Download - Polinomios
![Page 1: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/1.jpg)
EXPRESIÓNS POLINÓMICASEXPRESIÓNS POLINÓMICAS
Xosé Manuel Besteiro
Colexio Apostólico Mercedario
VERÍN
![Page 2: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/2.jpg)
EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS
EXPRESIÓN ALXEBRAICA: Combinación de números e letras relacionadas entre si mediante os signos das operacións aritméticas: suma, resta,multiplicación, división e potenciación.
Exemplo: 5x2ty + 2xy O signo (x) non se pon entre letras ou entre números e letras O factor 1 non se escribe O expoñente 1 non se escribe O signo de multiplicar non se escribe diante do paréntese
![Page 3: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/3.jpg)
EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS
TERMOS DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA: son cada un dos sumandos
COEFICIENTE DUN TERMO : é a súa perte numérica TERMOS SEMELLANTES : son aqueles que teñen as
mesmas letras elevadas aos mesmos exponentes
Exemplo:
3a2b - 2a2b + a2b
1º termo 2º termo 3º termo
Coeficientes
![Page 4: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/4.jpg)
EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS
VALOR NUMÉRICO DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA:
É o número obtido ao substituír as letras polos números indicados e efectuar as opercións correspondentes.
Exemplo: calcula o valor numérico da seguinte expresión alxebraica para X = 2 e y = 3
32
322
78
465
yxxy
xxyyx
![Page 5: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/5.jpg)
EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS
VALOR NUMÉRICO DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA:
32
322
327328
24326325
2747328
84926345
272848
3210860
47
16
![Page 6: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/6.jpg)
EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS
SUMA E RESTA DE EXPRESIÓN ALXEBRAICAS:
Sumamos ou restamos termos semellantes
222222 243152123 abbaabababbaababba
123 22 ababba ababba 152 22 22 243 abbaab
ba 22
1.- Quitamos parénteses aplicando as regras dos signos
2.- Xuntamos termos semellantes
2ab ab2 1
![Page 7: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/7.jpg)
MONOMIOS
Un MONOMIO é unha expresión alxebraica na que as únicas operacións entre números e letras son a multiplicación e a potenciación de exponente natural.(Non pode haber sumas e restas)
Ex:
yxyx 32 63
yx 29
Non é un monomio
Parte literalCoeficiente
Grao: 2+1 =3
![Page 8: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/8.jpg)
OPERACIÓNS CON MONOMIOS
SUMA E RESTA DE MONOMIOS SEMELLANTESSUMA E RESTA DE MONOMIOS SEMELLANTES
Súmanse ou réstanse os coeficientes e ponse a mesma parte literal.
Ex:
Ex:
yxyx 22 63 yx 263 yx 29
yxyx 44 47 yx 447 yx 43
![Page 9: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/9.jpg)
OPERACIÓNS CON MONOMIOS
PRODUTO DUN NÚMERO POR UN MONOMIO PRODUTO DUN NÚMERO POR UN MONOMIO
Multiplicamos o número polo coeficiente e poñemos a mesma parte literal.
Ex:
yx 475 yx 435
![Page 10: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/10.jpg)
OPERACIÓNS CON MONOMIOS
PRODUTO DE MONOMIOSPRODUTO DE MONOMIOS
Multiplicamos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais
zyxyx 234 43 zyxyx 23443
zyx 3712
![Page 11: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/11.jpg)
OPERACIÓNS CON MONOMIOS
DIVISIÓN DE MONOMIOSDIVISIÓN DE MONOMIOS
Dividimos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais
yzx
zyx2
24
5
3
3
4 yzxzyx 224
5
3
3
4
yzx
zyx2
24
5
3
3
4
yx 2
33
54yx 2
9
20
![Page 12: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/12.jpg)
OPERACIÓNS CON MONOMIOS
POTENCIA DUN MONOMIOPOTENCIA DUN MONOMIO
Elevamos o coeficiente e a parte literal a esa potencia
32433 zyx
3243 zyx 361227 zyx
![Page 13: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/13.jpg)
POLINOMIOS
Un polinomio é unha expresión alxebraica formada pola suma ou diferenza de varios monomios non semellantes
p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
a0, a1,.. an son nº reais e n un nº natural ou 0
O grao de P(x) é o maior dos expoñentes
Ao termo de grao cero denomímase termo independente
Dous polinomios p e q son idénticos se
x ),x(q)x(p
![Page 14: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/14.jpg)
POLINOMIOS
p(x)= 5x4+10x3+x-1
Coeficientes
Grao 4
![Page 15: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/15.jpg)
POLINOMIOS
POLINOMIO ORDENADO E REDUCIDOPOLINOMIO ORDENADO E REDUCIDO
OrdenarOrdenar un polinomio consiste en ordenar os seus monomios segundo o seu grao en orde crecente
ReducirReducir un polinomio consiste en xuntar monomios semellantes
POLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOSPOLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOS
Polinomio completo é aquel que ten termos de cada un dos graos menores ao grao do polinomio
Polinomio incompleto: fáltalle algún dos termos
![Page 16: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/16.jpg)
POLINOMIOS
Polinomio nulo 0 carece de grao. Tódolos seus coeficientes valen cero e verifícase que
Dous polinomios p e q son idénticos cando teñen o mesmo grao e coinciden os seus coeficientes, esto é, p-q =0.
A veces fálase do polinomio p(x), entendendo que se refire ao polinomio p
x ,0)x(0
![Page 17: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/17.jpg)
OPERACIÓNS CON POLINOMIOS
SUMA DE POLINOMIOS:SUMA DE POLINOMIOS: A suma dos polinomios p e q é o polinomio
r de modo que
Para sumar polinomios , sumamos os monomios semellantes de cada un deles.
O grao do polinomio suma r é o maior dos graos de p e de q.
)m,nmax(
0k
kk
m
0j
jj
n
0i
ii xcxbxa
)x(q)x(p)x(r
![Page 18: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/18.jpg)
OPERACIÓNS CON POLINOMIOS
SUMA DE POLINOMIOS:SUMA DE POLINOMIOS:1. Ordenamos e completamos (ou deixamos oco) os dous
polinomios
2. Escribimos un polinomio debaixo do outro de modo que os monomios semellantes estean na mesma columna
3. Sumamos os monomios semellantes
5x4+10x3+0x2+ x -1 5x3+3x2+2x+4
5x4+15x3+3x2+3x +3
![Page 19: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/19.jpg)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
RESTA DE POLINOMIOSRESTA DE POLINOMIOS
Para restar dous polinomios P(x)-Q(x), sumamos ao minuendo o oposto ao substraendo
P(x) – Q(x) = P(x) +[-Q(x)]
Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; Q(x) = -3x3 + 6x + 14
- Q(x) = 3x3 - 6x – 14
P(x) - Q(x) =
2x3-7x2+3x + 5
3x3 - 6x – 14
5x3 -7x2 -3x - 9
![Page 20: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/20.jpg)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
PRODUTO DUN MONOMIO POR UN POLINOMIO PRODUTO DUN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos o monomio por cada termo do polinomio
Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; M(x) = 3x3
P(x) · M(x) =
2x3-7x2+3x + 5
3x3
![Page 21: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/21.jpg)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS
1. Ordenamos e completamos o primeiro polinomio
2. Ordenamos o segundo polinomio
3. Multiplicamos cada termo do segundo polos termos do primeiro facendo coincidir na mesma columna os termos semellantes
![Page 22: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/22.jpg)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS
Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; Q(x) = - 3x3 + 6x +14
P(x) · Q(x) = 2x3-7x2+3x + 5
- 3x3 + 6x +14
-6x6 + 21x5 - 9x4 - 15x3
12x4 - 42x3 + 18 x2 + 30 x28x3 - 98 x2 + 42 x + 70
-6x6 + 21x5 + 3x4 - 29x3 - 80x2 + 72x + 70
![Page 23: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/23.jpg)
OPERACIÓNS CON POLINOMIOS
DIVISIÓN DE POLINOMIOSDIVISIÓN DE POLINOMIOS1. Ordenamos e completamos o dividendo2. Ordenamos o divisor3. Determinamos o primeiro termo do cociente
dividindo o termo de maior grao do dividendo entre o termo de maior grao do divisor
4. Multiplicamos o 1º termo do cociente por cada un dos termos do divisor e o oposto deste resultado sumámosllo ao dividendo
5. Repetimos o proceso ata que o polinomio do resto teña menor grao ca o divisor
![Page 24: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/24.jpg)
1. En xeral a división dun polinomio f dividendo por un polinomio g divisor orixina un polinomio cociente q e un polinomio resto r, de modo que
2. O grao do cociente é igual a diferenza dos graos do dividendo e do divisor
3. O grao de r é menor ca o grao de g ou ben r é nulo. Nota: f/g é un polinomio si e só si r = 0.
x ),x(r)x(g)x(q)x(f
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
![Page 25: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
6x4 + 8x2 + 7x + 40 2x2 – 4x + 5
3x2-6x4 + 12x3 – 15x2 + 6x
12x3 – 7x2 + 7x + 40
- 12x3 +24x2 – 30x
17x2 - 23x + 40
+ 17/2
-17x2 +34x - 85/2
11x - 5/2
COCIENTE
RESTO
![Page 26: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/26.jpg)
REGRA DE RUFFINIREGRA DE RUFFINI Permite dividir un polinomio P(x) entre un binomio do
tipo (x-a). Obtéñense os coeficientes do cociente e do resto da división
Pasos:1. Ordenamos P(x) en orde decrecente respecto á letra
ordenatriz2. Escribimos os coeficientes de P(x) na orde na que se
encontran en P(x) unha vez ordenado3. Trazamos unha raia horizontal debaixo dos coeficientes e
outra vertical á esquerda4. Na esquina esquerda escribimos o valor de “a”5. Seguimos os pasos que se detallan na seguinte diapositiva
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
![Page 27: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/27.jpg)
REGRA DE RUFFINIREGRA DE RUFFINI (7x4-11x3-94x+7 ):(x-3) 7 - 11 + 0 - 94 + 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
3
72110
3030
90- 4
-12RESTO
COEFICIENTES DO COCIENTE
- 5
COCIENTE: 7x3 + 10x2 + 30x - 4
![Page 28: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/28.jpg)
DIVISIÓN POR RUFFINI
Exemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por (x+2). Aquí a=-2.
O cociente da división de p(x) por (x+2) é 5x3+1 ,e, o resto -3, precisamente o valor de p(-2).
p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3
310052
20010
110105
![Page 29: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/29.jpg)
TEOREMA DO RESTOTEOREMA DO RESTO O Valor numérico dun polinomio P(x) para x=a coincide
co resto da división P(x) : (x-a).
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
P(a) = Resto
APLICACIÓNS DO TEOREMA DO RESTO:
1. Calcular o resto sen facer a división2. Calcular o valor dalgún termo decoñecido para
que o polinomio sexa divisible por un binomio do tipo(x-a) ; P(a) =0
3. Calcular o valor dalgún termo decoñecido para obter un determinado resto
![Page 30: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/30.jpg)
FACTORIZAR UN POLINOMIOFACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio consiste en decompoñelo en
produtos de polinomios do menor grao posíble MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN:
1. Extracción de factor común2. Dobre extracción de factor común3. Cadrado da suma4. Cadrado da resta5. Diferenza de cadrados6. Ecuación de 2º grao7. Ruffini para polinomios de grao superior a 2
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
![Page 31: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/31.jpg)
1. Extracción de factor comúnExtracción de factor común
É o método que debe preceder a calquera outro Factorizamos os coeficientes que non sexan nº primos Extráense os factores comúns a tódolos termos que teñan menor
espoñenteEx:
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
2ax2 - 4a2x+12ax=
2ax2 -22a2x+22·3ax= Factorizamos coeficientes
2ax(x -2a+2·3)=
2ax(x -2a+6)
Extraemos os factores comúns de menor expoñente
![Page 32: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Dobre extracción de factor comúnDobre extracción de factor común
Dase cando hai uns termos cun factor común e outros termos con outro factor común distinto
Despois de extraer os factores comúns pode quedar un factor común a tódolos termos que extraeremos nun segundo paso
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
6ab - 9b2 + 2ax – 3bx =
2·3ab – 32b2 +2ax - 3bx= Factorizamos coeficientes
3b(2a - 3b) + x(2a - 3b) =Extraemos os factores comúns de menor expoñente
(2a - 3b)· (3b + x) = Extraemos o paréntese como factor común
![Page 33: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Cadrado dunha sumaCadrado dunha suma
Dase cando hai tres termos co mesmo signo , e no que hai dos cadrados perfectos e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
X2 + 4x + 4 = Factorizamos coeficientes
Observamos dous cadrados X2, 22 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2
X2 + 2·2x + 22 =
(X+2)2
Basease en aplicar a inversa do cadrado da suma
(x+y)2=x2+2xy+y2
![Page 34: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/34.jpg)
4. Cadrado dunha restaCadrado dunha resta Dase cando hai tres termos , dous cadrados perfectos
co mesmo signo e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
X2 - 4x + 4 = Factorizamos coeficientes
Observamos dous cadrados X2, 22 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2
X2 - 2·2x + 22 =
(X-2)2
Basease en aplicar a inversa do cadrado da resta
(x-y)2=x2 - 2xy+y2
![Page 35: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/35.jpg)
5. Diferenza decadradosDiferenza decadrados Dase cando hai dous termos con distinto signo e que
poden expresarse como cadrados perfectos
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
a2x2 - 49x2 = Factorizamos coeficientes
Observamos dous cadrados (ax)2 e (7x)2
Basease en aplicar o produto da suma pola diferenza de dous números
(x+y) (x-y)=x2-y2
(ax)2 - 72x2 =
(ax+7x)·(ax-7x)=
![Page 36: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/36.jpg)
6. Ecuación de segundo graoEcuación de segundo grao Pode aplicarse sempre que teñamos un polinomio de
segundo grao Primeiro calculamos as solucións X1 e X2 pola fórmula
xeral Aplicamos P(x) = a·(x - x1)·(x - x2)
2
11214412
/x
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
X2 + 12x -28 = Resolvemos a ecuación de segundo grao
12
28141212 2
·
··/x
2
25612
/x
2
1612
/x 2
16121
x
2
16121
x
21 x
142 x
![Page 37: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/37.jpg)
6. Ecuación de segundo graoEcuación de segundo grao
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
X2 + 12x -28 = 1·(x-2)·(x+14)
![Page 38: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/38.jpg)
7. Factorización por RuffiniFactorización por Ruffini RAÍCES DUN POLINOMIORAÍCES DUN POLINOMIO
a é unha raíz do polinomio P(x) se P(a) = 0 Se a é unha raíz de P(x), entón ,polo teorema do resto
P(x) é divisible por (x-a) Aplicando a regra da división : D = d·c + R , como R=0 Podemos poñer: P(x) = (x-a)·c Seguimos factorizando o cociente,se podemos, ata que
o seu grao sexa 1 Para buscar as raíces dun polinomio ,probaremos cos
divisores (positivos e negativos) do termo independente Se as raíces son a1 , a2 , a3,.. e o cociente é C(x) a
factorización de P(x) será:
DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
P(x) = (x- a1)·(x-a2)·(x-a3)···C(x)
![Page 39: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/39.jpg)
7. Factorización por RuffiniFactorización por Ruffini (4x4- 4x3-9x2+ x + 2 ) 4 - 4 - 9 + 1 + 2
FACTORIZACIÓN DE DE POLINOMIOS
-1
4- 4-8
8-1
12
-20
P(x) = (x +1)·(x – 2)·(4x2 + 0x -1)
2
4
8
0
0
-1
-2
0
4x2 + 0x -1= 4x2-1= (2x-1)·(2x+1) Factorizamos como
diferenza de cadrados
P(x) = (x +1)·(x – 2)·(2x+1)(2x-1)
![Page 40: Polinomios](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052506/5574ec88d8b42ae1548b4984/html5/thumbnails/40.jpg)