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Transformaciones Geométricas -I
Ana Lilia LAUREANO-CRUCES
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Cáracter de la aritmética
En la aritmética se estudian los cálculos numéricos; utilizando fórmulas el objetivo es ejecutar las operaciones necesarias para aplicarlas.
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Cáracter del álgebra
En el álgebra se generalizan las cuestiones de aritmética y por lo general se expresan las reglas y teoremas por medio de fórmulas.
De esta forma en vez de decir que el area del rectángulo es igual al producto de la base por la altura.
A=bh
De aquí que el álgebra es una extensión y generalización de las matemáticas.
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Cáracter de la Geometría
El objeto principal es el estudio de las formas o las figuras; tales como rectángulos, triángulos y círculos
toca a la geometría dar demostraciones de sus propiedades y de esta forma demuestra de forma rigurosa que:
el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las areas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
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De esta forma una transformación geométrica, se refiere a una aplicación lineal que opera estrictamente sobre los puntos de un espacio dimensional.
A cada punto del plano le corresponde otro (su imagen) después de la transformación.
En general se conservan las relaciones entre los puntos.
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Clasificación (orientación)
Una transformación geométrica es una función donde: la o las operaciones geométricas permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada.
A esta nueva figura se le llama la homóloga de la original.
Podemos clasificar dichas transformaciones en dos grandes grupos:
directa: la nueva conserva la orientación de la original
inversa: la nueva tiene el sentido contrario a la original
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Clasificación (de acuerdo a la forma)
Existen tres grandes grupos:
Isométricas: conserva las distancias y los ángulos. Permitiendo escalamiento:
a) reducción
b) ampliación
Isomórficas: conserva la forma y los ángulos. Permitiendo las proyecciones:
a) prespectivas
Anamórficas: cambia la forma de la figura original.
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Operaciones
Con el fin de lograr estas transformaciones, se ocupan diferentes tipos de operaciones matriciales:
Translaciones
Reflexiones
Rotaciones
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Las operaciones matriciales
Los elementos de una matriz, representan los puntos de las distintas figuras en el espacio.
Estas operaciones son la base de la graficación por computadora y de forma manual.
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Transformación idéntica
Se realiza a través de la matriz identidad
Cualquiera punto (X,Y) al multiplicar a la matriz identidad se conserva igual.
1 0
0 1 =
X
Y
X
Y
X
Y
(X,Y)
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TraslaciónSe define como el cambio que sufre un punto al agregar un escalar (+/-); a alguna o ambas coordenadas.
Donde:
Cx es la traslación del eje X
Cy es la traslación del eje Y
=Xt
Yt
X
Y+
Cx
Cy
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Ejemplo
+0
-4
-3
3+
-3
-1
Trasladar el punto P (-3,3); 4 unidades (negativas) sobre el eje Y (Cx =0; Cy =-4.
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Reflexiones
Una reflexión es una transformación geométrica. En una reflexión, un objeto geométrico “se mueve de un tirón” a través de una recta. La recta a través de la cual se refleja un objeto se llama la recta de reflexión o el eje de la reflexión.
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Ejemplos
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Las Reflexiones pueden ser sobre: el eje X, el eje Y y ambos
Reflexión sobre el eje Y implica simetría sobre el eje Y
-1 0
0 1
X
Y=.
-X
Y
-X,Y X,YY
Eje de Simetría
X
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Reflexión sobre el eje X implica simetría sobre el eje X
1 0
0 -1
X
Y=.
X
-Y
X,-Y
X,YY
Eje de Simetría X
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Reflexión sobre el origen (inversión central o reflexión en ambos ejes)
-1 0
0 -1
X
Y=.
-X
-Y
-X,-Y
X,YY
X
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Fin