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1Mg. John Cubas Snchez
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Oscilaciones Mecnicas
Mg. John Cubas Snchez
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Movimiento oscilatorio
Movimiento peridico
Movimiento armnico simple (MAS)
Elementos del MAS
Ecuaciones de un MAS
Ecuacin de la posicin X
Ecuacin de la velocidad v
Ecuacin de la aceleracin a
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Oscilaciones Mecnicas
Movimiento oscilatorio
Es aquel en el cual el mvil va y viene siguiendo unamisma trayectoria en forma repetitiva, hacia uno yotro lado de un punto llamado punto de equilibrio.Tambin se le conoce con el nombre de movimientode vaivn.
Ejemplo: El movimiento que realiza un pndulo alser separado de su punto de equilibrio
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El movimiento de un resorte
Movimiento oscilatorio
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Movimiento peridico
Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo,denominado perodo.
Ejemplo: El movimiento
planetario
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MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)
Es aquel movimiento peridico y oscilatorio realizado sobreuna recta; se caracteriza porque la aceleracin del mvil esdirectamente proporcional a la elongacin, pero de sentidocontrario.
A A
-x x 0
a -a
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Elementos del MAS1.- Oscilacin o vibracin completa.-
Es el movimiento de ida y vuelta que efecta elmvil, recorriendo la trayectoria completa.
2.- Perodo (T).-
Es el tiempo que transcurre durante la realizacinde una oscilacin.
3.- Frecuencia (f).-
Es el nmero de oscilaciones efectuadas encada unidad de tiempo:
Ttiempo
esoscilacionNf
1
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4.- Elongacin (x).-
Es la distancia medida desde la posicin deequilibrio hasta el lugar en que se encuentra elmvil en un instante cualquiera. Sirve para ubicaral mvil.
5.- Posicin de equilibrio (P.E.).-
Es aquel punto situado en la mitad de latrayectoria. No necesariamente el movimiento seinicia en este punto
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6.- Amplitud (A).-
Es la distancia entre la posicin de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria. Es el mximo valor de la elongacin. En una oscilacin se recorre cuatro amplitudes.
A A
PE Po x+
x -
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Fuente
luminosaEcran y
sombras
Para deducir las
ecuaciones de un
MAS utilizaremos un
sencillo equipo
compuesto de:
Una partcula que
tiene MCU.
Un gran foco
luminoso.
Un cran para
proyectar la sombra de
la partcula
(que los
colocaremos en forma
vertical)
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Ecran
ac
Como el movimiento circunferencial es uniforme; solo hayaceleracin centrpeta; de manera que la rapidez angular w yla rapidez tangencial vt son constantes.
La amplitud Adel MAS es
igual al radio del
crculo.
La partcula inicia su
movimiento en
el punto P.
El ngulo a se le llama fase
inicial.
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La sombra de la partcula posee un movimientoarmnico simple MAS y una velocidad y aceleraciniguales a las proyecciones de la velocidad tangencialvt y la aceleracin centrpeta ac del MCU sobreel cran; es decir son las componentes verticales dela velocidad tangencial vt y la aceleracincentrpeta ac.
Ecuaciones de un MAS
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x = QR= A sen g
g = +
= t
Ecuacin de la posicin X
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Ecran
x = A sen (t + )
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Ecuacin de la velocidad v
V= Vt cos g
Vt = R = A
g = +
= t
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Ecran
V= A cos (t + )
-
Ecran
Ecuacin de la aceleracin a
a = - ac sen g
g = +
= t
a = - A sen (t + )
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ac = R = A
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CINEMTICA DEL MAS
Sea: x = A sen (t + )
td
xdv
td
vd
td
xda
2
2
v = A cos (t + )
a = - A sen (t + )
De manera que:
a) v = A cos (t + )
A
vt
waw cos
x = A sen (t + )
A
xtsen aw
-
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Elevando al cuadrado:
22
22cos
A
vt
waw
2
22
A
xtsen aw
(+)
22
2
2
2
1A
v
A
x
w
2
2
22
2
1A
x
A
v
w
22222 xAv ww
2222 xAv w
22 xAv w
b)a = - A sen (t + )
a = - x
x
-
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22 xAv w
a = - x
PEqPEx PEx
V mxa = 0 a mxa mx
V = 0V = 0
-
Para x 0, F = - kx
DINMICA DEL M.A.S.
LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle paraun oscilador armnico.
La fuerza restauradora de un muelle es directamenteproporcional a su elongacin pero de sentido opuesto.
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xkFk
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Periodo de las oscilaciones:
Recordando a= - w2 x; tenemos que la frecuencia angular y
periodo son respectivamente:
El periodo de oscilacin y la frecuencia del cuerpo no dependede la amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzasque actan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:
De la 2 Ley de Newton:
FK = m a - k x = m a xm
ka
m
kw
k
mT 2Y como:
T
w
2
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2. ENERGIA CINTICA:
Aquella capacidad que poseen los cuerpos pararealizar trabajo en funcin de su movimiento.
2
2
1mVEC
2222
1xAmEC w
Donde:
2wmk
Luego:
222
1xAkEC
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Esta energa, depende de las posiciones de las partculas que
forman el sistema.
En un sistema muelle - cuerpo, hablamos de energa potencial
elstica; por supuesto cuanto mayor sea la compresin o
estiramiento del muelle, mayor es la energa.
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3. ENERGIA POTENCIAL:
2
2
1xkE
elsticaP
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4. ENERGIA MECNICA TOTAL:
elsticaPCEEE
2222
1
2
1xkxAkE
2222
1xxAkE
2
2
1AkE
La energa mecnica
total es constante
EP elstica(x)
xx0 A- A
EP
EC
2
2
1xk
2
2
1Ak
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MAS ANGULAR
Luego la frecuencia angular yperiodo sern:
Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecnico
Un resorte espiral ejerce un momento de torsin o torque (t)de restitucin proporcional al desplazamiento angular respectode la posicin de equilibrio.La ecuacin de movimiento est descrita por: Q = Qo cos(w t + )
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t = - k Q
De la segunda Ley de Newton: t = I a
- k Q = I a
QI
ka
De la Ley de Hooke:
Para un MAS angular:Q 2wa I
kw
k
IT 2Y como: T
w
2
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PNDULO SIMPLE
Constituido por una masa puntualsuspendida de un punto fijo mediante unhilo inextensible cuya masa esdespreciable.
Tmasenmg
Rseng a L
a senL
g
Para ngulos pequeos (< 10)
tgsen aL
g
Para un MAS angular: wa2
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ENERGA ASOCIADA AL PNDULO SIMPLEPor haber ganado altura, decimos queadquiere energa potencial gravitatoria.Es decir, en el centro no tiene energapotencial y en los extremos si.Podemos entonces, aplicar el principiode conservacin de la energa y afirmarque la energa cintica del centro se hatransformado en potencial en lospuntos de mxima amplitud.
Comparando obtenemos la frecuencia
angular del Pndulo simple: L
gw
Y el periodo del Pndulo simple:g
LT 2
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PNDULO FSICO
Al desplazarse el cuerpo, el peso(mg), causa un momento de torsinde restitucin, dado por:
t = - (mg) (d sen )
El pndulo fsico oscila solamentepor accin de su peso
Para ngulos pequeos, el movimiento ser armnico simple.(al aproximar sen . Entonces:
t = - (mg d)
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Para amplitudes mayores, el movimiento es armnico, perono simple.
La frecuencia angular ser:
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- mgd = I a
aI
mgd
Para un MAS angular: wa2
I
mgdw
Y el periodo ser:mgd
IT 2
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SUPERPOSICIN DEL MAS
La superposicin tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadorasactan simultneamente siendo el movimiento resultante lasuma de los distintos M.A.S.
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a) En una dimensin:
a
x
A1
f1
w1 t
w2 tf2
A2
d
w t
A
d | f2 f1 |
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2211
2211
coscos ff
ffa
AA
senAsenAtg
Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:
1221
2
2
2
1 cos2 ff AAAAA
x(t) = x1(t)+ x2(t) = A1 sen(w1t + f1) + A2 sen(w2t + f2)
d = f 2 f 1 : diferencia de fases
21 ww
x (t) = A sen (w t + a)
21 www
x1(t) = A1 sen (w1t + f1)x2(t) = A2 sen (w2t + f2)
a
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A) f1 f2 Movimientos en fase
Casos comunes:
d = 0: interferencia constructiva
B) f2 f1 Movimientos encontrafase u oposicin
d = : interferencia destructiva
d = /2
12
x
t
1 + 2
1
2
x
t
1 + 2
12
x
t
1 + 2
21 AAA
21 AAA
2
2
2
1 AAA
21 ffa
1fa
1
21
A
AarcTgfa
21 www
A
A
A
C) f2 f1 /2 Movimientos encuadratura
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El movimiento resultante no es un MAS.Se denomina PULSACIONES al resultado de la superposicinde dos M.A.S. de frecuencias ligeramente diferentes.
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Pulsaciones
Envolvente: Indica
como vara la
amplitud
Pulso
tsentAtx
22cos2 2121
wwww
Amplitud modulada Frecuencia de la
pulsacin
Frecuencia de la amplitud
21 ww
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b) En dimensiones perpendiculares:
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x(t) = A sen (w t + a)y(t) = B sen (w t + b) Consideremos: a 0, entonces d b:
Por tanto, la trayectoria de las oscilaciones estarn limitadas por las
lneas x = A; y = B, como se muestra en la grfica inferior
izquierda: Finalmente, las partculas al oscilar de
esta manera se terminan polarizando,
rectilnea o elpticamente, as.
x yw w w
x
y
A A
B
B
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Las trayectorias en este caso seconocen como curvas ofiguras de Lissajous.
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x(t) = A sen (wx t + a )y(t) = B sen (wy t + b )
La trayectoria no ser unaelipse, salvo que wx = wy comose vio en el caso anterior.
Cmo se forman las
figuras de Lissajous?
x yw w
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RESUMENPunto de
equilibrioExtremos
Posicin x=0 x= A
Velocidad V = Vmx = Aw V = 0
Aceleracin a = 0 a = amx = Aw 2
Fuerza resultante F = 0 F = k A = mw 2 A
Energa cintica
Energa potencial elstica
Energa mecnica
22
1wAmEE
mxCC 0CE
0pE2
2
1AkEE
mxpp
22222
1
2
1
2
1
2
1wAmAkxkVm