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7/24/2019 Reporte sobre difusin de calor en placa de acero
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SOLUCIN DE LA ECUACIN DEL CALOR A DOS
DIMENSIONES
En este ejemplo se aplicara la ecuacin
diferencial de calor
1
dT
dt=2T=
d2
t
d x2+
d2
T
d y2
= 0 o ecuacin de
la place, para una placa cuadrada la cualtiene dimensiones de una unidad en cadauno de sus lados, a esta placa se le sometea una temperatura de 0 en cada uno de susexcepto en el borde cb donde pondremosuna temperatura cuando el tiempo sea 0 de
Tcb(t=0)= Asenx donde la temperatura se descompone en un producto
de dos funciones T=X(x )Y(y ) a la cual al resolver se tendr el resultado de
X' '
Y+X Y' '=0 donde al dividir este resultado por XY se obtendr
X' '
X+
Y ' '
Y =0 a lo cual para que estn solo sean ser se utiliaran dos
constantes las cuales van a ser n2+n2 donde
X' '
X=n2 , donde la solucin
en x ser X1=C1cosnx+C2 sennx ! solucin paraY
' '
Y=n2
sera de
Y=C3 coshny+C4 senhny por lo que la temperatura ser
T=(C1cosnx+C2 sennx)(C3 coshnY+C4 senhnY) a"ora si para
X=0 toda #!$ la temperatura %=0 entonces&
0=C1 ( c3coshny+c 4 senhny ) C1=0
T=sennx (C5coshn y+c6 senhny )
A"ora con la condiciones de X=' toda ! %=0
0=Asenn (C5coshny+C4 AcosHny )
n=mm :entero
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T=senmx (C5coshmy+C6 senhmxy)
A"ora con !=0 para todo x=0
0=Asenmx (C5+0 )
C5=0
T=C6 senmxsenhmy
(ara Y=' con toda x %=sen x
m='
)*='+Asen"
AsenhC6=1
T=senmx (C5coshmy+C6 senhy)
ustitu!endo la solucin seria
T= 1
senhsenxsenhy
-esolviendo con .ctave obtendr/amos&
x=0&00'&'1
!=x1
2X,Y3=mes"4rid5x,!61
%=5'+sin"5pi667sin5pi7X67sin"5pi7Y61
surf5X,Y,%6
surf5X,Y,%61vie8596
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surf5X,Y,%61vie85961colorbar