIC IVC Indicar el signo de la expresión:
E=csc α+cos βtg β−secθ
a) + b) - c) + ó -
d) + - e) Todas son positivas
10. Del gráfico calcular:
E=3 cos (α−β6 )+sen(α−β )
√3 sen (α−β2 )
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Suert
e
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
FICHA DE INFORMACION Nº 05
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
DefiniciónEs el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo sea.
R.T. () R.T. ()
: no es agudo : sí es agudo
Para Ángulos Menores de una Vuelta
COMPROBACIÓN .
1.sen(90 º+θ ) = y
r= b
r= +cos θ
2.cos (90 º+θ ) = x
r= −a
r= −senθ
3.tg (90 º+θ ) = y
x= b−a
= −cot θ
COMPROBACIÓN .
1. sen(180 º– θ ) = b
r= +senθ
2.cos(180 º−θ ) = −a
r= −cos θ
3.tg(180 º−θ ) = b
−a= −tg θ
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
r b
a
90º+
(-a; b) y
x
En el
rb
a
180º -
(-a; b)
y
x
En el
IC IIC IIC IVC m∢R.T.
90º- 90º+ 270º- 270º
+
sen +cos
+cos -cos -cos
cos +sen
-sen -sen +se
n
tg +cot -cot +cot -cot
cot +tg -tg +tg -tg
sec +csc -csc -csc +cs
c
IC IIC IIC IV m∢R.T.
180º-
180º+
360º+
sen +sen -sen -sen
cos -cos -cos +cos
tg -tg +tg -tgcot -cot +cot -cot
sec -sec -sec +sec
+cs
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
EN GENERAL
R.T.
( 90 º ± α ¿ ) ¿¿
¿¿ = Co. R.T. ()
R.T. (180 º ± α ¿ ) ¿¿
¿¿ = R.T. ()
01. Reducir la siguiente expresión:
E = cos(90º + A) + cos(270º + A)
Solución:
1. Recomendamos seguir el siguiente orden:2. Primero señalamos el cuadrante.3. Luego indicamos el signo de la R. T.
Original en ese cuadrante.
E = cos(90º + A) + cos(270º + A)
E = [-senA] + [+senA]
E = -senA + senA
E = 0
02. Calcular:
E = 8sen150º + sec240º + 3cot315º
Solución:
Recomendamos seguir el siguiente orden:
1. Primero señalamos el cuadrante.2. Luego indicamos el signo de la R. T.
Original en ese cuadrante.
Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar con los pasos del ejemplo anterior.
E = 8sen(180º – 150º) + sec(240º – 180º )
+ 3cot(360º – 315º)
E = 8 [+sen30º] + [-sec60º] + 3[-cot45º]
E = 8 .
12 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3
E = -1
03. Reducir: E = csc(180º - x) + csc(360º - x)
Solución:
Siguiente los pasos del ejemplo anterior.
E = csc(180º - x) + csc(360º - x)
E = [+cscx] + [-cscx]
E = cscx – cscx E = 0
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Depende del cuadrante
cambia
Depende del cuadrante
Permanece igual
–IVC
+ IIC
–IVC
–IIIC+
IIC
+IVC
– IIC
“En ambos cambiamos a su R.T. complementaria por el 90º y 270º”
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Práctica Dirigida
1. Calcular:E = sen150º + tg225º + cos300º
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
2. Calcular:E = sec240º + cot135º + csc330º
a) 1 b) 3 c) 5
d) -5 e) -3
3. Calcular el valor de Sen 120º . Cos 330º
a) √ 3 /4 b) √ 3 /2 c) 1/4
d) 3/4 e) 1
4. Calcular el valor de : E = Sen 150º - Cos 120º + Tg 135º
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
5. Simplificar:
3 Sen 20º − 2 Cos 110ºCos 70º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Reducir:
E=sen(90 º+x )
cos (360 º−x )+tg(180 º−x )cot (270 º+x )
a) 0 b) 2 c) -2
d) 2tgx e) -2tgx
7. Reducir:
E=sec (π+x )
csc ( 3 π2−x )
+cot (2π−x )
tg( π2+x )
a) 0 b) 2 c) -2
d) 2senx e) -2cosx
8. Si: Calcular: “cscx”
Si: |secx| = -secx
a) √2 b) √3 c) √5
d) −√5 e) −√3
9. Si: x + y = Calcular: “tg(cosx + cosy)”
a) 0 b) tgx c) tgy
d) –tgx e) -tgy
10. Si: + = Calcular: “cos(tg + tg)”
a) 0 b) 1 c) -1
d) cos e) cos
11. Si : x + y = 2. Calcular : Tg x + Sen x + Tg y + Sen y
a) 1 b) 2 c) -1
d) 0 e) -2
12. En un triángulo ABC calcular:E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C)
a) tgA b) tgB c) tgC
d) 0 e) 1
13. En un triángulo ABC calcular:
E=sen( A+B )senC
+cos(B+C )cosA
+tg (A+C )tgB
a) 0 b) 1 c) -1
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
tg( π+x )+cot( 3π2−x )=tg π
4
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
d) 3 e)-3
Tarea Domiciliaria
1. Reducir:
E=sen ( π2+x )+cos (π+ x )+ tg ( 3 π
2−x )
a) senx b) cosx c) tgx
d) cotx e) 1
2. Reducir:
E=tg(π−x ) . tg( 3 π2+x )
a) 0 b) 1 c) -1
d) tgx e) cotx
3. Calcular:
E=2 sen2π4+3 tg
3 π4+5 cot
5π4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. En un triángulo ABC calcular:
E=sen(2 A+B+C )cos (B+C )
a) 1 b) -1 c) tgA
d) cotA e) -tgA
5. Calcular:
E=tg π8+tg 3 π
8+ tg 5π
8+tg 7 π
8
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
6. Simplificar:
E=cos (90º+x )sen (−x )
+tg( π+x )tg(− x )
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2tgx e) -2tgx
7. Si: x + y = Calcular: E = sen(tgx + tgy)
a) 0 b) 1 c) -1
d) senx e) seny
8. En un triángulo ABC calcular:
E=tg(2 A+B+2C )tg(A+C )
a) 0 b) 1 c) -1
d) tgB e) -tgB
9. En un triángulo ABC calcular:E = cosA + cos(B + C) + cos(A + B + C)
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
10. Reducir:
E= sen230 ºsen310 º
+ tg140 ºcot 130º
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
11. En un triángulo ABC calcular:
E=csc(A+B )csc(−C )
+sec(B+C )sec(−A )
+cot (A+C )cot (−B )
a) 0 b) 1 c) -1
d) 3 e) -3
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
FICHA DE INFORMACION Nº 06
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
Para Ángulos Negativos
COMPROBACIÓN .
1.sen(−α ) = −b
r=− b
r=−senα
2.cos (−α )=a
r=+ cos α
3.tg (−α )=−b
a=−tg α
Nota:El signo negativo de la Medida Angular es colocado adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en las cuales el signo de la medida angular puede obviarse.
Ejemplo:
Calcular:
E = tg(sen20º) + tg(sen340º)
Solución:
1. Primero reducimos:
Sen340º = sen(360º – 20º) = –Sen20º
2. Reemplazando:
E = tg(sen20º) + tg(–sen20º)
E = tg(sen20º) – tg(sen20º) E = 0
Para ángulos Mayores a una Vuelta Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
360º = 360º . n +
n
R.T. = R.T.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
sen(-) = -sen
cos(-) = cos
tg(-) = -tg
cot(-) = -cot
sec(-) = sec
csc(-) = -csc-
r
r(a; -b)
(a; b)y
x
–IVC
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Ejercicios Resueltos:
01. Sen 1985º
1985º 360º
1800º 5
Residuo 185º
Luego :
Sen 1985º = Sen 185º
= Sen (180º + 5º) …… (*)
= -Sen 5º
Sen 1985º = -Sen 5º
02. Tg 5535º
5535º 360º
5400º 15
Residuo 135º
Luego :
Tg 5535º = Tg 135º
= Tg (90º + 45º) …… (*)
= -Ctg 45º
Tg 5535º = -1
03. Sen (-2400º)
Sen (-2400º) = -Sen 2400º
2400º 360º
2160º 6
Residuo 240º
Luego :
–Sen 2400º = –Sen 240º
= – Sen (240º – 180º) …… (*)
= – (–Sen 60º) = Sen 60º
Sen (–2400º) =
√32
Práctica Dirigida
01. Calcular:E = csc750º + sec1380º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
02. Calcular:E = tg855º + csc1230º
a) 1 b) 2 c) 3
d) -2 e) -3
03. Reducir: E = tg(5 + x) + tg(8 + x)
a) 0 b) tgx c) cotx
d) 2tgx e) 2cotx
04. Reducir: E = cos(17 + x) + cos(24 + x)
a) 0 b) 2senx c) 2cosx
d) -2senx e) -2cosx
05. Reducir:
E=sen (29π2+x)+sen(35
π2+ x)
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
¡NO TE OLVIDES!
Los pasos (*), pertenecientes al capítulo anterior.
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
a) 0 b) 2senx c) 2cosx
d) -2senx e) -2cosx
06. Reducir:
E=cot(53π2+x )+cot(71
π2−x )
a) 0 b) 2tgx c) 2cotx
d) -2tgx e) -2cotx
07. Calcular: cos123
π4
a) 1 b) -1 c)
√22
d) −√2
2 e) −√3
2
08. Calcular: tg 2003
π4
a) 1 b) -1 c)
√22
d) −√2
2 e) −√2
2
09. Si: x+ y=13
π2
Calcular:
E= senxcos y
+ tgxcot y
+sec xcsc y
a) 1 b) -1 c) 3
d) -3 e) 1/3
10. Si: x+ y=23
π2
Calcular: E = tg(senx + cosy)
a) 0 b) 1 c) -1
d) tgx e) tgy
11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235º”
a) –tg135º b) –tg105º c) –tg100º
d) –tg120º e) –tg143º
12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360º
a) –sen200º b) –sen210º c) –sen220º
d) –sen230º e) –sen240º
13. Si: 3 x+5 y=35
π2
Calcular:
E=sen( x+ y ) sec(2 x+4 y )tg (2 x+3 y ) . tg( x+2 y )
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e)-2
Tarea Domiciliaria
01. Calcular:
E=√3 tg 840 º+sec1920 º
a) -1 b) -3 c) -5
d) 3 e) 5
02. Calcular:
E = cos(53 + ) + cos(48 + )
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2cos e) -2cos
03. Reducir:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
E=tg (37π2+x)+ tg (43
π2−x )
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2cotx e) -2cotx
04. Reducir:
E=sen [( 4k+1 ) π2+x ]
a) cosx b) –cosx c) senx
d) –senx e) 1
05. Reducir:
E=csc [(12 k+3 ) π2+x ]
a) secx b) cscx c) -secx
d) –cscx e) 1
06. Calcular:
E=sen543π4
. tg 321π4
a)
√22 b)
−√22 c) 1
d) -1 e) −√3
2
07. Si: x+ y=59
π2
Calcular: senx . secy
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
08. Si: 2x + 3y = 23
Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
09. Si: x + y = 2
Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)
a) 0 b) 1 c) -1
d) tgx e) tgy
10. Si: x + y =
Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2cotx e) 2coty
11. En un triángulo ABC calcular:
E=sen(2 A+2 B+3C )
sen( A+B )+tg (3 A+3B )
tg 3C
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
12. En un triángulo ABC calcular:
E=tgA . tg ( A+B ) . tg( A+C )
tgB . tg(B+C )
a) –tgA b) –tgB c) -tgC
d) tgA e) tgB
13. Calcular:
E=cos3 π8+cos3 3 π
8+cos3 5π
8+cos3 7π
8
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
FICHA DE INFORMACION Nº 07
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
1. Definición
Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.
Donde:
O : Centro u origen de coordenadasR : Radio (R = 1)A : Origen de arcoM : Extremo de arco : Medida del arco Rad : Medida del ángulo MÔAC.T. : Circunferencia Trigonométrica
NotaLos arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.
: Arco positivo : Arco negativo
2. Arco en Posición Normal
Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto “A” y su extremo final, se encuentra en cualquier parte de la C.T.
Ejemplo:Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos:
a) 60º b) 90º c) 150º
d) 225º e) -30º
3. Representación de Seno y Coseno
a) Seno: El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.
Sen Signo
IC Sen 1 (+)
IIC Sen 2 (+)
IIIC Sen 3 (–)
IVC Sen 4 (–)
b) Coseno El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
C.T.
Y
XR = 1
Rad
M
OA
B
B’
A’
C.T.
O
(-)
(+)
B
A
B’
A’
270º
225º
180º
150º
90º60º
-30º
360º
0º
O
C.T.
27
0º
180º
90º
0ºx360º
4
12
3
Sen 4Sen 3
Sen 1Sen 2
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
mediante una horizontal trazada desde el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.
NOTA:
1.
2. Desigualdad:
> Mayor que< Menor que
Mayor o igual que
Menor o igual que
Ejemplo:
Representar en la C.T.
a) Sen 30º, Cos 53º
b) Sen 100º , Cos 200º
c) Cos 315º
PRACTICA DIRIGIDA
01. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo:
Sen70º Sen160º
a) < b) > c) d) e) =
02. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo:
Sen50º Sen130º
a) < b) > c) d) e) =
03. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
cos100º cos200º
a) < b) > c) d) e) =
04. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
cos160º cos260º
a) < b) > c) d) e) =
05. Si:
π2<x1<x2<π
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. senx1 < senx2II. cosx1 < cosx2
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
X
Y
Cos 1 1
4
Cos 4
Cos 33
C.T.
2 Cos 2
90º
0º360
270
180
Flecha Derecha
Flecha Izquierda
Flecha
Abajo
Flecha
Arriba
(-)
(+)(-)(+)
53º90º100
º
180º
200º
270º
360º
0º
30º
315º
Cos 315º
Cos 200º
Sen 100º Sen 30º
Cos 53º
Cos Signo
IC Cos 1 (+)
IIC Cos 2 (–)
IIIC Cos 3 (–)
IVC Cos 4 (+)
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
III. cosx1 < senx2
a) VVV b) VFF c) FFV
d) FVF e) VFV
06. Si: 3π2<x1<x2<2 π
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. senx1 < senx2II. cosx1 < cosx2III. cosx1 < senx2
a) VVV b) VVF c) FFVd) VFV e) FVF
07. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
|sen250º| |sen340º|
a) < b) > c) d) e) =
08. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
|cos100º| |cos200º|
a) < b) > c) d) e) =
09. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.a) senb) cosc) -send) -cose) 2sen
10. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.a) senb) cosc) -send) -cose) 2cos
11. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) sen
b) cos
c) -sen
d) -cos
e) 2cos
12. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) sen
b) cos
c) -sen
d) -cos
e) 2sen
13. Del gráfico calcular “sen + sen”
a) 0
b) 1
c) -1
d) 1/2
e) -1/2
14. Ordenar en forma creciente los siguientes valores.
a = sen50º ; b = sen100º c = sen150º
a) abc b) cba c) cab
d) acb e) bca
VARIACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C. T.
1. VARIACIÓN DEL SENO
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
C.T
y
x
C.T.
y
x
C.T.
y
x
C.T
.
y
x
C.T.
y
x
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Si:
[0º; 360º] 1 Sen 1 (Sen )mín = 1
(Sen )máx = +1
2. VARIACIÓN DEL COSENO
Si:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
1 +1360º0º180º
270º
90º
X
Y
1
+1
360º0º180º
270º
90º
X
Y
X
Y
180º 0º
45º
60º
Sen 45ºSen 60º
90º
Ejemplo 01.Hallar la variación del Seno.
Si: [45º; 60º
De la C.T.:
Sen 45º Sen Sen 60º
√2
2 Sen
√3
2
SENO
IC 0 Sen 1
IIC
IIIC
IVC
COSENO
IC 0 Cos 1
IIC
IIIC
IVC
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
[0º; 360º] 1 Cos 1
(Cos )mín = 1
(Cos )máx = +1
Nota:i. FLECHA :
Arriba : : CrecienteAbajo : : Decreciente
ii.DESIGUALDADES :
PROPIEDADES INTERVALOS
Si: a, b, c R 1. I. Abierto a; b ó a x b
2. I. Cerrado [a; b] ó a x b
3. I. Semiabierto a, b] ó a x b[a, b ó a x b
1. a b a c b c2. a b c > 0 ac bc
3. a2 0
Práctica Dirigida Nº 02
1. En qué cuadrantes el Seno crece, a medida que el ángulo crece.
a) I y IIC b) II y IIIC c) I y IVCd) II y IVC e) III y IVC
2. En qué cuadrante(s) el Seno decrece y el Coseno crece.
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IIC y IIIC
3. Indicar la variación del Seno en el IC.
a) 0; 1 b) 0; 1] c) [0; 1d) [0; 1] e) 1; 1
4. Hallar el máximo valor de:E = 4Sen + 5Cos 2
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
C.T.Cos 60ºCos 120º
0º
120º
180º
90º
0ºX
Y
Ejemplo 02.Hallar la variación del Coseno.
Si: 60º; 120º
De la C.T.:
Cos 120º Cos Cos 60º
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
5. Hallar la suma del máximo y mínimo de:
K = 7Sen 4Cos 3Sen2 + 5
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
6. Si: Sen = x2
x3
Indicar la variación de “x”.
a) 6; 6 b) [6; 6] c) 6; 6]d) [6; 6 e) 0; 6
7. Si: Sen =
3 x− 27
Indicar el intervalo de “x”.
a) 53 ; 3 b)
53 ; 3] c) [
53 ; 3
d) 53 ; 0 e) [
53 ; 3]
8. Si: IVC.
Además: Cos =
3 x− 52
a) 53 ;
73 b)
53 ;
73 ] c) [
53 ;
73 ]
d) 0; 53 e) 0;
73
9. Si: IC.
Hallar la variación de: E = 3Cos + 1
a) 1; 2 b) 1; 3 c) 1; 4d) 0; 1 e) 0; 4
10. Si: 30º 150º
Hallar el mínimo y máximo valor de Sen.
a) {12 ; 1} b) {
12 ; 1} c) {0;
√3
2 }
d) {
√3
2 ; 1} e) {
√2
2 ; 1}
11. En la C.T. mostrada, 90º; 180º
Indicar la variación de “z”, si: PQ = PM.
a) 0 z 12
b) 0 z 12
c) 0 z 12
d)12 z 1
e)12 z 1
12. Si: IIC, indicar el máximo valor entero de “x”, en:
1 + Sen =
x − 13
a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 9
13. Si: 90º 270º.
Hallar la extensión de Sen.
a) 1; 1 b) [1; 1 c) 1; 1]d) [1; 1] e) 0; 1]
14. En la C.T. mostrada se tiene que: ,
además el área sombreada es igual a 12 2.
Hallar la variación de:
E = √3 Cos + 2
a)12 E
72
b)12 E
72
c)12 E 1
d)12 E 1
e)12 E
72
15. Si: 180º 270º ; hallar la variación de:
E = 2Sen ( + 30º) + 1
a) √3
2 ; 12
b) [√3
2 ; 12 ]
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
X
Y
M
Q
PZ
O0º180º
90º
X
Y
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
c) 12 ; 0
d) √3
2 ; 0
e) [-12 ; 0]
Tarea Domiciliaria
01. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
sen70º cos70º
a) < b) > c) d) e) =
02. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.
sen260º cos260º
a) < b) > c) d) e) =
03. Ordenar en forma creciente los siguientes valores:
a = sen80º ; b = sen130º c = sen190ºa) abc b) cba c) cabd) bac e) bca
04. Ordenar en forma decreciente los siguientes valores:
a = cos70º ; b = cos100º c = cos195ºa) abc b) cba c) cab
d) bca e) bac
05. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) 0,5 sen
b) 0,5 cos
c) -0,5 sen
d) -0,5 cos
e) -cos
06. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) 0,5 sen
b) 0,5 cos
c) -0,5 sen
d) -0,5 cos
e) -sen
07. Del gráfico mostrado calcular el área del cuadrilátero sombreado.
a) 0,5(sen + cos)
b) 0,5(sen - cos)
c) 0,5(cos - sen)
d) -0,5(sen + cos)
e) 0,5sen cos
08. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) 0,5 sen
b) 0,5 cos
c) -0,5 sen
d) -0,5 cos
e) -sen
09. Del gráfico mostrado calcular el área del cuadrilátero sombreado.
a) 0,5(sen + cos)
b) 0,5(sen - cos)
c) 0,5(cos - sen)
d) -0,5(sen + cos)
e) 0,5sen cos
10. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.
a) sen
b) cos
c) -sen
d) -cos
e) 0,5cos
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
C.T.
y
x
C.T
.
y
x
C.T
y
x
C.T
.
y
x
C.T
y
x
C.T
y
x
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Tarea Domiciliaria
1. En qué cuadrantes el Coseno decrece.
a) I y IIC b) II y IIIC c) III y IVC
d) II y IVC e) I y IIIC
2. En qué cuadrante(s) el Coseno crece y el Seno crece.
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IIC y IIIC
3. Indicar la variación del Coseno en el IIC.
a) [1; 0] b) 1; 0 c) 1; 0]
d) [1; 0 e) 1; 1
4. Hallar el mínimo valor de:E = 6Cos + 13Sen + 20
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
5. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de:
H = 7Cos 3Sen2 5Cos3 ß + 2
a) 2 b) 1 c) 1
d) 2 e) 3
6. Si: Cos = x5
x6
Indicar la variación de “x”.
a) 30; 30 b) 30; 30] c) [30; 30
d) [30; 30] e) 0; 30]
7. Si: Sen =
5 x− 183
Indicar la variación de “x”.
a) [3; 215 ] b) [3;
215 ] c) 3;
215
d) 3; 215 ] e) [0; ]
8. Si: IIIC
Además: Sen =
z − 14
Indicar la variación de “z”.
a) 3; 0] b) 3; 0 c) [3; 0
d) 0; 3 e) [3; 0]
9. Si: 180º 360º
Hallar la variación del Cos .
a) [1; 1] b) 1; 1 c) 1; 1]
d) [1; 1 e) 1; 0]
10. Si: 120º 240º
Hallar el mínimo y máximo valor de Cos .
a) {1; √3
2 } b) {1; 0} c) {1; 12 }
d) {√3
2 ; 12 } e) {
12 ; 0}
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad.
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
Ejemplo:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Observaciones:1) A×B≠B× A no se cumple la propiedad conmutativa.
2) Cuando A=B, denotaremos el producto cartesiano A× A por A2.
Particularmente, si A=B=R entonces el producto cartesiano de R×R se
denotará porR2, donde R es el conjunto de los números reales.
3) Cuando los conjuntos A y B son finitos, el número de elementos del conjunto
A×B es igual al número de elementos del conjunto A por el número de
elementos del conjunto B. Esto es:
n ( A×B )=n (A ) ∙ n (B )
Ejemplo 5: Del ejemplo 3, tenemos:
n ( A×B )=n (A ) ∙ n (B )=(3 ) (2 )=6
n ( A×B )=6
1.1. Producto Cartesiano R×R: Dado R el conjunto de los números reales, el
producto de R por R es el conjunto formado por todos los pares ordenados ( x , y ) tales que x e y pertenecen al conjunto de los números reales. Esto es:
R×R={( x , y ) / x∈R∧ y∈R }R2= {( x , y ) / x∈ R∧ y∈ R }
1.2. Representación Geométrica del Producto Cartesiano Para graficar los pares ordenados del producto
cartesiano R×R o R2, se usa el sistema coordenado
rectangular o sistema coordenado cartesiano en el plano, o el plano cartesiano, donde R representa al conjunto de los números reales.
Ejemplo 6: Si A={2,4,6 } y B= {2,6 }. Graficar A×B y B× A
A×B= {(2,2 ) , (2,6 ) , (4,2 ) , (4,6 ) , (6,2 ) , (6,4 ) }B× A= {(2,2 ) , (2,4 ) , (2,6 ) , (6,2 ) , (6,4 ) , (6,6 ) }
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
A×B
6
2
2 4 6
Y
B
B× A
6
4
2
2 6
Y
A
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Ejemplo 7: Si A={x∈R / x−3<7 }, B= {y∈R /−2< y<3 } Graficar A×B y B× ASolución:
A={x∈R / x<10 } y B= {y∈R /−2< y<3 }
A×B= {(x , y)∈R /x<10∧−2< y<3 }
B× A= {(x , y)∈R /−2<x<3∧ y<10 }
Ejemplo 8: Graficar: {(2,3 ) , (−3,2 ) , (0 ,−2 ) , (4 ,−1 ) } y nombrar el cuadrante en que
queda cada uno.Solución:Sean los puntos:
A (2,3 ) ,B (−3,2 ) ,C (0 ,−2 ) , D (4 ,−1 )
El punto A está en el I cuadrante
El punto B está en el II cuadrante
El punto C está en el eje Y
El punto D está en el IV cuadrante
1.3. Ejercicios Resueltos
1. Determinar los valores de x e y, en cada caso:
a) ( y−2,2x+1 )=( x−1 , y+2 )
( y−2,2x+1 )=( x−1 , y+2 )⟹{ y−2=x−12 x+1= y+2
⟹{x=2y=3
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
A×B
B× A
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
b) (3 x−8 y ,4 x+3 y )=(4−2x−10 y ,2x+4 y+7 )
{3x−8 y=4−2x−10 y4 x+3 y=2x+4 y+7
⟹ {5 x+2 y=42 x− y=7
⟹ { 5 x+2 y=4 (1)4 x−2 y=14 (2)
Sumando las ecuaciones (1) y (2) de dos variables, tenemos:
{ 5 x+2 y=44 x−2 y=14
⟹9x=18⟹ x=2
Reemplazamos el valor de x=2 en la ecuación (1):
5 (2 )+2 y=4⟹10+2 y=4⟹2 y=−6⟹ y=−3
2. Dados los conjuntos A={3 ;5 ;7 } y B={1;2 } Hallar:
A×B={(3 ;1) ,(3 ;2) ,(5 ;1), (5 ;2) ,(7 ;1), (7 ;2)}
B× A={(1 ;3) ,(1 ;5) ,(1 ;7) ,(2;3) ,(2 ;5), (2;7)}
3. Si A={x∈ R/2<x<5 } y B={ y∈ R/1< y<4 } Graficar A×B y B× A
4. Sean: A={x∈Z /−1≤x ≤3 }, B= {x∈Z /1≤ x≤4 } , yC={x∈Z /1≤x ≤4 }; Hallar los conjuntos:
a) A×B b) B×C c) ( A−C )×BSolución: Determinando los conjuntos por extensión:
A={−1,0,1,2,3 } ,B={1,2,3,4 } ,C={1,2,3,4 }
a) A×B={(−1,1 ) , (−1,2 ) , (−1,3 ) , (−1,4 ) , (0,1 ) , (0,2 ) , (0,3 ) , (0,4 ) , (1,1 )(1,3 ) , (1,4 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) }
b) B×C={(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (2,1 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) ,(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) }
c) A−C={−1,0 }, B= {1,2,3,4 }
( A−C )×B={(−1,1 ) , (−1,2 ) , (−1,3 ) , (−1,4 ) ,(0,1 ) , (0,2 ) , (0,3 ) , (0,4 ) }
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
A×B
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se presenta gráficamente los siguientes productos cartesianos:
a) ¿0 ,+∞>×<0 ,+∞>¿
¿0 ,+∞>×<0 ,+∞>⟹ {(x , y )/ x>0∧ y>0 }
b) ←∞ ,0>×←∞,0>¿
←∞ ,0>×←∞,0>⟹ {(x , y )/ x<0∧ y<0 }
c) ←∞ ,0>×<0 ,+∞>¿
←∞ ,0>×<0 ,+∞>⟹ {( x , y ) /x<0∧ y>0}
d) ¿0 ,+∞>×←∞ ,0>¿
¿0 ,+∞>×←∞ ,0>⟹ {( x , y )/ x>0∧ y<0}
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
d)c)
b)a)
x<0∧ y<0
x<0∧ y>0
x>0∧ y<0
x>0∧ y>0
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
1.4. Actividades de Aprendizaje
I. Determinar los valores de x e y, en cada caso:
1) ( x−7 y ,2x−6 y )=(15 ,−10 )
2) (4,2 x−10 )=( x−1 , y+2 )
3) ( x+ y ,3 )=(5 , y−x )
4) (2 x− y , x+ y+3 )=( x+ y+1,2x+ y )
5) ( x+ y2−1,
x− y2+1)=( y−x2
+2 ,x+ y
2−2)
II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar:
1) Sea A={x∈R /1≤ x≤3 } ,B={ y∈R/2≤ y≤4 } , A×B
2) Sean: A={x∈Z /−1≤x ≤3 }, B= {x∈Z /1≤ x≤4 } , y
C={x∈Z /1≤x ≤4 }; Graficar:a) A×B b) B×C c) ( A−C )×B
3) Sean: A={x∈N / x<3 }, B= {x∈N / x es par y x<5 }, y
C={x∈N / x esimpar y x ≤4 }; Hallar el conjunto ( A∩B )× (C−A )
4) Si A=¿ y B=¿ Hallar ( A∩B )× (B−A )
5) Si A={x∈ R/2≤x ≤5 } y T={ y∈R /1≤ y<4 } Graficar T × A y A×T
FICHA DE INFORMACION Nº 02
1. RELACIONES
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
1.1. Definición : Dados dos conjuntos A y B no vacíos, decimos que R es una relación
de A en B si es subconjunto del producto cartesiano A×B. Simbólicamente, se denota:
R : A⟶B⟺ R⊂A ×B
En toda relación R existe:
Un conjunto de partida, el conjunto A
Un conjunto de llegada, el conjunto B y
Una regla de correspondencia o proposición p(x , y), la cual nos indica la
condición que deben cumplir los pares ordenado de la relación.
Notación:
Conjunto de Partida Conjunto de Llegada
R={(a ;b)∈ A ×B/ p(a ,b)}
Regla de Correspondencia
Si (a;b)∈R, la proposición p(x , y) es verdadera entonces aRb.
Ejemplo 1: Dados los conjuntos A={5,8,11}, B={4,7,10 } se define la relación
R={(a ;b)∈ A ×B/a<b } Hallar los pares ordenados de R.
Solución:El conjunto de partida es: A={5,8,11}
El conjunto de llegada es: B={4,7,10 }
A×B= {(5,4 ) , (5,7 ) , (5,10 ) , (8,4 ) , (8,7 ) , (8,10 ) , (11,4 ) , (11,7 ) , (11,10)}
La regla de correspondencia “a<b” nos dice que: “la primera componente es menor
que la segunda componente de cada par ordenado de R esto es:
R={(5,7 ) , (5,10 ) , (8,10 ) }
Ejemplo 2: Sean A={2,4 } y B= {1,3,5 }, entonces
A×B= {(2,1 ) , (2,3 ) , (2,5 ) , (4,1 ) , (4,3 ) , (4,5 ) }
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A en B:
R1={ (2,1 ) , (2,5 )}, R2={ (2,3 ) , (4,1 ) , (4,5 ) }, R3={(2,1 ) (4,3 ) , (2,3 ) }, R4=A×B
Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B:
R5={(1,2 ) , (4,1 ) , (4,5 ) }, R6={(2,1 ) , (4,1 ) , (3,4 ) }, Puesto que (1,2 )∉ A×B, (3,4 )∉ A ×B.
Por lo tanto, R5⊄A ×B, R6⊄ A×B.
1.2. Dominio y Rango de una Relación : Sea R⊂A ×B una relación, se definen:
Dominio de R por el conjunto
Dom (R )={x∈ A /∃ y∈B ,(x , y)∈R }
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Rango de R por el conjunto
Ran (R )={ y∈B/∃ x∈ A , ( x , y )∈R }
Es claro que Dom (R )⊂A y que Ran (R )⊂B
Ejemplo 3: Si R={(1,4 ) , (1,5 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) } entonces:
Dom (R )= {1,2 } y Ran (R )={3,4,5 }
Ejemplo 4: Dado A={x2+1/−2≤ x<3 ; x∈Z } Se define:
R2={(x ; y)∈ A× N / y=x2+3 } Representar R2 como un conjunto de pares
ordenados, hallar su dominio y rango.
Solución: Determinamos por extensión los conjuntos: A={1,2,5 } y N= {1,2,3,4 ,…}, la relación es: R2={(1,4 ), (2,7 ) , (5,28 ) }
Por lo tanto, Dom(R2)={1,2,5 } y Ran(R2)={4,7,28 }
1.3. Criterio para el calculo del Dominio y Rango de una Relacion en R
- Para determinar el dominio de la relación, despejamos la variable “ y”,
enseguida se analiza los valores que puede tomar x para que la variable y sea real.
- Para determinar el rango de la relación, despejamos la variable “x ”, enseguida
se analiza los valores que puede tomar y para que la variable x sea real.
Ejemplo 6: Sea S :R→R una relación, definida por:
S={(x , y) /x+2 y=12 }
Esta es una relación con infinitos elementos ya que los elementos x∈ R e y∈R,
entonces Dom (S )=Ran (S )=R
Ejemplo 8: Determinar el dominio y rango de la siguiente relación:
R={( x , y )∈R×R /x2+ y2+10 y−75=0}
Solución:
- Para determinar el dominio de R, despejamos la variable “ y” de la ecuación
x2+ y2+10 y−75=0, esto es: x2+ y2+10 y−75=0, completando cuadrado
( y+5 )2=100−x2⟹ y=−5±√100−x2
Ahora analizamos los valores que pueda tomar x para que y sea un número real,
esto es: 100−x2≥0⟹ x2≤100⟹−10≤ x≤10
Por lo tanto, Dom (R )= [−10,10 ]
- Para determinar el rango de R, despejamos la variable “x ” de la ecuación
x2+ y2+10 y−75=0
esto es: x=±√75−10 y− y2
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Ahora analizamos los valores que pueda tomar y para que x sea un número real, esto es:
7 5−10 y− y2≥0⟹ ( y+5 )2≤100⟹−15≤ y ≤5
Por lo tanto, Ran (R )=[−15,5 ]
1.4. Ejercicios Resueltos
1. Si A={1,2,5,6 } y B= {3,5,7,9 }, hallar el dominio y rango de las relaciones
R1={ ( x , y )∈ A×B/ x ≥ y } y R2= {( x , y )∈ A×B/ x+ y=8 }
Determinamos las relaciones: R1= {(3,3 ) , (5,3 ) (5,5 ) (6,3 ) , (6,5 ) } , R2= {(1,7 ) (5,3 ) }
Por lo tanto, Dom(R1)={3,5,6 }, Ran(R1)={3,5 }, Dom(R2)={1,5 } y
Ran(R2)={3,7 }
2. Sea A={1 ,2,3. .. ,10 } y R : A→A una relación dada por
R={(1,1),(1,2), (1 ,3) ,(2 ,4) ,(2 ,5) ,(7 ,6)}
Entonces: Dom(R)={1,2,7 } y Ran(R)={1,2,3,4,5,6 }
3. Hallar el dominio y rango en: R={(x , y)∈R×R / x y2−x+3 y2+1=0 }
Para calcular el dominio despejamos y
x y2−x+3 y2+1=0⟹ y2 ( x+3 )−x+1=0
y2= x−1x+3
⟹ y=±√ x−1x+3
Ahora, analizamos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este
caso debe cumplirse:x−1x+3
≥0
Por lo tanto el dominio es: Dom (R )= ⟨−∞ ,−3 ⟩∪ [1 ,+∞ ⟩
Para calcular el rango despejamos x
x y2−x+3 y2+1=0⟹ x ( y2−1 )+3 y2+1=0
x=−3 y2+1y2−1
Ahora, analizamos los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso debe cumplirse:
y2−1≠0⟹ y ≠±1
Por lo tanto el rango es: Ran (R )=R− {−1,1 }
1.5. Actividades de Aprendizaje
1. Sea R :N→N una relación definida por: R={(n ,m)/n+3m=12 ;n ,m∈N }a) Exprese R como un conjunto de pares ordenados b) Hallar Dom (R ) y el
Ran (R )
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
2. Sean A={1,2,3 } y B= {2,4,5,6 }, verifica si los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A en B:
a) R1= {(1,4 ) , (2,5 ) , (2,6 ) }b) R2= {(2,2 ) , (3,4 ) }
c) R3= {( x , y )∈ A×B/2 x+ y≤6 }
3. R4={( x , y )∈ A×B / x+ y=7 }Sea A={1 ,2 ,3 }, B= {1,2 }. Entonces R={(3,1 ) , (3 ,2 ) }, S=∅ y T=A×B son todas relaciones de A en B. Hallar el dominio y rango de cada relación.
4. Sean R⊂N ×N y S⊂N ×N dos relaciones definidas por:
R={(n ,m)/n+m=17 }; S={(n ,m)/nm=36 }. Encuentre el dominio y rango de: R, S
y R∩S.
5. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:a)
R1= {( x , y )∈N ×N /3 x−2 y=6 }
b) R2= {( x , y )∈N ×N /2 x+ y≤8 }
c) R3={( x , y )∈R× Ry=√4−x2}
R4={( x , y )∈R× R/ xy−2 y−x=0}1.6. Grafica de una Relación de R en R: Llamaremos gráfica de una relación de R en
R al conjunto de puntos P ( x , y ) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación,
teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las siguientes formas de ecuación:
E ( x , y )=0, E ( x , y )<0, E ( x , y )>0, E ( x , y )≤0, E ( x , y )≥0
Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E ( x , y )=0, seguiremos
el siguiente criterio:
1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados:- Intersección con el eje X :
E ( x , y )∩eje x= {(x , y )∈ R2/ y=0 }=P(x ,0)
- Intersección con el eje Y :
E ( x , y )∩eje y= {( x , y )∈R2/ x=0 }=Q(0 , y )
2. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados:- Simetría con respecto al eje X : Existe simetría con respecto al eje X si se
cumple:
E ( x , y )=E ( x ,− y )
- Simetría con respecto al eje Y : Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple:
E ( x , y )=E (−x , y )
- Simetría con respecto al origen: Existe simetría con respecto al origen si se cumple:
E ( x , y )=E (−x ,− y )
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
3. Determinación de la extensión de la curva: Consiste en determinar el dominio y el rango.
4. Determinación de las ecuaciones de las Asíntotas:
- Asíntotas verticales: Despejamos la variable y de E ( x , y )=0 e igualamos el
denominador a cero.
- Asíntotas horizontales: Despejamos la variable x de E ( x , y )=0 e igualamos el
denominador a cero.
5. Tabulación: Consiste en determinar un número de pares ordenados a partir de
la ecuación E ( x , y )=0
6. Trazado de la curva: Mapeo de los pares ordenados
Ejemplo 10: discutir y graficar la relación: R={( x , y )∈R×R /xy−2 y−x=0 }
Solución: La relación dada es de la forma:
R ( x , y )=xy−2 y−x=01. Intersección con los ejes:
- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )
2. Simetrías:
Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )
R ( x ,− y )=x (− y )−2 (− y )−x=−xy+2 y−x≠ R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría en el eje X
Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )
R (−x , y )=(−x ) y−2 y−(−x )=−xy−2 y+x≠ R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y
Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )
R (−x ,− y )= (−x ) (− y )−2 (− y )−(−x )=xy+2 y+ x≠ R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría con el origen
3. Extensión:
Dominio: Despejamos y en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:
y= xx−2
⟹ x−2≠0⟹ x ≠2
Por lo tanto, Dom (R )=R−{2 }
Rango: Despejamos x en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
x= 2 yy−1
⟹ y−1≠0⟹ y≠1
Por lo tanto, Ran (R )=R− {1 }
4. Asíntotas:
Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:
y= xx−2
⟹ x−2=0⟹ x=2
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota vertical es x=2
Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:
x= 2 yy−1
⟹ y−1=0⟹ y=1
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=1
5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:
4. Discutir y graficar :R={(x , y)∈R×R / x2 y−4 y+x=0 }
Solución: La relación dada es de la forma:
R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0
1. Intersección con los ejes:
- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )
- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )
2. Simetrías:
- Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
x y
-3 0.6
-2 0.5
-1 0.3
0 0
1 -1
3 3
4 2
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
R ( x ,− y )=x2 (− y )−4 (− y )+x=−x2 y+4 y+x≠ R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría en el eje X
- Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )
R (−x , y )=(−x )2 y−4 y−x=x2 y−4 y−x ≠R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y
- Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )
R (−x ,− y )= (−x )2 (− y )−4 (− y )−x=−x2 y+4 y−x≠ R ( x , y )
Por lo tanto, no existe simetría con el origen
3. Extensión:
- Dominio: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:
y= −xx2−4
⟹ x2−4 ≠0
⟹ x≠±2Por lo tanto, Dom (R )=R−⟨−2,2 ⟩
- Rango: Despejamos x en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:
x=−1±√1+16 y2
2 y, y≠0
Por lo tanto, Ran (R )=R
4. Asíntotas:
- Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:
y= −xx2−4
⟹ x2−4=0⟹ x=±2
Por lo tanto, la asíntota vertical es x=±2
- Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:
x=−1±√1+16 y2
2 y⟹2 y=0⟹ y=0
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=0
5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
5. Discutir y graficar :R={(x , y)∈R2/x2 y2−4 x2−4 y2=0}
Solución: La relación dada es de la forma:
R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0
1. Intersección con los ejes:
- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )
2. Simetrías:
- Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )R ( x ,− y )=x2 (− y )2−4 x2−4 (− y )2=x2 y2−4 x2−4 y2=R (x , y )
Por lo tanto, existe simetría en el eje X
- Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )R (−x , y )=(−x )2 y2−4 (−x )2−4 y2=x2 y2−4 x2−4 y2=R ( x , y )
Por lo tanto, existe simetría en el eje Y
- Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )R (−x ,− y )= (−x )2 (− y )2−4 (−x )2−4 (− y )2=−x2 y2−4 x2−4 y2=R ( x , y )
Por lo tanto, existe simetría en el origen
3. Extensión:
- Dominio: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:
y=±√ 4 x2
x2−4⟹ 4 x2
x2−4≥0⟹ 4 x2
( x−2 ) ( x+2 )≥0
Por lo tanto, Dom (R )= ⟨−∞ ,−2 ⟩∪ ⟨2 ,+∞ ⟩∪ {0 }
- Rango: Despejamos x en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:
x=±√ 4 y2
y2−4⟹ 4 y2
y2−4≥0⟹ 4 y2
( y−2 ) ( y+2 )≥0
Por lo tanto, Ran (R )=⟨−∞ ,−2 ⟩∪ ⟨2 ,+∞ ⟩∪ {0 }
4. Asíntotas:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
x y-4 0.3
-2.5 1.1-1.5 -0.9-1 -0.30 01 0.3
1.5 0.92.5 1.1-4 -0.3-2 0.5-3 0.6
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
- Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:
y=±√ 4 x2
x2−4⟹x2−4=0⟹ x=±2
Por lo tanto, la asíntota vertical es x=±2
- Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:
x=±√ 4 y2
y2−4⟹ y2−4=0⟹ y=±2
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=±2
5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:
d)
6. Sea R una relación de R en R definida por:
a) R={(x , y) /(−2≤x<2∧−2≤ y ≤2)∨(−5<x<−1)∧(−1< y ≤−3)}b) R={( x , y )/ x2+ y2≤16}c) R={(x , y) : x2+ y2−2 x≤0 }d) R={(x , y) : x2+2 y<1 }e) R={(x , y) : x+ y ≥0 }Representar cada relación en un sistema de coordenadas R2
2. FUNCIONES2.1. Introducción : Los matemáticos inventaron el concepto de función de manera
sumamente útil para describir situaciones de la “vida real” en las que una cantidad depende de ó determina otra cantidad. Por ejemplo:
a) Suponga que S/. 100 gana un interés simple a una tasa anual del 6%. Entonces,
la fórmula I=100 (0.06 ) t muestra que el interés (I ) depende del tiempo (t).
b) En la producción de un cierto artículo, el costo fijo es de S/.850 y todos los otros costos adicionales son de S/. 20 por unidad producida. La siguiente igualdad
C=20q+850 expresa que el costo total de producción (C), dependen de la
cantidad de artículos a producir (q).
c) El área de un círculo ( A ), depende del radio (r ). La fórmula para hallar el área del
círculo es A=π r2.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
x y
-4−4 √3
3
-3−6√5
50 0
36√5
5
44 √3
3
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
d) La distancia recorrida (d ) durante 120 minutos de un móvil depende de la
velocidad alcanzada ( v ). La forma de calcular la distancia es d=120t
Estos ejemplos tienen en común dos características, la primera es que en cada uno se encuentran dos variables, una variable independiente que representa las entradas y una variable dependiente que representa las salidas; y la segunda característica es que en cada uno hay una regla de correspondencia, según la cual cada entrada determina una salida, esto es:
EjemplosPrimera Característica Segunda Característica
Entradas Salidas Regla de correspondenciaa) Tiempo Interés simple I=100 (0.06 ) tb) Cantidad de artículos Costo total C=20q+850c) Radio Área del circulo A=π r2
d) Velocidad Distancia recorrida d=120t
Estas situaciones se pueden expresar como relaciones funcionales que en general se especifican mediante una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar la salida. La definición formal de función tiene las mismas características (entrada/regla/salida), con la terminología, esto es: una
función ( f ) es una regla que asigna a cada número de entrada (x) exactamente un
número de salida (f ( x )).
2.2. Función de dos conjuntos : Una función f : A⟶ B es una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento de A (entrada) exactamente un
elemento de B (salida). Esto es:
Donde b1=f (a1 ), se dice que b1 es la imagen de a1 por f o también, que b1=f (a1 ) es
el valor de f en el punto a1 . De la misma manera, b3 es la imagen de a2; y b4 tiene
dos imágenes de a3 y a5. Notamos, que en una función puede ocurrir que dos
elementos del conjunto A se le asocien el mismo elemento del conjunto B. En otras palabras, diferentes entradas pueden producir la misma salida.
Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es función.
Ejemplo 19: la relación R={(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , (2,5 ) } no es una función, puesto que
para el elemento 2 tiene dos imágenes 3 y 5 tales que (2,3 ) , (2,5 )∈R, que
contradice a la definición de función.
2.3. Dominio y Rango de una Función : Sea f : A⟶ B, se tiene:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Salida f (x)
Entrada ( x )
Función( f )
Regla
f (a1 )=b1
f (a2 )=b3
f (a3 )=b4
f (a5 )=b4
.b1
.b2
.b3
.b4
.b5
B
. a1
.a2
.a3
.a4
.a5
A f
f: A⟶B
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Al conjunto formado por todas las entradas para los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función. Se denota por:
Dom (f )={a∈ A /∃b∈B∧ (a ,b )∈ f }⊆A
Al conjunto formado por todas las salidas o imágenes de A se llama rango de la función. Se denota por:
Ran ( f )= {b∈B/∃a∈ A∧b=f (a)}⊆B
Ejemplo 20: Sean A={1,2,3,4 } y B={1, 4,5,9,10}. Determinar si
f={ (1,1 ) , (2,4 ) ,(3,9)}, es una función de A en B, el dominio y rango. Mediante el siguiente diagrama:
Se muestra que f es función porque cada elemento de A le corresponde
exactamente un elemento de B.
Dom (f )={1,2,3 } y Ran ( f )={1,4,9 }
2.4. Aplicación de A en B: Sea f : A⟶ B una función, es una aplicación de A en B si y
solo si Dom (f )=A.
Observación: Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación.
Ejemplo 21: Sean A={1,3,5 } ,B={2,4,6 }. Entonces:
a) El conjunto f={(1,4 ) , (3,2 ) } es función donde Dom (f )={1,3 } y Ran ( f )={2,4 } pero f
no es una aplicación de A en B puesto que el Dom (f )≠ A
b) El conjunto f={(1,2 ) , (3,4 ) , (5,6 ) } es una función donde Dom (f )={1,3,5 } y
Ran ( f )={2,4,6 } como Dom (f )=A entonces f es una aplicación de A en B.
Observación: Si A=B=R, se define la función f de R en R llamada función real de variable real y se denota por:
f :R⟶ R
2.5. Funciones de R en R: Se pueden escribir en la forma:
f={( x , y )∈R× R/ y=f (x )}ó
f={ (x , f ( x ) )∈R×R /x∈Dom (f )}
Donde la ecuación y=f (x ) es llamada regla de correspondencia que permite
calcular para cualquier x∈Dom( f ), su imagen y=f (x ).
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
f (1)=1
f (2)=4
f (3 )=9Rango
1
4
5
9
10
B
Dominio
1
2
3
4
A f
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
2.6. Notación Funcional : Las funciones suelen denotarse con una sola letra minúscula
como f , g o h, etc. Si x es una entrada (número en el dominio), entonces f (x) indica el número de salida que la función f produce con la entrada x. El símbolo
f (x) se lee “f de x” ó “f en x” ó f evaluada.
2.7. Valores de una Función : Son los números de salida f ( x ) que están en el rango de
la función, que se obtienen al sustituir la variable independiente x por su valor.
Ejemplo 22: Sea f ( x )=x3+x2, define a la función f que asigna a cada número de
entrada x el número de salida x3+x2. Escribiremos algunos valores de la función:
f (2 )=(2 )3+(2 )2=8+4=12⟹ f (2 )=12
f (−1 )=(−1 )3+(−1 )2=−1+1=0⟹ f (−1 )=0
f ( t )=(t )3+( t )2=t3+t 2⟹ f ( t )=t3+t 2
f ( x+1 )= (x+1 )3+( x+1 )2
Observación:
f ( x+h )≠ f ( x )+h
f ( x+h )≠ f ( x )+f (h )
Ejemplo 23: Sea f ( x )=5 x2−2 x+1. Encuentre f (1 ),f ( x+1 ) y compruebe
f ( x+h )≠ f ( x )+h y f ( x+h )≠ f ( x )+f (h ).
Solución: Sif ( x )=5 x2−2 x+1, entoces:
f (1 )=5 (1 )2−2 (1 )+1=4⟹ f (1 )=4
f ( x+1 )=5 ( x+1 )2−2 ( x+1 )+1=5 x2+8x+4
f ( x+1 )=5 x2+8 x+4
Reemplazar y comprobar
f ( x+1 )≠ f ( x )+1 f ( x+1 )≠ f ( x )+ f (1 )5 x2+8x+4≠5x2−2 x+1+1 5 x2+8x+4≠5x2−2 x+1+4
5 x2+8x+4≠5x2−2 x+2 5 x2+8x+4≠5x2−2 x+5
2.8. Dominio y Rango de una Función Real : Sea f :R⟶ R una función de la forma
y=f ( x ), entonces:
El dominio de f , se determina analizando todos los valores posibles que pueda
tomar x, de tal manera que f (x) sea real, salvo el caso que dicho dominio sea
especificado.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Nombre de la función
Número de entrada
Instrucciones que dicen qué hacer
con la entrada x para producir la
correspondiente salida f ( x ).
Número de salida
f ( x )=√x2+1
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
El rango de f , se determina despejando la variable x en función de “ y”, luego
se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “ y”, de tal manera que x sea real.
Ejemplo 24: Hallar el dominio y rango de las funciones:
a) f ( x )=x2−4 x+7, x∈ [2,3 ]El dominio de la función está especificado: x∈ [2,3 ], entonces Dom( f )=[2,3 ]El rango de la función es Ran ( f )= [3,4 ]
b) f ( x )= 2x−1
Para que la división exista x−1≠0 o sea x≠1.
Por lo tanto, el Dom (f )=R− {1 }
Despejamos la variable x, entonces x= 2y+1, y ≠0
Por lo tanto, el Ran (f )=R−{0 }
c) f ( x )=√x+2Para que exista la raíz cuadrada de un número real x+2≥0, entonces x≥−2.
Luego, Dom (f )=[−2 ,+∞ ⟩ .Despejamos la variable x, x= y2−2. Luego, Ran ( f )=R
2.9. Funciones Especiales : Funciones que tienen formas y representaciones especiales.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Función Forma o Regla de correspondencia Dominio y Rango
Constante f ( x )=c, c∈R Dom (f )=RRan ( f )=c
Identidad f ( x )=x Dom (f )=RRan (f )=R
Lineal f ( x )=ax+b, donde a ,b∈R, a≠0Dom (f )=RRan (f )=R
Cuadrática f ( x )=a x2+bx+c, a ,b , c∈R, a≠0Dom (f )=RRan ( f )=R0
+¿¿
Raíz Cuadrada f ( x )=√xDom (f )=R0
+¿¿
Ran ( f )=R0+¿¿
Compuesta f ( x )={ 1; si−1≤x<10 ;si1≤x ≤2x−3 ; si2<x ≤8
Dom (f )=[−1,8 ]Ran (f )=←1;5¿
Valor Absoluto f ( x )=x={ x , si x≥0−x , si x<0
Dom (f )=RRan ( f )=R0
+¿¿
Máximo Enterof ( x )= ⟦x ⟧,
⟦x ⟧=n⟺n≤x<n+1, n∈ZDom (f )=RRan ( f )=Z
Racional f ( x )=1x
Dom (f )=R− {0 }Ran ( f )=R−{0 }
Exponencial f ( x )=bx, b>0, b≠1Dom (f )=RRan ( f )=R0
+¿¿
Logarítmica f ( x )=logb x⟺b y=x, b>0, b≠1Dom (f )=R0
+¿¿
Ran (f )=R
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
2.10. Graficas de Funciones : La gráfica es una forma de representar geométricamente una función en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas nos permite especificar y localizar un punto P en un plano determinado por un par ordenado de números
reales de la forma (x , y ), llamamos a x abscisa o coordenada x de P, y a y
ordenada o coordenada y del punto P. Mediante este procedimiento a cada punto
en un plano le corresponde exactamente un par ordenado (x , y ) de números reales,
y recíprocamente, a cada par ordenado (x , y ) de números reales le corresponde un
único punto en el plano. Consecuentemente, como el sistema coordenado establece una correspondencia uno a uno entre los puntos en el plano y los pares ordenados de números reales vamos a referirnos al punto P con abscisa x y ordenada y,
simplemente como el punto ( x , y ) o como P(x , y).La gráfica de una función f (x) se define como la gráfica de la ecuación y=f (x ),
que es el conjunto de todos los puntos (x , f (x )) en el plano, donde x pertenece al
dominio de la función f (x).
Técnica General para Graficar una Función: Consiste en dar valores a x para
calcular el valor de y=f (x ), obteniendo puntos de la forma (x , f (x )). Luego estos
puntos son representados en el plano y finalmente se hace un trazo suave que una estos puntos. Los valores de x deben estar en el dominio de la función, se escogen
por conveniencia de tal manera que sea fácil calcular el valor de y y nos dé una idea de la forma de la gráfica.
Ejemplo 25: Graficar la función f ( x )=√x
Solución: El dominio de la función es Dom (f )=R0+¿¿
, puesto que es la función raíz
cuadrada.
Damos algunos valores a x para obtener el valor de y a través de la fórmula
y=√x.
x 0 1 2 9 /4 4y=√x 0 1 √2 3/2 2(x , y ) (0,0 ) (1,1 ) (2,1.41 ) (9 /4,3/2 ) (4,2 )
Luego representamos estos puntos de la gráfica en el plano.
Finalmente, hacemos un trazo suave uniendo los puntos de la gráfica dibujados.
Otras técnicas que nos facilitará determinar más rápidamente la forma y las
características más importantes de la función y=f (x ), pueden ser la intersección
con los ejes coordenados, que consiste en obtener los puntos donde la gráfica de la función corta los ejes de coordenadas; y la simetría, esta técnica nos puede
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
ahorrar trabajo, pues con la mitad de la gráfica podemos obtener por simetría el resto de la gráfica.
Ejemplo 26: Determinar las intersecciones x e y de la gráfica de y=2x+3 y hacer el bosquejo de su gráfica.
Solución:Intersección con el eje X :
hacemos y=0 en y=2x+3:
2 x+3=0⟹ x=−32
Obtenemos el punto (−32,0), donde la
gráfica corta al eje X .
Intersección con el eje Y :
hacemos x=0 en y=2x+3:
y=2 (0 )+3⟹ y=3Obtenemos el punto (0,3 ), donde la
gráfica corta al eje Y .
Observación: La gráfica de una función lineal es una línea recta.
Ejemplo 27: Probar la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen de la
gráfica de y=x3 y graficar.
Solución:
Simetría con respecto al eje x: al
reemplazar y por − y en y=x3 se
obtiene:
− y=x3⟹ y=−x3
que no es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x.Simetría con respecto al eje y: al
reemplazar x por −x en y=x3 se
obtiene:
y= (− x )3⟹ y=−x3
que no es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.Simetría con respecto al origen:
al reemplazar x por −x y y por − y en
y=x3 se obtiene:
− y= (−x )3⟹− y=−x3⟹ y=x3
que es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica si es simétrica con respecto al origen.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Prueba de la recta vertical: Consiste en determinar si una curva es o no la gráfica de una función. Si una recta vertical interseca una gráfica en más de un punto, ésta no es la gráfica de una función.
Ejemplo 28: verificar si las siguientes ecuaciones definen o no una función a través de la prueba de l a recta vertical.
Si es función, la recta corta No es función, la rectaen un solo punto a la curva. corta en dos puntos ade la gráfica. la curva de la gráfica.
2.11. Operaciones con Funciones : Sea f y g, dos funciones cualesquiera, definimos:
Operaciones Dominio( f +g ) (x )=f ( x )+g (x) Dom (f +g )=Dom (f )∩Dom (g)( f−g ) ( x )=f ( x )−g (x) Dom (f−g )=Dom ( f )∩Dom(g)( f ∙ g ) ( x )=f ( x ) ∙ g(x ) Dom (f ∙ g )=Dom ( f )∩Dom (g)
( fg ) ( x )= f ( x )g (x)
, g(x )≠0 Dom( fg )=Dom ( f +g )−{x /g (x )=0}
Ejemplo 27: Sea f (x)=x2 y g(x )=3 x. Encuentre ( f +g ) (x ), ( f−g ) ( x ), ( f ∙ g ) ( x ) y
( fg ) ( x ) y establezca su dominio.
Solución:
Dom (f )=R y Dom (g )=R, entonces Dom (f )∩Dom (g )=R
( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=x2+3 x
( f−g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=x2−3 x
( f ∙ g ) ( x )=f ( x ) ∙ g ( x )=(x2 ) . (3 x )=3 x3
fg( x )=
f (x )g (x)
= x2
3 x= x
3, x≠0
Por lo tanto, Dom (f +g )=Dom (f−g )=Dom ( f ∙ g )=Dom( fg )=R2.12. Composición de Funciones : Dadas dos funciones f y g, se define la composición
de f con g, denotada por f ∘ g como:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Ingresos=(precio venta por unidad )×(númerodeunidades vendidas)
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
( f ∘ g ) (x )=f (g (x))Donde el dominio de f ∘ g es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que
g(x ) pertenece al dominio de f .
Ejemplo 28: Sean f (x)=√x y g ( x )=x+1.encontrar:
a) ( f ∘ g ) (x ) b) (g∘ f ) (x )
Solución:
a) ( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )=f (x+1 )=√x+1
Dom (g )=R y Dom (f )=R0+¿¿
. Entonces, Dom (f ∘g )=[−1 ,+∞ )
b) (g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=g (√ x )=√ x+1
Dom (g )=R y Dom (f )=R0+¿¿
. Entonces, Dom (g∘ f )=R0+¿ ¿
Observación: ( f ∘ g ) (x )≠ (g∘ f ) ( x )
2.13. Aplicaciones de la Función Lineal :
1. Función Lineal de Costo Total : En la producción de una empresa de cualquier bien, se tiene dos tipos de costos: Costo Fijo; es la suma de todos los costos que son independientes del nivel
de producción, como renta, seguros, tasa interés sobre préstamos, etc. Costo Variable; es la suma de todos los costos dependientes del nivel de
producción, como salarios y materiales.Luego el Costo Total está dado por:
CostoTotal=Costos Variables+Costos Fijos
Simbólicamente, denotaremos la función lineal de costo total por:
C ( x )=mx+b
Donde m representa el precio por cada unidad producida o el costo variable por
unidad, x el número de unidades de artículos producidos y b el costo fijo.
2. Función Lineal de Ingresos : Es el dinero que recibe un fabricante por la venta de un producto. Está dado por:
Si x es el número de unidades de artículos producidos o vendidos y a es el precio de venta por unidad, entonces la función lineal de ingreso es:
I ( x )=ax
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Ran( f )
f (g(x ))
Dom(g)
g(x )
f ∘ g
fg
x
Dom( f )
Ganancia=Ingresos−CostoTotal
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
3. Función Lineal de Ganancia :
Simbólicamente, denotaremos la función lineal de ganancia por:
G ( x )=(a−m ) x−b
Donde x representa el número de unidades de artículos producidos y vendidos.
Ejemplo 29: Una empresa, fabricantes de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000.00, costos de producción de S/. 20.00 pro unidad y un precio de venta unitario de S/. 30.00. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para la empresa.
Solución: Sea x el número de unidades producidas y vendidas. m=20, b=20 000, a=30. Reemplazando:
Función de Costos C ( x )=20 x+20 000Función de Ingreso I ( x )=30 xFunción de Ganancia G ( x )=10 x−20 000
Punto de Equilibrio: Es cuando el ingreso y el costo total son iguales:
I ( x )=C (x ), es decir cuando G(x )=0 Hay ganancia, cuando I (x)>C (x), es decir, G(x )>0 Hay pérdida, cuando el I (x)<C (x), es decir, G ( x )<0
El punto de equilibrio está dado por el punto P (x0 , y0 ) que es la solución de las
ecuaciones simultáneas I ( x ) y C (x), donde x0 es la cantidad de equilibrio y y0 es
el ingreso de equilibrio.
Geométricamente, el punto de equilibrio P (x0 , y0 ) es el punto de intersección de
las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos.
Ejemplo 30: La compañía J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo S/. 4.00 por unidad y los vende a S/. 10.00 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de S/. 12 000.00 al mes.a) Determinar el punto de equilibrio de la empresa.b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1500 unidades
por mes?c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 300 unidades por mes?
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
y0
x0 X
Y
0
Ganancia
Pérdida
I (x)
C (x)
P(x0 , y0)
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mínima de S/. 9 000.00 al mes?
Solución: De los datos del problema, las funciones de costos y de ingresos están dados por:
C ( x )=4 x+12 000 y I ( x )=10 xa) Igualamos:
C ( x )=I ( x )4 x+12 000=10 x
4 x−10 x=−12 000−6 x=−12 000
x=2 000Reemplazamos el valor de
x=2 000 en I (x), tenemos:
I (2 000 )=10 (2000 )=20 000
Esto quiere decir que para una empresa de equilibrio, la empresa debe fabricar 2 000 unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de S/. 20 000.00
b) La función de la ganancia es:
G ( x )=6 x−12 000Si se producen y venden 1 500 unidades por mes, se tiene:
G (1500 )=6 (1500 )−12 000=−3000Entonces, G ( x )<0, es decir la empresa tendrá una pérdida de S/. 3 000 por
mes.
c) Si se producen y venden 3 000 unidades por mes, se tiene:
G (3 000 )=6 (3 000 )−12 000=6 000Entonces, G ( x )>0, es decir la empresa tendrá una ganancia de S/. 6 000 por
mes.
d) G ( x )=9 000, reemplazamos en la ecuación de la ganancia G ( x )=6 x−12 000,
esto es:
G ( x )=6 x−12 0009 000=6 x−12 000
6 x=9000−12 000=21 000x=3 5000
Es decir, la empresa debe producir al menos 3 500 unidades para obtener una ganancia mensual mínima de S/. 9 000.00
2.14. Ejercicios Resueltos
1. Determine los valores f (3 ) , f (−3 ) , f (2) de la función:
f ( x )={ 3 x−1 , si x>2x2−4 x+7 , si x<2
Solución: Para f (3 ), cuando x>2, reemplazamos en la función f ( x )=3 x−1,
entonces f (3 )=3 (3 )−1=8. Para f (−3 ), cuando x<2, reemplazamos en la función
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
30
20
10
1 2 3 X
Y
0
Ganancia
Pérdida
I (x)
C (x)
P(2 000,20 000)
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
f ( x )=x2−4 x+7, entonces: f (−3 )=(−3 )2−4 (−3 )+7=28. Para f (2) no está
definido ya que x>2 o x<2.
2. Hallar el dominio y rango de la función: f ( x )=x+1
x2+6 x+5
Solución: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para x.
x2+6 x+5=0⟹ ( x+5 ) ( x+1 )=0⟹ x= {−5 ,−1 }Por lo tanto, el Dom (f )=R− {−5 ,−1 }
Despejamos la variable x, en:
y= x+1( x+5 ) ( x+1 )
⟹ y= 1x+5
⟹ x+5=1y⟹ x= 1
y−5
Por lo tanto, el Ran ( f )=R−{0 }
3. Graficar la función definida por partes:
f ( x )={ x , si0≤x<3x−1 , si3≤x ≤5
4 , si5<x ≤7
Solución: Dom (f )=[0,7 ]Damos valores a x para obtener los puntos (x , f ( x ))
x 0 1 2 3 4 5 6 7f ( x ) 0 1 2 2 3 4 4 4
(x , f ( x )) (0,0 ) (1,1 ) (2,2 ) (3,2 ) (4,3 ) (5,4 ) (6,4 ) (7,4 )Dibujamos los puntos en el plano cartesiano y hacemos el trazo uniendo los puntos:
De la gráfica observamos que el Ran ( f )= [0,4 ]
4. Determine las intersecciones de la gráfica y=4−x2 y haga el bosquejo de la
gráfica. Con base en su gráfica, ¿es y una función de x?, si es así, ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Dominio:0≤ x≤7
Rango:0≤ y≤4
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
Solución:Intersección con el eje X :
hacemos y=0 en y=4−x2:
4−x2=0⟹ x2=4⟹ x=±√4⟹ x=±2Obtenemos dos puntos (−2,0 ) y (−2,0 ), donde la gráfica va a cortar al eje X .
Intersección con el eje Y : hacemos x=0 en y=4−x2:
y=4−(0 )2⟹ y=4Obtenemos el punto (0,4 ), donde la gráfica corta al eje Y .
Con respecto a la gráfica y si es una función de x ya que al trazar una recta vertical a la gráfica siempre se corta en un solo punto.Por lo tanto, el dominio de y es todos los valores reales de x y su rango es
−∞< y ≤4
5. Si f ( x )=x+3 y g ( x )=x+5, encuentre: ( f +g ) (x ), ( f +g ) (0 ), ( f−g ) ( x ), ( fg ) ( x ), ( fg ) (−2 )
, ( fg ) ( x ), ( f ∘ g ) (3 )
Solución:
( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=x+3+x+5=2x+8
( f +g ) (x )=2x+8
( f +g ) (0 )=8
( f−g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=x+3−( x+5 )=−2
( f−g ) ( x )=−2
( fg ) ( x )=f (x ) g ( x )=( x+3 ) (x+5 )=x2+8 x+15
( fg ) ( x )=x2+8 x+15
( fg ) (−2 )=(2 )2+8 (2 )+15=4+16+15=35
( fg ) (−2 )=35
( fg ) ( x )= f (x )g ( x )= x+3x+5
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
( fg ) ( x )= x+3x+5
( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )=f (x+5 )=x+5+3=x+8
( f ∘ g ) (x )=x+8
( f ∘ g ) (3 )=3+8=11
( f ∘ g ) (3 )=11
6. El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de S/. 1.50 y los costos fijos por día son S/. 900.00.a) Escriba la ecuación de costo lineal y dibujar su gráficab) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café por un día.
Solución:a) C ( x )? m=1.50 b=900.00
Reemplazamos:
C ( x )=mx+bC (x)=1.50 x+900
C ( x )=1.5 x+900……(1)
b) Sustituimos x=1000 en la ecuación (1), se obtiene:
C ( x )=1.5 (1000 )+900=2400⟹C ( x )=2400Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de S/. 2 400.00.
7. El costo marginal de producir un medicamento por unidad es de S/. 10.00, mientras que el costo de producir 100 unidades es de S/. 1 500.00. encuentre la
función de costo C (x), suponiendo que es lineal.
Solución: Como C (x) es lineal, entonces: C ( x )=mx+bEl costo marginal es de S/. 10.00 por unidad, es decir que m=10 entonces
C ( x )=10 x+bAhora calculamos el valor b que es el costo fijo y para esto se tiene que el costo de producir 100 unidades del medicamento es de S/. 1 500.000 es decir
C (100)=1 500, entonces reemplazando en C ( x )=10 x+b, tenemos:
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
C (100 )=10(100)+b1 500=1000+b⟹b=500
Por lo tanto, la función de costo es C ( x )=10 x+500
2.15. Actividades de Aprendizaje
1. Dada la función f ( x )=√x2+5 x. Determinar:
a) Dominio y rango de la funciónb) La tabla de valoresc) Intersección con los ejes coordenadosd) Dibujar la gráfica
2. Determine las intersecciones de la gráfica y=− x+3 y haga el bosquejo de la
gráfica. Con base en su gráfica, ¿es y una función de x?, si es así, ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?
3. Sean f ( x )=3 x2+6 y g ( x )=4−2 x. Encuentre ( f +g )(2), ( f−g )(−2),
( fg ) (0 ) ,( fg )(−1) f (g (2 )) yg( f (2 ))
4. Un fabricante tiene costos fijos de S/. 60 000.00 al mes y un costo de producción unitario de S/. 10.00. el producto se vende por S/. 15.00 la unidad.a) Determinar las funciones de costos, ingresos y gananciab) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de
10 000 y 14 000 unidades.
3. PROBLEMAS PROPUESTOS1. Determina los valores de x e y en cada caso:
a) (4 ; y−2 )= ( x−3 ;5 ) b) ( x+4,6 )=(10 , y−x )
c) ( x4 ; 2 y3 )=(−3 ;
49 ) d) ( x+5,3− y )=(7,2 )
e) ( x+25;y−2
6 )= (2;−1 ) f) (x3−19 , x2 y−6 )= ( y3 , x y2)
2. Determine por extensión y graficar los siguientes productos cartesianos:a) A={3,2,1 } y B={−1 ;8 } hallar B× Ab) C={x / x es par∧2<x<8 } y D={x / xes impar∧4< x<8 }, C×Dc) F={2 x−1/−2≤x<2 ; x∈Z } Hallar F2
d) G={x∈R /−2<x<5 } y H={x∈ R/4<x<7 } Hallar G×He) A={x2−1/0≤ x≤5 ;x∈Z }, B={x2+1/−5≤ x≤−3; x∈Z },
C={x3+4/ ( x−1 ) ( x+2 ) ( x−3 )=0 , x∈Z }, A×B, A×C , B×C3. Hallar dominio y rango de las siguientes relaciones:
a) Sea R una relación en A={2,3,4,5 } definida por “x e y son primos relativos” (el
único divisor común de x e y es 1).
b) Sea R una relación definida en los naturales,
R={(x , y) /2 x+3 y=13 ; x , y∈N }c) R={( x , y )∈R×R / y=√4−x2 }d) R={( x , y )∈R× R/ y= 1
2 x2−3x−5 }
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
4. Sean A={1,2,4 }, B= {1,3,4 }. Sean R={(1,3 ) , (1,4 ) , (4,4 ) } una relación de A en B,
S= {(1,1 ) , (3,4 ) , (3,2 ) } una relación de B en A y T=∅ una relación de A en B.
Encuentre:
a) Dom(R) b) Dom(S) c) Dom(T ).d) Ran(R) e) Ran(S) f) Ran(T ).5. Discutir y graficar las siguientes relaciones:
a) x y2−3 y2−1=0 b) x2 y2−x2+ y2+1=0
c) y2= 4 x2
x2−4d) y= 2 x2−5 x+2
3 x2−10 x+3e) y2 ( x+1 )=4
6. Obtenga el dominio de cada función:
a) g ( x )= x5
b) h ( z )=1
√zc) f ( x )= x
x+8
d) g ( x )=√4 x+3 e) g (r )=√ x−1x2−5x+6
7. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:
a) g(x )=2−x2 ;g (−8) ;g (u); g(u2)b) f (x)=x2+2 x+1; f (−1); f (1); f (x+h)
c) h ( x )={4 ;Si x ≥03 ;Si x<0
; h(3);h(−4);h(0)
d) Sea A={1,2.3,4,5,6 } y sea f : A→A una función dada por:
f ( x )={x+1 , x ≠61 , x=6
Encuentre f (3), f (6), f ( f (3)), f (f (2)).8. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:
a) f ( x )={2 x+1; si−1≤x<29−x2 ;si x≥2
b) ( x )={x+6 ;si x≥3x2; si x<3
c) f ( x )= 4 x2−92 x+3
d) f ( x )={2 x+1; si−1≤x<29−x2 ;si x≥2
9. Determine los interceptos de la gráfica de cada ecuación, haga el bosquejo y determine su dominio y su rango para cada función.
a) y=x2+2 x−8 b) y= 52−x
c) y= (x−2 )2+1
10. Probar la simetría con respecto a los ejes coordenados y el origen de las gráficas de las siguientes ecuaciones:
a) f ( x )=√x2−25 b) 2 x2+ y2 x8=8− y c) y=3
x3+811. Si f ( x )=x+3 y g(x )=x2+ x, encontrar lo siguiente:
a) ( f +g)(x) b) ( f−g)(2) c) ( f . g)(x)d) ( f ∘ g)(3)12. Problemas:
a) El costo toral de producir 10 unidades de una calculadora es de S/. 100.00. el
costo marginal es S/. 4.00 por calculadora. Encuentre la función de costo, C (x) si
es lineal.
b) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de S/. 6.00 y el costo fijo es de S/. 80 000.00 Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 10.00 Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una ganancia de S/. 60 000.00.
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS
c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de S/. 76.00 por tonelada. Si S/. 110 000.00 son los costos fijos por mes y el alimento se vende en S/. 126.00 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $540 000?
d) Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en S/. 19.95. el costo de fabricación de cada cartucho es de S/. 12.92. los costos fijos mensuales son de S/. 8 000.00. durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el ingreso sea igual al costo total)?
e) Un fabricante produce lámparas, que vende a S/. 820.00 y sus costos de producción son los siguientes: S/. 1 300.00 en arriendo, y S/. 350.00 por el material y la mano de obra de cada lámpara producida. ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de S/. 26 900.00?
4. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
1. Determina los valores de x e y en cada caso:
a) ( x+25;y−2
6 )= (2;−1 ) b) ( x+4,6 )=(10 , y−x )
2. Sean A={x /x∈R∧−1≤x ≤2 }, B= {y / y∈R∧2≤ y ≤4 }. Graficar en el plano cartesiano
A×B y B× A .
3. Considere la siguiente relación en R:
R={(x , y) /x2 y2−4 x2−4 y2=0}Hallar el dominio y rango de la relación.
4. Discutir y graficar la siguiente relación:
R={(x , y)∈R2/ yx2−4 y−x2=0}
5. Calcular el dominio y rango de la siguiente función, graficar:
f ( x )={x+1 , si0<x≤34 , si3< x≤5x−1 , si x>5
6. Sean f ( x )=x2 y g ( x )=2+1 x. Encuentre, ( f−g )(−3), ( fg )(2) f (g (−4 )) yg( f ( x )).
7. Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de S/. 40 000.00 y un costo unitario de producción de S/. 8.00. el producto se vende a S/. 12.00 la unidad.a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias.b) Determinar el punto de equilibrio del fabricante.c) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a niveles de producción de 8 000 y 12
000 unidades.d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante para obtener una ganancia
de S/. 10 000.00?
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera