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Definición y notación
El triángulo
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• Un triangulo es una superficie plana TRILATERA; es decir tiene TRES LADOS y por lo tanto TRES ANGULOS y TRES VERTICES.
• *Es el polígono con menos lados.• Los vértices de un triangulo son los puntos en
donde se cortan sus lados.
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Clasificación de los triángulos*
• Clasificación según sus lados
Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
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Triangulo escaleno.
• Es aquel que ninguno de sus lados son iguales.
• Las letras minúsculas se emplean para designar sus lados y se ponen en correspondencia con los ángulos opuestos
A B
C
ab
c
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Triángulo isósceles*
• Es aquel que tie
ne dos de
sus lados ig
uales.
A
C
Bc
ab
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Triángulo equilátero*
• Es aquel que tiene sus tres lados iguales a=b=c.
• También se le llama acutángulo por tener sus tres ángulos iguales ∟a=∟b=∟c y estos miden siempre 60° A B
C
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Clasificación de los triángulos según sus ángulos
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
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Triángulo rectángulo*
• Tiene un ángulo recto de 90°
• Al lado opuesto se le llama hipotenusa
• Los lados perpendiculares se llaman catetos .
C B
A
c
b
a
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Lado recto 90°
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Triángulo obtusángulo*
• Es aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°)
D
E
F
Ángulo obtuso
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Triángulo acutángulo*
• Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos .• A los Δ acutángulo y obtusángulo se les llama
también oblicuángulos.
A
B
C
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Rectas y puntos notables en un triángulo
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Medianas Mediatrices
Bisectrices
Alturas
Las rectas notables son
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• Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio de lado
opuesto.
Mediana*
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Mediatriz *
• Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.
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Bisectriz*• La bisectriz de un ángulo es la recta que
partiendo de su vértice divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.
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Altura*• Perpendicular trazada desde un vértice al lado
opuesto o su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.
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Puntos notables*
*Las rectas donde se cortan
lasa rectas notables en un
triangulo son:
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• Centro de gravedad del triangulo en donde se cortan las rectas notales.
• Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triángulo.
Baricentro Circuncentro
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• Punto donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito en el triángulo.
• Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.
Incentro* Ortocentro*
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Propiedades de los triángulos*
*La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo.
*En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman HOMÓLOGOS.
*En todo triangulo un lado es menor que la suma de otros dos y mayor que su diferencia.
*En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
*En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.
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Teoremas sobre los triángulos*
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual a 180°
La suma de los 2 ángulos agudos de un triangulo recto es igual a
90°
La suma de los tres ángulos ext.
Es igual a 4 ángulos rectos
=360°
Un ángulo externo = a la suma de los 2
ángulos internos que
no le son adyacentes
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*congruencia*
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Triángulos congruentes*
Son los que tienen igual forma y
tamaño.
Si dos triángulos son congruentes por consiguiente tendrán sus lados y ángulos correspondientes iguales.
Si dos triángulos son congruentes, sus
elementos homólogos son iguales
(homólogos=correspondientes).
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• Razón de un numero “a” a otro numero “b”, de la misma especie, es el cociente indicado del primero entre el segundo.
• El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente
RAZONES
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• La igualdad de dos razones es una proporción.
• Una proporción se escribe a:b=c:d y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”
• Las literales a y d son los extremos y b y c los medios.
• Si los medios son iguales la proporción
es continua 2:8::8:32
PROPORCIONES
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El cuarto termino de una proporción se
denomina cuarta proporcional
2:3=4:x
Si los 2 medios de una proporción son
iguales ,se denomina medio proporcional
entre y el primero y el cuarto
27:9=9:3
La tercera proporcional es el cuarto termino de una proporción en que los
medios son iguales como a:b=b:cb es la media proporcional de a y c, y c
es la tercera proporcional.
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Propiedades de las proporciones*
*en toda proporción el producto de los medios es
igual al producto de los extremos .
a:b::c:d entonces ad=bc
*una proporción se puede transformar en otra,
invirtiendo los términos de cada razón.
2:x::8:5 entonces x:2::5:8
En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios
entre el extremo conocido.En a:b::c:d ; a=bc/d , o
d=bc/a
En toda proporción un medio es igual al producto
de los extremos entre el medio conocido.
En x:y::z:w; y=xw/z, o z=xw/y
La media proporcional, aplicando el principio 4,
será igual a la raíz cuadrada del producto de los
extremos .Si b3:x::x:27;x²=81; x=81=9
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Semejanza*
Si dos figuras son semejantes
llamamos partes homologas a aquella
parte de una de la figura y su imagen bajo la semejanza.
Los polígonos semejantes, tienen la misma forma aunque no
necesaria mente el mismo tamaño.
Se denomina
polígonos semejantes
los que tienen sus
ángulos
correspondientes
congruentes
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RAZÓN DE SEMEJANZA*
Teorema básico de la proporcionalidad
*toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo determina un triangulo semejante al dado.
a b
d
e
c
Es la razón de 2 lados homólogos
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I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
II) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruente en ángulo comprendido (l.a.l.).
III) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales (l.l.l.)
TEOREMAS*
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Teorema de pitágoras*
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Teorema*
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma delos cuadrados construidos sobre los catetos.
C²=a²+b²