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TEMA 0. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA
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1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
MAGNITUD ESCALAR: DEFINIDA POR NÚMERO Y UNIDAD MASA, TIEMPO, VOLUMEN, ENERGÍA, … (4 kg, 67 s, 5 L,
900 J) MAGNITUD VECTORIAL: DEFINIDA POR VECTORES
MÓDULO: Longitud del vector DIRECCIÓN: Recta sobre la que se apoya el vector SENTIDO: Hacia donde señala la flecha PUNTO DE APLICACIÓN: Origen de la flecha
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OPERACIONES CON VECTORES
SUMA: se suman las componentes x, y y z por separado.
A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az +
Bz)k
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OPERACIONES CON VECTORES
RESTA: se restan las componentes x, y y z por separado.
A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k
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OPERACIONES CON VECTORES
OPUESTO: El opuesto a un vector A es otro vector (-A) de igual módulo y dirección y de sentido opuesto
A = Axi + Ayj + Azk (-A)= (-Ax)i + (-Ay)j + (-Az)k
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:
n·(A)= n(Ax)i + n(Ay)j + n(Az)k
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COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR
TODO VECTOR “A” ES SUMA DE SUS COMPONENTES. CASO MÁS IMPORTANTE: LAS COMPONENTES SON PERPENDICULARES FORMANDO UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS x ,y y z A = Axi + Ayj + Azk
CUALQUIER VECTOR DEL ESPACIO EN COORDENADAS CARTESIANAS PUEDE ESCRIBIRSE COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES UNITARIOS i, j Y k.
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COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR
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MÓDULO DE UN VECTOR A = Axi + Ayj + Azk
VECTOR UNITARIO SU MÓDULO ES LA UNIDAD:
COMPONENETES CARTESIANAS DE UN VECTOR UNITARIO:
2 222 AzAyAxA
A
Aup
uAA p
2 222 AzAyAx
AzkAyjAxi
A
Aur
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2. PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO DEL MÓDULO DE UN VECTOR POR LA PROYECCIÓN DEL OTRO SOBRE ÉL
SE DEFINE COMO PRODUCTO DE LOS MÓDULOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO MENOR QUE FORMAN SUS DIRECCIONES
cos· qpqp
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2. PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO: PODEMOS EXPRESARLO EN FUNCIÓN DE SUS
COORDENADAS CARTESIANAS:
ya que se cumple que PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR CONSIGO
MISMO:
PERMITE CALCULAR EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES A PARTIR DE SUS COORDENADAS CARTESIANAS:
pqqp
zzyyxxzyxzyx qpqpqpkqjqiqkpjpipqp ···)()(
1··· kkjjii
2222·cos·· zyx pppppppp
2 2222 222 ·
···
·
·cos
·cos·
zyxzyx
zzyyxx
sssrrr
srsrsr
sr
sr
srsr
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PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO ESCALAR
ejesson 0 k·ik·j j·i 4.
1k·k j·j i·i 3.
oconmutativ Es a·b b·a 2.
ba0b·a Si .1
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PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO DE DOS VECTORES CUYO RESULTADO
ES OTRO VECTOR CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: SU MÓDULO ES EL PRODUCTO DE LOS DOS MÓDULOS
POR EL SENO DEL ÁNGULO QUE FORMAN
SU DIRECCIÓN ES PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR LOS DOS VECTORES
SU SENTIDO DE AVANCE ES EL DE UN SACACORCHOS QUE GIRE DE p A q POR EL CAMINO MÁS CORTO
senqpqp
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3. PRODUCTO VECTORIAL
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PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO VECTORIAL
ij- ji 4.
0kk jj ii 3.
ativoanticonmut Es ab- ba 2.
b a paralelo a0ba Si .1
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PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS
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PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS
EjemploEl producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que es perpendicular a los vectores a y b efectuando el producto escalar y comprobando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)
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MAGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL
MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA SOBRE UN PUNTO P M = r x F
MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA DE MASA m QUE SE MUEVE CON VELOCIDAD v :
L0 = r x mv = r x p DONDE r ES EL VECTOR POSICIÓN QUE VA DESDE EL ORIGEN HASTA EL COMIENZO DEL OTRO VECTOR
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MAGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL
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4. CÁLCULO DIFERENCIAL
observando que
VELOCIDAD MEDIA: VELOCIDAD INSTANTÁNEA:
CONCEPTO DE DERIVADA: Desarrollado por Leibniz y NewtonDEFINICIÓN: La derivada de una función y respecto de la variable x es el límite de esta razón cuando x0. Se representa como y’ ,f’(x) o dy/dx
¡¡¡DAR TABLA DE DERIVADAS!!!
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: y = f(x). A cada valor de x le corresponde un valor de y = f(x), que se asocia al punto P (x,y). Al aumentar la variable x en x, la función también se ve incrementada en y+y=f(x+x).
A estos nuevos valores les corresponde en la curva el punto B (x+x, y+y)
Concepto de derivada 01[1].mp4
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EJERCICIOS
LLEGADOS A ESTE PUNTO SE PUEDEN HACER LOS EJERCICIOS DEL 1 AL 4 DEL TEMA 0
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5. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL CINEMÁTICA DESCRIBE EL MOVIMIENTO DE LOS
CUERPOS SIN BUSCAR SU ORIGEN CONCEPTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA: LA
FÍSICA MODERNA NO ACEPTA EL ESPACIO Y TIEMPO ABSOLUTOS TODOS LOS MOVIMIENTOS SON RELATIVOS. ASÍ, PARA DESCRIBIR UN MOVIMIENTO, NECESITO UN SISTEMA DE REFERENCIA, QUE SUELE SER UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS EN CUYO ORIGEN ESTÁ EL OBSERVADOR
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
1. TRAYECTORIA: Línea formada por las sucesivas posiciones de un móvil. Tipos de movimiento:
1. RECTILÍNEO TRAYECTORIA = LÍNEA RECTA
2. CURVILÍNEO TRAYECTORIA = CURVA (CIRCULARES, PARABÓLICOS, ELÍPTICOS,…)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS: Relaciones matemáticas que relacionan las coordenadas espaciales con el tiempo x = x(t); y = y(t); z = z(t)
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
2. VECTOR POSICIÓN: Vector cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas y cuyo extremo es la posición del móvil en cada instante
r= OP = x i + y j + z kr = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) kLa distancia al origen de coordenadas es el módulo
de
este vector: OP = r = │r│=
2 222 zyx
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
3. VECTOR DESPLAZAMIENTO: Es la diferencia entre dos vectores posición
r= P1P2 = r2 – r1 = (x2-x1)i + (y2 –y1)j + (z2-z1)k
El desplazamiento espacial es el módulo del vector r
P1P2 =
2 212
212
212 )()()( zzyyxxr
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
4. ESPACIO RECORRIDO: LONGITUD DEL TRAMO DE TRAYECTORIA DESCRITO EN UN TIEMPO DETERMINADO. NO SUELE COINCIDIR CON EL DESPLAZAMIENTO ESPACIAL (QUE ES UN SEGMENTO RECTO) A NO SER QUE TENGAMOS UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE SENTIDO CONSTANTE
s = s(t) s = s2 – s1
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MAGNITUDES CINEMÁTICASESPACIO RECORRIDO (--)
vS VECTOR DESPLAZAMIENTO (--)
VECTOR POSICIÓN 21, rr
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
5. VELOCIDAD: MIDE EL RITMO TEMPORAL AL QUE SE PRODUCEN LOS CAMBIOS DE POSICIÓN.
AL DERIVAR EL VECTOR POSICIÓN RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA VELOCIDAD:
6. CELERIDAD: MAGNITUD ESCALAR QUE MIDE LA RAPIDEZ CON QUE SE DESPLAZA EL MÓVIL SOBRE LA TRAYECTORIA. EN MOVIMIENTOS CURVOS cm ≠ vm
dt
rdv
t
r
tt
PPv
i
m
12
21
t
scm
¡¡¡¡no de espacio recorrido!!!!
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
7. ACELERACIÓN: MIDE LOS CAMBIOS DE VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO.
AL DERIVAR EL VECTOR VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA ACELERACIÓN:
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN: a = at +an
dt
vdia
t
v
tt
vvam
12
12
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MAGNITUDES CINEMÁTICAS
a) ACELERACIÓN TANGENCIAL (cambia el módulo de v mientras que la dirección ut se mantiene constante):
b) ACELERACIÓN NORMAL (cambia la dirección de v mientras que el módulo se mantiene constante):
dt
dvauv
dt
d
dt
vda tt
·
R
van
2
SE PUEDEN HACER EJERCICIOS 6,7 Y 8
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6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES MRU DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA
CON VELOCIDAD CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta con sentido constante2. Velocidad: Constante en valor, dirección y sentido3. Aceleración: Nula
ECUACIONES
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6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES
MRUA DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA CON VELOCIDAD VARIABLE Y ACELERACIÓN CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta2. Velocidad: Constante en dirección pero variable en sentido y módulo3. Aceleración: an=0; at = cte en valor, dirección y sentido
ECUACIONES
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6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES
CAÍDA LIBRE MRUA CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta vertical descendente2. Velocidad: Constante en dirección y sentido. Su módulo aumenta desde v0.3. Aceleración: an=0; at = -g
ECUACIONES
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6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES
CAÍDA DE CUERPOS LANZADOS
ECUACIONES
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6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES
MCU EL RECORRIDO ES UNA CIRCUNFERENCIA PERO LA CELERIDAD ES CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Circunferencia recorrida siempre en igual sentido2. Velocidad: Cambia continuamente de dirección pero es constante en su módulo3. Aceleración: an=cte; at = 0
ECUACIONES
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7. CÁLCULO INTEGRAL
Si F(x) es una función primitiva de f(x), la expresión F(x)+C se llama integral definida de f(x) y se designa como ∫f(x)dx
∫f(x)dx = F(x)+C Este caso es el inverso del cálculo de una
derivada: f(x) = dF(x)/dx. TABLA DE INTEGRALES:∫dx = x+ C∫kdx = kx + C
Cn
xdxx
nn
1
1
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7. CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL DEFINIDA: ES EL ÁREA LIMITADA POR UNA CURVA.
Dividimos el área en pequeños rectángulos. El cálculo será más aproximado cuanto más pequeña sea la base.
La relación entre el área y el cálculo integral viene dada por la regla de Barrow:
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8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL LA DINÁMICA SE ENCARGA DE BUSCAR EL ORIGEN DE
LOS MOVIMIENTOS. LEYES DE NEWTON:
PRIMERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo mantiene su estado de movimiento a no ser
que actúe una fuerza sobre él
SEGUNDA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO FUNDAMENTAL
La aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a las fuerzas a las que está sometido. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo
amFma
F
a
F
a
F
·....
2
2
1
1
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8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
TERCERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo realiza simultáneamente otra fuerza sobre el primero, de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario.
A TENER EN CUENTA Acción y reacción son dos procesos simultáneos (no
consecutivos) Las dos fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre
cuerpos ≠ Fuerzas iguales no implican efectos iguales. Las consecuencias
de cada una dependen de su masa
1,22,1 FF
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8.1. ESTUDIO DINÁMICO DE ALGUNOS MOVIMIENTOS SIMPLES
MRU NO TIENE ACELERACIÓN, POR LO QUE Fresultante = 0
MRUA an = 0 y at = cte a = cte. ASÍ, COMO a = cte ; m = cte Fresultante = cte
MCU at = 0 y an = cte ACELERACIÓN NORMAL CONSTANTE
LA FUERZA QUE PRODUCE UN MCU ES UNA FUERZA CENTRÍPETA PERPENDICULAR AL VECTOR VELOCIDAD Y DIRIGIDA AL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA
R
vmamF cc
2
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL: ES EL PRODUCTO DE LA MASA DE UN CUERPO POR SU VELOCIDAD
TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE v EN EL S.I. SE EXPRESA EN kg·m/s EXPRESIÓN DE LA 2ª LEY DE LA DINÁMICA EN FUNCIÓN DE
LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Así, si la fuerza F total es nula, eso quiere decir que dp/dt =0, por tanto, p = cte EN TODO CUERPO AISLADO, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO SE CONSERVA
vmp
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dt
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dt
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dt
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
IMPULSO MECÁNICO: INDICA QUE EL EFECTO DE UNA FUERZA SOBRE EL ESTADO DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO DEPENDE DEL TIEMPO DURANTE EL QUE ACTÚA
2
1
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d
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
TEOREMA DEL IMPULSO: RELACIONA EL IMPULSO COMUNICADO A UN CUERPO CON LA VARIACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO QUE EXPERIMENTA:
SI LA FUERZA ES CONSTANTE:
ppppddtdt
pd t
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1
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)(· 12 vvmptFpI
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
TRABAJO: RELACIONA EL MOVIMIENTO CON LA ENERGÍA
ES EL PRODUCTO ESCALAR DE LA FUERZA Y EL DESPLAZAMIENTO
EN EL S.I. SE MIDE EN J SI TENEMOS UN MOVIMIENTO NO RECTILÍNEO Y/O UNA
FUERZA VARIABLE:
·cos·· rFrFW
2
1
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS: UNA FUERZA CONSERVATIVA ES AQUELLA CUYO TRABAJO SOBRE UN OBJETO EN MOVIMIENTO ENTRE DOS PUNTOS ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA QUE EL OBJETO TOME ENTRE ESOS DOS PUNTOS
PARA UNA FUERZA NO CONSERVATIVA, EL TRABAJO SÍ DEPENDE DE LA TRAYECTORIA DEL OBJETO
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121 rFdWrdFW ciclo
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9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: “El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un punto material es igual a la variación de su energía cinética”
TEOREMA DEL TRABAJO O DE LA ENERGÍA POTENCIAL: “El trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre un punto es independiente del camino y coincide con el opuesto de la variación de la energía potencial asociada a dicha fuerza (U=Ep)”
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9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep SI TODAS LAS FUERZAS SON CONSERVATIVAS:
CUANDO TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN PUNTO MATERIAL SON CONSERVATIVAS: Em = 0. SI EXISTEN FUERZAS NO CONSERVATIVAS (p.e. rozamiento),
W = Ec +Ep = Em
EpW
EcW
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10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO: CONSERVA SU FORMA DURANTE EL MOVIMIENTO TRASLACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN
TRAYECTORIAS PARALELAS ROTACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN
CIRCUNFERENCIAS ALREDEDOR DE UN EJE DE ROTACIÓN PARA PRODUCIR ROTACIÓN NECESITO PAR DE FUERZAS:
Sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual valor que actúan sobre un cuerpo en sentido contrario y sobre líneas de acción distintas
CUANDO UN PAR DE FUERZAS ACTÚA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO EN REPOSO, PROVOCA MOVIMIENTO DE ROTACIÓN PURO.
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10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UNA FUERZA:CUANDO SE EJERCE
UNA FUERZA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO QUE PUEDE GIRAR ALREDEDOR DE UN EJE, EL SÓLIDO ROTA PORQUE EN EL EJE SE CREA UNA FUERZA DE REACCIÓN DE IGUAL VALOR Y DIRECCIÓN QUE LA FUERZA EXTERNA APLICADA PERO DE SENTIDO CONTRARIO. SE GENERA ASÍ UN PAR DE FUERZAS
EL MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA EN UN PUNTO P RESPECTO DE O ES EL PRODUCTO VECTORIAL DE r = OP Y F
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10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS: MAGNITUD
VECTORIAL QUE TIENE POR MÓDULO CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR LA DISTANCIA (PERPENDICULAR) ENTRE ELLAS
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10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UN PAR:
MAGNITUD VECTORIAL INTRÍNSECA DEL PAR, INDEPENDIENTE DEL PUNTO ELEGIDO COMO ORIGEN DE COORDENADAS
MÓDULO IGUAL AL PRODUCTO DE CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR EL BRAZO DEL PAR (DISTANCIA ENTRE LAS LÍNEAS DE ACCIÓN DE LAS DOS FUERZAS)
DIRECCIÓN PERPENDICULAR AL PLANO DEFINIDO POR EL PAR DE FUERZAS. SU SENTIDO SE OBTIENE DE LA REGLA DEL SACACORCHOS
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10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE
ROTACIÓN: Cuando se ejerce un par de fuerzas sobre un sólido rígido o se aplica una fuerza a un cuerpo con eje de giro, todos los puntos (a excepción de los del propio eje) realizan movimientos circulares con aceleración angular El momento de la fuerza se calcula con la ecuación:
MOMENTO DE INERCIA (I): Oposición que presenta el cuerpo a modificar su estado de rotación (similar al papel de la masa en la traslación) Masa puntual: I = m·r2
Sistema de partículas:
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11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN
EL MOMENTO ANGULAR ES EL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA MASA RESPECTO DE UN PUNTO O.
DEPENDE DEL SISTEMA DE REFERENCIA ESCOGIDO SE MIDE EN kg·m2·s-1
IMPORTANTE PARA EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PLANETARIO
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11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN
TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO: OBTENIDO AL DERIVAR EL MOMENTO ANGULAR RESPECTO DEL TIEMPO
MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RÍGIDO: GIRO DE UN DISCO PLANO RESPECTO DEL EJE.
MOMENTO ANGULAR DE CADA PARTÍCULA:
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11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR: CUANDO M=0, dL/dt=0, lo que supone que L=cte. Así, SI LA SUMA DE LOS MOMENTOS DE FUERZA EXTERIORES QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO ES NULA, EL PRODUCTO DEL MOMENTO DE INERCIA POR LA VELOCIDAD ANGULAR SE MANTIENE CONSTANTE:
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11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN
ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN: EN UN SÓLIDO RÍGIDO, PODEMOS DESCOMPONER EL MOVIMIENTO EN DOS COMPONENTES:
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