7/24/2019 Reporte sobre difusin de calor en placa de acero

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SOLUCIN DE LA ECUACIN DEL CALOR A DOS

DIMENSIONES

En este ejemplo se aplicara la ecuacin

diferencial de calor

1

dT

dt=2T=

d2

t

d x2+

d2

T

d y2

= 0 o ecuacin de

la place, para una placa cuadrada la cualtiene dimensiones de una unidad en cadauno de sus lados, a esta placa se le sometea una temperatura de 0 en cada uno de susexcepto en el borde cb donde pondremosuna temperatura cuando el tiempo sea 0 de

Tcb(t=0)= Asenx donde la temperatura se descompone en un producto

de dos funciones T=X(x )Y(y ) a la cual al resolver se tendr el resultado de

X' '

Y+X Y' '=0 donde al dividir este resultado por XY se obtendr

X' '

X+

Y ' '

Y =0 a lo cual para que estn solo sean ser se utiliaran dos

constantes las cuales van a ser n2+n2 donde

X' '

X=n2 , donde la solucin

en x ser X1=C1cosnx+C2 sennx ! solucin paraY

' '

Y=n2

sera de

Y=C3 coshny+C4 senhny por lo que la temperatura ser

T=(C1cosnx+C2 sennx)(C3 coshnY+C4 senhnY) a"ora si para

X=0 toda #!$ la temperatura %=0 entonces&

0=C1 ( c3coshny+c 4 senhny ) C1=0

T=sennx (C5coshn y+c6 senhny )

A"ora con la condiciones de X=' toda ! %=0

0=Asenn (C5coshny+C4 AcosHny )

n=mm :entero

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T=senmx (C5coshmy+C6 senhmxy)

A"ora con !=0 para todo x=0

0=Asenmx (C5+0 )

C5=0

T=C6 senmxsenhmy

(ara Y=' con toda x %=sen x

m='

)*='+Asen"

AsenhC6=1

T=senmx (C5coshmy+C6 senhy)

ustitu!endo la solucin seria

T= 1

senhsenxsenhy

-esolviendo con .ctave obtendr/amos&

x=0&00'&'1

!=x1

2X,Y3=mes"4rid5x,!61

%=5'+sin"5pi667sin5pi7X67sin"5pi7Y61

surf5X,Y,%6

surf5X,Y,%61vie8596

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surf5X,Y,%61vie85961colorbar