Download - Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
1/37
Universidad Veracruzana
Facultad de F́ısica e Inteligencia Artificial
Billar circular cortado cuántico
Trabajo recepcional en la modalidad de:
TESIScomo requisito parcial para obtener el t́ıtulo de:
Licenciado en F́ısica
P R E S E N T A
CARLOS MANUEL RODRIGUEZMARTINEZ
ASESOR:
CARLOS ERNESTO VARGAS MADRAZO
Xalapa Enŕıquez, Veracruz Julio 2014
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
2/37
Universidad Veracruzana
Facultad de F́ısica e Inteligencia Artificial
Licenciatura en F́ısica
Billar circular cortado cuántico
por Carlos Manuel Rodŕıguez Mart́ınez
Resumen
Se realiza un estudio acerca de las propiedades de un billar circular cortado usando unmétodo basado en simulaciones computacionales. La simulación consiste en considerar la
función de onda en el interior del billar como un conjunto de rayos que sufren reflexiones
en su interior. Estos rayos poseen trayectorias clásicas y se pueden estudiar para conocer
cuál es su contribución para formar el estado cuántico.
Primero se dará una perspectiva de la motivación para realizar este trabajo, siguiendo
con la descripción de los antecedentes relacionados al tema para poder profundizar en
la caracterización del billar. Posteriormente se explicará la metodoloǵıa a usar, para dar
paso a los resultados y su discusión. En los resultados se delimitan las regiones dondelos rayos individuales tienen trayectorias causantes de interferencia constructiva, la cual
se cree que puede ser causante de la formación de un estado cuántico.
http://www.uv.mx/http://www.uv.mx/ffiahttp://www.uv.mx/ffiahttp://www.uv.mx/
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
3/37
Agradecimientos
A mis abuelos, que desde lejos siempre me han cuidado y apoyado. A ellos les debo
mi carrera.
A mi madre y a mi padrastro, por estar conmigo siempre y apoyarme.
A mi novia, por motivarme siempre con su música.
A mis amigos, que me hicieron disfrutar mucho de la carrera.
Y a los clientes de Café F́ısica , por hacerme pasar buenos momentos y gratas com-
pañ́ıas.
iii
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
4/37
Índice general
1. Antecedentes 4
1.1. Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Caos determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Ejemplo de sistema mecánico con caos determinista: doble péndulo 9
1.2.3. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4. Dimensión fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5. Sección de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6. Exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Billares dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Coordenadas de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2. Billar circular cortado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3. Exponente de Lyapunov en el billar . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4. Sistemas cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Pozo de potencial circular y semicircular infinitos . . . . . . . . . . 24
1.4.2. Método de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Metodoloǵıa 31
2.1. Aproximación Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Simulación: Dinámica del billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Simulación: Rayo individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Interacción con las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2. Algoritmo de ĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3. Error numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Simulación: Soluciones utilizando el método de expansión . . . . . . . . . 41
3. Resultados 43
3.1. Región integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Densidad de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2. Rayos individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3. Suma de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Región caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Densidad de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
5/37
ÍNDICE GENERAL 2
3.2.2. Rayos individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Conclusiones 57
5. Apéndice 58
5.1. Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2. QBill: Código fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3. wxChaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
6/37
Introducción
En este trabajo se estudia el billar circular cortado cu ántico, el cual se caracteriza por
ser un ćırculo cortado en alguna sección, con longitud variable. El método de estudio
para este billar está basado en simulaciones computacionales. La simulación consiste en
considerar la función de onda en el interior del billar como un conjunto de rayos que
sufren reflexiones en su interior. Estos rayos poseen trayectorias clásicas y se pueden
estudiar para conocer cuál es su contribución para formar el estado cuántico.
Motivación
Con este trabajo se desea investigar cuál es el rol que tienen las trayectorias clásicas
del billar en la formación de estados cuánticos. En el estudio de los sistemas cuánticosse han llegado a observar cicatrices cu´ anticas , que son regiones de mayor densidad en
las funciones de onda que aparecen alrededor de las trayectorias periódicas inestables
del mismo sistema clásico. De aqúı surge la inquietud de conocer cuál es el rol de estas
trayectorias clásicas a la hora de construir un estado cuántico.
3
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
7/37
Caṕıtulo 1
Antecedentes
El estudio de los billares requiere definir primero los conceptos de sistemas dinámicos
y caos, ya que son los elementos que los caracterizan. Las caracterı́sticas de las trayec-
torias clásicas y los eigenestados que se presentan en el billar circular cortado ya han
sido estudiadas anteriormente, lo que nos proporciona una base para el estudio de las
caracteŕısticas que se desean investigar en este trabajo.
1.1. Sistemas dinámicos
Los sistemas dinámicos se pueden definir como una regla determinista para describir la
evolución de un sistema conociendo su estado actual. Sea un sistema descrito por un
conjunto finito de variables dinámicas x = (x(1), · · · , x(n)) ∈ Rn, la evolución temporaldel sistema estará descrita por
d
dtx(t) = F(x(t), t).
Para un sistema dinámico, conociendo x
(0) se pueden resolver las ecuaciones para ob-tener el estado del sistema en un tiempo x(t) con t ≥ 0.
Al espacio (x(1), · · · , x(n)) se le denomina espacio fase , y al camino seguido porel sistema durante su evolución temporal por el espacio fase se le denomina ´ orbita o
trayectoria .
De forma más general, a la hora de describir un sistema dinámico más complejo se
debe considerar también la posibilidad de que exista un par´ ametro de control o restric-
ci´ on λ. Este parámetro de control es una constante cuyo valor afecta a la dinámica del
sistema. Un ejemplo de esto puede ser una constricci ón del movimiento, la amplitud
4
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
8/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 5
Figura 1.1.1: Trayectoria en un espacio fase N = 3 de un péndulo doble. Se pintande diferente color las part́ıculas del sistema.
de una frecuencia o una perturbación externa al sistema, de manera que la evolución
temporal del sistema queda descrita por
d
dtx(t) = F(x(t), t; λ).
1.1.1. Formalismo Lagrangiano
En el estudio de los sistemas dinámicos existen varios formalismos con los que se puede
describir su evolución temporal. Uno de ellos es el formalismo lagrangiano. Se puede
explicar y derivar fácilmente utilizando el principio de mı́nima acci´ on . La acción S es
una magnitud que expresa el producto de la enerǵıa implicada en un proceso por el
tiempo que dura este proceso. El principio de mı́nima acción enuncia: De todas las tra-
yectorias posibles (compatibles con las ligaduras) que puede seguir un sistema dinámico
para desplazarse de un punto a otro en un intervalo de tiempo determinado, la trayec-
toria verdaderamente seguida es aquella que hace mı́nima la acción dada por la integral
temporal de la diferencia entre las enerǵıas cinética T y potencial U
S = t2t1 (T − U )dt,
esto es δS = 0. Se define la función lagrangiana a partir de
S =
t2t1
L(q, q̇, t)dt,
con L(q i, q̇ i, t) = T (q, q̇, t)−U (q, t), donde q (t) es la función que hace mı́nima la acción.Sea q (t, α) un conjunto de trayectorias cercanas dadas por q (t, α) = q (t, 0) + αη(t) tales
que se anulan en los extremos, es decir η(t1) = η(t2) = 0, de manera que la acción sea
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
9/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 6
dependiente de este parámetro α
S (α) =
t2t1
L(q (t, α), q̇ (t, α), t)dt,
de aqúı se tiene que la condición para encontrar un punto donde la integral es estacionaria
es dS dαα=0
= 0.
Para encontrar las ecuaciones de movimiento que minimizan la acci ón se hace
∂S
∂α =
t2t1
∂L
∂q
∂q
∂α +
∂ L
∂ q̇
∂ q̇
∂α
dt.
El segundo término de la integral se puede reescribir como
t2t1
∂L
∂ q̇
∂ q̇
∂αdt =
t2t1
∂L
∂ q̇
∂
∂α
dq
dtdt
=
∂L
∂ q̇
∂q
∂α
t2t1
− t2t1
∂q
∂α
d
dt
∂L
∂ q̇ dt
= − t2t1
∂q
∂α
d
dt
∂L
∂ q̇ dt.
Esto es debido a que ∂q∂α
se anula en los extremos t1 y t2. De manera que se obtiene
∂S
∂α =
t2
t1
∂L
∂q − d
dt
∂L
∂ q̇
∂q
∂αdt.
Si se impone la condición de que la integral sea estacionaria
dS dαα=0
=
∂S ∂α = t2t1
∂L
∂q − d
dt
∂L
∂ q̇
∂q
∂αdt
α=0
= 0
entonces se obtiene∂L
∂q − d
dt
∂L
∂ q̇ = 0,
que es la ecuación de Euler-Lagrange. Ésta se puede generalizar a varias dimensiones
realizando un proceso análogo al anterior, quedando de manera más general
∂L
∂q i− d
dt
∂L
∂ q̇ i= 0.
1.1.2. Formalismo Hamiltoniano
En un sistema Hamiltoniano con N grados de libertad, su dinámica se deriva del Ha-
miltoniano H (q, p, t), donde q = (q 1, . . . , q N ) son las coordenadas canónicas y p =
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
10/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 7
( p1, . . . , pN ) los momentos. Para obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton se
puede partir del lagrangiano L(q i, q̇ i, t), donde
dL =
N i=1
∂L∂q idq i +
∂L
∂ q̇ i d q̇ i
+
∂ L
∂t dt,
pero se tiene que
˙ pi = ∂L
∂q i
y
pi = ∂L
∂q i.
De aquı́
dL =
N
i=1 ( ˙ pidq i + pid q̇ i) +
∂ L
∂t dt. (1.1.2.1)
Para calcular el hamiltoniano se usa la transformación de Legendre del lagrangiano L
H (q i, q̇ i, t) =N i=1
q̇ i pi − L(q i, q̇ i, t). (1.1.2.2)
También, el diferencial del hamiltoniano es
dH =N
i=1
∂H ∂q i
dq i + ∂ H
∂pi
dpi+ ∂ H ∂t
dt, (1.1.2.3)
y diferenciando (1.1.2.2) se obtiene
dH =
N i=1
( q̇ idpi + pid q̇ i)− dL.
Sustituyendo (1.1.2.1)
dH =N
i=1( q̇ idpi − ˙ pidq i) − ∂ L
∂t dt
y comparando con (1.1.2.3) se obtienen las ecuaciones de movimiento de Hamilton
˙ pi = −∂H ∂q i
, q̇ i = ∂H
∂pi, i = 1, . . . , N ,
las cuales generan las trayectorias q(t), p(t) en un espacio fase de 2N dimensiones.
La relevancia de los sistemas hamiltonianos es que conociendo el hamiltoniano que
caracteriza al sistema se puede conocer su dinámica. Esto será necesario posteriormente
para poder realizar una simulación del billar.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
11/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 8
1.2. Caos
Un sistema caótico es un sistema dinámico que presenta una alta sensibilidad a las
condiciones iniciales, haciendo que su comportamiento futuro tenga una gran variación.
Si bien el conocimiento de la existencia de sistemas caóticos se remonta a los traba-
jos de Henri Poincaré donde analiza la dinámica de un sistema de 3 cuerpos, su estudio
formal comienza en 1963 cuando Edward Lorenz derivó una serie de ecuaciones diferen-
ciales para modelar la convección térmica en la atmósfera. Él definió una distribución
de velocidad v(r, t) y un campo de temperatura T (r, t), y luego en base a las ecuaciones
de Navier-Stokes y algunas simplificaciones, llegó a las llamadas ecuaciones de Lorenz
dx
dt = σ(y
−x),
dy
dt = x(ρ − z) − y,
dz
dt = xy − βz.
Estas ecuaciones son notables por tener soluciones caóticas para ciertos parámetros y
condiciones iniciales. Éste es un ejemplo de caos que se presenta en un sistema totalmente
determinista.
1.2.1. Caos determinista
El término caos determinista se usa para denotar el comportamiento irregular de los
sistemas dinámicos a partir de una descripción puramente determinista de su evolución
temporal, sin necesidad de invocar una fuente externa de ruido o cualquier tipo de
perturbación. Este comportamiento se manifiesta como una fuerte sensibilidad a las
condiciones iniciales, lo cual tiene consecuencias en la predicción de su evolución temporal
a largo plazo.
Si bien un sistema caótico puede estar descrito por una regla determinista, su evo-
lución temporal es imposible de describir en términos de funciones elementales.
Históricamente la existencia de un elemento caótico en un sistema determinista fue
inesperado, y fue aún más inesperado descubrir que el caos determinista puede ser en-
contrado en sistemas simples con pocos grados de libertad, y no ha sido hasta épocas
recientes, con la ayuda de computadoras, que se han podido estudiar a fondo este tipo
de sistemas. A pesar de parecer un caso excepcional, en realidad los sistemas caóticos
suelen ser la regla, y los sistemas integrables la excepción.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
12/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 9
Los billares son un ejemplo de sistema que en su mayoŕıa presentan caos determinista
(no en todos los casos). Esto sucede principalmente porque sus fronteras no son regulares,
haciendo su mecánica muy compleja y sensible a pequeñas variaciones en sus condiciones
iniciales.
Uno de los ejemplos más sencillos para ilustrar el caos determinista es el mapa logı́sti-
co. Éste se construye iterando puntos usando la regla
xn+1 = rxn(1− xn).
Si se grafican los puntos resultantes de esta iteración respecto al valor r se obtiene una
gráfica como la que se muestra en la figura 1.2.1.
Figura 1.2.1: Gráfica del mapa logı́stico, que es un ejemplo ilustrativo del caos deter-minista.
Nótese que el sistema presenta tendencia a ser divergente y caótico en los puntos
r > 3.57.
1.2.2. Ejemplo de sistema mecánico con caos determinista: doble péndu-lo
El doble péndulo es un ejemplo de sistema mecánico que pone en evidencia la complejidad
que pueden generar este tipo de sistemas de construcción simple. Este sistema en su
forma más simple está formado por dos masas colgando de cuerdas de masa despreciable
y sin fricción, donde las masas están sujetas a la acción de la gravedad (figura 1.2.2). Se
desea describir el movimiento de ambas masas.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
13/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 10
Figura 1.2.2: Diagrama del péndulo doble.
Se define al vector r1 en función de los ángulos θ1 y θ2 como
r1 = l
sen(θ1)̂i + cos(θ1)ˆ j
,
cuya derivada es
ṙ1 = l θ̇1cos(θ1)̂i − l θ̇1sen(θ1)ˆ j.
Entonces el cuadrado del módulo de ṙ1 es
ṙ12 = l2 θ̇1
2. (1.2.2.1)
Análogamente para r2
r2 = l (sen(θ1) + sen(θ2)) î + l ( hboxcos(θ1) + cos(θ2)) ˆ j.
Su derivada
ṙ2 =
( θ̇1lcos(θ1) + θ̇2lcos(θ2)
î−
θ̇1lsen(θ1) + θ̇2lsen(θ2)
ˆ j.
El cuadrado de su módulo es
ṙ2 = l2
θ̇12
+ θ̇22
+ 2 θ̇1 θ̇2cos(θ1 − θ2)
, (1.2.2.2)
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
14/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 11
de esta manera se puede describir la enerǵıa cinética del sistema como
T = T 1 + T 2 = 1
2m1 ṙ1 +
1
2m2 ṙ2
=
1
2 m1l2
θ̇12
+
1
2 m2l2
θ̇12
+ θ̇22
+ 2 θ̇1 θ̇2cos(θ1 − θ2)=
1
2l2
θ̇12
(m1 + m2) + θ̇22
m2 + 2m2 θ̇1 θ̇2
,
y la enerǵıa potencial se define como
V = V 1 + V 2 = m1gr1y + m2gr2y = −m1glcos(θ1)− m2gl(cos(θ1) + cos(θ2))= −gl((m1 + m2)cos(θ1) + m2cos(θ2)).
De estas magnitudes se obtiene el lagrangiano L = T
−V ,
L = 1
2l2
θ̇12
(m1 + m2) + θ̇22
m2 + 2m2 θ̇1 θ̇2
+gl ((m1 + m2)cos(θ1) + m2cos(θ2)) . (1.2.2.3)
Utilizando la ecuación de Euler-Lagrange se obtienen las ecuaciones de movimiento para
el sistema. Despejando para θ1,
d
dt 1
2l2(2 θ̇1(m1 + m2) + 2m2 θ̇2cos(θ1 − θ2))
= −gl(m1 + m2)sen(θ1) −m2 θ̇1 θ̇2l2sen(θ1 − θ2),
l2 θ̈1(m1 + m2) + m2l2 θ̈2cos(θ1 − θ2) = −m2l2 θ̇22sen(θ1 − θ2)
−gl(m1 + m2)sen(θ1). (1.2.2.4)
Despejando para θ2,
d
dt
1
2l2(2m2 θ̇2 + 2m2 θ̇1cos(θ1 − θ2))
= −glm2sen(θ2) + l2m2 θ̇1 θ̇2sen(θ1 − θ2),
l2m2 θ̈2 + l2m2 θ̈1cos(θ1 − θ2) = m2l2 θ̇12sen(θ1 − θ2)
−glm2sen(θ2). (1.2.2.5)
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
15/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 12
Aqúı se tiene un sistema de dos ecuaciones (1.2.2.4 y 1.2.2.5) y dos incógnitas θ1 y θ2.
De aquı́ se obtienen las ecuaciones de movimiento para este sistema:
θ̈1 = −g(2m1 + m2)senθ1 − m2gsen(θ1 − 2θ2)− 2sen(θ1 − θ2)m2(θ̇22l2 + θ̇21l1cos(θ1 − θ2))
l1(2m1 + m2 − m2cos(2θ1 − 2θ2))(1.2.2.6)
y
θ̈2 = 2sen(θ1 − θ2)(θ̇21l1(m1 + m2) + g(m1 + m2)cosθ1 + θ̇22l2m2cos(θ1 − θ2))
l2(2m1 + m2 − m2cos(2θ1 − 2θ2)) . (1.2.2.7)
No es posible obtener la solución en términos de funciones elementales para este par
de ecuaciones diferenciales, lo que pone en evidencia la naturaleza ca ótica del sistema.
A la hora de resolver este tipo de sistemas se suelen utilizar métodos numéricos como el
método de Euler o Runge-Kutta.
Figura 1.2.3: Trayectoria del péndulo doble.
En la figura 1.2.3 se puede ver la dinámica caótica de la trayectoria del segundo
péndulo variando ligeramente las condiciones iniciales. Este ejemplo sirve para ilustrar
la naturaleza caótica de un sistema simple en apariencia y, por lo mismo, para resolverlo
es necesario hacer uso de una simulación por métodos numéricos [6].
1.2.3. Fractales
Los fractales son ob jetos geométricos cuya dimensionalidad no es entera y exhiben auto-
similaridad en todas las escalas. Se suelen construir a partir de reglas iterativas simples,
series complejas o analizando el comportamiento de un sistema f́ısico, entre otros.
http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
16/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 13
En la naturaleza se pueden observar formas que se asemejan a una estructura fractal:
los rayos, la forma de un romanescu, la forma de algunas hojas, las ramas de un árbol,
etc.
El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de fractal muy popular que debe su fama
a que fue de los primeros conjuntos de dinámica compleja que mostraron propiedades
fractales. Este se crea a partir de la serie recurrente zn+1 = z2n + c.
(a) (b) Aumento en sección del Mandelbrot.
Figura 1.2.4: Conjunto de Mandelbrot.[13]
Los fractales han sido usados en el terreno art́ıstico para la creación de efectos espe-
ciales, terrenos artificiales o como producto art́ıstico por śı mismos.
En la f́ısica se pueden usar como herramienta de análisis de sistemas caóticos. Si bien
su estructura irregular no da una idea clara de la f́ısica del sistema, existen métodos para
caracterizarlos y poder describirlos de una manera cuantitativa.
1.2.4. Dimensión fractal
La dimensi´ on fractal es una generalización del término matemático de dimensión que
incluye valores no enteros.
En esencia es una magnitud que mide la complejidad que presenta alg ún patrón y/o
cuánto espacio es capaz de llenar la figura. Figuras geométricas regulares como una ĺınea,
un cuadrado o un cubo tendŕıan dimensiones fractales 1, 2 y 3 respectivamente.
Para el análisis numérico la dimensión de Minkowski–Bouligand (más conocida como
dimensión de conteo de cajas) es utilizada frecuentemente. Ésta provee una estimación
del número de cuadŕıculas que llena un objeto respecto al tamaño que se utiliza para
medirlo, y su definición es
D = ĺımε→0
log N (ε)
log(1/ε) ,
http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
17/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 14
donde N es el número de cuadrı́culas contadas, y ε es el tamaño de la cuadrı́cula.
En la figura 1.2.5 se muestra un ejemplo de un conteo de cajas sobre el mapa de
henón.
Figura 1.2.5: Conteo de cajas en el mapa de henón. Realizado con el software wx-Chaos.
1.2.5. Sección de Poincaré
Una herramienta matemática útil para analizar la dinámica compleja de una trayectoria
en el espacio fase es la secci´ on de Poincaré . Esta técnica consiste en analizar una seccióndel espacio fase colocando una superficie y seleccionando los puntos de intersección con
la órbita del sistema.
Figura 1.2.6: Construcción de una sección de Poincaré.
A partir de esto se puede determinar el tipo de caos que presenta un sistema. Por
lo general la superficie de corte se escoge de tal manera que maximice la cantidad de
información que se puede obtener, es decir, debe ser una región suficientemente visitada
durante su dinámica.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
18/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 15
Un ejemplo lo podemos observar en el oscilador de Duffing
ẍ + δ ẋ + αx + βx3 = γ cos(ωt),
que es usado para modelar ciertos osciladores no lineales. Éste presenta una dinámica
caótica como se muestra en la figura 1.2.7.
(a)(b) Gráfica de su órbita en el espacio fase.
Figura 1.2.7: Dinámica del oscilador de Duffing.
Tomando una secci´ on de Poincaré haciendo un corte en un periodo T = 2πω se obtiene
una gráfica como en la figura 1.2.8.
Figura 1.2.8: Sección de Poincaré del oscilador de Duffing.
1.2.6. Exponente de Lyapunov
La dinámica caótica se caracteriza por una divergencia exponencial de las trayectorias
inicialmente cercanas. El exponente de Lyapunov es una medida de esta divergencia,
caracterizada por un factor λ.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
19/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 16
Se comienza suponiendo dos trayectorias cercanas, x0 y x0 + . Definiendo
n = F n(x0 + )− F n(x0)
= F n
(x0) +
dF n(x0)
dx0 + · · · − F n
(x0),
donde n denota el número de iteraciones del sistema y F n es el sistema iterado n veces.
Considerando que F n = F (F n−1), entonces
n = 0dF n(x0)
dx0= 0F
(F n−1(x0))dF (n−1)(x0)
dx0= 0
n−1k=0
F (xk).
Aqúı se supone que las trayectorias divergen exponencialmente, de manera que
n = 0enλ,
entonces
nλ =
n0 =n−1k=0
F (xk).
El exponente de Lyapunov queda definido como
λ = 1
n
n−1
k=0ln
F (xk)
.
La utilidad del exponente de Lyapunov reside en su capacidad para analizar la con-
vergencia de una órbita. Si λ 0 no tiende
hacia ningún valor. Cuando λ = 0 la trayectoria no diverge.
Un ejemplo ilustrativo del uso del exponente de Lyapunov está en el diagrama de
bifurcación del mapa loǵıstico. El mapa loǵıstico se construye a partir de la relación de
recurrencia xn+1 = rxn(1 − xn).
En la figura 1.2.9 se aprecia la transición a la sección caótica, y su gráfica del expo-nente de Lyapunov que adquiere valores mayores que 0 en la misma secci ón.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
20/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 17
Figura 1.2.9: Mapa loǵıstico junto con su exponente de Lyapunov. La transición a laregión caótica se ve reflejada en el exponente de Lyapunov.
1.3. Billares dinámicos
Los billares son sistemas dinámicos que muestran una dinámica compleja, siendo en
esencia sistemas de construcción simple. Están sujetos a reflexiones cuando la part́ıcula
se encuentra con los bordes del sistema, esta reflexión ocurre sin ninguna pérdida de
energı́a. Pueden ser caóticos o integrables, esto depende de la forma del billar o de sus
condiciones iniciales. Su dinámica se describe a partir del hamiltoniano
H (q, p) = p2
2m
+ V (q ),
donde la forma del potencial es
V (q ) =
0, q ∈ Ω∞, q /∈ Ω .
Ω es la región permitida para la dinámica del billar.
A pesar de su dinámica sencilla, al resolver el sistema éste puede llegar a presentar
caracterı́sticas caóticas.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
21/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 18
Se han utilizado billares para modelar sistemas termodinámicos (Billar de Sinaı́), es-
tudiar caracteŕısticas de las fibras ópticas y resolver problemas de potenciales cuánticos.
La versión cuántica de un billar se suele estudiar resolviendo la ecuación de Helmholtz
(∇2 + k2)φ = 0,
aunque también existen otros métodos como el método de expansi ́on , que se detallará en
la sección 1.4.2.
1.3.1. Coordenadas de Birkhoff
Las coordenadas de Birkhoff son un tipo de coordenadas útiles para describir la dinámica
de un billar. En éstas se considera que toda la frontera del billar es un arco de magnitud
total 1, de manera que se definen
s = posición dentro de la fracción de arco de la frontera,
p = αcosθ,
donde α es la magnitud total del momento y θ es el ángulo entre el vector velocidad y
la normal a la colisión. En el caso del billar que se desea estudiar se puede normalizar
el momento, de manera que α = 1.
Figura 1.3.1: Coordenadas de Birkhoff en colisión con frontera.
La utilidad principal de las coordenadas de Birkhoff en este trabajo es que permiten
visualizar el mapa de Birkhoff, el cual es un análogo a la secci´ on de Poincaré para
los billares. Con esta herramienta se puede visualizar la dinámica del billar fácilmente,
ya que sólo se necesitan las coordenadas de Birkhoff en las colisiones con la frontera.
La dinámica que ocurre dentro del billar no es relevante, ya que la trayectoria de lapartı́cula sólo cambia cuando ocurre la interacción con las fronteras, de manera que no
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
22/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 19
resulta necesario conocer la información completa de la órbita del sistema, pues con las
coordenadas de Birkhoff se tiene toda la información necesaria.
1.3.2. Billar circular cortado
Figura 1.3.2: Diagrama del billar circular cortado.
El billar circular cortado es un tipo de billar caracterizado por una forma de disco
cortado en una sección. Sus parámetros más relevantes son:
W : Distancia de corte.
R: Radio del ćırculo.
ω: W R .
Anteriormente se ha realizado el análisis fractal de la dispersión en un billar de disco
cortado en su versión clásica [2]. También se ha realizado un estudio estadı́stico detallado
utilizando simulaciones computacionales [11], pero ambos utilizando sistemas clásicos.
También se han realizado estudios acerca de las regiones que presentan caos en la
versión cuántica del billar de disco cortado [3], habiéndose encontrado en ambos estudios
resultados similares respecto a los parámetros que producen caos en el sistema.
En los estudios centrados en la dinámica clásica del billar se han podido encontrar
regiones donde se aprecia la transición en la dinámica del billar del caos suave al caosduro, siendo ω el factor determinante:
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
23/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 20
0 < ω
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
24/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 21
Figura 1.3.5: Billar de disco cortado. Diferencia de trayectorias ante una peque ñavariación en las condiciones iniciales.
Figura 1.3.6: Gráfico de barras para el billar circular cortado, donde se mapea laapertura por donde sale la part́ıcula que se introduce al billar; negro si hay transmisióny blanco si hay reflexión. Este tipo de gráfico nos ayuda a identificar la transición entre
caos suave y caos duro, como se muestra en la figura 1.3.7.
Lo interesante de los gráficos de barras es que realizando una gráfica continua para
los valores de ω y φ se puede visualizar la transición entre la dinámica del caos suave y
el caos duro.
Se han realizado estudios [3] acerca de los estados cuánticos que se presentan en este
tipo de billar. Para esto se utilizó el método de elementos de frontera , con el cual se
obtuvieron los eigenestados que se muestran en la figura 1.3.9.
http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
25/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 22
Figura 1.3.7: Gráfico de barras con transición [11]. Se resaltan de diferente color lasregiones integrables, las de caos suave y las de caos duro. En la regi ón de caos duro los
gráficos de barras adquieren una estructura fractal.
Figura 1.3.8: Dimensión fractal por conteo de cajas df para gráfico de barras como elque se muestra en la figura 1.3.7 [2]. Se calcula la dimensión fractal para cada w. N p esel número total de cajas y N B el número de cajas que poseen un elemento del conjunto
fractal. La transición del caos suave al caos duro se ve reflejada.
Figura 1.3.9: Densidad de probabilidad para algunos eigenestados, con = EmR2
2 . (a)
ω = 0.5 y = 740.79. (b) ω = 0.5 y = 1156.07. (c) ω = 0.9 y = 365.64. (d) ω = 0.9y = 371.99. (e) ω = 1.5 y = 258.03. (f) ω = 1.5 y = 268.80.
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
26/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 23
1.3.3. Exponente de Lyapunov en el billar
Con las coordenadas de Birkhoff podemos definir una función que nos permita obtener
un nuevo par de coordenadas a partir de la anterior. Sea,
(sn+1, pn+1) = F (sn, pn).
Para estudiar la divergencia de las trayectorias del billar el término del momento no
es relevante, de manera que se puede considerar s ólo la transformación
sn+1 = F (sn).
La derivada de esta función se puede aproximar
F (sn) F (sn + h) − F (sn)h
= F (sn + h)− sn+1
h ,
pero sn+h es una trayectoria con una condición inicial adyacente a sn, se puede etiquetar
como sn. Entonces
F (sn) sn+1 − sn+1
h .
Aśı el exponente de Lyapunov para el billar queda
λ 1N
N −1n=0
ln
sn+1 − sn+1h ,
donde N es el número de rebotes con las fronteras.
1.4. Sistemas cuánticos
A escalas muy pequeñas, en las cuales se comienzan a apreciar los efectos cuánticos, se
observa que la materia tiene propiedades ondulatorias. En concreto, la enerǵıa es una
función de la frecuencia E = hν , y la longitud de onda está relacionada con el momento
de la part́ıcula p = hν . Esto dio lugar al desarrollo de la ecuaci ón de Schrödinger, que
describe la función de onda para los sistemas cuánticos descritos por un potencial V (r)
Ĥψ(r, t) = − 2
2m∇2ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t) = i ∂ψ(r, t)
∂t .
Para casos estacionarios se usa la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Ĥψ(r) = − 22m
∇2ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r).
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
27/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 24
Debido a la linealidad de la ecuación resulta conveniente resolver para los estados esta-
cionarios
Ĥψn(r) = E nψn(r).
En esta ecuación E n son los eigenvalores y ψn(r) los eigenestados. Éstos poseen las
siguientes propiedades:
Son ortogonales. Para n = m ∞
−∞
ψ∗n(x)ψm(x)dx = 0.
Forman un conjunto completo. Cualquier solución que satisface
∞
−∞
|ψ(x)|2dx < ∞
se puede expandir en términos de
ψ(x) =m
cmψm(x).
La función de onda ψ(x) permite conocer la probabilidad P (x)dx = ψ∗(x)ψ(x) de
encontrar a la part́ıcula en una región determinada y nos permite obtener informa-
ción del sistema, como valores de expectación < f (x) >= ∞
−∞ ψ∗(x)f (x)ψ(x)dx.
Las eigenfunciones pueden ser multiplicadas por una constante de manera que sean
normalizadas, ası́: ∞
−∞
ψ∗(x)ψ(x)dx = 1,
y ∞
−∞
ψ∗n(x)ψm(x)dx = δ nm.
En algunos casos dentro de este trabajo será útil usar la notacíon bra-ket, con la cual
se simplifican muchas operaciones
Anm =< n|Â|m >= ∞
−∞
ψ∗n(x) Âψm(x)dx.
1.4.1. Pozo de potencial circular y semicircular infinitos
Un caso particular del potencial del billar que se desea estudiar, en concreto el corres-
pondiente a ω = 2, se puede investigar calculando la ecuación de Schrödinger. En este
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
28/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 25
caso, con un radio a se tiene un potencial circular
v(r) =
0 r < a
∞ r
≥a .
A partir de la ecuación de Schrödinger
Ĥψ(r, θ) = Eψ(r, θ),
el potencial circular presenta simetŕıas en la parte angular, aśı que se puede simplificar
haciendo uso de la ecuación radial
2
2µr2 r ∂
∂r2
ψ − 2
2µr
∂
∂rψ +
1
2µr2L̂z
2ψ + v(r)ψ = Eψ
con
ψnm(r, θ) = Rnm(r)Θm(θ).
Aśı, resolviendo para la región r < a y con k2 = 2µE 2
, la ecuación radial queda
d2R(r)
dr2 +
1
r
dR(r)
dr − m
2
r2 R(r) + k2R(r) = 0,
cuya solución está en términos de una función ciĺındrica de Bessel
Rnm(r) = AJ m(knmr).
knma
tiene el valor del n-ésimo cero de la función ciĺındrica de Bessel. La parte angular
tiene solución de la forma
Θm(θ) = eimθ.
Esto nos da la solución completa para el pozo de potencial circular infinito
ψnm(r, θ) = AJ m(knmr)eimθ.
n y m son números enteros que están relacionados con los momentos radiales y angulares
respectivamente, que nos dan el conjunto de eigenestados posibles para este potencial.
A es la constante de normalización, entonces la solución queda como se muestra en las
figuras 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3, 1.4.4.
La transformada de Fourier para este potencial [8] nos da información acerca de
qué frecuencias contribuyen a la construcción del estado cuántico. Para la solución del
http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
29/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 26
pozo de potencial circular infinito la transformada de Fourier es
F (ψnm)(k, θk) = δ (knm − k) (−i)m
√ 2πknm
eimθk .
Esto nos dice que para la construcción del estado sólo contribuyen ondas planas con
número de onda knm.
Para el caso del pozo de potencial semicircular infinito se puede trabajar con la
misma solución radial pero imponiendo una condición de frontera para la parte angular.
Definiendo el potencial
v(r) =
0 r < a, |θ| < π2∞ r ≥ a, |θ| ≥ π2 ,
la solución angular es
Θm(θ) = sen
m
θ + π2
.
Esto nos da la solución completa para el pozo de potencial semicircular infinito
ψnm(r, θ) = AJ m(knmr)sen
m
θ + π
2
.
Figura 1.4.1: Eigenestados con n = 1.
Figura 1.4.2: Eigenestados con n = 1.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
30/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 27
Figura 1.4.3: Eigenestados con n = 2.
Figura 1.4.4: Eigenestados con n = 2.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
31/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 28
1.4.2. Método de expansión
La ecuación de Schrödinger resulta relativamente simple de resolver en sistemas que
presenten las simetŕıas adecuadas. En la sección anterior se hizo uso de la simetŕıa del
pozo de potencial circular para separar las soluciones en dos partes, una radial y una
angular, de manera que los estados dentro del potencial se pueden describir en base a
dos números cuánticos.
Sin embargo los casos regulares e integrables son la excepción a la regla, existe una
gran variedad de potenciales en los cuales no es posible obtener soluciones anaĺıticas.
En el billar circular cortado la solución no es integrable en la mayoŕıa de los casos, de
manera que es necesario hacer uso de un método numérico para obtener las soluciones.
En esta sección se describirá el Método de Expansi ́on (ME) [7].
Supóngase un billar de forma arbitraria, el cual se puede dividir en tres regiones
(Véase figura 1.4.5)
V (x) =
0, r ∈ I V 0, r ∈ II ∞, r ∈ III .
Figura 1.4.5: (I) Billar 2D genérico. (II) Región rectangular que encierra billar (I).(III) Región de potencial infinito.
La región II es una región rectangular que encierra la región I, que es la que describelas fronteras del billar que se desea estudiar.
Se parte de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Ĥψn(r) =
−
2
2m∇2 + V (r)
ψn(r) = E nψn(r). (1.4.2.1)
Para resolver esta ecuación en el billar se hará una aproximación en la que se utiliza
una condición de frontera de Dirichlet ψ(r)|r∈Γ̄ = 0, donde
Γ̄ es la frontera de la región
II, es decir, una frontera rectangular, y se supondrá un potencial V 0 muy grande, demanera que para fines computacionales sea comparable a un potencial infinito. Con esta
http://-/?-http://-/?-
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
32/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 29
condición de frontera las soluciones se pueden expresar en términos de
ψ(r) =m
cmφm(r), (1.4.2.2)
donde cm son coeficientes de expansión a ser determinados, y
φm(r) ≡ φm1,m2(x1, x2) =
2
a1sen
π
a1m1x1
2
a2sen
π
a2m2x2
.
Estas funciones φm forman un conjunto ortonormal, de manera que drφn(r)φm(r) = δ nm.
Se inserta la ecuación 1.4.2.2 en la ecuación 1.4.2.1:
Ĥ m
cmφm(r) = E nm
cmφm(r),
m
Ĥφm(r) −E nφm(r)
cm = 0.
Se multiplica por φm(r) en la izquierda
m
φn(r)
ˆHφm(r) − φn(r)E nφm(r) cm = 0,
y al integrar en todo el espacio respecto al vector de posición se obtiene
m
dr
φn(r) Ĥφm(r)
− E n
dr [φn(r)φm(r)]
cm = 0,
m
(H nm − E nδ nm) cm = 0, (1.4.2.3)
que es la ecuación de eigenvalores que se desea resolver. Para esto es necesario encontrar
la forma del hamiltoniano H nm. Partiendo de
Ĥ = − 2
2m
∂ 2
∂x21+
∂ 2
∂x22
+ V (r),
se obtiene
H nm =
d2rφn(r) Ĥφm(r)
= d2r 2π2
2m m21a21
+ m22
a22φn(r)φm(r) + V (r)φn(r)φm(r) .
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
33/37
Caṕıtulo 1: Antecedentes 30
Por la forma del potencial es necesario definir
ν nm =
II
d2rφn(r)φm(r), (1.4.2.4)
quedando ası́
H nm =
II
d2r
2π2
2m
m21a21
+ m22
a22
φn(r)φm(r) + V 0φn(r)φm(r)
=
2π2
2m
m21a21
+ m22
a22
δ nm + V 0ν nm.
De esta manera se puede resolver la ecuación 1.4.2.3, y al obtener sus eigenvalores y
eigenfunciones se conocen sus niveles de enerǵıa y soluciones respectivamente.
Con esto se puede implementar un método numérico para encontrar las soluciones.
Debido a los lı́mites computacionales es necesario restringir el número de términos M
en la expansión descrita en la ecuación 1.4.2.2, ya que el tamaño de la matriz H nm que
se desea calcular será de M 2 ×M 2. Los pasos para resolver el sistema son:
1. Escoger los valores M y V 0 considerando la precisión del software/hardware y la
duración de cómputo deseada.
2. Definir las fronteras del sistema.
3. Calcular todos los elementos de ν nm numérica o analı́ticamente utilizando la fron-
tera definida.
4. Construir H nm.
5. Obtener eigenvalores y eigenvectores de H nm, que corresponden a E n y cm.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
34/37
Caṕıtulo 2
Metodoloǵıa
El método de estudio para este trabajo consiste en considerar a la función de onda como
un conjunto de rayos que sufren reflexiones clásicas. La aproximación Eikonal se suele
utilizar para realizar la conexión entre ondas electromagnéticas y óptica geométrica. Se
puede utilizar este mismo procedimiento para funciones de onda. Con esto se puede
estudiar la contribución de un rayo individual a la formación del estado cuántico.
2.1. Aproximación Eikonal
La aproximación Eikonal se puede utilizar para establecer una relaci ón entre las ondas
electromagnéticas y la óptica geométrica. En este trabajo se utilizará para justificar el
tratamiento de la función de onda como un conjunto de rayos que sufren reflexiones
clásicas. Para esto se propone el anszat
ψ(q, t) = AeiR(q) .
Introduciendo este anszat
en la ecuación de Schrödinger
∇2ψ(q, t) + 2mE 2
ψ(q, t) = 0,
se obtiene
i∇2R(q, t) − |∇R(q, t)|2 + 2mE = 0.
Ya que R(q, t) ∈ R debe ocurrir que i∇2R(q, t) = 0. En este sentido no se está realizan-do ninguna aproximación, ya que al principio se habı́a definido que se trabaja con ondas
planas de amplitud constante, entonces el término i
∇2R(q, t) debe ser cero. Para ondas
que no cumplen este requisito se puede justificar que para altas frecuencias el término
31
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
35/37
Caṕıtulo 2: Metodoloǵıa 32
∇2R(q, t)
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
36/37
Caṕıtulo 2: Metodoloǵıa 33
Esto se resuelve con el hamiltoniano
H (x,y ,px, py) = p2x2m
+ p2y2m
+ V (x, y).
De aqúı se obtienen las ecuaciones de movimiento
˙ px = 0,
˙ py = 0.
Integrando este resultado se obtiene
x(t) = ẋ(0)t + x(0),
y(t) = ẏ(0)t + y(0).
Este resultado indica que la dinámica en el interior del billar corresponde a un movimien-
to rectiĺıneo uniforme, de manera que la simulación se restringe a calcular únicamente
lo que sucede en las fronteras del billar. Esto se puede realizar de dos maneras:
1. Calculando la dinámica paso a paso y verificando si hay colisión con la frontera
para cambiar la dirección de la part́ıcula.
2. Calculando las intersecciones con la frontera y de ah́ı escoger la nueva dirección.
A partir del desarrollo del hamiltoniano se observa que la din ámica en el interior no es
relevante, de manera que el método más conveniente para simular la dinámica del billar
es calculando las intersecciones.
2.3. Simulación: Dinámica del billar
La dinámica de la simulación de las colisiones del billar puede resumirse como sigue:
1. Establecer las condiciones iniciales. Fijar los parámetros de las fronteras: cı́rculo y
corte.
2. A partir de la posición y la velocidad de la part́ıcula, avanzar hacia las posibles
intersecciones.
3. Escoger la intersección más cercana y correspondiente a su dirección.
4. Calcular la nueva velocidad de rebote.
-
8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico
37/37
Caṕıtulo 2: Metodoloǵıa 34
5. Guardar el punto de intersección y volver al paso 2 hasta llegar al número máximo
de iteraciones.
2.4. Simulación: Rayo individual
En estudios anteriores [2] acerca del billar circular cortado, se encontraron zonas que
delimitan la dinámica del billar al caos duro o caos suave, que son dependientes del
parámetro ω. Ante esto surge la duda de si este efecto es notable en las contribuciones
de los rayos individuales.
Para realizar este estudio se realizó un programa que simula la dinámica del billar
circular cortado, y a su vez se estudia el paso de la trayectoria de un rayo con una onda
asociada. A esta propiedad ondulatoria se le denominará onda . El funcionamiento de
este programa consiste en colocar una red o grid sobre el área de simulación del billar
circular cortado, con la cual se podrá registrar información acerca del paso de la onda
que se introduce. Se espera que al variar la longitud de onda se encuentren resultados
diferentes.
(a) Grid sobre el billar.(b) Trayectoria que pasa por el grid .
Figura 2.4.1: Descripción del grid . Se muestran en azul los elementos que contienena la trayectoria, son éstos a los que se les asignará el valor de la fase.
Durante el curso de la simulación la fase de la onda va almacenándose en el grid con
los sucesivos rebotes de la partı́cula, de manera que si se realiza un número considerable
de rebotes será posible obtener una superficie con suficiente información acerca del paso
de la part́ıcula.
Con esta información se puede construir un mapa de densidades que nos ayudar á a
determinar cómo son las estructuras que se forman dentro del billar.
El tamaño del grid
que viene determinado por el número de elementos que posee
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-