Download - Taller de Cálculo Vectorial 1
-
7/23/2019 Taller de Clculo Vectorial 1
1/4
TALLER DE CLCULO VECTORIAL
PROBLEMA 4.63
Determinar los mximos y mnimos de la funcin:
)3)(3)(3(),( yxyxyxf
Solucin:
Para comenzar hallaremos los puntos crticos de la funcin
)62)(3()3()3()3(),(
yxyxyxy
x
yxf
)62)(3(
),(yxy
x
yxfDerivada parcial con respecto a x
)62)(3()3()3()3(),(
yxxyyxx
y
yxf
)62)(3(
),(yxx
y
yxfDerivada parcial con respecto a y
Comox
yxf
),(y
y
yxf
),(estn definidas para todo xy ylos nicos puntos
crticos son aquellos en los cuales las derivadas parciales de primer orden son
cero. Para localizar estos puntos, se hacenx
yxf
),(y
y
yxf
),(igual a cero, y
se resuelven las ecuaciones:
1_0)62)(3(),(
Ecuacionyxyx
yxf
2_0)62)(3(),(
Ecuacionyxxy
yxf
-
7/23/2019 Taller de Clculo Vectorial 1
2/4
Como podemos observar de la Ecuacin_1 y Ecuacin_2 obtenemos 4 casos:
aEcuaciony 1_0)3(
bEcuacionyx 1_0)62(
aEcuacionx 2_0)3(
bEcuacionyx 2_0)62(
De la ecuacin_1a tenemos 3y ,remplazando en la Ecuacin_2a y Ecuacin_2b
obtendremos los puntos:
)3,3(1P )3,0(2P
De la ecuacin_2a tenemos 3x,
remplazando en la Ecuacin_1b obtenemos elpunto:
)0,3(3P
Finalmente de la Ecuacin_1b:
xyyx 260)62(
Remplazando en la Ecuacion_2b tenemos:
206306)26(2 xxxx
Cuando 2x Entonces 2y por lo tanto:
)2,2(4P
Ahora encontraremos aplicaremos el criterio de la segunda derivada
62),(
2
2
y
x
yxf
62),(
2
2
x
y
yxf
-
7/23/2019 Taller de Clculo Vectorial 1
3/4
922),(),(
22
yx
xy
yxf
yx
yxf
Ahora construiremos la matriz Hessiana:
62922
92262
),(),(
),(),(
)(
2
22
2
2
2
xyx
yxy
y
yxf
xy
yxf
yx
yxf
x
yxf
fH
Remplazamos )3,3(1P , )3,0(2P , )0,3(3P y )2,2(4P
1.
9)3,3(03
30
6)3(29)3(2)3(2
9)3(2)3(26)3(2)3,3(
HDetH
2.
9)3,0(63
30
6)0(29)3(2)0(2
9)3(2)0(26)3(2)3,0(
HDetH
3.
9)0,3(03
36
6)3(29)0(2)3(2
9)0(2)3(26)0(2)0,3(
HDetH
4.
3)2,2(21
12
6)2(29)2(2)2(2
9)2(2)2(26)2(2
)2,2(
HDetH
Debido a que )3,3(HDet , )3,0(HDet y )0,3(HDet son menores quecero podemos afirmar teniendo en cuenta el criterio de la segunda derivada y la
-
7/23/2019 Taller de Clculo Vectorial 1
4/4
matriz Hessiana que )3,3(1P , )3,0(2P y )0,3(3P son puntos silla de la de la
funcin.
Finalmente como 0)2,2( HDet y 02)2,2(
2
2
x
fSe puede asegurar
teniendo en cuenta el criterio de la segunda derivada y la matriz Hessiana que la
funcin tiene un mximo relativo en el punto )2,2(4P .