Download - solcuin ecuacion edo
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e) Considere la ecuacin diferencial:
(
) . .
Determine un valor de p R de modo que el cambio de variables ( ) ( ) . Permite resolver dicha ecuacin. Encuentre la solucin general.
Tenemos que como ( ) ( ) entonces:
( )
( ).
Reemplazamos:
( ) (
( )) ( ( ))
.
Para que sea homognea la suma de los exponentes debe ser igual a 0,lo que
nos deja la siguiente ecuacin:
Reemplazando:
( ( ))
( )
( ( )) ( )
Reemplazamos utilizamos el mtodo de solucin para ecuaciones
homogneas, por lo tanto cambiamos ( )
; ( );
.
Nos queda la siguiente ecuacin:
-
Integramos:
( ) ( ) ( )
( )
( ( ( )
) )
Tenemos que
( ) , reemplazando:
( )
( )
4) Un conejo parte del origen y corre por el eje Y positivo con velocidad a. Al
mismo tiempo, un perro que corre con velocidad b sale del punto (c, 0) y
persigue al conejo. Qu trayectoria sigue el perro?
La posicin del perro en todo momento ser ( ) y la posicin del conejo es ( ).Sabemos que la pendiente es igual a la derivada de la trayectoria del perro.Tenemos:
Derivamos de nuevo con respecto a x:
Tenemos tambin que , siendo ds la derivada de la longitud de arco. De esta expresin podemos obtener:
-
Tambin tenemos que:
Sabemos que la velocidad del perro es la distancia recorrida (trayectoria)
partido en un tiempo, que es igual a
.
Tenemos entonces que
.
Reemplazando:
Recordando
, reemplazamos:
Reemplazando
:
Usando la separacin de variables:
Integrando nos queda:
-
| | ( ) ( )
( )
Reemplazando p por
:
(
(
) )
(
(
) )
(
)
(
)
( )
(
)
Ahora reemplazamos con u en p:
Integramos con respecto a x ya que tenemos la igualdad:
( )
(
)+ C2
Con esto obtenemos y en funcin de b,a y x.
-
3) Determine la forma de un espejo curvado tal que la luz de una fuente
situado en el origen se refleje en l como un haz de rayos paralelos al eje X.
, y
( )
( ) ( )
( )
Reemplazando;