Download - TP1 - LOGICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA
SEDE REGIONAL TARTAGAL
F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n ó m i c a s , J u r í d i c a s y S o c i a l e s
2.012 Aux. Doc. de 𝟏𝒓𝒂: T.U.P Horacio Miguel Lafuente
CARRERA: Contador Público Nacional
CÁTEDRA: Matemática I
LÓGICA
Temario
Introducción
Proposiciones
Tablas de Verdad
Conectivos Lógicos – Operaciones Lógicas
Tautología – Contingencia – Contradicción
Implicaciones Asociadas
Formas o Funciones Proposicionales
Cuantificación
Métodos Axiomáticos
Bibliografía
Introducción
Etimología
La palabra “lógica” proviene del griego “LOGOS” y se traduce por
“palabra”, “razón”, “discurso”.
La lógica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento
matemático.
“Deducir es razonar en matemáticas”
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Inductivo Deductivo Tener
Precaución Seguro
Proposiciones
Una proposición es una oración de la cual puede decirse que es Verdadera (𝑽)
o Falsa 𝑭 . En una proposición debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.
𝒑: 𝒆𝒍 𝒎𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒆𝒏 𝟓 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
El “sentido de verdad” de una proposición es que la misma sea
“demostrable”.
• Si (𝑝) es verdadero: 𝒗 𝒑 = 𝑽
• Si (𝑝) es falso: 𝒗 𝒑 = 𝑭
𝒗 𝒑 = 𝑽; 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 Á𝑓𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝐴𝑠𝑖𝑎, 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑝𝑎 𝑦 𝑂𝑐𝑒𝑎𝑛í𝑎
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑏𝑜
𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
Proposiciones
Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse
su valor de verdad no son proposiciones:
¿ 𝑄𝑢é ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑇𝑎𝑟𝑡𝑎𝑔𝑎𝑙?.
¡ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑚𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎𝑠! .
𝐿𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠.
𝐿𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠.
E𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧ó 𝑒𝑙.
𝐸𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎, 𝑙𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑠í.
CLASIFICACIÓN:
• Proposición Simple: proposición que no puede separarse en otras proposiciones.
𝑝: 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑜𝑏𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑙ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖ó 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎
• Proposición Compuesta: proposición que puede separarse en otras proposiciones
𝑞: 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑ó𝑟 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑑𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐴𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎ñ𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑖𝑛𝑎 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
Proposiciones
Tabla de Verdad
Una Tabla de Verdad es un cuadro de fácil interpretación que contiene las
proposiciones y sus valores lógicos.
𝑝: 𝐴𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑆𝑢𝑑𝑎𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑣 𝑝 = 𝑉
𝑞: 4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜∗
𝑣 𝑞 = 𝐹
𝒑 𝒒
V F Valores Lógicos
Proposiciones
* Un número primo es divisible por si mismo y por la unidad
Conectivos Lógicos - Operaciones Lógicas
Conectivos Lógicos (o Conectores Lógicos): símbolos que se emplean en las
Operaciones Lógicas.
Operaciones Lógicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de
otras.
Negación
La Negación de una proposición 𝒑 es la proposición ~ 𝒑, cuyo valor de verdad es
contrario al de la proposición 𝒑.
𝑝 ~ 𝒑
V F
F V
𝑝 𝑞 ~ 𝒑 ~ 𝒒
V F F V
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑵𝒆𝒈𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 ~ 𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝒏𝒐 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙
𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 ~ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝒏𝒐 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
Conjunción
La Conjunción entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición 𝒑 ∧ 𝒒, que sólo es
verdadera si se cumplen las proposiciones componentes 𝒑 y 𝒒.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ∧ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝒚 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑝 𝑞 𝒑 ∧ 𝒒
V F F
Disyunción
La Disyunción entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición 𝒑 ∨ 𝒒, que sólo es
falsa si 𝒑 y 𝒒 son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las
proposiciones componentes.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒚𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ∨ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 ó 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑝 𝑞 𝒑 ∨ 𝒒
V F V
Implicación o Condicional
La Implicación o Condicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición
𝒑 ⇒ 𝒒 , que sólo es falsa si 𝒑 (𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔) es verdadero y
𝒒 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏) es falso.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ⇒ 𝑞: Sí 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑝 𝑞 𝒑 ⇒ 𝒒 V F F
Condición Suficiente – Condición Necesaria
Si una implicación es verdadera, es Condición Suficiente (o precisa) que la
hipótesis sea verdadera para que la conclusión se cumpla.
Si una implicación es verdadera, es Condición Necesaria (o indispensable) que la
conclusión sea verdadera para que la hipótesis se cumpla.
"𝑺𝒊 𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒊𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒏𝒐"
"𝑺𝒊 𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒎𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒊𝒏𝒐"
Hipótesis Conclusión
Hipótesis Conclusión
La hipótesis es suficiente
para llegar a dicha
conclusión. La conclusión
es necesaria para dicha
hipótesis.
La hipótesis no es suficiente
para llegar a dicha
conclusión. La conclusión no
es necesaria para dicha
hipótesis.
Doble Implicación o Bicondicional
La Doble Implicación o Bicondicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la
proposición 𝒑 ⟺ 𝒒, que sólo es verdadera si 𝒑 y 𝒒 son ambas verdaderas o falsas.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑫𝒐𝒃𝒍𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐 𝑩𝒊𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ⟺ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝒔í 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔í 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑝 𝑞 𝒑 ⟺ 𝒒 V F F
Ley Lógica o Tautología
Una Ley Lógica o Tautología es una proposición compuesta cuya tabla de verdad
da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de
verdad de las proposiciones que la componen.
Una ley lógica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunción:
𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∨ 𝑝 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Leyes Lógicas
LEYES LÓGICAS
Involución ~ ~𝒑 ⟺ 𝒑
Idempotencia De la Conjunción 𝒑 ∧ 𝒑 ⟺ 𝒑
De la Disyunción 𝒑 ∨ 𝒑 ⟺ 𝒑
Conmutatividad De la Conjunción 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∧ 𝒑
De la Disyunción 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑
Asociatividad De la Conjunción ( 𝒑 ∧ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∧ (𝒒 ∧ 𝒓)
De la Disyunción ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∨ (𝒒 ∨ 𝒓)
Distributividad De la Conjunción con respecto a la Disyunción (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∧ 𝒓) ∨ (𝒒 ∧ 𝒓)
De la Disyunción con respecto a la Conjunción (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ 𝒓)
Leyes de Morgan Negación de una Conjunción ~ 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∨ ~𝒒
Negación de una Disyunción ~ 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∧ ~𝒒
Negación de una Implicación ~ 𝒑 ⇒ 𝒒 ⟺ 𝒑 ⇒ ~𝒒
Contingencia y Contradicción
Una Contingencia es una
proposición cuya tabla de
verdad da como resultado
algunos valores Verdaderos y
otros Falsos.
𝑝 𝑞 𝒑 ⟺ 𝒒
V V V
V F F
F V F
F F V
Una Contradicción es una
proposición cuya tabla de
verdad da como resultado
todos los valores Falsos
cualquiera sea el valor de la
proposición.
𝑝 ∼ 𝑝 𝒑 ∧ ∼ 𝒑
V F F
F V F
Implicaciones Asociadas
𝑝 𝑞 𝒑 ⇒ 𝒒 𝒒 ⇒ 𝒑 ~ 𝑝 ~𝑞 ~ 𝒑 ⇒ ~𝒒 ~𝒒 ⇒ ~𝒑
V V V V F F V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Implicaciones Equivalentes
FD FR FC FCR
𝒑 ⇒ 𝒒 ⟺ (~ 𝒒 ⇒ ~ 𝒑) 𝒒 ⇒ 𝒑 ⟺ (~ 𝒑 ⇒ ~ 𝒒)
FD FCR FR FC ⟺ ⟺
Implicaciones Asociadas
Ejemplo: 𝑝: 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼
𝑞: 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼
Forma Directa: 𝑝 ⇒ 𝑞: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑝𝑟𝑜 − 𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎 − 𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼"
Forma Recíproca: 𝑞 ⇒ 𝑝: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼".
Forma Contraria: ~𝑝 ⇒ ~𝑞: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒 − 𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼"
Forma Contrarrecíproca: ~𝑞 ⇒ ~𝑝: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á − 𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼".
Implicaciones Asociadas
Forma Directa
(FD)
𝒑 ⇒ 𝒒
Forma Contrarrecíproca
(FCR)
~𝒒 ⇒ ~ 𝒑
Forma Contraria
(FC)
~𝒑 ⇒ ~𝒒
Forma Recíproca
(FR)
𝒒 ⇒ 𝒑
Con
traria
Contr
ari
a
Recíproca
Recíproca
Contrarrecíproca
Formas o Funciones Proposicionales
Una Forma o Función Proposicional en una variable 𝑥, es toda oración en la cuál
figura 𝑥 como sujeto; la cual se convierte en proposición para cada especificación
de 𝑥.
Ejemplo: 𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
El Conjunto de Verdad (𝑪𝑽) de una función proposicional es el conjunto de todos
los elementos que al emplearlos en lugar de la variable 𝑥 convierten a dicha
función proposicional en proposición.
Al reemplazar 𝑥 por 2
𝑝 (2): 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
𝐶𝑉 = 2
Cuantificación
La Cuantificación es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite
convertir funciones proposicionales en proposiciones.
Los Cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de
elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :
Cuantificador Universal ∀
Se utiliza para afirmar que todos los
elementos de un conjunto dado
cumplen con una determinada
propiedad.
𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
∀𝒙: 𝒑 𝒙
∀𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
𝑝: 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
Cuantificador Existencial ∃
Se utiliza para indicar que uno o más
elementos en un conjunto dado cumplen
una determinada propiedad.
𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
∃𝒙: 𝒑(𝒙)
∃𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
𝑝: 𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
Negación de los Cuantificadores
“La negación del Cuantificador Uni-
versal es el Cuantificador Existencial”
~ ∀𝒙: 𝒑 𝒙 ⟺ ∃𝒙: ~𝒑(𝒙)
Ejemplo:
"𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 − 3“
∀𝒙 ∈ ℤ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 ≠ −𝟑
~[ ∀𝒙 ∈ ℤ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 ≠ −𝟑] ⟺
⟺ ∃𝒙 ∈ ℤ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 = −𝟑
"𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 − 3“
“La negación del Cuantificador Exis-
tencial es el Cuantificador Universal”
~ ∃𝒙: 𝒑 𝒙 ⟺ ∀𝒙: ~𝒑(𝒙)
Ejemplo:
"𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 5“
∃𝒙 ∈ ℚ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓
~[ ∃𝒙 ∈ ℚ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓] ⟺
⟺ ∀𝒙 ∈ ℚ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 ≠ 𝟓
"𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 5“
Métodos Axiomáticos
Directo
Indirecto o Contrarrecíproco
Reducción por el Absurdo
Refutación
Teoremas
Demostraciones
Axiomas o Postulados
DEMOSTRACIÓN
Argumento que establece la
verdad de un teorema
TEOREMA
Proposición que se desprende de
otra u otras (demostrada/as
dentro de un sistema)
AXIOMA
Proposición que se asume
como verdadera
Método Directo
Consiste en partir de la verdad del antecedente (Hipótesis) y tratar de
establecer la verdad del consecuente (Tesis)
Ejemplo:
Demostrar que : “si un número es impar, entonces su cuadrado es impar”
Demostración:
𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 ∶ 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛 + 1, ∀𝑛 ∈ ℤ
𝑻𝒆𝒔𝒊𝒔: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 + 1 2, ∀𝑛 ∈ ℤ
𝑥2 = 2𝑛 + 1 2 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1
Si consideramos al término 2𝑛2 + 2𝑛 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℤ
𝑥2 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 = 2𝑚 + 1
Conclusión: 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎 + 𝟏, es decir, 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
Método Indirecto o Contrarrecíproco
Consiste en partir de la negación del consecuente (Tesis) y determinar la negación
del antecedente (Hipótesis)
Ejemplo:
Demostrar que: “Para cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho
número es impar”
Demostración:
Nueva Hipótesis = Negación de la Tesis Inicial: 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ
Nueva Tesis = Negación de la Hipótesis Inicial: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 2, ∀𝑛 ∈ ℤ
𝑥2 = 2𝑛 2 = 4 𝑛2 = 2(2 𝑛2)
Si consideramos al término 2 𝑛2 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℤ
𝑥2 = 2 2 𝑛2 = 2𝑚
Conclusión: 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎, es decir, 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓
Método de Reducción por el Absurdo
Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente
(Hipótesis), llegar a una contradicción (ya sea contradecir la hipótesis dada o
cualquier resultado conocido).
Ejemplo:
Demostrar que : “para cualquier número entero par su cuadrado es par”
Demostración:
Hipotesis : 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ
Tesis = Negación de la Tesis Inicial: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑚 + 1, ∀𝑚 ∈ ℤ
𝑥 = 2𝑛 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 2 ⟺ 𝑥2 = 4 𝑛2 ⟺ 𝑥2 = 2(2 𝑛2)
Si consideramos al término 2 𝑛2 = 𝑘, ∀𝑘 ∈ ℤ
𝑥2 = 2𝑘
Podemos observar que 𝒙𝟐= 𝟐𝒌 ∧ 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎 +1, es decir que un número cualquiera es
par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).
Conclusión: “para cualquier número entero par su cuadrado es par ”
Refutación
Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la
afirmación.
Ejemplo:
Demostrar que: “el cuadrado de todo número impar es par”
Demostración:
92 = 81
Conclusión: “el cuadrado de todo número impar es impar”
Bibliografía
ASTORGA y LISI (2012), “Matemática I”, Ed. IMPRENTA FCEJS –U.N.Sa
BOSCH (1999), “Introducción al Simbolismo Lógico”, Ed. EUDEBA
JOHNSONBAUGH (1999), “Matemáticas Discretas”, Ed. Prentice Hall
RABUFFETTI (1992), “Introducción al Análisis Matemático: Cálculo I”, Ed. EL ATENEO
ROJO ARMANDO (2005), “Álgebra Tomo 1”, Ed. EL ATENEO
SUPPES (1994), “Introducción a la Lógica Matemática”, Ed. REVERTÉ