T 2 P t i l lé t iTema 2: Potencial eléctrico
Física IIFísica IIIngeniería de Tecnologías IndustrialesPrimer Curso
Curso 2012/2013Joaquín Bernal Méndez
Dpto. Física Aplicada III - ETSI 1
ÍÍndice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp
Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática
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Energía potencial electrostática
Introducción
La fuerza asociada a campos eléctricos á áestáticos (o electrostáticos) es conservativa
El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en d d l d duna determinada trayectoria solamente depende
del punto inicial y final, no del camino recorrido.El t b j li d i d l El trabajo realizado en un camino cerrado es nulo.
Puede definirse una función energía potencial.
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Introducción
El trabajo realizado por l it t iel campo gravitatorio
sobre una masa mequivale a la disminución de energía potencial gravitatoria
El trabajo realizado por El trabajo realizado por el campo electrostático sobre la carga +q es igual a la disminuciónigual a la disminución de energía potencial electrostática
Tierra Carga
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Tierranegativa
Energía potencial
Sea una carga q0 en un campo externo Trabajo realizado
por la fuerza E
pconservativa
dW F dl
F E
dl
v
Variación de energíapotencial
0qdW F dl
0F q Edl
potencial
0dU F dl q E dl
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Diferencia de potencial
La variación de U es proporcional a q0
Diferencia de potencial:p
dUdV E dl
Incremento entre dos puntos: integral de línea
0q
Incremento entre dos puntos: integral de líneaB
B A AV V V E dl
B
Menos circulación de ¡No depende del camino!
A
AE
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¡No depende del camino! A
Diferencia de potencial
La diferencia de potencial (VB-VA) es el menos trabajo realizado por el campo electrostático cuando desplazamosrealizado por el campo electrostático cuando desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta B
La diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe p ( B A) j qrealizarse para desplazar la unidad de carga positiva desde A hasta B en el seno de un campo electrostático
El proceso tiene que ser cuasi-estático Para que no aparezca un término de variación de energía cinética
é í ó Para que no exista pérdida de energía en forma de radiación electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas
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Propiedades de V Es un campo escalar: función de la posición ( )V r
Es un campo escalar: función de la posición La diferencia de potencial entre dos puntos tiene
significado físico, pero no el valor concreto de V en d t
( )V r
cada punto El “origen de potencial” es arbitrario
La función V es continua en todos los puntos, excepto La función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctrico sea infinito Demostración:
cosdV E dl Edl
Entonces si E es finito dV es infinitesimal V disminuye en la dirección indicada por las líneas de
cosdV E dl Edl
campo Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C
dU dV dV E dl
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0dU q dV dV E dl
Campo eléctrico uniforme: superficies equipotenciales
E Ei
y dV E dl Edx
xB B
B AA AdV V V E dx
B
B A AV V V E dx E x 3V2V1V
Superficies equipotenciales: superficies tales que en todos sus puntos V=cte.
En este ejemplo son todos los planos de x=cte
El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una
1 2 3V V V
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j p p g psuperficie equipotencial es nulo
Aplicación
¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de unentre dos puntos cualesquiera de un conductor en equilibrio electrostático?
0B
B A AV V V E dl
B
ASe puede hablar del potencial
Ade un conductor en equilibrio electrostático. Su superficie es una superficie equipotencial
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una superficie equipotencial
ÍÍndiceI t d ió í t i l l t táti Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencialS f d fí Significado físico
PropiedadesS fi i i t i l Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntualesD t i ió d l lé t i ti d l Determinación del campo eléctrico a partir del potencialP t i l d di t ib i ti d Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Potencial de una carga puntual
Sea una carga q calculamos dV en r:
Punto dereferencia
calculamos dV en r:
2ˆ
qdV E dl k r dl
r
Punto campo
rˆ cosr dl dl dr
Donde:
Integrando:
2
qdV k dr
r
Integrando:
2
Pr
P ref r
q q qV V k dr k k
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2ref
f rP refr r r
Potencial de una carga puntual
La referencia de potencial es arbitrariaarbitraria
Tomamos:( ) 0yfr V
Punto dereferencia
Punto campo
Entonces:( ) 0 y refr V
( ) ( )q q
V V k k0 0
( ) ( )q q
V r V k kr
( )q
V r k( )V r kr
POTENCIAL DE COULOMB:
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Potencial de una carga puntual
Potencial de una carga puntual
Superficies equipotenciales:
3V2Vequipotenciales:
esferas centradas en la carga 2r
2V1V
1 2 3V V V ii
qV k
r 3r
1r
Relación con la energía potencialEnergía potencial electrostática de un sistema de dos cargas
ir
Energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas tomando U(∞)=0 :
00( ) ( )
qqU r q V r k
Trabajo para llevar q0
desde ∞ hasta r en
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0( ) ( )qr presencia de q
Sistema de cargas puntuales
El potencial de un sistema de cargas puntuales en un puntoP es la suma de los potenciales 3r
3q
PP es la suma de los potencialesde cada carga en ese punto
q
33q
1r
2r
iP
i i
qV k
r 1q2q
Esto es una consecuencia del principio de superposición para el campo eléctricop
La suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico
¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?
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¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?
ÍÍndiceI t d ió í t i l l t táti Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencialS f d fí Significado físico
PropiedadesS fi i i t i l Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntualesD t i ió d l lé t i ti d l Determinación del campo eléctrico a partir del potencialP t i l d di t ib i ti d Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Determinación del campo eléctrico a partir del potencial
dV E dl dl
E cosE dl tE dl
t
dVE
dl
E
tE
dl Si Si es máximo
cos 0 0dl E dV
cos 1dl E dV
El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de V El módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada
direccional máximadireccional máxima
max
dVE
dl
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max
Determinación del campo eléctrico a partir el potencial
El di t d f ió l El gradiente de una función escalar es un vector cuya dirección es la de máxima variación d f ió ód l l d i dde esa función y cuyo módulo es la derivada en esa dirección
f f f Cálculo del gradiente: En consecuencia:
f f ff i j k
x y z
Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x
E V
Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x
( )dV
V x Ax E i Aid
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dx
Ejemplo: sistema de doscargas puntuales
Las líneas de ampo elé t i o• Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales
• Suficientemente cerca de cada carga las superficies equipotenciales son esferasequipotenciales son esferas
• Lejos de ambas cargas la superficie equipotenciales sonsuperficie equipotenciales son también esféricas ¿Por qué?
• Existen puntos donde el
Líneas equipotenciales y líneas de campo eléctrico (discontinuas) para dos cargas
potencial es nulo ¿Es nulo el campo eléctrico en esos puntos?
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( ) p geléctricas de 3 C y -1 C
p
ÍÍndice
Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp
Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática
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g p
Potencial de distribuciones continuas de carga
d d Para una carga puntual:
Entonces dV creado por dqz
dq d
Pq
V kr
Entonces, dV creado por dq
en P: x yr
dqdV k
r
Potencial en P: r
dq dV k k
Integro en el
volumen V k kr r volumen
Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para ( )distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito.
En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico, obtenido a s e mediante Ley de Gauss
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obtenido a su vez mediante Ley de Gauss
Potencial de distribuciones continuas de carga
Distribución superficial de carga:z dq dS dS
V k
Distribución lineal de carga:
x y r
Ps r
Distribución lineal de carga:
z dlrP
dl
x
z dl
dq dl l
dlV k
r
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x y
Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje
de un anillo con carga uniforme
2 2l
k Qdq k
r x a
Ql
dqV k
r x a
2 2r x a Es el mismo dq
dV Qxk
dV 3
22 2( )x
dV QxE k
dx x a
dV
E V idx
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Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje
de un anillo con carga uniforme
2 2
QV k
x a
Q
x a
322 2( )x
QxE k
x a
xE E i
( )x a
Si x>>a (puntos alejados del anillo):Q
V k Potencial de una Si x>>a (puntos alejados del anillo):
En el centro del anillo (x=0):
V kx
carga puntual
0E (0)Q
V k Máximo en el j
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0xE (0)V ka eje x
Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
Q En principio se puede calcular V por Q
Rintegración directa
Alta simetría: es más fácil calcular primero el ampo elé t i o mediante Le de Ga ss
1rScampo eléctrico mediante Ley de Gauss
24 4E dA E kQ
2rS
RQ
E k1
24 4r
rsE dA E r kQ
24 4 0E dA E r kQ
r R
r R
2r
QE k
r
0E 2
int4 4 0r
rsE dA E r kQ r R 0rE
El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo d l d l d
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creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro
Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
Q r R0
QR
( ) ( )r
V r V E dr
0
2
r dr QkQ k
r r
( )Q
V r kr
r
r R
2( )
r R rdrV r E dr kQ Edr
0Q R 2
( )R
V d kQ dr
( )Q
V r k
Q R
r
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( )V r kR
Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
El potencial y el campo fuera de la esfera son iguales que los que crearía una carga puntual Qen su centro
El potencial es continuo al atravesar la corteza esférica
En el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo y el potencial es constantepotencial es constante
Si E=0 en una región, no implica V=0 sino V constante
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p
ÍÍndice
Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp
Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática
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g p
Energía potencial electrostática Para traer una carga q desde el infinito a las Para traer una carga q2 desde el infinito a las
proximidades de otra q1 necesitamos realizar un trabajo: q q qqj
Donde hemos tomado 2 1( ) ( ) 0U q V
1 22 1( )
q qW U q V d k
d ext + +
2q1q d
Donde hemos tomado En general, para un sistema de n cargas puntuales:
1 n
2 1( ) ( )q
Í Á
1
1
2
n
i ii
U qV
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una
distancia infinita hasta sus posiciones finales
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distancia infinita hasta sus posiciones finales
Energía potencial deconductores en equilibrio
q Para un conductor esférico con carga q: Trabajo para añadir una carga dq:
qV k
R
R+ + +
í i l l á i d l d
qdU Vdq k dq
R
R++
+++
La energía potencial electrostática del conductor en equilibrio electrostático se obtiene integrando:
2 1Qk kQ Válida aunque el
Si se tiene un sistema de n conductores:
2
0
1
2 2
Qk kQU qdq QV
R R
Válida aunque el conductor no sea esférico
Si se tiene un sistema de n conductores:
1
2
n
i iU QV ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CONDUCTORES
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12 i
Energía potencial deconductores (visión alternativa)
El conductor puede considerarse un sistema de cargas puntuales infinitesimales dq situadas todas al mismo p qpotencial V :
1 n
U V 1 1U dQ V QV
La “suma” de todas las cargas infinitesimales es una integral
12 i ii
U qV
2 2
U dQ V QV La suma de todas las cargas infinitesimales es una integral
No es necesario asumir que el conductor es esférico No es necesario asumir que el conductor es esférico
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Resumen Las fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede y, p , p
definirse una función energía potencial como el menos trabajo realizado por la fuerza conservativa
La variación del potencial electrostático es el incremento de energía potencial electrostática por unidad de cargapotencial electrostática por unidad de carga Se calcula como una integral de línea del campo eléctrico. Significado físico de V: trabajo cuasiestático que hay que realizar
para desplazar la unidad de carga positiva entre dos puntosp p g p p El origen de potencial es arbitrario Representación gráfica: superficies equipotenciales
Conocido V es posible calcular el campo: E V
Cálculo del potencial: Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones
continuas) o sumatorio (distribuciones discretas)Distrib ciones con alta simetría p ede es lta más sencillo
E V
Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de Gauss
Distribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el
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La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que hay que realizar para crear la distribución